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MINISTÈRE DE L'INDUSTRIE ET DE LA RECHERCHE
BUREAU DE RECHERCHES GÉOLOGIQUES ET MINIÈRES
SERVICE GÉOLOGIQUE NATIONALB.P. 6009 - 45018 Orléans Cedex - Tél.: (38) 66.06.60
OPTIMISATION DES DISPOSITIFSDE CAPTAGE POUR L'IRRIGATION
PAR SIMULATION SUR MODÈLES MATHÉMATIQUESET PROGRAMMATION LINÉAIRE
par
J. AURIOL, M. BONNET et M. VANDENBEUSCH
Communication présentée au 9ème Congrès mondial de la CI.I.D., Moscou 1975
Département géologie de l'aménagementHydrogéologie
B.P. 6009 - 45018 Orléans Cedex - Tél.: (38) 66.06.60
74 SGIM 318 A M E Septembre 1974
RESUME
Ce rapport présente la communication adressée au 9ème Congrès mon-
dial organisé par la Commission internationale d'irrigation et de drainage à
Moscou en 1975.
Il expose une méthode générale pour déterminer le débit maximal
soutirable d'une nappe quand on peut fixer les points de captage possibles
et un certain nombre de contraintes sur les rabattements en divers "points
sensibles" du domaine aquifère. Cette méthode est basée sur l'utilisation,
conjointe de modèles de simulation et d'une technique de programmation liné-
aire. Plus particulièrement, quatre exemples concrets sont décrits, afin
d'illustrer les conditions d'emploi de la méthode dans le cas où il s'agit
d'optimiser l'alimentation de secteurs d'irrigation. On indique les problèmes
soulevés par l'application pratique ainsi que les résultats obtenus. Enfin,
les possibilités d'extension de la méthode sont brièvement esquissées.
La démarche exposée, ou celles qui peuvent en être dérivées, per-
mettent d'ores et déjà aux hydrogéologues de proposer aux aménageurs de
périmètres agricoles une évaluation précise des ressources en eau souterraine
disponibles (sous certaines contraintes à fixer d'un commun accord!) et des
conditions économiques (prix de revient de l'eau, en premier lieu] de leur
extraction.
SOMMAIRE
pages
RESUME
RESUME ET CONCLUSIONS (version en anglais)
1 - POSITION DU PROBLEME ET CONDITIONS D'APPLICATION DE LA METHODE ... 1
2 - EXPOSE THEORIQUE 2
2.1 - Définition des coefficients d'influence entre réseau depompage et réseau de contrôle 2
2.2 - Mise en équation du problème posé 32.3 - Résolution du problème 4
2.3.1 - Calcul des coefficients a 4
2.3.2 - Programmation linéaire 5
2.3.3 - Difficultés rencontrées dans l'application de la
méthode 6
3 - EXEMPLES 6
3.1 - Nappe du NEKOR 73.2 - Nappe du DRADERE 103.3 - Nappe du DERNA 123.4 - Nappe de BIR-JDID 14
4 - EXTENSIONS POSSIBLES DE LA METHODE 16
II
LISTE DES FIGURES - TABLEAU ET ANNEXE
pages
Présentation du problème. Notations 1
Nappe du NEK.OR B
Nappe du DRADERE 11
Nappe du DERNA 13
Nappe de BIR-JDID 15
Tableau 1 : Caractéristiques principales des 4 exemples présentés
[nappes du NEKOR, DRADERE, DERNA, BIR-JDID) 9
ANNEXE : Notations utilisées.
Ill
SUMMARY AND CONCLUSIONS
1 - Statement of the problem, and conditions for which the method can be applied
When it is planned to supply a part or the total water needs of
some irrigation perimeters with ground water resources it appears necessary
to indicate to the specialists in charge of the agricultural development the
total recoverable yield and the corresponding pumping field design.
The method presented hereunder applies to the case when the aquifer
to be tapped has been sufficiently well studied to be represented by a model
simulating a geographical area in which the perimeters to be irrigated are
included.
