Qualité des maillages

Qualité desmaillagesJulien Dompierre

julien@cerca.umontreal.ca

Centre de Recherche en Calcul Applique (CERCA)

Ecole Polytechnique de Montreal

Qualite des maillages – p.1/329

Auteurs

Professionnels de rechercheJulien DompierrePaul LabbéMarie-Gabrielle Vallet

ProfesseursFrançois GuibaultJean-Yves TrépanierRicardo Camarero

Références– 1

J. DOMPIERRE, P. LABBÉ,M.-G. VALLET, F. GUIBAULTET R. CAMARERO, Critèresde qualité pour les maillagessimpliciaux. Dans Maillage etadaptation, Hermès, octobre2001, Paris, pages 311–348.

Références– 2

A. LIU et B. JOE, Relationship betweenTetrahedr on Shape Measures , Bit, Vol. 34,pages 268–287, (1994).

Références– 3

P. LABBÉ, J. DOMPIERRE, M.-G. VALLET, F.GUIBAULT et J.-Y. TRÉPANIER, A Univer salMeasure of the Conf ormity of a Mesh withRespect to an Anisotr opic Metric Field ,Submitted to Int. J. for Numer. Meth. in Engng,(2003).

Références– 4

P. LABBÉ, J. DOMPIERRE, M.-G. VALLET, F.GUIBAULT et J.-Y. TRÉPANIER, A Measure ofthe Conf ormity of a Mesh to an Anisotr opicMetric , Tenth International Meshing Roundtable,Newport Beach, CA, pages 319–326, (2001).

Références– 5

P.-L. GEORGE ET H. BOROU-CHAKI, Triangulation de De-launay et maillage, applica-tions aux éléments finis. Her-mès, 1997, Paris.

Références– 6

P. J. FREY AND P.-L.GEORGE, Maillages. Ap-plications aux éléments finis.Hermès, 1999, Paris.

Tabledesmatières

1. Introduction2. Définition d’un sim-

plexe3. Dégénérescence des

simplexes4. Qualité de forme des

simplexes5. Formules pour les

simplexes6. Voronoï, Delaunay et

Riemann7. Critères de formes et

de Delaunay

8. Éléments non simpli-ciaux

9. Représentation descritères de forme

10. Équivalence des cri-tères de forme

11. Qualité globale etoptimisation

12. Qualité en taille dessimplexes

13. Qualité universelle14. Conclusions

Intr oduction et justifications

On travaille sur la génération, l’adaptation etl’optimisation de maillages.

Comment choisir la configuration qui donne lesplus beaux triangles ? Il faut un critère de qualitédes triangles.

Retournementd’une face

Comment choisir la configuration qui donne lesplus beaux tétraèdres ? Il faut un critère dequalité des tétraèdres.

Retournementd’une arête

Comment choisir la configuration qui donne lesplus beaux tétraèdres ? Il faut un critère dequalité des tétraèdres.

Optimisation de maillages

Soit et , deux ptimiseurs de maillagestridimensionnels tétraédriques non structurés.

Quelle est la norme d’un optimiseur demaillage ?Comment peut-on affirmer que ?

Soit et , deux ptimiseurs de maillagestridimensionnels tétraédriques non structurés.Quelle est la norme d’un optimiseur demaillage ?

Comment peut-on affirmer que ?

Soit et , deux ptimiseurs de maillagestridimensionnels tétraédriques non structurés.Quelle est la norme d’un optimiseur demaillage ?Comment peut-on affirmer que ?

Mais c’est très simple!

Soit , un banc d’essai (un benchmark).

Soit , le maillage optimisé obtenuavec l’optimiseur .Soit , le maillage optimisé obtenuavec l’optimiseur .La sagesse populaire dit : “On juge un arbre àses fruits”.Si alors .

Soit , un banc d’essai (un benchmark).Soit , le maillage optimisé obtenuavec l’optimiseur .

Soit , le maillage optimisé obtenuavec l’optimiseur .La sagesse populaire dit : “On juge un arbre àses fruits”.Si alors .

Soit , un banc d’essai (un benchmark).Soit , le maillage optimisé obtenuavec l’optimiseur .Soit , le maillage optimisé obtenuavec l’optimiseur .

La sagesse populaire dit : “On juge un arbre àses fruits”.Si alors .

Soit , un banc d’essai (un benchmark).Soit , le maillage optimisé obtenuavec l’optimiseur .Soit , le maillage optimisé obtenuavec l’optimiseur .La sagesse populaire dit : “On juge un arbre àses fruits”.

Si alors .

Soit , un banc d’essai (un benchmark).Soit , le maillage optimisé obtenuavec l’optimiseur .Soit , le maillage optimisé obtenuavec l’optimiseur .La sagesse populaire dit : “On juge un arbre àses fruits”.Si alors .

Bancsd’essaisd’optimisation de maillages

J. DOMPIERRE, P. LABBÉ, F. GUIBAULT etR. CAMARERO.

Proposal of Benchmarks for 3D UnstructuredTetrahedral Mesh Optimization.

7th International Meshing Roundtable, Dearborn,MI, octobre 1998, pages 459–478.

Le piège...

Parce qu’on ne connaît pas la norme d’unoptimiseur, on a remplacé la comparaison dedeux optimiseurs par la comparaison de deuxmaillages.

Quelle est la norme d’un maillage ?Comment peut-on affirmer que ?

C’est ce que vous saurez bientôt, ou vousserez remboursés !

Le piège...

Parce qu’on ne connaît pas la norme d’unoptimiseur, on a remplacé la comparaison dedeux optimiseurs par la comparaison de deuxmaillages.Quelle est la norme d’un maillage ?

Comment peut-on affirmer que ?

Le piège...

Parce qu’on ne connaît pas la norme d’unoptimiseur, on a remplacé la comparaison dedeux optimiseurs par la comparaison de deuxmaillages.Quelle est la norme d’un maillage ?Comment peut-on affirmer que ?

Le piège...

Parce qu’on ne connaît pas la norme d’unoptimiseur, on a remplacé la comparaison dedeux optimiseurs par la comparaison de deuxmaillages.Quelle est la norme d’un maillage ?Comment peut-on affirmer que ?C’est ce que vous saurez bientôt, ou vousserez remboursés !

Cequ’il faut retenir

Cet exposé portera sur les notions de qualitédes éléments d’un maillage et sur la qualité detout un maillage.

La notion de qualité des éléments estnécessaire pour les algorithmes deretournement d’arêtes et de faces.La notion de qualité de tout un maillage estnécessaire dans la recherche sur l’optimisationdes maillages.

Cet exposé portera sur les notions de qualitédes éléments d’un maillage et sur la qualité detout un maillage.La notion de qualité des éléments estnécessaire pour les algorithmes deretournement d’arêtes et de faces.

La notion de qualité de tout un maillage estnécessaire dans la recherche sur l’optimisationdes maillages.

Cet exposé portera sur les notions de qualitédes éléments d’un maillage et sur la qualité detout un maillage.La notion de qualité des éléments estnécessaire pour les algorithmes deretournement d’arêtes et de faces.La notion de qualité de tout un maillage estnécessaire dans la recherche sur l’optimisationdes maillages.

Table des matières

1. Introduction2. Définition d’un simplexe3. Dégénérescence des sim-

plexes4. Qualité de forme des sim-

plexes5. Formules pour les sim-

plexes6. Voronoï, Delaunay et Rie-

mann7. Critères de formes et de

Delaunay

8. Éléments non simpliciaux9. Représentation des cri-

tères de forme10. Équivalence des critères

de forme11. Qualité globale et optimi-

sation12. Qualité en taille des sim-

plexes13. Qualité universelle14. Conclusions

Définition d’un simple xe

Les maillages en deux et trois dimensions sontconstitués de polygones ou de polyèdres appeléséléments.

Les plus simples d’entre eux, les simplexes, sont ceuxqui ont le nombre minimal de sommets.Le segment en une dimension.Le triangle en deux dimensions.Le tétraèdre en trois dimensions.Le hypertétraèdre en quatre dimensions.Les quadrilatères, les pyramides, les prismes, les

hexaèdres et autres bizarreries sont des éléments nonsimpliciaux.

Les maillages en deux et trois dimensions sontconstitués de polygones ou de polyèdres appeléséléments.Les plus simples d’entre eux, les simplexes, sont ceux

qui ont le nombre minimal de sommets.

Le segment en une dimension.Le triangle en deux dimensions.Le tétraèdre en trois dimensions.Le hypertétraèdre en quatre dimensions.Les quadrilatères, les pyramides, les prismes, les

qui ont le nombre minimal de sommets.Le segment en une dimension.

Le triangle en deux dimensions.Le tétraèdre en trois dimensions.Le hypertétraèdre en quatre dimensions.Les quadrilatères, les pyramides, les prismes, les

qui ont le nombre minimal de sommets.Le segment en une dimension.Le triangle en deux dimensions.

Le tétraèdre en trois dimensions.Le hypertétraèdre en quatre dimensions.Les quadrilatères, les pyramides, les prismes, les

qui ont le nombre minimal de sommets.Le segment en une dimension.Le triangle en deux dimensions.Le tétraèdre en trois dimensions.

Le hypertétraèdre en quatre dimensions.Les quadrilatères, les pyramides, les prismes, les

qui ont le nombre minimal de sommets.Le segment en une dimension.Le triangle en deux dimensions.Le tétraèdre en trois dimensions.Le hypertétraèdre en quatre dimensions.

Les quadrilatères, les pyramides, les prismes, leshexaèdres et autres bizarreries sont des éléments nonsimpliciaux.

qui ont le nombre minimal de sommets.Le segment en une dimension.Le triangle en deux dimensions.Le tétraèdre en trois dimensions.Le hypertétraèdre en quatre dimensions.Les quadrilatères, les pyramides, les prismes, les

Définition d’un -simple xe dans

Soient points � � � � � � � �,

, non situés dans le même hyperplan,c’est-à-dire tel que la matrice d’ordre ,

� � � � ��

......

. . ....

� � � � ��

soit inversible. On appelle -simplexe des points � ,l’enveloppe convexe des points � .

Un simple xe engendre

Tout point

, de coordonnées cartésiennes � ��

est caractérisé par la donnée des scalaires

� � définis comme solution du système linéaire

� � ��

� � � � pour

� � ��

�dont la matrice est .

Ce qu’il faut retenir

En deux dimensions, le simplexe est le triangle.

En trois dimensions, le simplexe est le tétraèdre.Les sommets d’un simplexe dans engendrent

vecteurs qui forment une base de .Les coordonnées d’un point dans la base

engendrée par le simplexe sont les coordonnéesbarycentriques.

En deux dimensions, le simplexe est le triangle.En trois dimensions, le simplexe est le tétraèdre.

Les sommets d’un simplexe dans engendrentvecteurs qui forment une base de .Les coordonnées d’un point dans la base

engendrée par le simplexe sont les coordonnéesbarycentriques.

En deux dimensions, le simplexe est le triangle.En trois dimensions, le simplexe est le tétraèdre.Les sommets d’un simplexe dans

�engendrent

vecteurs qui forment une base de�

Les coordonnées d’un point dans la baseengendrée par le simplexe sont les coordonnéesbarycentriques.

En deux dimensions, le simplexe est le triangle.En trois dimensions, le simplexe est le tétraèdre.Les sommets d’un simplexe dans

�engendrent

vecteurs qui forment une base de�

.Les coordonnées � d’un point

dans la baseengendrée par le simplexe sont les coordonnéesbarycentriques.

Table des matières

Delaunay

Dégénérescence des simple xes

Un -simplexe formé de sommets � est dégénéré sises sommets sont situés dans le même hyperplan,c’est-à-dire, si la matrice est non inversible.

Un -simplexe est dégénéré si ses sommetsn’engendrent pas l’espace

C’est le cas si les sommets sont contenus dansun espace de dimension inférieure à .Un triangle est dégénéré si ses sommets sont

colinéaires ou confondus.Un tétraèdre est dégénéré si ses sommets sont

coplanaires, colinéaires ou confondus.Notez qu’à strictement parler, un simplexe dégénéré

n’est plus un simplexe au sens de la définition.

