Post on 23-Jun-2022
Fabien HOSPITAL – CPGE PCS/IPSI/PC/MP– Lycée Bellevue Toulouse -- fabien.hospi@gmail.com
PFS - Résolution des problèmes de statique des solides avec
frottement
EExxeemmppllee ddee ssyyssttèèmmee mmééccaanniiqquuee CHARIOT ELEVATEUR DE CHANTIER NAVAL
Réel
y
x
1
3 0
2
Modèle plan
Bateau
Chariot
élévateur
P Q 4
1. Résolution analytique des problèmes de statique avec frottement
2. Résolution graphique des problèmes de statique avec frottement
3. Arc-boutement
2
1. Résolution analytique des problèmes de statique avec frottement
2. Résolution graphique des problèmes de statique avec frottement
3. Arc-boutement
3
1. Résolution analytique des problèmes de statique avec frottement
Rappel : Lois du frottement de glissement (lois de Coulomb).
Si le frottement n’est pas négligeable, il existe une composante
tangentielle à l’action mécanique.
Modèle global Réel
S1
S2 Zone de contact
(S)
zn
12
x
S1
S2
Plan tangent
(π) I
21Fd
Plan tangent
(π)
b
y
x
IZ
T
T
F
0
0
0
12
12
12
21
zn
12
yTxTT yx
.. 121221
zZN
.1221 21R
4
1. Résolution analytique des problèmes de statique avec frottement
Rappel : Lois du frottement de glissement (lois de Coulomb).
1er
modèle de Coulomb
zn
12
x
S1
S2
(π) I
21T
21N 21R
φ
12 /, SSIV
Cône de
frottement
5
1. Résolution analytique des problèmes de statique avec frottement
Rappel : Lois du frottement de glissement (lois de Coulomb).
2ème
modèle de Coulomb
zn
12
x
S1
S2
(π) I
21T
21N 21R
φ0
Cône
d’adhérence
6
1. Résolution analytique des problèmes de statique avec frottement
Etape 1 : On isole le solide ou l’ensemble de solides
considérés (E).
Etape 2 : On identifie le type de problème (problème plan ou
problème spatial, problème symétrique).
Etape 3 : On effectue un Bilan des Actions Mécaniques
Extérieures (BAME) appliquées sur (E).
Etape 4 : On écrit le PFS.
Etape 5 : On projette les équations vectorielles et on résout
le système d’équations scalaires pour déterminer les
inconnues du problème.
7
1. Résolution analytique des problèmes de statique avec frottement
Etape 1 : On isole le solide ou l’ensemble de solides
considérés (E).
Etape 2 : On identifie le type de problème (problème plan ou
problème spatial, problème symétrique).
Etape 3 : On effectue un Bilan des Actions Mécaniques
Extérieures (BAME) appliquées sur (E).
Etape 4 : On écrit le PFS.
Etape 5 : On projette les équations vectorielles et on résout
le système d’équations scalaires pour déterminer les
inconnues du problème.
8
1. Résolution analytique des problèmes de statique avec frottement
Etape 1 : On isole le solide ou l’ensemble de solides
considérés (E).
Etape 2 : On identifie le type de problème (problème plan ou
problème spatial, problème symétrique).
Etape 3 : On effectue un Bilan des Actions Mécaniques
Extérieures (BAME) appliquées sur (E).
Etape 4 : On écrit le PFS.
Etape 5 : On projette les équations vectorielles et on résout
le système d’équations scalaires pour déterminer les
inconnues du problème.
9
1. Résolution analytique des problèmes de statique avec frottement
Etape 1 : On isole le solide ou l’ensemble de solides
considérés (E).
Etape 2 : On identifie le type de problème (problème plan ou
problème spatial, problème symétrique).
Etape 3 : On effectue un Bilan des Actions Mécaniques
Extérieures (BAME) appliquées sur (E).
Etape 4 : On écrit le PFS.
Etape 5 : On projette les équations vectorielles et on résout
le système d’équations scalaires pour déterminer les
inconnues du problème.