We also, assume that the general economical, agricultural and
hydrogeological conditions enable us to define "a priori" a network of
"possible pumping points" (P , P , ... P., ... P ) in reasonable number (say
about fifty at the most).
In the same way we shall determine a network of "control points"
(C., C , ... C , ... C ) on which one wants to limit the drawdowns due to the
exploitation, to less than some maximum values (SMAX , ... SMAX. . ..) which
can be deduced from various criteria such as : conservation of the resource,
compliance with legal requirements, physical properties of the reservoir,
feasibility of the wells (the latter can be eventually considered as "control
points"). Some of the pumping points may be used as control points.
Moreover, if we assume that ground water resources are less abun-
dant than cultivable surfaces, the most immediate objective is :
n
maximum exploitable yield - £ Qj1
where Qj is the optimum exploitable yield on the pumping point j - Objective
function under constraints attached to the "network of control points".
IV
2 - Theoretical considerations
This note shows how it is possible to solve the problem presented
above by the simultaneous use of a simulation model and linear programming,
in order to obtain :
- the network of pumping points which are effectively to be used ;
- the rate of pumping from each of them and the total yield which
is the objective function to be maximized ;
- the drawdowns on each of the control points.
3 - Examples
The method has been used successfully to design the supply of
several irrigation perimeters in Morocco under the supervision of the
"Direction de l'Hydraulique, Ministère des Travaux publics".
The more interesting cases are briefly described in order to show
how, in practice, the problem can be set up and how are determined the nume-
rical values which are to be introduced in the programs. The practical con-
clusions which can be derived from the results are also discussed.
4 - Conclusions and possible extensions
It has been verified, for all the examples, that in the arid or
semi arid zones, water is effectively a limiting factor. In this case it
appears that the optimisation of the exploitation on the basis of a physical
objective function (generally the maximum yield) must have priority.
As a matter of fact, the application of the method described above
has led the authors to propose in every case an "optimum exploitation network"
which shows itself to be smaller by far than the "possible pumping network".
However, it is necessary to develop the method in a more economical
way.
V
To do so we propose :
- first, a program for the determination of the cost of water pro-
duced from the "exploitation network", optimized by the method given above.
(This program has been used in some examples presented in the text].
- second, another formulation, more convenient when the ground-
water resource is not the limiting factor, in which the water cost is taken
as the objective function to be minimized. This formulation is now being
studied.
- 1 -
1 - POSITION DU PROBLEME ET CONDITIONS D'APPLICATION DE LA METHODE
Quand on désire assurer tout ou partie de l'alimentation de secteurs
d'irrigation à partir de prélèvements dans un aquifère, il faut indiquer aux
aménageurs, dès le stade de l'avant-projet, le débit global exploitable (que
l'on peut encore appeler "ressource disponible"] et la description du dispo-
sitif de captage correspondant.
En général, en hydrogéologie moderne, on n'aborde ce stade que
quand la nappe est suffisamment bien connue pour permettre sa représentation
par un modèle de simulation couvrant un certain domaine géographique^) dans
lequel les secteurs d'irrigation [Si] n'occupent qu'une certaine partie (fig.
ci-dessous].
Pi Point de pompage
Ci Point de contrôle
(S.] Secteur d'irrigation
Présentation du problème. Notations
II est d'autre part fréquent que les conditions agricoles, hydro-
géologiques, socio-économiques (contraintes sur l'occupation des sols] permet-
tent de définir "a •priori" un "réseau de points de pompage possibles" (P ,
2' "maximum].
P., ... P ] en nombre raisonnablement limité (une cinquantaine auj n
- 2 -
De même certaines caractéristiques physiques du système, des consi-
dérations économiques sur les frais de construction et d'exploitation du dis-
positif de captage, et la nécessité de limiter les préjudices (inévitables)
de l'exploitation envisagée à un niveau acceptable au plan général amènent à
fixer un "réseau de points de contrôle" (C , C„, ... C , ... C ) où le rabat-
tement doit être contraint à rester inférieur à un ensemble de valeurs limites
SMAX , SMAX2, ... SMAXi ... Ci
comme des points de contrôle.