.C’est le cas si les sommets sont contenus dans

un espace de dimension inférieure à .

Un triangle est dégénéré si ses sommets sontcolinéaires ou confondus.Un tétraèdre est dégénéré si ses sommets sont

un espace de dimension inférieure à .Un triangle est dégénéré si ses sommets sont

colinéaires ou confondus.

Un tétraèdre est dégénéré si ses sommets sontcoplanaires, colinéaires ou confondus.Notez qu’à strictement parler, un simplexe dégénéré

coplanaires, colinéaires ou confondus.

Notez qu’à strictement parler, un simplexe dégénérén’est plus un simplexe au sens de la définition.

Critère de dégénérescence

Un -simplexe est dégénéré si la matrice est noninversible. Une matrice est non inversible si sondéterminant est nul.

La mesure d’un simplexe est son aire en deuxdimensions et son volume en trois dimensions.La mesure d’un -simplexe formé de

sommets est donnée par

Un triangle est dégénéré si son aire est nulle.Un tétraèdre est dégénéré si son volume est nul.

Un -simplexe est dégénéré si la matrice est noninversible. Une matrice est non inversible si sondéterminant est nul.La mesure d’un simplexe est son aire en deux

dimensions et son volume en trois dimensions.

La mesure d’un -simplexe formé desommets est donnée par

dimensions et son volume en trois dimensions.La mesure d’un -simplexe formé de

sommets � est donnée par

Un triangle est dégénéré si son aire est nulle.

Un tétraèdre est dégénéré si son volume est nul.

Taxonomie des simple xes dégénérés

Cette taxonomique repose sur les différents étatsdégénérés possib les des simplexes.

Il y a trois cas de triangles dégénérés.Il y a dix cas de tétraèdres dégénérés.Dans ce catalogue, les quatre symboles, , et représentent des sommets de

multiplicité simple, double, triple et quadruplerespectivement.

Cette taxonomique repose sur les différents étatsdégénérés possib les des simplexes.Il y a trois cas de triangles dégénérés.

Il y a dix cas de tétraèdres dégénérés.Dans ce catalogue, les quatre symboles, , et représentent des sommets de

Cette taxonomique repose sur les différents étatsdégénérés possib les des simplexes.Il y a trois cas de triangles dégénérés.Il y a dix cas de tétraèdres dégénérés.

Dans ce catalogue, les quatre symboles, , et représentent des sommets de

Cette taxonomique repose sur les différents étatsdégénérés possib les des simplexes.Il y a trois cas de triangles dégénérés.Il y a dix cas de tétraèdres dégénérés.Dans ce catalogue, les quatre symboles, , et représentent des sommets de

1 – Le chapeau

Chapeau(cap)

Arêtes dégénérées : AucuneRayon du plus petit cercle circonscrit :

2 – L’aiguille

Aiguille(needle)

Arêtes dégénérées :Rayon du plus petit cercle circonscrit : � �

3 – Le Big Crunc h

BigCrunch

Arêtes dégénérées : ToutesRayon du plus petit cercle circonscrit :Le Big Crunch est la théorie inverse du Big Bang.

Dégénérescence des tétraèdres

Il y a un cas de dégénérescence en quatre sommetsconfondus.Il y a cinq cas de dégénérescence en quatre sommets

colinéaires.Il y a quatre cas de dégénérescence en quatre

sommets coplanaires.

1 – L’ailer on

Aileron

Arêtes dégénérées : AucuneFaces dégénérées : Un chapeauRayon de la plus petite sphère circonscrite :

2 – Le chapeau

Chapeau(Cap)

Arêtes dégénérées : AucuneFaces dégénérées : AucuneRayon de la plus petite sphère circonscrite :

3 – Le cerf-v olant

Cerf-volant(sliver)

Arêtes dégénérées : AucuneFaces dégénérées : AucuneRayon de la plus petite sphère circonscrite : � � ou

4 – Le coin

Coin(Wedge)

Arêtes dégénérées :Faces dégénérées : Deux aiguillesRayon de la plus petite sphère circonscrite : � �

5 – La paillette

Paillette

Arêtes dégénérées : AucuneFaces dégénérées : Quatre chapeauxRayon de la plus petite sphère circonscrite :

6 – Le fuseau

Fuseau

Arêtes dégénérées :Faces dégénérées : Deux chapeaux et deux aiguillesRayon de la plus petite sphère circonscrite :

7 – Le ciseau

Ciseau

Arêtes dégénérées :Faces dégénérées : Deux chapeaux et deux aiguillesRayon de la plus petite sphère circonscrite :

8 – Le berlingot

Berlingot

Arêtes dégénérées : etFaces dégénérées : Quatre aiguillesRayon de la plus petite sphère circonscrite : � �

9 – L’aiguille

Aiguille(needle)

Arêtes dégénérées : , etFaces dégénérées : Trois aiguilles et un Big CrunchRayon de la plus petite sphère circonscrite : � �

10 – Le Big Crunc h

BigCrunch

Arêtes dégénérées : ToutesFaces dégénérées : Quatre Big CrunchsRayon de la plus petite sphère circonscrite :

Un triangle est dégénéré si ses sommets sontcolinéaires ou confondus, et donc si son aire est nulle.

Il y a trois cas de dégénérescence des triangles.Un tétraèdre est dégénéré si ses sommets sont

coplanaires, colinéaires ou confondus, et donc si sonvolume est nul.Il y a dix cas de dégénérescence des tétraèdres.

Un triangle est dégénéré si ses sommets sontcolinéaires ou confondus, et donc si son aire est nulle.Il y a trois cas de dégénérescence des triangles.

Un tétraèdre est dégénéré si ses sommets sontcoplanaires, colinéaires ou confondus, et donc si sonvolume est nul.Il y a dix cas de dégénérescence des tétraèdres.

Un triangle est dégénéré si ses sommets sontcolinéaires ou confondus, et donc si son aire est nulle.Il y a trois cas de dégénérescence des triangles.Un tétraèdre est dégénéré si ses sommets sont

coplanaires, colinéaires ou confondus, et donc si sonvolume est nul.

Il y a dix cas de dégénérescence des tétraèdres.

Un triangle est dégénéré si ses sommets sontcolinéaires ou confondus, et donc si son aire est nulle.Il y a trois cas de dégénérescence des triangles.Un tétraèdre est dégénéré si ses sommets sont

coplanaires, colinéaires ou confondus, et donc si sonvolume est nul.Il y a dix cas de dégénérescence des tétraèdres.

Table des matières

Delaunay

Qualité en forme des simple xes

Une façon habituelle de quantifier la qualité d’unmaillage est faite par le biais de la qualité des élémentsqui le composent.

Un critère de qualité couramment utilisé pour quantifierla qualité d’un élément est le critère de forme.Cette section fait le tour des différents critères de forme

utilisés pour les simplexes.

Une façon habituelle de quantifier la qualité d’unmaillage est faite par le biais de la qualité des élémentsqui le composent.Un critère de qualité couramment utilisé pour quantifier

la qualité d’un élément est le critère de forme.

Cette section fait le tour des différents critères de formeutilisés pour les simplexes.

Une façon habituelle de quantifier la qualité d’unmaillage est faite par le biais de la qualité des élémentsqui le composent.Un critère de qualité couramment utilisé pour quantifier

la qualité d’un élément est le critère de forme.Cette section fait le tour des différents critères de forme

utilisés pour les simplexes.

Le simple x régulier

Définition : Un élément simplicial est régulier s’ilmaximise sa mesure pour une mesure donnée de safrontière.

Le triangle équilatéral est régulier car c’est celui qui al’aire optimale pour un périmètre donné.Le tétraèdre équilatéral est régulier car c’est celui qui a

le volume optimal pour une surface donnée de sesfaces.

Définition : Un élément simplicial est régulier s’ilmaximise sa mesure pour une mesure donnée de safrontière.Le triangle équilatéral est régulier car c’est celui qui a

l’aire optimale pour un périmètre donné.

Le tétraèdre équilatéral est régulier car c’est celui qui ale volume optimal pour une surface donnée de sesfaces.

Définition : Un élément simplicial est régulier s’ilmaximise sa mesure pour une mesure donnée de safrontière.Le triangle équilatéral est régulier car c’est celui qui a

l’aire optimale pour un périmètre donné.Le tétraèdre équilatéral est régulier car c’est celui qui a

le volume optimal pour une surface donnée de sesfaces.

Critère de forme simplicial

Définition A : Un critère de forme simplicial est unefonction continue qui évalue la forme d’un simplexe, et quiest invariante par translation, rotation, réflexion ethomothétie du simplexe. Il est dit valide s’il est maximaluniquement pour le simplexe régulier et s’il est minimalpour tous les simplexes dégénérés. Les critères de formesimpliciaux sont normalisés dans l’intervalle , avecpour le simplexe régulier et pour tous les simplexesdégénérés.

Remarques

L’invariance par translation, rotation et réflexion signifieque les critères de forme simpliciaux doivent êtreindépendants du système de coordonnées.

L’invariance par une homothétie valide signifie qu’ilsdoivent être adimensionnels (indépendants du systèmed’unités).La continuité signifie que les critères de forme varient

continûment en fonction de la position des sommets dusimplexe.

Remarques

L’invariance par translation, rotation et réflexion signifieque les critères de forme simpliciaux doivent êtreindépendants du système de coordonnées.L’invariance par une homothétie valide signifie qu’ils

doivent être adimensionnels (indépendants du systèmed’unités).

La continuité signifie que les critères de forme varientcontinûment en fonction de la position des sommets dusimplexe.

Remarques

L’invariance par translation, rotation et réflexion signifieque les critères de forme simpliciaux doivent êtreindépendants du système de coordonnées.L’invariance par une homothétie valide signifie qu’ils

doivent être adimensionnels (indépendants du systèmed’unités).La continuité signifie que les critères de forme varient

continûment en fonction de la position des sommets dusimplexe.

Le rappor t des rayons

Le rapport des rayons d’un simplexe est un critère deforme défini par � �, où � et � sont les rayonsdes cercles (sphères en 3D) inscrit et circonscrit à , etest la dimension de l’espace.

La rappor t des moyennes

Soit � � � � , un simplexe équilatéral ayant lemême [aire|volume] que le simplexe � � � � . Soit

, la matrice de la transformation affine de vers , i.e.

� � , , où est un vecteur detranslation.

La rappor t des moyennes

Alors, le rapport des moyennes d’un simplexe est lerapport de la moyenne géométrique sur la moyennealgébrique des valeurs propres � , � [, �] de la matrice�

� ��

��

� � �

� �

� �� en D

� � � �

� � �

� �� en D

Le conditionnement

FORMAGGIA et PEROTTO (2000) utilisent l’inverse duconditionnement de la matrice.

� �

��

si les valeurs propres sont ordonnées en ordre croissant.

Le norme de Frobenius

Freitag et Knupp (1999) utilise la norme de Frobenius de lamatrice

pour définir un critère de forme.

� � � ��

��

où les � sont les valeurs propres du tenseur

Le minim um des angles solides

Le critère de forme simplicial �� basé sur le minimum desangles solides du -simplexe est défini par

��

Le coefficient est la valeur de chaque angle solide du-simplexe régulier, soit en deux dimensions

et en trois dimensions.

Le sin us de

Un critère de forme simplicial moins coûteux du point devue numérique est le sinus minimum. On évite ainsi lecalcul de la fonction dans le calcul de � en 2D etde � en 3D.

��

où � � en 2D et � � en 3D. est la valeurde � pour tous les angles solides du simplexe régulier,soit en 2D et en3D.

Angles des faces

On pourrait définir un critère de forme basé sur le minimumdes douze angles des quatre faces du tétraèdre. Cet angleest de pour le tétraèdre régulier.Mais ce n’est pas un critère de forme valide au sens de laDéfinition A car il ne détecte pas les tétraèdres dégénérésqui n’ont pas de faces dégénérées (le cerf-volant et lechapeau).