10
1. Résolution analytique des problèmes de statique avec frottement
Etape 1 : On isole le solide ou l’ensemble de solides
considérés (E).
Etape 2 : On identifie le type de problème (problème plan ou
problème spatial, problème symétrique).
Etape 3 : On effectue un Bilan des Actions Mécaniques
Extérieures (BAME) appliquées sur (E).
Etape 4 : On écrit le PFS.
Etape 5 : On projette les équations vectorielles et on résout
le système d’équations scalaires pour déterminer les
inconnues du problème.
11
1. Résolution analytique des problèmes de statique avec frottement
Prise en compte du frottement :
→ Ajout d’une équation scalaire supplémentaire (du
type Tij = f.Nij à la limite du glissement) pour chaque
couple de solides en contact avec frottement.
12
1. Résolution analytique des problèmes de statique avec frottement
Application sur le chariot élévateur
Objectif : Déterminer analytiquement les actions mécaniques de
contact entre le sol et les roues lorsque le chariot élévateur est à
l’arrêt sur une pente à la limite du glissement aux points P et Q.
EExxeemmppllee ddee ssyyssttèèmmee mmééccaanniiqquuee CHARIOT ELEVATEUR DE CHANTIER NAVAL
Réel
y
x
1
3 0
2
Modèle plan
Bateau
Chariot
élévateur
P Q 4
13
1. Résolution analytique des problèmes de statique avec frottement
Application sur le chariot élévateur
2
1
3
4 G1
Q
n
y
x
P
n
α
v
n
14
1. Résolution analytique des problèmes de statique avec frottement
2. Résolution graphique des problèmes de statique avec frottement
3. Arc-boutement
15
2. Résolution graphique des problèmes de statique avec frottement
Les lois de Coulomb sont toujours vraies dans un
problème plan mais les relations sont simplifiées car
la direction de l'effort tangentiel est forcement dans
le plan.
zn
12
S1
S2
I 21T
21N 21R
φ
12 /, SSIV
Cône de
frottement
y
16
2. Résolution graphique des problèmes de statique avec frottement
Application sur le chariot élévateur
Objectif : Déterminer graphiquement l’effort extérieur maximum
que l’on peut appliquer en bout de fourche au point M pour faire
basculer le chariot en P. On suppose que les roues ont été
bloquées par un système de freinage et on se place à la limite
du glissement ET du basculement au point P.
EExxeemmppllee ddee ssyyssttèèmmee mmééccaanniiqquuee CHARIOT ELEVATEUR DE CHANTIER NAVAL
Réel
y
x
1
3 0
2
Modèle plan
Bateau
Chariot
élévateur
P Q 4
17
2. Résolution graphique des problèmes de statique avec frottement
Application sur le chariot élévateur
EExxeemmppllee ddee ssyyssttèèmmee mmééccaanniiqquuee CHARIOT ELEVATEUR DE CHANTIER NAVAL
Réel
y
x
1
3 0
2
Modèle plan
Bateau
Chariot
élévateur
P Q 4
0 Freinage
Contact ponctuel en P, de
normale n
, avec frottement Glissière
d’axe ?
4
3
1
Freinage
?
?