SMAX , SMAX9, ... SMAX. ... Certains points de pompage peuvent être utilisés
L'ensemble des points de pompage et des points de contrôle constitue
ce que nous appellerons une "configuration".
Dans ces conditions, l'objectif le plus immédiat est de déterminer
dans quelle mesure l'eau est un facteur limitant, ce qui implique la défini-
tion du débit maximal exploitable par l'ensemble des points de pompage, soit :
nQMAX - l Qj (fonction objectif]
1
où Qj est le débit optimal exploitable sur le point de pompage j sous les
contraintes attachées au réseau de contrôle.
C'est ce premier problème que nous examinerons principalement. Il
est effectivement le plus courant dans les zones arides ou semi-arides où,
en général, les ressources en eaux sont nettement plus limitées que les sur-
faces aménageables.
2 - EXPOSE THEORIQUE
2.1 - Définition des coefficients d'influence entre réseau de pompage et réseau
de contrôle
Soit un système de captage composé de (n) puits répartis de façon
quelconque dans un aquifère que nous supposons captif ou libre, mais présen-
tant dans ce cas des variations d'épaisseurs mouillées suffisamment faibles
pour que l'on puisse admettre que la transmissivité y reste indépendante de
la piézométrie.
- 3 -
Les lois de l'hydrodynamique en milieux poreux montrent que les
rabattements s^ provoqués en tout point (i) de cet aquifère, lorsque les
ouvrages produisent des débits constants Q. (j = 1, ..., n), sont des fonc
tions linéaires de ces débits, de la forme :
On dira que a-jj représente le coefficient d'influence de l'ouvrage
(j) sur le point (i] de l'aquifère que nous prendrons, par la suite, comme
appartenant au réseau de contrôle. (Mais, la propriété est vraie pour tout
point). Ce coefficient a¿j peut aussi être traduit numériquement comme le
"rabattement" provoqué au point (i) par un pompage à débit unitaire extrait
de l'ouvrage (j] agissant séparément. Dans ces conditions, ajj, coefficient
d'influence d'un ouvrage (j) sur lui-même, représente le rabattement au
droit de cet ouvrage lorsque sa production est égale au débit unitaire.
Pour un ensemble de m points et de n ouvrages, l'équation (1) peut
s'écrire sous forme matricielle :
s = B . Q (2)
où B est une matrice d'ordre Cm x n).
2.2 -Mise en équation du problème posé
II s'agit de répondre numériquement à la question : "combien faut-
il produire, à débit constant, au droit de chacun des n ouvrages d'un champ
captant, de sorte que la somme de ces débits soit maximale et que les rabat-
tements provoqués au droit de m points de contrôle soient, au plus, égaux à
une valeur fixée ?".
D'après le paragraphe précédent et en utilisant une notation matri-
cielle définie en annexe, il s'agit de trouver les variables Qj, positives,
telles que :
nf = £ qj (fonction objectif)
J-1
- 4 -
soit maximale et satisfasse les m + n inégalités :
B . 0 t SMAX
- UQ $ 0(3)
Cette dernière inéquation traduit la condition de signe sur les
débits, avec U matrice carrée unitaire d'ordre n.
Ou bien encore, il s'agit de trouver la matrice Q rendant la forme
linéaire f = I'Q maximale et vérifiant les m + n inégalités :
B . Q <ç SMAX (3I)
- UQ * G
On se trouve donc confronté à un problème classique de programma-
tion linéaire.
2.3 - Résolution du problème
2.3.1 - Calcul des coefficients ajj
II est clair que l'application de l'algorithme de programmation
linéaire implique la connaissance des coefficients a±j. On les obtient en
déterminant sur le modèle de la nappe (supposé convenablement calé) les
rabattements créés sur tous les points de contrôle par un débit unitaire pré-
levé seul successivement en chacun des points de pompage.