Angles dièdres

L’angle dièdre est l’angle entre l’intersection des deux facesadjacentes à l’arête avec le plan perpendiculaire à l’arête.

� ��

Le minimum des six angles dièdres �� est utilisé commecritère de forme.

Angles dièdres

��

où � � � et � � � sont les normales aux deux faces adjacentesà l’arête � � , et où est la valeur dessix angles dièdres du tétraèdre régulier.Ce n’est pas un critère de forme valide au sens de laDéfinition A. Le plus petit angle dièdre de l’aiguille, dufuseau et de la paillette peut être aussi grand que .

Le coefficient de l’erreurd’interpolation

En éléments finis, l’erreur d’interpolation d’une fonction surun élément est bornée par un coefficient fois lasemi-norme de la fonction. Ce coefficient est lerapport � � où � est le diamètre de l’élément et �

est la rondeur de l’élément .

�� en D

Le rappor t des arêtes

Rapport de la plus petite arête sur la plus grande

�� Le rapport des arêtes est un critère de forme non valideselon la Définition A, car il est non-nul pour certainssimplexes dégénérés. En 2D, il peut être aussi grandque pour le chapeau. En 3D, il peut valoir pour lecerf-volant, pour l’aileron, pour le chapeau etpour la paillette.

Autres critères de forme – 1

� � �, le rapport du diamètre du tétraèdre sur lerayon de la sphère circonscrite, dans BAKER, (1989). Cecritère de forme est non valide.

�� , le rapport de la plus petite arête du tétraèdresur le rayon de la sphère circonscrite, dans MILLER et al(1996). Ce critère de forme est non valide.

� � �

, le rapport entre le volume du tétraèdre et lerayon de la sphère circonscrite, dans MARCUM etWEATHERILL, (1995).

� � ��

, le rapport entre le volume du tétraèdreet l’aire de ses faces, dans DECOUGNY et al (1990).L’évaluation de ce critère de forme, ainsi que sa validité,sont assez problématiques pour les tétraèdresdégénérés en quatre sommets colinéaires.

� � ��

, le rapport entre le volume du

tétraèdre et la moyenne de ses six arêtes, dansDANNELONGUE et TANGUY (1991), ZAVATTIERI et al(1996) et WEATHERILL et al (1993).

� ��

� � � � � � � �

� � � ��

��

� � �

le rapport entre le volume du tétraèdre et une somme, à lapuissance trois demis, de plusieurs termes homogènes àdes carrés de longueurs d’arêtes, dans BERZINS (1998).

� � ��

, le rapport entre le volume du

tétraèdre et la moyenne quadratique de ses six arêtes,dans GRAICHEN et al (1991).Etc... Cette liste n’est pas exhaustive.

Il y a une infinité de critères de forme

Si et sont deux critères de forme valides, si

,alors �

,��

avec ,� �

avec ,

� �

sont aussi des critères de forme simpliciaux valides.

Un simplexe régulier est un simplexe équilatéral, ie,dont toutes les arêtes sont de même longueur.

Un critère de forme mesure le rapport à l’équilatéralité.Les critères de forme non valides ne sont pas nuls pour

tous les simplexes dégénérés.Il existe des zillions de critères de formes valides.Le but de la recherche n’est pas d’en trouver un autre

bien meilleur que les autres.

Un simplexe régulier est un simplexe équilatéral, ie,dont toutes les arêtes sont de même longueur.Un critère de forme mesure le rapport à l’équilatéralité.

Les critères de forme non valides ne sont pas nuls pourtous les simplexes dégénérés.Il existe des zillions de critères de formes valides.Le but de la recherche n’est pas d’en trouver un autre

Un simplexe régulier est un simplexe équilatéral, ie,dont toutes les arêtes sont de même longueur.Un critère de forme mesure le rapport à l’équilatéralité.Les critères de forme non valides ne sont pas nuls pour

tous les simplexes dégénérés.

Il existe des zillions de critères de formes valides.Le but de la recherche n’est pas d’en trouver un autre

tous les simplexes dégénérés.Il existe des zillions de critères de formes valides.

Le but de la recherche n’est pas d’en trouver un autrebien meilleur que les autres.

tous les simplexes dégénérés.Il existe des zillions de critères de formes valides.Le but de la recherche n’est pas d’en trouver un autre

Table des matières

Delaunay

Form ules pour le triangle

La donnée de la longueur des trois arêtes d’un triangle ledétermine entièrement.

Donc, les grandeurs mesurables telles les rayons descercles inscrit et circonscrit, les angles, la surface, etc,peuvent s’écrire en fonction de la longueur des trois arêtesd’un triangle.

Soit un triangle non dégénéré de sommets � , � et �.Les longueurs des arêtes � � de sontnotées � � � � , .

Le demi-périmètre

Le demi-périmètre � est donné par

� � � � � �

Form ule de Héron

L’aire � d’un triangle peut aussi s’exprimer en terme delongueurs d’arête, à l’aide de la formule de Héron :

� � � � � � � � � � � �

Rayon du cercle inscrit

Le rayon � du cercle inscrit au triangle est donné par

��

Rayon du cercle cir conscrit

Le rayon � du cercle circonscrit au triangle est donnépar

� � � � � ��

Diamètre de l’élément

Le diamètre d’un élément est la plus grande distanceeuclidienne entre deux points de l’élément. Pour untriangle, c’est aussi la longueur de la plus grandearête � �

� � � � � � � �

La longueur de la plus petite arête est notée ��

��

Angle solide

L’angle � au sommet � du triangle est la longueur del’arc de cercle obtenu en projetant l’arête du triangleopposée à � sur un cercle unitaire de centre �. Ils’exprime en terme de longueurs d’arête comme

� �

�! "#%$ &' ( �) " ( �� *

Form ules pour le tétraèdre

La donnée de la longueur des six arêtes d’un tétraèdre ledétermine entièrement.

Donc, les grandeurs mesurables telles les rayons dessphères inscrite et circonscrite, les angles, le volume, etc,peuvent s’écrire en fonction de la longueur des six arêtesd’un tétraèdre.

Form ules pour le tétraèdre

Soit un tétraèdre non dégénéré de sommets � , �, �

et �. Les longueurs des arêtes � � de sont notées

� � � � , . Les aires des faces dutétraèdre, � � �, � � �, � � � et � � �, sontdésignées par � , �, � et �. Enfin, � est le volume dutétraèdre .

Form ule de “Hér on” 3D

Soit , , , , et , les longueurs des six arêtes dutétraèdre de manière à ce que les arêtes , et soientconnectées à un même sommet, soit l’arête opposée à ,

l’arête opposée à et l’arête opposée à . Alors levolume � est

� � � � �

� � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

� � � � �

Rayon de la sphère inscrite

Le rayon � de la sphère inscrite au tétraèdre est donnépar

� � � �

Rayon de la sphère cir conscrite

Le rayon � de la sphère circonscrite au tétraèdre estdonné par

�où � � � �, � � � � et � � � � sont les produitsdes longueurs des arêtes opposées de (deux arêtessont opposées si elles n’ont pas de sommet commun).

Diamètre de l’élément

Le diamètre d’un élément est la plus grande distanceeuclidienne entre deux points de l’élément. Pour untétraèdre, c’est aussi la longueur de la plus grandearête � �

� � � � � � � � � � � � � �

La longueur de la plus petite arête est notée ��

��

Angle solide

L’angle solide � au sommet � d’un tétraèdre, est l’aire dusecteur sphérique obtenue en projetant la face opposéeà � sur la sphère unitaire centrée en �.

��

� ��

Angle solide

LIU et JOE (1994) donnent la formule pour calculer l’anglesolide en fonction de la longueur des arêtes :

� ��! "#%$ &' ( �) " (+

� � �* � �� *

� � �

Tabledesmatières

de Delaunay

Quel estle plus beautriangle ?

Si vousavezchoisi le triangle A...

AVous avez tort !

Si vousavezchoisi le triangle A...

AVous avez tort !

Si vousavezchoisi le triangle B...

BVous avez encore tort !

Si vousavezchoisi le triangle B...

BVous avez encore tort !

A BAucune de ces réponses !

Quelleestla plus belle femme?

Vousavezprobablementchoisi...

A BLa femme A.

Vousavezprobablementchoisi...

A BLa femme A.

Et si on demandait à cesmessieurs...

Cesmessieurschoisiraient...

A BLa femme B.

Cesmessieurschoisiraient...

A BLa femme B.

Quelleestla plus belle femme...

Il n’y a pas de réponse dans l’absolue car laquestion est incomplète.

On n’a pas spécifié qui allait juger lescandidates, quel était le barême d’évaluation,quelles étaient les mesures utilisées, etc.

A BLa question est incomplète. Il manque une façonde mesurer la qualité d’un triangle.

La question est incomplète. Il manque une façonde mesurer la qualité d’un triangle.

DiagrammedeVoronoï

Georgy Fedoseevich VORO-NOÏ. 28 avril 1868, Ukraine– 20 novembre 1908, Var-sovie. Nouvelles applicationsdes paramètres continus àla théorie des formes qua-dratiques. Recherches surles parallélloèdes primitifs.Journal Reine Angew. Math,Vol 134, 1908.

La médiatrice

Soit et , deux som-mets dans . La mé-diatrice est lelieu des points équi-distants de et .

où est la distanceeuclidienne entre deuxpoints de l’espace.

Un nuagedesommets

Soit , un nuage de sommets.

Cellule de Voronoï

Définition : La cellule de Voronoï associéeau sommet est le lieu des points de l’espacequi sont plus proche de que de tout autresommet :

DiagrammedeVoronoï

L’ensemble des cellules de Voronoï associées àtous les sommets du nuage de sommets formele diagramme de Voronoï.

Propriétésdesdiagrammesde Voronoï

Les cellules de Voronoï sont des polygones en2D, des polyèdres en 3D, des -polytopes en

D.Les cellules de Voronoï sont convexes.Les cellules de Voronoï recouvrent l’espacesans chevauchement.

Les diagrammes de Voronoï sont despar titions de l’espace en cellules basées surla notion de distance .

Triangulation deDelaunay

Boris Nikolaevich DELONE ouDELAUNAY. 15 mars 1890,Saint Petersbourg — 1980.Sur la sphère vide. À la mé-moire de Georges Voronoi,Bulletin de l’Académie desSciences de l’URSS, Vol. 7,pp. 793–800, 1934.

Triangulation d’un nuagedepoints

Le même nuage de points peut se trianguler debeaucoup de façons différentes.

Parmi toutes ces façons, il y en a une (ou parfoisplusieurs) triangulation de l’enveloppe convexedu nuage de point qui est dite de Delaunay.

Critèr ede la sphèrevide de Delaunay

Critère de la sphère vide : Un simplexesatisfait le critère de la sphère vide si la bouleouverte circonscrite au simplexe est vide (ie,ne contient aucun sommet de la triangulation).

Critèr ede la sphèrevide violé

Un simplexe ne satisfait pas le critère de lasphère vide si la boule ouverte circonscrite ausimplexe n’est pas vide (ie, contient un ouplusieurs sommets de la triangulation).

Triangulation de Delauna y : Si tous leséléments d’une triangulation satisfont lecritère de la sphère vide, alors la triangulation estdite de Delaunay.

Algorithme deDelaunay

Il faut trouver lasphère circonscriteà un simplexe.Cela revient àtrouver son centre.Le centre est lepoint à égale dis-tance des som-mets du simplexe.

Algorithme deDelaunay

Comment savoir si un point viol le critère de lasphère vide d’un simplexe ?

Il faut trouver le centre et le rayon de lasphère circonscrite au simplexe .Il faut trouver la distance entre le point etle centre .Si la distance est supérieure au rayon , lepoint n’est pas dans la sphère circonscriteau simplexe .

Le diagramme de Voronoï d’un nuage depoints est une par tition de l’espace encellules basée sur la notion de distance .