2
Contact ponctuel en Q, de
normale n
, avec frottement
g
Motorisation
F
18
2. Résolution graphique des problèmes de statique avec frottement
Application sur le chariot élévateur
y
x
G1
P
M
xgmP
..11
φ=π/6
Cône de
frottement n
Q
2
1
3
4
19
2. Résolution graphique des problèmes de statique avec frottement
Cas 1 :
y
x
G1
P
M
φ
Cône de
frottement n
Direction
de 30PR
Echelle : 1cm = 5000N J
1P
20
2. Résolution graphique des problèmes de statique avec frottement
y
x
G1
P
M
φ
Cône de
frottement n
Direction
de 30PR
Echelle : 1cm = 5000N J
Direction
de F
1P
21
2. Résolution graphique des problèmes de statique avec frottement
y
x
G1
P
M
φ
Cône de
frottement n
Direction
de 30PR
F
30PR
1P
Triangle des forces
Echelle : 1cm = 5000N J
Direction
de F
1P
22
2. Résolution graphique des problèmes de statique avec frottement
Cas 2 :
y
x
G1
P
M
φ
Cône de
frottement
n
Direction
de 30PR
Echelle : 1cm = 2500N
J
1P
23
2. Résolution graphique des problèmes de statique avec frottement
y
x
G1
P
M
φ
Cône de
frottement
n
Direction
de 30PR
Echelle : 1cm = 2500N
J
Direction
de F
1P
24
2. Résolution graphique des problèmes de statique avec frottement
y
x
G1
P
M
φ
Cône de
frottement
n
Direction
de 30PR
F
30PR 1P
Triangle des forces
Echelle : 1cm = 2500N
J
Direction
de F
1P
25
1. Résolution analytique des problèmes de statique avec frottement
2. Résolution graphique des problèmes de statique avec frottement
3. Arc-boutement
26
3. Arc-boutement
Définition
On dit qu'il y a arc-boutement chaque fois que le phénomène
d'adhérence provoque une impossibilité de mouvement (donc
équilibre) quelle que soit l'intensité des efforts mis en jeu.
27
3. Arc-boutement
Application : support de téléphone portable
28
A
B x
x
G x
P
3. Arc-boutement
Application : support de téléphone portable
29
A
B x
x
G x
P
Cône de frottement 1
Cône de frottement 2
3. Arc-boutement
Application : support de téléphone portable
30
A
B x
x
G x
P
Cône de frottement 1
Cône de frottement 2
3. Arc-boutement
Application : support de téléphone portable
31
A
B x
x
G x
P
Cône de frottement 1
Cône de frottement 2
3. Arc-boutement
Application : support de téléphone portable
32
A
B x
x
G x
P
Cône de frottement 1
Cône de frottement 2
Zone OK
3. Arc-boutement
Application : support de téléphone portable
33
A
B x
x
G x
P
Cône de frottement 1
Cône de frottement 2
Limite de glissement en A
Solide soumis à 3 forces Zone OK
3. Arc-boutement
Application : support de téléphone portable
34
A
B x
x
G x
P
Cône de frottement 1
Cône de frottement 2
Limite de glissement en A
Solide soumis à 3 forces
La force en B est bien dans le cône
de frottement équilibre possible
Zone OK
3. Arc-boutement
Application : support de téléphone portable
35
A
B x
x
G x
P
Cône de frottement 1
Cône de frottement 2
(Δ)
3. Arc-boutement
Application : support de téléphone portable
36
A
B x
x
G x
P
Cône de frottement 1
Cône de frottement 2
(Δ)
3. Arc-boutement
Application : support de téléphone portable
37
A
B x
x
G x
P
Cône de frottement 1
Cône de frottement 2
(Δ)
Limite de glissement en A
Solide soumis à 3 forces
La force en B est en dehors du cône de
frottement équilibre impossible
3. Arc-boutement
Autre Application
Déterminer graphiquement la zone Z qui représente l’ensemble
des points où peut se situer le point d’intersection des 3
glisseurs qui garantie l’équilibre et donc le non glissement de 5
par rapport à 2.
Réel
y
x
2
Modèle plan
Support de crochet (5)
Fourche du chariot élévateur (2) A
5
Crochet
B C
An
Bn
38
y
x
2
A
5 B
C
An
Bn
3. Arc-boutement
39
y
x
2
A
5 B
C
An
Bn
Cône de
frottement 1
Cône de
frottement 2
φ
φ
3. Arc-boutement
40
y
x
2
A
5 B
C
An
Bn
Cône de
frottement 1
Cône de
frottement 2
φ
φ
3. Arc-boutement
41
3. Arc-boutement
42
3. Arc-boutement
43
3. Arc-boutement
F
44
3. Arc-boutement
F
45
3. Arc-boutement
F
25AR
25BR
F
46
3. Arc-boutement
F
47
ça glisse !
FIN
48