Le type de modèle utilisé peut être soit un simple modèle analyti-
que (combinaison de formules de l'hydraulique des puits), soit un modèle ana-
logique, soit un modèle numérique à condition qu'il puisse être considéré
comme suffisamment représentatif.
Dans le cas où on utilise un modèle aux différences finies, il est
nécessaire d'utiliser une formule d'approximation pour estimer les coeffi-
cients a-jj au droit des ouvrages eux-mêmes, à partir des rabattements dans
la maille.
- 5 -
Dans tous les exemples décrits ci-après, le calcul des coefficients
aij a été fait par simulation sur un modèle aux différences finies à mailles
carrées utilisé dans un stade préliminaire pour représenter la nappe dans son
état actuel. Ce programme délivre directement le jeu des coefficients a^^ sur
cartes perforées pour permettre un enchaînement rapide avec le programme d'op-
timisation. Mais il est tout aussi possible d'obtenir ces coefficients sur un
modèle analogique.
Notons que l'ensemble des coefficients a., se rapporte à une confi-
guration maximale de n points de pompage et m points de contrôle. On peut en
déduire des jeux de coefficients se rapportant à des "sous configurations"
comprenant un nombre plus petit de points (m' < m, n' < n), à condition que
tous appartiennent à la configuration initiale.
2.3.2 - Programmation linéaire
Pour la phase d'optimisation, c'est-à-dire la résolution du pro-
blème formulé en (3'), on peut utiliser n'importe quel programme général de
programmation linéaire. Toutefois, nous avons préféré concevoir un programme
particulièrement adapté aux conditions, notations et unités d'usage courant
en hydrodynamique. Il est écrit en FORTRAN IV et utilise la méthode du sim-
plexe.
Les données à fournir en entrée du programme sont :
- la matrice B des coefficients a .- de la configuration maximale,
- la définition (éventuelle) des sous configurations,
- pour chaque sous configuration, la (ou les) matrice(s) SMAX des
rabattements limites (plusieurs jeux de contraintes peuvent être
testés).
Le programme donne en résultat pour chaque configuration et (éven-
tuellement) chaque jeu de contraintes : le débit en chaque point de pompage
et le débit total correspondant (fonction objectif maximisée), les rabatte-
ments en chaque point de contrôle.
On constate, en général, que seuls certains puits sont à exploiter
et que seules certaines contraintes sont effectivement limitantes.
- 6 -
2.3.3 - Difficultés rencontrées dans l'application, de la méthode
L'exposé théorique précédent montre qu'il existe une démarche de
calcul en soi très rigoureuse permettant d'atteindre l'objectif de production
maximale pour une configuration donnée. Cependant, il est évident, en théorie,
et il se confirme en pratique, que le résultat de ce calcul, et donc le dis-
positif d'exploitation, dépend :
- du choix des configurations,
- du choix des contraintes,
- éventuellement, d'hypothèses sur le comportement à long terme
de l'aquifère (voir ci-après, paragraphe 3.1).
Ainsi, malgré la rigueur du raisonnement, il faut dans chaque cas
particulier faire largement appel à des considérations générales de nature
très diverse pour poser correctement le problème. Gn est même souvent amené
à retenir un certain nombre de formulations (ou, autrement dit, de configu-
rations et jeux de contraintes) d'où résultent un ensemble de solutions par-
mi lesquelles on choisit en définitive sur des critères plus ou moins empi-
riques. L'obtention de cet ensemble de solutions est rendue assez aisée par
le fait que le programme d'optimisation est très peu coûteux en temps ma-
chine, ce qui permet de balayer un grand nombre de cas.
Nous allons illustrer cette démarche par quelques exemples réels.
3 - EXEMPLES
La méthode décrite précédemment a été mise en oeuvre dans le cadre
de plusieurs projets d'aménagement hydro-agricole ayant pour objectif la
création de secteurs d'irrigation alimentés en tout ou partie par des prélè-
vements dans une nappe.