Une triangulation de Delauna y d’un nuage depoints est une triangulation basée sur lanotion de distance .

Dualité Delaunay-Voronoï

Le diagramme de Voronoï est le dual de latriangulation de Delaunay et vice versa.

Voronoïet Delaunaydansla nature

Les diagrammes de Voronoï et les triangulationsde Delaunay ne sont pas juste un trip dematheux, ce sont des structures qu’on retrouvedans la nature.

Voronoïet Delaunaydansla nature

Une tortue

Un ananas

La Tour Du Diable

Boueséchée

Nids d’abeilles

Ailes de libellule

Maïs soufflé

Yeuxdemouches

Nanotubesde carbone

Bullesdesavon

Un dômegeodésique

Biosphèrede Montréal

RuedeParis

Routesde la Sarthe

Routesdansla Loir e

Où s’enva le garsenavant ?

Un critère de forme d’un simplexe mesure lerapport à l’équilatéralité.

Le diagramme de Voronoï d’un nuage depoints est une partition de l’espace en cellulesbasée sur la notion de distance.Une triangulation de Delaunay d’un nuage depoints est une triangulation basée sur la notionde distance.On généralise la notion de distance.On généralise ainsi les notions de critère deforme, de diagramme de Voronoï et detriangulation de Delaunay.

Un critère de forme d’un simplexe mesure lerapport à l’équilatéralité.Le diagramme de Voronoï d’un nuage depoints est une partition de l’espace en cellulesbasée sur la notion de distance.

Une triangulation de Delaunay d’un nuage depoints est une triangulation basée sur la notionde distance.On généralise la notion de distance.On généralise ainsi les notions de critère deforme, de diagramme de Voronoï et detriangulation de Delaunay.

Un critère de forme d’un simplexe mesure lerapport à l’équilatéralité.Le diagramme de Voronoï d’un nuage depoints est une partition de l’espace en cellulesbasée sur la notion de distance.Une triangulation de Delaunay d’un nuage depoints est une triangulation basée sur la notionde distance.

On généralise la notion de distance.On généralise ainsi les notions de critère deforme, de diagramme de Voronoï et detriangulation de Delaunay.

Un critère de forme d’un simplexe mesure lerapport à l’équilatéralité.Le diagramme de Voronoï d’un nuage depoints est une partition de l’espace en cellulesbasée sur la notion de distance.Une triangulation de Delaunay d’un nuage depoints est une triangulation basée sur la notionde distance.On généralise la notion de distance.

On généralise ainsi les notions de critère deforme, de diagramme de Voronoï et detriangulation de Delaunay.

Un critère de forme d’un simplexe mesure lerapport à l’équilatéralité.Le diagramme de Voronoï d’un nuage depoints est une partition de l’espace en cellulesbasée sur la notion de distance.Une triangulation de Delaunay d’un nuage depoints est une triangulation basée sur la notionde distance.On généralise la notion de distance.On généralise ainsi les notions de critère deforme, de diagramme de Voronoï et detriangulation de Delaunay.

Nikolai Ivanovich Lobachevsky

NIKOLAI IVANOVICHLOBACHEVSKY, 1décembre 1792, NizhnyNovgorod — 24 février1856, Kazan.

JánosBolyai

JÁNOS BOLYAI, 15 dé-cembre 1802 à Kolozsvár,Empire Austrichien (Cluj,Roumanie) — 27 janvier1860 à Marosvásárhely,Empire Austrichien (Tirgu-Mures, Roumanie).

Bernhard RIEMANN

GEORG FRIEDRICH BERN-HARD RIEMANN, 7 sep-tembre 1826, Hanovre — 20juillet 1866, Selasca. Über dieHypothesen welche der Geo-metrie zu Grunde liegen. 10juin 1854.

Géométrienon euclidienne

Riemann a généralisé la géométrie euclidiennesur le plan à la géométrie riemannienne sur unesurface.

Il a définit la distance entre deux points sur unesurface comme étant la longueur du plus courtchemin entre ces deux points (géodésique).

Il a introduit le métrique riemannienne qui définitla courbure de l’espace.

Définition d’une métrique

Soit un ensemble quelconque, alors la fonction

est appelée une métrique sur si elle satisfait(i) pour tous , dans ;(ii) si et seulement si ;(iii) pour tous , dans ;(iv) pour tous , ,

dans .

La distanceeuclidienneestunemétrique

Dans la définition précédente de la métrique,supposons que soit , alors la fonction

est une métrique sur .

Le produit scalaireestunemétrique

Soit un espace vectoriel muni d’un produitscalaire . Alors la norme du produit scalairede la différence de deux éléments de l’espacevectoriel est une métrique.

Le produit scalaireestunemétrique

Si l’espace vectoriel est , alors la norme duproduit scalaire du vecteur est la distanceeuclidienne.

Tenseurmétrique

Un tenseur métrique est une matricesymétrique définie positive

en 2D,

en 3D.

Longueur dansla métrique

La longueur d’une arête entre lessommets et dans la métrique est donnéepar

Longueur euclidienneavec

Longueur métrique avec

Longueur dansunemétrique variable

D’une façon générale, la métrique n’est pasconstante mais varie continûment en tout pointde l’espace. La longueur d’une courbeparamétréeest évaluée dans la métrique par

où est un point de la courbe et est levecteur tangent à la courbe en ce point.

Air eet volumedansunemétrique

Aire du triangle dans la métrique :

Volume du tétraèdre dans la métrique :

Métrique et maillagedeDelaunay

Exempled’un maillageadapté

Maillage adapté et solution pour un écoulementcompressible visqueux transonique à Mach 0.85et Reynolds = 5 000.

Zoom couchelimite–choc

La beauté, la qualité, la forme , est unenotion toute relative .

Il faut d’abord être capable de définir qu’est-cequ’on veut pour pouvoir juger ce qu’on aobtenu.“Qu’est-ce qu’on veut” s’écrit sous formed’une métrique.Un critère de forme est une mesure del’équilatéralité d’un simplexe dans la métrique.

La beauté, la qualité, la forme , est unenotion toute relative .Il faut d’abord être capable de définir qu’est-cequ’on veut pour pouvoir juger ce qu’on aobtenu.

“Qu’est-ce qu’on veut” s’écrit sous formed’une métrique.Un critère de forme est une mesure del’équilatéralité d’un simplexe dans la métrique.

La beauté, la qualité, la forme , est unenotion toute relative .Il faut d’abord être capable de définir qu’est-cequ’on veut pour pouvoir juger ce qu’on aobtenu.“Qu’est-ce qu’on veut” s’écrit sous formed’une métrique.

Un critère de forme est une mesure del’équilatéralité d’un simplexe dans la métrique.

La beauté, la qualité, la forme , est unenotion toute relative .Il faut d’abord être capable de définir qu’est-cequ’on veut pour pouvoir juger ce qu’on aobtenu.“Qu’est-ce qu’on veut” s’écrit sous formed’une métrique.Un critère de forme est une mesure del’équilatéralité d’un simplexe dans la métrique.

Critèr ede forme dansla métrique

Première méthode (métrique constante)

Sur le simplexe , évaluer la métrique enplusieurs points (de Gauss) et trouver unemétrique moyenne.

Supposer que cette métrique moyenne estconstante sur tout le simplexe et évaluer lecritère de forme avec cette métrique.

Deuxième méthode (métrique constante)

Sur le simplexe , évaluer la métrique en unpoint (de Gauss), supposer que cette métriqueest constante sur tout le simplexe et évaluer lecritère de forme en ce point avec cette métrique.

Répéter cette opération en plusieurs points etfaire la moyenne des critères de forme.

C’est ce qui est fait à l’INRIA.

Troisième méthode (métrique variable)

Exprimer le critère de forme en fonctionseulement de longueurs d’arêtes.

Évaluer les longueurs d’arêtes dans la métrique.

C’est ce qui est fait dans OORT.

Quatrième méthode (métrique variable)

Exprimer le critère de forme en fonction delongueurs d’arêtes, d’aire et de volume.

Évaluer longueurs, aire et volume dans lamétrique.

Cinquième méthode (métrique variable)

Savoir évaluer des quantités telles le rayon ducercle inscrit, du cercle circonscrit, un anglesolide, etc, dans une métrique variable.

D’une façon générale, la métrique variable nesatisfait pas l’inégalité triangulaire, la somme desangles n’est pas 180 degrés, etc.

L’évaluation d’un critère de forme dans unemétrique variable, dans toutes sa généralité, estun problème ouvert. Dans l’immédiat, on secontente d’approximations.

Tabledesmatières

de Delaunay

Critèr esde formeset de Delaunay

Les maillages de Delaunay ont plusieurspropriétés de régularité.

Le maximum des rayons des sphères minimalesassociées aux éléments de la triangulation est minimumsi la triangulation est de Delaunay.Si tous les simplexes d’une triangulation contiennent le

centre de leur sphère circonscrite, alors cettetriangulation est de Delaunay.Dans une triangulation de Delaunay, la somme des

carrés des longueurs d’arêtes pondérées par le volumedes éléments partageant ces arêtes est minimal.

Delaunay3D et dégénérescence

En trois dimensions, il est bien connu que lesmaillages de Delaunay peuvent contenir deéléments dégénérés du type cerf-volant.

Pourquoi ?

Comment y remédier ?

Critèr ede la sphèrevide de Delaunay

Le critères de la sphère vide de Delaunay n’estpas un critère de forme, mais il peut être utilisécomme un critère de forme dans un algorithmede retournement d’arêtes.

Retournementd’arêteset critèr e

Dans le retournement d’arêtes, appliquer lecritère de la sphère vide (critère de Delaunay)

Appliquer le critère (maximiser le minimumdes angles).

Cequ’il faut comprendre

Le critère de la sphère vide de Delaunay n’estpas un critère de forme mais il peut être utilisécomme un critère de forme.

En deux dimensions, dans l’algorithme deretournement d’arêtes (méthode de Lawson),le critère de la sphère vide de Delaunay estéquivalent au critère de forme .Il y une multitude de critères de forme valides,et donc une multitude de généralisations dumaillage de Delaunay.

Le critère de la sphère vide de Delaunay n’estpas un critère de forme mais il peut être utilisécomme un critère de forme.En deux dimensions, dans l’algorithme deretournement d’arêtes (méthode de Lawson),le critère de la sphère vide de Delaunay estéquivalent au critère de forme .

Il y une multitude de critères de forme valides,et donc une multitude de généralisations dumaillage de Delaunay.

Le critère de la sphère vide de Delaunay n’estpas un critère de forme mais il peut être utilisécomme un critère de forme.En deux dimensions, dans l’algorithme deretournement d’arêtes (méthode de Lawson),le critère de la sphère vide de Delaunay estéquivalent au critère de forme .Il y une multitude de critères de forme valides,et donc une multitude de généralisations dumaillage de Delaunay.

Delaunayet sphèrecirconscrite

Plus la sphère circonscrite d’un tétraèdre estgrande , plus il a de chance qu’un autre sommetdu maillage soit dans cette sphère, et moins il y ade chance que ce tétraèdre et le maillagesatisfasse le critère de Delaunay.

Plus la sphère circonscrite d’un tétraèdre estpetite , moins il a de chance qu’un autre sommetdu maillage soit dans cette sphère, et plus il y ade chance que ce tétraèdre et le maillagesatisfasse le critère de Delaunay.

Sphèrecirconscritede rayon infini

Les tétraèdres qui dégénèrent en aileron, enchapeau, en paillette, en fuseau et en ciseau

ont une sphère circonscrite de rayon infini .

Sphèrecirconscritede rayon borné

Les tétraèdres qui dégénèrent en cerf-volant, encoin, en berlingot, en aiguille et en Big Crunch

ont une sphère circonscrite de rayon borné .

Le critère de la sphère vide deDelauna y n’est pas un critère deforme valide sensib le à tous les casde dégénérescence des tétraèdres.

Sphèrecirconscritede rayon borné

Parmi les tétraèdres dégénérés qui ont unesphère circonscrite de rayon borné , on peutéliminer le coin, le berlingot, l’aiguille et leBig Crunch

car ils ont plusieurs sommets conf ondus .

Le cerf-volant

Or, il reste le cerf-volant,

un tétraèdre dégénéré, dont les quatre sommetssont disjoints, dont la sphère circonscrite est derayon bornée, et qui est donc“Delaunay-admissible”.

Quadrilatèr enon convexe

Il est interdit de retourner une arête d’unquadrilatère non convexe.

Quadrilatèr enon convexe

Deux triangles adja-cents qui forment unquadrilatère concavesatisfont nécessaire-ment le critère de lasphère vide de Delau-nay.

Perte de la propriété de convexitéen 3D

Le critère de la sphère vide de Delaunay estplus ou moins un critère de forme simplicial.

Le critère de la sphère vide de Delaunay n’estpas sensible à tous les cas dedégénérescence des tétraèdres en 3D.Un critère de forme valide, et donc sensible àtous les cas de dégénérescence destétraèdres, dans un algorithme deretournement d’arêtes et de faces, devraitmener à un maillage qui n’est pas deDelaunay, mais qui est de meilleure qualité.

Le critère de la sphère vide de Delaunay estplus ou moins un critère de forme simplicial.Le critère de la sphère vide de Delaunay n’estpas sensible à tous les cas dedégénérescence des tétraèdres en 3D.

Un critère de forme valide, et donc sensible àtous les cas de dégénérescence destétraèdres, dans un algorithme deretournement d’arêtes et de faces, devraitmener à un maillage qui n’est pas deDelaunay, mais qui est de meilleure qualité.

Le critère de la sphère vide de Delaunay estplus ou moins un critère de forme simplicial.Le critère de la sphère vide de Delaunay n’estpas sensible à tous les cas dedégénérescence des tétraèdres en 3D.Un critère de forme valide, et donc sensible àtous les cas de dégénérescence destétraèdres, dans un algorithme deretournement d’arêtes et de faces, devraitmener à un maillage qui n’est pas deDelaunay, mais qui est de meilleure qualité.

Tabledesmatières

de Delaunay

Élémentsnon simpliciaux

Cette section propose une façon de généraliserles notions de régularité, dégénérescence etcritère de forme des simplexes aux éléments nonsimpliciaux, les quadrilatères en deuxdimensions, les prismes et les hexaèdres en troisdimensions.

Élémentsnon simpliciaux

On Element Shape Measures for MeshOptimization

PAUL LABBÉ, JULIEN DOMPIERRE, FRANÇOISGUIBAULT ET RICARDO CAMARERO

Presenté à la 2nd Symposium on Trends inUnstructured Mesh Generation, Fifth US NationalCongress on Computational Mechanics, 4–6août 1999 University du Colorado à Boulder.

Généralisationde la régularité

Un quadrilatère équilatéral, ie ayant quatrearêtes de même longueur, n’est pasnécessairement un carré...

Définition : Un élément, simplicial ou non,est régulier s’il maximise sa mesure pour unemesure donnée de sa frontière.Le triangle équilatéral est régulier car c’estcelui qui a l’aire optimale pour un périmètredonné.Le tétraèdre équilatéral est régulier car c’estcelui qui a le volume optimal pour une surfacedonnée de ses faces.

Un quadrilatère équilatéral, ie ayant quatrearêtes de même longueur, n’est pasnécessairement un carré...Définition : Un élément, simplicial ou non,est régulier s’il maximise sa mesure pour unemesure donnée de sa frontière.

Le triangle équilatéral est régulier car c’estcelui qui a l’aire optimale pour un périmètredonné.Le tétraèdre équilatéral est régulier car c’estcelui qui a le volume optimal pour une surfacedonnée de ses faces.

Un quadrilatère équilatéral, ie ayant quatrearêtes de même longueur, n’est pasnécessairement un carré...Définition : Un élément, simplicial ou non,est régulier s’il maximise sa mesure pour unemesure donnée de sa frontière.Le triangle équilatéral est régulier car c’estcelui qui a l’aire optimale pour un périmètredonné.

Le tétraèdre équilatéral est régulier car c’estcelui qui a le volume optimal pour une surfacedonnée de ses faces.

Un quadrilatère équilatéral, ie ayant quatrearêtes de même longueur, n’est pasnécessairement un carré...Définition : Un élément, simplicial ou non,est régulier s’il maximise sa mesure pour unemesure donnée de sa frontière.Le triangle équilatéral est régulier car c’estcelui qui a l’aire optimale pour un périmètredonné.Le tétraèdre équilatéral est régulier car c’estcelui qui a le volume optimal pour une surfacedonnée de ses faces.

Élémentsnon simpliciaux réguliers

Le quadrilatère régulier est le carré.L’hexaèdre régulier est le cube.Le prisme régulier est ... Le prisme régulier !Les deux faces triangulaires du prisme réguliersont équilatérales avec des arêtes de longueurnotée . Les trois faces quadrilatérales duprisme régulier sont des rectangles plansayant une base de longueur et une hauteurde longueur .

Qualité desélémentsnon simpliciaux

Définition : Le critère de forme d’un élément nonsimplicial est donné par le minimum du critère deforme des simplexes construits à partir dechaque sommet de l’élément non simplicial et deses sommets voisins.

Critèr ede forme d’un quadrilatèr e

Le critère de forme d’un quadrilatère est leminimum du critère de forme des quatre trianglesde coin construits à partir de ses quatresommets.

Critèr ede forme d’un prisme

Le critère de forme d’un prisme est le minimumdu critère de forme des six tétraèdres de coinconstruits à partir de ses six sommets.

Critèr ede forme d’un hexaèdre

Le critère de forme d’un hexaèdre est leminimum du critère de forme des huit tétraèdresde coin construits à partir de ses huit sommets.

Forme du simplexede coin

Les simplexes de coin construits sur leséléments non simpliciaux réguliers ne sont pasdes simplexes réguliers.Pour le carré, les quatre triangles de coin sontdes triangles rectangles isocèles.Pour le cube, les huit tétraèdres de coin sontdes tétraèdres rectangles et isocèles.Pour le prisme régulier, les six tétraèdres decoin sont des tétraèdres avec une base faited’un triangle équilatéral de côté , avec unequatrième arête perpendiculaire à la base etde longueur .

Forme du simplexede coin

Chaque critère de forme doit être normalisé pourobtenir un critère de forme égal à l’unité pour leséléments non simpliciaux réguliers.

Carré

Prisme ,

Élémentsnon simpliciaux dégénérés

Définition :Un élément non simplicial estdégénéré si au moins un de ses simplexes decoin est dégénéré.

Si au moins un des simplexes de coin est plusque dégénéré, c’est-à-dire qu’il est devenuinversé (de mesure négative), alors l’élémentnon simplicial est concave et est aussi considérédégénéré.

Élémentsnon simpliciaux tordus

En trois dimensions, la définition du critère deforme des éléments non simpliciaux a un défaut :elle est peu sensible à la torsion des éléments.

Torsion desfacesquadrilatérales

Un critère utilisé pour mesurer la torsion d’uneface quadrilatérale est de considérerl’angle dièdre entre les triangles etd’une part, et les triangles et d’autrepart.

Si ces angles dièdres sont de , alors la facequadrilatérale est plane (non tordue). Plus cesangles s’éloignent de , plus la facequadrilatérale est tordue.

Torsion desfacesquadrilatérales

Définition :Étant donné un critère de formesimplicial valide, la torsion d’une facequadrilatérale est égale à la valeur de ce critèrepour le tétraèdre engendré par les quatresommets de la face quadrilatérale.

Ainsi, une face plane a une torsion nulle car les quatresommets forment un tétraèdre dégénéré et tous lescritères de forme valides sont nuls.

Plus une face quadrilatérale est tordue, plus ses sommetss’éloignent de la coplanarité, plus le critère de forme dutétraèdre engendré est grand.

La forme , la dégénérescence , la convexité, laconca vité et la tor sion peuvent se réécrire enfonction de simple xes.

Un avantage de cette approche est qu’une foisque la mesure et les critères de forme pour lessimplexes sont programmés, en euclidiencomme avec une métrique riemannienne,l’extension aux éléments non simpliciaux estdirecte.

Tabledesmatières

de Delaunay

Représentation des critères deforme

Position des trois sommets , et dutriangle pour construire le graphe d’un critèrede forme triangulaire.

x 3210

Le rapport des arêtes à gauche. Le minimumdes angles solides au centre. Le coefficientd’erreur d’interpolation à droite.

x 3210

Le rapport des rayons à gauche et le rapportdes moyennes à droite.

Quelcritèredeformeestle meilleur

x 3210

n’est pas un critère deforme valide.

et sont continusmais non différentiables.

et sont continus et dif-férentiables.

est instable numérique-ment.

est le moins coûteux.a des isovaleurs circu-

laires.

Représentationentroisdimensions

En 3D, 5 paramètres sont nécessaires. On enfixe 2 et on voit l’influence des 3 autres.

Représentationavecunemétrique

x 3210

Rapport des moyennes

x 3210

Cequ’il fautretenir

Rapport des moyennes est le critère deforme privilégié.

Des cercles en euclidien deviennent desellipses dans le cas général.La forme d’un triangle est un critère de qualitérelatif.Un beau triangle pour une métrique n’est pasbeau pour une autre.On ne peut juger la qualité d’un triangle que sion a défini une métrique.

Rapport des moyennes est le critère deforme privilégié.Des cercles en euclidien deviennent desellipses dans le cas général.

La forme d’un triangle est un critère de qualitérelatif.Un beau triangle pour une métrique n’est pasbeau pour une autre.On ne peut juger la qualité d’un triangle que sion a défini une métrique.

Rapport des moyennes est le critère deforme privilégié.Des cercles en euclidien deviennent desellipses dans le cas général.La forme d’un triangle est un critère de qualitérelatif.

Un beau triangle pour une métrique n’est pasbeau pour une autre.On ne peut juger la qualité d’un triangle que sion a défini une métrique.

Rapport des moyennes est le critère deforme privilégié.Des cercles en euclidien deviennent desellipses dans le cas général.La forme d’un triangle est un critère de qualitérelatif.Un beau triangle pour une métrique n’est pasbeau pour une autre.

On ne peut juger la qualité d’un triangle que sion a défini une métrique.

Rapport des moyennes est le critère deforme privilégié.Des cercles en euclidien deviennent desellipses dans le cas général.La forme d’un triangle est un critère de qualitérelatif.Un beau triangle pour une métrique n’est pasbeau pour une autre.On ne peut juger la qualité d’un triangle que sion a défini une métrique.

Tabledesmatières

de Delaunay

Équivalencedescritèresdeforme

x 3210

Superposition desisolignes des critèresde forme triangu-laires , , et

ÉquivalencedescritèresdeformeDéfinition B (de LIU et JOE, 1994) : Soientet , deux critères de forme simpliciaux différentsayant des valeurs dans l’intervalle . On ditque est équiv alent à s’il existe desconstantes positives , , et telles que

Bornesoptimales

Dans l’équation d’équivalence des critères deforme

la borne inférieure est dite optimale si est leplus petit exposant possible,et la borne supérieure est dite optimale si estle plus grand exposant possible.

Bornesoptimales

la borne inférieure est dite optimale si est leplus petit exposant possible,

et la borne supérieure est dite optimale si estle plus grand exposant possible.

Bornesoptimales

la borne inférieure est dite optimale si est leplus petit exposant possible,

et la borne supérieure est dite optimale si estle plus grand exposant possible.

BornesserréesDans l’équation d’équivalence des critères deforme

la borne inférieure est dite serrée si est la plusgrande constante possible,et la borne supérieure est dite serrée si est laplus petite constante possible.

- .la borne inférieure est dite serrée si est la plusgrande constante possible,

et la borne supérieure est dite serrée si est laplus petite constante possible.

- .la borne inférieure est dite serrée si est la plusgrande constante possible,et la borne supérieure est dite serrée si est laplus petite constante possible.