Nous avons retenu quatre exemples traités au Maroc en coopération
avec la Direction de l'Hydraulique (Division des ressources en eau) du
Ministère des Travaux publics qui assurait la direction de ces projets sur le
plan hydrologique. Ils ont l'avantage de constituer un ensemble homogène par
le contexte général climatique et économique tout en présentant une diversité
assez grande pour bien illustrer les principaux aspects pratiques de la mise
en oeuvre de la méthode.
- 7 -
Dans tous les cas, la nappe à exploiter avait fait l'objet (de la
part de la D.R.E.] d'études hydrogéologiques suffisamment approfondies pour
permettre la réalisation d'un modèle représentatif de son état actuel.
Ces modèles étaient du type numérique aux différences finies à mail-
lage carré régulier permettant un enchaînement aisé avec le programme d'opti-
misation [voir ci-dessus paragraphe 2).
Nous allons décrire brièvement comment sur cette base se présente,
dans chaque cas particulier, le problème de la définition d'une "exploitation
optimale", comment sont déterminées les valeurs numériques nécessaires à sa
résolution par programmation linéaire, puis comment on peut critiquer et amé-
nager les résultats de cette résolution pour en sortir "la solution" proposée
en définitive aux aménageurs.
Le tableau 1 résume les caractéristiques principales des quatre
exemples choisis, qui portent sur les nappes du NEKGR (Maroc oriental], du
TADLA (Maroc central], du DRADERE (côte atlantique nord), BIR-JDID (côte
atlantique centre).
3.1 - Nappe du NEKOR
La nappe du Nekor circule dans une plaine côtière incluse dans le
domaine rifain : elle est alimentée, au Sud, par le débouché de trois oueds
(dont le principal est le Nekor) et s'abouche directement au Nord avec la
Méditerranée. L'écoulement est quasi permanent sans grandes variations inter-
annuelles (voir carte figure 1).
Dans cet exemple, particulièrement simple, les points de pompage
possibles sont connus : B ouvrages déjà réalisés au cours d'un précédent pro-
jet. On veut les utiliser au maximum de leurs possibilités en excluant toute
création d'ouvrage nouveau. Les contraintes portent sur les rabattements dans
les ouvrages qui doivent être maintenus en deçà d'une limite imposée par les
dimensions de la chambre de pompage (soit 30 m environ) et sur le niveau en
bordure de mer qui doit être maintenu à une cote suffisante pour éviter une
intrusion saline préjudiciable aux puits fermiers existants.
/ ? 3 i 5
MODELE MATHEMATIQUE
I"" LIMITE MANCHE
• LIMITE D'ALIMENTATION
AERODROME
d'AL HOCEIMA
GEOLOGIE HYDROGEOLOGIEVA FLYSCH
FORAGE DE KECON.NAISSANCE IS72
- Ç - AUTRES FORAGES
O PUITS
Iff PlEZOMEme 1972 JUIN
Figure 1 - Nappe du Nekor
TABLEAU 1 - Caractéristiques principales des 4 exemples présentés (nappes de NEKOR, DRADERE, DERNA, BIR-JDID)
Nappe
NEKOR
DRADERE
DERNA
BIR-JDID
Configuration maximale
Réseau de pompage
Nb
6
22
14
26
Critères d'implantation
ouvrages existants
6 ouvrages existants +réseau régulier sursecteur d'irrigation
zones pédologiquementfavorables
ouvrages existants sur5 secteurs d'irrigation
Réseau de contrôle
Nb
6
+
4
22+
7
14+
6
26+
2
Critères d'implantationet contraintes
puits (hauteur refoule-ment disponible surouvrages)contrôle biseau
puits [hauteur de re-foulement économique)
contrôle biseau
puits (dénoyage nappe)
contrôle niveau enrégion peuplée
puits (contrôle biseauou dénoyage nappe)contrôle biseau
Sous-configurations etvariantes étudiées
2 hypothèses sur l'ali-mentation de la nappe
3 jeux de contraintessur puits
variation du nombred'ouvrages entre 6 et22
variation des contrain-tes sur le contrôle enrégion peuplée
variation des contrain-tes sur puits
Solution
Nb
6
10
10
15
Q en1/9
300
360
1000
80
Prix enDH/m3
0,0623
0,055
I
C D
I
- 1 0 -
Dn en déduit aisément la "configuration" à tester qui est unique
et comprend un réseau de pompage à 6 points et un réseau de contrôle à 10
points (les 6 forages + 4 points de contrôle en bordure de côte].