Relationd’équivalence

Il s’agit effectivement d’une relationd’équivalence, c’est-à-dire une relation

réflexive,symétrique,transitive.

Relationsymétrique

Si est équivalent à avec

alors est équivalent à avec

RelationtransitiveSi est équivalent à et si est équivalent àavec

- . / ,

alors est équivalent à avec

Équivalenceentre , etL’équivalence entre les critères de formetétraédriques , et a été prouvée dans LIUet JOE, 1994, avec une conjecture sur troisbornes supérieures serrées

Équivalenceentre , , etOn peut encore démontrer que les critères deforme , , et font partie de la même classed’équivalence, du moins en deux dimensionspour .

en Den D

Classesd’équivalencedes critèresdeforme

La relation d’équivalence Définition B définitdes classes d’équivalence.

Tous les critères de forme satisfaisant laDéfinition A et couramment utilisés sontéquivalents entre eux suivant la Définition B.La classe d’équivalence de la relation

d’équivalence Définition B est-elle formée detous les critères de forme simpliciaux quisatisfont la Définition A ? ? ?Non ! LIU m’a donné un contre-exemple.

La relation d’équivalence Définition B définitdes classes d’équivalence.Tous les critères de forme satisfaisant laDéfinition A et couramment utilisés sontéquivalents entre eux suivant la Définition B.

La classe d’équivalence de la relationd’équivalence Définition B est-elle formée detous les critères de forme simpliciaux quisatisfont la Définition A ? ? ?Non ! LIU m’a donné un contre-exemple.

La relation d’équivalence Définition B définitdes classes d’équivalence.Tous les critères de forme satisfaisant laDéfinition A et couramment utilisés sontéquivalents entre eux suivant la Définition B.La classe d’équivalence de la relation

d’équivalence Définition B est-elle formée detous les critères de forme simpliciaux quisatisfont la Définition A ? ? ?

Non ! LIU m’a donné un contre-exemple.

La relation d’équivalence Définition B définitdes classes d’équivalence.Tous les critères de forme satisfaisant laDéfinition A et couramment utilisés sontéquivalents entre eux suivant la Définition B.La classe d’équivalence de la relation

d’équivalence Définition B est-elle formée detous les critères de forme simpliciaux quisatisfont la Définition A ? ? ?Non ! LIU m’a donné un contre-exemple.

Contre-exemple

Soit , un critère de forme qui satisfaitDéfinition A, alors

est aussi un critère de forme. Cependant, on nepeut pas prouver que et sont équivalents ausens de la Définition B car il n’y a pas deconstantes et telles que 2 quandtend vers zéro car le comportementasymptotique exponentiel de tend vers zéroplus vite que n’importe quel comportementasymptotique polynômial.

Tous les critères de forme satisfaisant laDéfinition A et couramment utilisés sontéquivalents entre eux suivant la Définition B.

Ils sont tous sensibles à tous les cas dedégénérescence des simplexes.De ce point de vue, il n’y en a pas un meilleurque les autres.

Tous les critères de forme satisfaisant laDéfinition A et couramment utilisés sontéquivalents entre eux suivant la Définition B.Ils sont tous sensibles à tous les cas dedégénérescence des simplexes.

De ce point de vue, il n’y en a pas un meilleurque les autres.

Tous les critères de forme satisfaisant laDéfinition A et couramment utilisés sontéquivalents entre eux suivant la Définition B.Ils sont tous sensibles à tous les cas dedégénérescence des simplexes.De ce point de vue, il n’y en a pas un meilleurque les autres.

Table des matières

Delaunay

Qualité globale et optimisation

On évalue la qualité globale de tout un maillage par le biaisde la qualité de chacun des éléments qui le composent.

En pratique, la comparaison entre des maillages issus dedifférentes publications est souvent impossible : lesstatistiques présentées, les critères de forme et leséchelles utilisées varient d’une publication à l’autre. Il fautdéfinir des bancs d’essai avec des sorties standards.

Banc d’essai

Cube unitaire avec unecarte de taille uniformeet isotrope de .

Histogramme

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Critère de forme des tétraèdres

Rapport des moyennesRapport des rayons

Histogramme du rap-port des moyennes etdu rapport des rayons.

Histogramme

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Angle solide minimumAngle dièdre minimum

Histogramme du mini-mum des angles so-lides �� et du mi-nimum des angles di-èdres �� .

Histogramme

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Coefficient d’erreurRapport des arêtes

Histogramme du rap-port des arêtes etdu coefficient de l’er-reur d’interpolation .

Statistiques sur tous les tétraèdres

min maxRap. rayons 0.5151 0.9067 0.9978 0.0602Rap. moyennes 0.6559 0.9222 0.9979 0.0468Rap. arêtes 0.5696 0.7375 0.9504 0.0641Erreur d’inter. 0.4862 0.8058 0.9741 0.0709

solide �� 0.2962 0.7115 0.9697 0.0996dièdre �� 0.4207 0.7657 0.9768 0.0852

Moyenne des critères de forme

Pour un maillage donné, la moyenne dépend beaucoup ducritère de forme utilisé. LIU et JOE (1994) ont constaté que

��

On a constaté numériquement sur plusieurs maillages que

��

Moyenne des critères de forme

La moyenne, sur tous les tétraèdres du maillage, d’uncritère de forme semble être un indice assez significatif dela qualité globale du maillage.

En effet, si on prend plusieurs maillages de différentequalité et si on les classe en fonction de la moyenne d’uncritère de forme, on obtient le même classement, àquelques permutations près, quelque soit le critère deforme utilisé.

Maxim um des critères de forme

C’est une donnée non significative car quelque soit lemaillage ou le critère de forme utilisé, le maximum estpresque toujours 1.

C’est significatif seulement si c’est loin de l’unité ce quidémarque un très mauvais maillage.

Minim um des critères de forme

C’est une donnée peu significative. C’est significatifseulement si c’est près de zéro ce qui démarque un trèsmauvais maillage.

Sur une série de tests, le classement de maillages enfonction du minimum du critère de forme donne unclassement chaotique. Il n’est pas bon de caractériser toutun maillage par la valeur d’un seul de ses éléments.

Écar t type des critères de forme

C’est une donnée assez significative. Plus l’écart type estpetit, plus le maillage est de qualité.

Sur une série de test, le classement de maillages enfonction de l’écart type donne un classement significatifmais un peu chaotique.

Des statistiques sur la forme des éléments d’unmaillage sont des données significatives sur la qualitédu maillage.

N’importe quel critère de forme valide semble fairel’affaire.Il n’y a pas un seul chiffre unique qui semble pouvoir

caractériser entièrement la qualité d’un maillage.La moyenne semble être le chiffre le plus significatif.La quantification de la qualité d’un maillage par le biais

de statistiques sur la qualité en forme des éléments dumaillage n’est pas une solution pleinement satisfaisante.

Des statistiques sur la forme des éléments d’unmaillage sont des données significatives sur la qualitédu maillage.N’importe quel critère de forme valide semble faire

l’affaire.

Il n’y a pas un seul chiffre unique qui semble pouvoircaractériser entièrement la qualité d’un maillage.La moyenne semble être le chiffre le plus significatif.La quantification de la qualité d’un maillage par le biais

l’affaire.Il n’y a pas un seul chiffre unique qui semble pouvoir

caractériser entièrement la qualité d’un maillage.

La moyenne semble être le chiffre le plus significatif.La quantification de la qualité d’un maillage par le biais

l’affaire.Il n’y a pas un seul chiffre unique qui semble pouvoir

caractériser entièrement la qualité d’un maillage.La moyenne semble être le chiffre le plus significatif.

La quantification de la qualité d’un maillage par le biaisde statistiques sur la qualité en forme des éléments dumaillage n’est pas une solution pleinement satisfaisante.

Optimisation de mailla ges

Un maillage peut être décrit par l’ensemble

� ��

où est le nombre de sommets du maillage,

� � � � � � � sont les coordonnées dans

duème sommet, est le nombre de simplexes du maillage,

et � � � � � � � � � �� est la connectivité du èmesimplexe du maillage composé de pointeurs vers dessommets du maillage

Optimisation et critères de forme

Quelle est l’influence de choix d’un critère de forme dansl’optimisation d’un maillage ?

Le banc d’essai est un domaineen forme de triangle équilatéralavec une métrique uniforme et iso-trope qui spécifie une taille d’arêtede de la longueur du côté dudomaine. Le maillage optimal existedans ce cas particulier.

Influence du critère de forme

��

Optimisation et critères de forme

Quelle est l’influence de choix d’un critère de forme dansl’optimisation d’un maillage ?

Le banc d’essai est un domaine enforme de carré équilatéral avec unemétrique uniforme et isotrope quispécifie une taille d’arête de dela longueur du côté du domaine. Lemaillage optimal n’existe pas dansce cas.

Influence du critère de forme

��

Influence de l’algorithme

On enlève le déplacement de sommets dans l’algorithmed’optimisation de maillages.

Le banc d’essai est un domaineen forme de triangle équilatéralavec une métrique uniforme et iso-trope qui spécifie une taille d’arêtede de la longueur du côté dudomaine. Le maillage optimal existedans ce cas.

Influence de l’algorithme

��

Si le maillage optimal existe, l’optimiseur converge versle maillage optimal quel que soit le critère de forme.

Si le maillage optimal n’existe pas, des critères deforme différents donnent des maillages différents. Maisplus le maillage est optimisé, moins la différence dequalité est grande statistiquement.Si le maillage est mauvais, ce n’est pas en changeant

le critère de forme qu’on l’améliore, mais en changeantl’algorithme d’optimisation.

Si le maillage optimal existe, l’optimiseur converge versle maillage optimal quel que soit le critère de forme.Si le maillage optimal n’existe pas, des critères de

forme différents donnent des maillages différents. Maisplus le maillage est optimisé, moins la différence dequalité est grande statistiquement.

Si le maillage est mauvais, ce n’est pas en changeantle critère de forme qu’on l’améliore, mais en changeantl’algorithme d’optimisation.

Si le maillage optimal existe, l’optimiseur converge versle maillage optimal quel que soit le critère de forme.Si le maillage optimal n’existe pas, des critères de

forme différents donnent des maillages différents. Maisplus le maillage est optimisé, moins la différence dequalité est grande statistiquement.Si le maillage est mauvais, ce n’est pas en changeant

le critère de forme qu’on l’améliore, mais en changeantl’algorithme d’optimisation.

Table des matières

Delaunay

Qualité en taille des simle xes

Les critères de forme servent à mesurer la forme deséléments du maillage.

Les critères de forme sont adimensionnels.La forme n’est qu’un aspect de la qualité d’un maillage.

On recherche un maillage qui respecte aussi, du mieuxpossible, la taille spécifiée des éléments.Cette section va présenter trois critères de taille.

Les critères de forme servent à mesurer la forme deséléments du maillage.Les critères de forme sont adimensionnels.

La forme n’est qu’un aspect de la qualité d’un maillage.

Les critères de forme servent à mesurer la forme deséléments du maillage.Les critères de forme sont adimensionnels.La forme n’est qu’un aspect de la qualité d’un maillage.

Les critères de forme servent à mesurer la forme deséléments du maillage.Les critères de forme sont adimensionnels.La forme n’est qu’un aspect de la qualité d’un maillage.On recherche un maillage qui respecte aussi, du mieux

possible, la taille spécifiée des éléments.

Cette section va présenter trois critères de taille.

Les critères de forme servent à mesurer la forme deséléments du maillage.Les critères de forme sont adimensionnels.La forme n’est qu’un aspect de la qualité d’un maillage.On recherche un maillage qui respecte aussi, du mieux

possible, la taille spécifiée des éléments.Cette section va présenter trois critères de taille.

Taille cib le des simple xes

Dans CUILLIÈRE (1998), on compare la taille dessimplexes avec la taille cible.La taille cible locale d’un simplexe est celle qu’aurait un

simplexe régulier de côté unitaire.Pour un triangle, l’aire cible est de .Pour un tétraèdre, le volume cible est de .

en 2D,en 3D.

Critère de taille

Le critère de taille � du simplexe s’écrit comme suit :

� �

où est une constante de mise à l’échelle globale pourtout le maillage.Si un simplexe est de bonne taille dans la métrique,alors son critère de taille � sera unitaire.

Indice d’efficacité

Un autre critère pour évaluer la conformité d’un maillage àune métrique est proposé par FREY et GEORGE (1999).

Ce critère, contrairement au précédent qui évaluait lesaires ou les volumes des éléments, est basé sur leslongueurs d’arêtes dans la métrique.

On note � � les longueurs dans la métriquedes � arêtes d’un maillage.La longueur optimale des arêtes dans la métrique est ,et une longueur de signifie que l’arête est deux fois plusgrande que la longueur spécifiée.Une mesure globale de la conformité du maillage à la taillespécifiée est l’indice d’efficacité

�� 4

��

� � �

Considérons la distribution, sur toutes les arêtes dumaillage, de la variable � � � .Notons � � 4�� sa valeur moyenneNotons

� � 4��

son écart-type.Alors � �

L’indice d’efficacité mesure à la fois la dispersion deslongueurs d’arêtes et leur proximité à la valeur cible.

� �Cette égalité montre que maximiser implique à la foisminimiser l’écart-type de la distribution, et rapprocher samoyenne de la valeur . La valeur optimale est obtenuelorsque et . Cela n’est possible que si toutes lesarêtes sont de longueur exactement égale à la longueurlocale spécifiée.Ainsi, l’indice d’efficacité est une bonne mesure globale dela conformité des longueurs d’arêtes avec les longueursspécifiées.

Table des matières

Delaunay

Un critère univer sel de qualité demailla ge

Attac he ta tuque avec de la broche...

Table des matières1. Introduction2. La métrique � du simplexe3. La métrique spécifiée4. La non conformité � d’un simplexe5. La non conformité d’un maillage6. Généralisation des critères de taille7. Extension aux éléments non simpliciaux8. Interrogation orale9. Ce qu’il faut retenir

Intr oduction

Les simplexes peuvent être de la bonne forme sanspour autant être de la bonne taille.

Il existe des critères de qualité en taille des simplexeset des maillages.En principe, un simplexe dont toutes les arêtes sont de

longueur unité dans la métrique, est aussi de formeparfaite dans la métrique.En pratique, les maillages construits ne sont pas

parfaitement de la bonne taille et les simplexes sontcomposés d’arêtes plus ou moins trop courtes ou troplongues.

Intr oduction

Les simplexes peuvent être de la bonne forme sanspour autant être de la bonne taille.Il existe des critères de qualité en taille des simplexes

et des maillages.

En principe, un simplexe dont toutes les arêtes sont delongueur unité dans la métrique, est aussi de formeparfaite dans la métrique.En pratique, les maillages construits ne sont pas

Intr oduction

et des maillages.En principe, un simplexe dont toutes les arêtes sont de

longueur unité dans la métrique, est aussi de formeparfaite dans la métrique.

En pratique, les maillages construits ne sont pasparfaitement de la bonne taille et les simplexes sontcomposés d’arêtes plus ou moins trop courtes ou troplongues.

Intr oduction

Critères de forme et de taille

Or, le rapport de la plus petite arête sur la plus grandepeut être aussi grand que pour qu’untétraèdre dégénère en cerf-volant.

Cela signifie qu’un simplexe ayant des arêtes de tailleconvenable n’implique pas que ce simplexe est aussiforme convenable car il peut être totalement dégénéré.

Or, le rapport de la plus petite arête sur la plus grandepeut être aussi grand que pour qu’untétraèdre dégénère en cerf-volant.Cela signifie qu’un simplexe ayant des arêtes de taille

convenable n’implique pas que ce simplexe est aussiforme convenable car il peut être totalement dégénéré.

On peut faire une combinaison linéaire d’un critère deforme et d’un critère de taille, mais c’est assez arbitraire.

Le but de cet exposé est d’introduire un critère universelqui mesure la taille et la forme en même temps.

On peut faire une combinaison linéaire d’un critère deforme et d’un critère de taille, mais c’est assez arbitraire.Le but de cet exposé est d’introduire un critère universel

qui mesure la taille et la forme en même temps.

The Metric of a Simple x

How to compute the metric � of the transformation thattransforms a simplex into a unit equilateral element ?

Let � , �, �[, �], the vertices of the simplexin

Let � � , , the edges of the simplex.

, or , the components of the metricare found by solving the following system of Eqs :

� � � � � � for

which yields one equation per edge of the simplex.

All the edges of measure 1 in �.

For example in two dimensions, if the vertices of triangleare located at �

, � � �and � � �

, then this system of Eqs gives :

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � �

which has a unique solution for all non-degeneratetriangles.

For instance, recall the triangle where vertices and arelocated at

and where thevertex

free to move in the half-plane .The system of Eqs. reduces to the system

� ��

��

� ��

��

� ��

� �

which yields :

��

This metric � becomes identity when the vertex�

, which corresponds to the unitequilateral triangle.

Visualization of the Metric

It is usual to visualize the metric tensor as an ellipse.Indeed, the metric tensor can be written as

� �

, where the matrix is the diagonalmatrix of the eigenvalues of �, i.e., � � � .The eigenvalues � are the length of the axes of the ellipseand is the rotation matrix of the ellipse about the origin.

However, it is more telling to draw ellipses of size ,this ellipse will go through the vertices of the triangle.

Ellipses of a selectedgroup of elements. Note inthis figure that the ellipsespass through the verticesof the triangle.

The Specified Metric

A size specification map can be constructed from aposteriori error estimators, from geometrical properties ofthe domain (e.g. curvature), from user defined inputs, etc.

Isotropic size specification map ( size of the elements)can be constructed by making the metrics diagonalmatrices whose diagonal terms are

The Specified Metric

Whatever its origin, the size specification map contains theinformation of the prescribed size and stretching of themesh to be built as an anisotropic metric field.

An anisotr opic metric field 5 is given as input .

The Average Specified Metric

Let 5 be the specified Riemannian metric value atpoint . Let 5 be the averaged specifiedRiemannian metric over a simplex as computed by :

This integral can be approximated by a numericalquadrature.

Visualization of

The specified metric is de-fined in GEORGE and BO-ROUCHAKI (1997). It is ananalytical function that de-fines an isotropic metric.Note that the triangles donot fit exactly the specifiedmetric.

Visualization of

The specified metric is de-fined in GEORGE and BO-ROUCHAKI (1997). It is ananalytical function that de-fines an anisotropic metric.Note that the triangles donot fit exactly the specifiedmetric.

Visualization of

Supersonic laminar vs-cous air flow aroundNACA 0012. The specifiedanisotropic metric is basedon the interpolation error(second derivatives) of thespeed field.Note that the triangles donot fit exactly the specifiedmetric.

Simple x Conf ormity

When the metric � of the simplex corresponds exactlyto the averaged specified Riemannian metric 5 forthat simplex, the following equality holds :

� 5However, in practice, there is usually some discrepancybetween these two metrics and this section presents amethod to measure this discrepancy.

Simple x Conf ormity

This equality of metrics can be rewritten in the twofollowing ways :

5 � �

� � 5where is the identity matrix.

Simple x Residuals

When a perfect match between what is specified and whatis realized does not happen, a residual for each of the twoprevious equations yields the two following tensors :

6 5 � �and

7 � � 5

where 6 will detect the degeneration of the simplex asit’s volume tends to zero and 7 as it’s volume tends toinfinity.

Example – Triangle

Recall the triangle with two fixed vertices, oneat

and one at

�, and that the

third vertex was free to move. Furthermore, if the specifiedtriangle is the unit equilateral triangle, then the averagedspecified Riemannian metric is equal to the identity matrix,ie :

5 5 �

The residuals 6 and 7 can be written as

��

Example – with

If the third vertex is restricted to the axis , then allbut the first term of these tensors vanish.The two curves intersect at , where the residualsbecome null.

8x2 30.5

Total Residual

The total residual 9 is defined to be the sum of the tworesiduals 6 and 7, ie,

9 6 7 5 � � � � 5

The Non-Conf ormity of aSimple x

Définition : The non-conformity � of a simplex withrespect to the averaged specified Riemannian metric isdefined to be the Euclidean norm of the total residual 9,

� 9 9 � 9

The Euclidean norm of a matrix amounts to the squareroot of the sum of each term of the matrix individuallysquared.

For the triangle described above with two fixed verticesand a free vertex and for which the specified Riemannianmetric was the identity matrix, the coefficient ofnon-conformity is expressed as,

��

� � � �

Logarithm base of

� when the targetmetric is the identitymatrix. It is minimumand equal to zero forthe equilateral triangle,and increases very ra-pidly as the third vertexmoves away from theoptimal position. It is in-finite for all degeneratetriangles.

x 3210

5 �:

:� , ;< =

Visualization of

The specified metric isdefined in GEORGE andBOROUCHAKI (1997). Itis an analytical functionthat defines an isotropicmetric.

Visualization of

The specified metric isdefined in GEORGE andBOROUCHAKI (1997). Itis an analytical functionthat define an anisotro-pic metric.

Visualization of

Supersonic laminar vs-cous air flow aroundNACA 0012. The spe-cified anisotropic metricis based on interpola-tion error (second deri-vatives) of speed field.

The Non-Conf ormity of a Mesh

Définition : The coefficient of non-conformity of amesh is defined as :

�� >

�� &

which is the average value of the coefficient ofnon-conformity of the � simplices of the mesh.

Proper ties of

The perfect mesh is obtained when the coefficient ofnon-conformity of the mesh vanishes.And if one simplex of the mesh degenerates, then

tends to infinity.The coefficient of non-conformity of a mesh is

insensitive to compatible scaling of both the mesh andthe specified Riemannian metric.

Symmetr y in Size of

() Coarse mesh () Perfect mesh () Fine mesh

If the target mesh is the middle mesh, the coefficient ofnon-conformity of the first and last meshes are equivalent.

Proper ties of

It is possible to compare the quality of the mesh of twovastly different domains, such as the mesh of a galaxy andthe mesh of a micro-circuit. In both cases, the measuregives a comparable number that reflects the degree towhich each mesh satisfies its size specification map.

This coefficient therefore poses itself as a unique anddimensionless measure of the non-conformity of a meshwith respect to a size specification map given in the form ofa Riemannian metric, be it isotropic or anisotropic.

Generalisation of Size QualityMeasures

The non-conformity between the metric � of a simplicialelement and the specified metric 5, ie,

� 5is a generalisation of the size criterion � and theefficiency index .

Generalisation of the SizeCriterion

and then

� �

� is an integral form of the conformity between themetric � of the simplex and the specified metric 5.

Generalisation of Efficienc y Index

Let , a simplex and , an edge of this simplex. Thenthe pointwise conformity between the metric � of thesimplex and the specified metric 5

� 5can be evaluated in an integral form over the edge of thesimplex as

� �

Generalisation of Efficienc y Index

This relation

can be rewritten as two residual :

� 5 or � 5

which is the efficiency index . This index is an integralform of the conformity between the metric � of thesimplex and the specified metric 5 evaluated over theedges of the mesh.

Extension to Non-SimplicialElements

Non-Simplicial elements are quadrilaterals in twodimensions and prisms and hexahedra in threedimensions.

In order to extend this measure to non-simplicial elements,it has to be understood that the metric tensor ofnon-simplicial elements is not a constant and varies forevery point of space.

In other words, the Jacobian of a simplex is constant butthe Jacobian of a non-simplicial element depends of thepoint of evaluation.

Non-Simplicial Element Conf ormity

The conformity between the metric � of a non-simplicialelement and the specified metric 5 takes on a pointwisenature can be rewritten as :

Non-Simplicial Element Conf ormityResidue

The total residue 9 become a pointwise value

9 �5 � �� 5

Then the non-conformity � of an element with respectto the specified Riemannian metric is defined to beaveraged over the element by an integration of theEuclidean norm of the total residue 9 :

� �

�5 � �� 5

Test 1

The domain is a unit regular tri-angle.The size specification map is uni-

form and isotropic.The target edge length is .

Test 1 – Unif orm Mesh

Test 2 – Isotr opic Mesh

This test case is defined in GEORGE and BOROUCHAKI(1997).

The domain is a rectangle.

This test case has an isotropic Riemannian metric definedby :

��

where � � is given by :

if� ��? @ � �A

if� @ �? � �A

if�A

�A ? B�

View of the size specification map as a field of tensormetrics and view of a mesh that fits rather well thesetensor metrics.

Test 2a – Isotr opic Mesh

Test 2b – Isotr opic Mesh

Test 3 – Anisotr opic Mesh

This test case is defined in GEORGE and BOROUCHAKI(1997).

The domain is a rectangle.

This test case has an anisotropic Riemannian metricdefined by :

��

where � is given by :

� � � B � � �

� B � � � � �

�A � A�

and � is given by :

� �? @ � �A

� @ ��? � �A

�A ? B�

View of the size specification map as a field of tensormetrics and view of a mesh that fits rather well thesetensor metrics.

Test 4 – Bernhar d Riemann

The size specification map isdeduced from an error esti-mator based on the secondderivatives of the grey level ofthe picture.

Test 5 – Flow over a Naca 0012

Supersonic laminar flow at Mach 2.0, Reynolds 1000 andan angle of attack of 10 degrees. An a posteriori errorestimator is deduced from this solution.

Test 5a – Flow over a Naca 0012

Specified Metric

Test 5a – Flow over a Naca 0012

A B CSpecified Metric 5

Test 5b – Flow over a Naca 0012

Specified Metric

Test 5b – Flow over a Naca 0012

Test 5c – Flow over a Naca 0012

Specified Metric

Test 5c – Flow over a Naca 0012

What to Retain

This lecture presented a method to measure thenon-conformity of a simplex and of a whole mesh withrespect to a size specification map given in the form of aRiemannian metric.

This measure is sensitive to discrepancies in both size andshape with respect to what is specified.

Analytical examples of the behavior were presented andnumerical examples were provided.

The Non-Conf ormity is Univer sal

The coefficient of non-conformity of a mesh, , is auniversal measure in the following sense :

It is defined in two and three dimensions.

It is sensitive to all simplex degeneracies.It takes into account an Euclidean or Riemannian

metric, isotropic or anisotropic.It is sensitive to discrepancies in shape and in size.It is also defined for non-simplicial elements.It gives a unique number for the whole mesh.It characterizes a whole mesh, coarse or fine, in a small

or a big domain.

It is defined in two and three dimensions.It is sensitive to all simplex degeneracies.

It takes into account an Euclidean or Riemannianmetric, isotropic or anisotropic.It is sensitive to discrepancies in shape and in size.It is also defined for non-simplicial elements.It gives a unique number for the whole mesh.It characterizes a whole mesh, coarse or fine, in a small

or a big domain.

It is defined in two and three dimensions.It is sensitive to all simplex degeneracies.It takes into account an Euclidean or Riemannian

metric, isotropic or anisotropic.

It is sensitive to discrepancies in shape and in size.It is also defined for non-simplicial elements.It gives a unique number for the whole mesh.It characterizes a whole mesh, coarse or fine, in a small

or a big domain.

metric, isotropic or anisotropic.It is sensitive to discrepancies in shape and in size.

It is also defined for non-simplicial elements.It gives a unique number for the whole mesh.It characterizes a whole mesh, coarse or fine, in a small

or a big domain.

metric, isotropic or anisotropic.It is sensitive to discrepancies in shape and in size.It is also defined for non-simplicial elements.

It gives a unique number for the whole mesh.It characterizes a whole mesh, coarse or fine, in a small

or a big domain.

metric, isotropic or anisotropic.It is sensitive to discrepancies in shape and in size.It is also defined for non-simplicial elements.It gives a unique number for the whole mesh.

It characterizes a whole mesh, coarse or fine, in a smallor a big domain.

or a big domain.

Mesh Optimization

This measure poses itself as a natural measure to use inthe benchmarking process. Indeed, since the measure isable to compare two different meshes, it can help tocompare the algorithms used to produce the meshes.

This measure of the non-conformity of a mesh seems to bean adequate cost function for mesh generation, meshoptimization and mesh adaptation. This measure could beused for each step such that each step minimizes thesame cost function.

Table des matières

Delaunay

Conc lusions

Enfin, il achève ! ! !

Simple xes dégénérés

Un simplexe est dégénéré si sa mesure est nulle.

La dégénérescence est indépendante de la métrique.Un critère de forme est valide s’il est sensible à tous les

cas de dégénérescence.Un critère de forme est non valide s’il est non-nul pour

certain simplexes dégénérés.

Un simplexe est dégénéré si sa mesure est nulle.La dégénérescence est indépendante de la métrique.

Un critère de forme est valide s’il est sensible à tous lescas de dégénérescence.Un critère de forme est non valide s’il est non-nul pour

Un simplexe est dégénéré si sa mesure est nulle.La dégénérescence est indépendante de la métrique.Un critère de forme est valide s’il est sensible à tous les

cas de dégénérescence.

Un critère de forme est non valide s’il est non-nul pourcertain simplexes dégénérés.

Un simplexe est dégénéré si sa mesure est nulle.La dégénérescence est indépendante de la métrique.Un critère de forme est valide s’il est sensible à tous les

cas de dégénérescence.Un critère de forme est non valide s’il est non-nul pour

Critères de forme

La beauté, la qualité, la forme , est une notion touterelative .

Il faut d’abord être capable de définir qu’est-ce qu’onveut pour pouvoir juger ce qu’on a obtenu.“Qu’est-ce qu’on veut” s’écrit sous forme d’une

métrique.Un critère de forme est une mesure de l’équilatéralité

d’un simplexe dans la métrique.

Critères de forme

La beauté, la qualité, la forme , est une notion touterelative .Il faut d’abord être capable de définir qu’est-ce qu’on

veut pour pouvoir juger ce qu’on a obtenu.

“Qu’est-ce qu’on veut” s’écrit sous forme d’unemétrique.Un critère de forme est une mesure de l’équilatéralité

Critères de forme

veut pour pouvoir juger ce qu’on a obtenu.“Qu’est-ce qu’on veut” s’écrit sous forme d’une

métrique.

Un critère de forme est une mesure de l’équilatéralitéd’un simplexe dans la métrique.

Critères de forme

veut pour pouvoir juger ce qu’on a obtenu.“Qu’est-ce qu’on veut” s’écrit sous forme d’une

métrique.Un critère de forme est une mesure de l’équilatéralité

Critères de forme

La moyenne d’un critère de forme valide sur tous lessimplexes du maillage est un critère de qualitésignificatif.

Les critères de forme sont plus ou moins équivalentsdans la caractérisation d’un maillage.Les critères de forme sont plus ou moins équivalents

dans l’optimisation d’un maillage.

Critères de forme

La moyenne d’un critère de forme valide sur tous lessimplexes du maillage est un critère de qualitésignificatif.Les critères de forme sont plus ou moins équivalents

dans la caractérisation d’un maillage.

Les critères de forme sont plus ou moins équivalentsdans l’optimisation d’un maillage.

Critères de forme

La moyenne d’un critère de forme valide sur tous lessimplexes du maillage est un critère de qualitésignificatif.Les critères de forme sont plus ou moins équivalents

dans la caractérisation d’un maillage.Les critères de forme sont plus ou moins équivalents

dans l’optimisation d’un maillage.

Critères de taille

Les simplexes peuvent être de la bonne forme sanspour autant être de la bonne taille.

Il existe des critères de qualité en taille des simplexeset des maillages.En principe, un simplexe dont toutes les arêtes sont de

Critères de taille

et des maillages.

En principe, un simplexe dont toutes les arêtes sont delongueur unité dans la métrique, est aussi de formeparfaite dans la métrique.En pratique, les maillages construits ne sont pas

Critères de taille

longueur unité dans la métrique, est aussi de formeparfaite dans la métrique.

En pratique, les maillages construits ne sont pasparfaitement de la bonne taille et les simplexes sontcomposés d’arêtes plus ou moins trop courtes ou troplongues.

Critères de taille

Or, le rapport de la plus petite arête sur la plus grandepeut être aussi grand que pour qu’un tétraèdredégénère en cerf-volant.

Cela signifie qu’un simplexe ayant des arêtes de tailleconvenable n’implique pas que ce simplexe est aussiforme convenable car il peut être totalement dégénéré.

Critères de taille

Or, le rapport de la plus petite arête sur la plus grandepeut être aussi grand que pour qu’un tétraèdredégénère en cerf-volant.Cela signifie qu’un simplexe ayant des arêtes de taille

convenable n’implique pas que ce simplexe est aussiforme convenable car il peut être totalement dégénéré.

Critère univer sel

Ceci amène naturellement le problème dans toute sagénéralité :

Quelle serait un critère de qualité simplicial qui mesuraitsim ultanément taille et forme , qui serait sensible à tousles cas de dégénérescence des simplexes, qui seraitoptimal pour le simplexe régulier et unitaire, dans unemétrique euclidienne ou riemannienne, isotrope ouanisotrope, en deux et en trois dimensions.

Prochainement sur vos écrans

P. LABBÉ, J. DOMPIERRE, M.-G. VALLET, F. GUIBAULT etJ.-Y. TRÉPANIER. A Measure of the Conformity of a Meshto an Anisotropic Metric, Tenth International MeshingRoundtable, Newport Beach, CA, octobre 2001, pages319–326,

proposent un tel critère qui mesure la conformité en tailleet forme entre le maillage qui a été construit et le maillagequi avait été spécifié par la métrique.

The Non-Conf ormity of a Mesh

A method to measure the non-conformity of a simplex andof a whole mesh with respect to a size specification mapgiven in the form of a Riemannian metric was given.

This measure is sensitive to discrepancies in both size andshape with respect to what is specified.

Analytical examples of the behavior were presented andnumerical examples were provided.

It is defined in two and three dimensions.

It is sensitive to all simplex degeneracies.It takes into account an Euclidean or Riemannian

or a big domain.

It is defined in two and three dimensions.It is sensitive to all simplex degeneracies.

It takes into account an Euclidean or Riemannianmetric, isotropic or anisotropic.It is sensitive to discrepancies in shape and in size.It is also defined for non-simplicial elements.It gives a unique number for the whole mesh.It characterizes a whole mesh, coarse or fine, in a small

or a big domain.

metric, isotropic or anisotropic.

It is sensitive to discrepancies in shape and in size.It is also defined for non-simplicial elements.It gives a unique number for the whole mesh.It characterizes a whole mesh, coarse or fine, in a small

or a big domain.

metric, isotropic or anisotropic.It is sensitive to discrepancies in shape and in size.

It is also defined for non-simplicial elements.It gives a unique number for the whole mesh.It characterizes a whole mesh, coarse or fine, in a small

or a big domain.

metric, isotropic or anisotropic.It is sensitive to discrepancies in shape and in size.It is also defined for non-simplicial elements.

It gives a unique number for the whole mesh.It characterizes a whole mesh, coarse or fine, in a small

or a big domain.

metric, isotropic or anisotropic.It is sensitive to discrepancies in shape and in size.It is also defined for non-simplicial elements.It gives a unique number for the whole mesh.

It characterizes a whole mesh, coarse or fine, in a smallor a big domain.

or a big domain.

Mesh Optimization

This measure poses itself as a natural measure to use inthe benchmarking process. Indeed, since the measure isable to compare two different meshes, it can help tocompare the algorithms used to produce the meshes.

This measure of the non-conformity of a mesh seems to bean adequate cost function for mesh generation, meshoptimization and mesh adaptation. This measure could beused for each step such that each step minimizes thesame cost function.

La fin

Qualité des maillages

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