La principale difficulté provient dans ce cas du fait que l'on ne
connaît pas très bien le mécanisme d'alimentation par les oueds et qu'il y a
donc une incertitude sur le comportement à long terme de la nappe. Deux hypo-
thèses ont donc été faites : une hypothèse optimiste où l'alimentation amont
est supposée à charge constante, une hypothèse pessimiste où l'alimentation
est supposée à débit constant [identique à celui de l'état actuel).
Dans ces conditions, il faut calculer pour la configuration définie
deux jeux de coefficients d'influence correspondant à chacune des hypothèses.
Pour chacun, on a également testé 6 jeux de contraintes pour définir l'in-
fluence relative des rabattements sur forages et des niveaux imposés pour
contrôler l'intrusion saline. Soit au total 12 calculs par programmation
linéaire donnant 12 débits de 260 1/s à 405 1/s avec une forte concentration
autour de 300 1/s.
C'est ce dernier chiffre qui a été retenu et constitue la solution
proposée aux aménageurs.
3.2 - Nappe du DRADERE
La nappe du Dradère est une nappe côtière, située en bordure de
l'océan Atlantique entre Kenitra et Larache. Sa seule source d'alimentation
est constituée par les infiltrations pluviales ; ses émergences sont péri-
phériques : oueds Dradère et Soueire et océan Atlantique.
Deux secteurs d'irrigation sont prévus. Nous ne traiterons ici que
du secteur sud situé sur la moitié méridionale de la nappe (voir carte fig. 2)
Certains forages existent mais sont insuffisants pour fournir le débit néces-
saire. Il faut compléter le réseau avec un nombre minimal de puits tous im-
plantés dans le secteur lui-même.
— Fpaisseur d'eau salée,en m . f 2032 N* I.R.E..—— Courue piézomètrique observé,en m -<£- forage avec essai^—- " " calculé', en m 10 Transmiisivite en lO~*m2/s
• 1 Point de pompage k i> Point de controle Y\ Z 1 3\ + I S I 6 | 7 \8 \ 9 | 10 | It | 12 | 13 \ M \ IS \ It | 17 \ 18 | 1$ \20\2t \22\2Z\ 2* | 25 \26 \27\ ZS | 23 \SO\3I | S2\S3\34 | 3S\ 36 \S7
-y Vers la•I MERJA ZERGA
308 l/s
Figure 2 - Nappe du Dradère, secteur sud
- 12 -
En ce qui concerne les contraintes, l'aménageur, par des calculs
économiques préliminaires, a fixé une hauteur de refoulement maximale d'où
l'on déduit pour chaque ouvrage un rabattement limite. On veut également
que le biseau salé soit maintenu dans une zone côtière inoccupée par les
cultures.
La "configuration maximale" a donc été définie en répartissant
régulièrement les points de pompage possibles sur l'ensemble du secteur
d'irrigation (soit 22 points, voir fig. 2] et en implantant 7 points de
contrôle à la limite de la zone côtière sacrifiée (soit au total 29 points
de contrôle].
Dans ce cas la démarche a consisté à étudier comment variait le
débit total disponible quand on réduisait progressivement le réseau de pom-
page, en conservant en priorité les forages existants (c'est-à-dire en tes-
tant successivement plusieurs sous-configurations]. On a ainsi pu démontrer
que le débit pour la configuration maximale était de 405 1/s tandis que
pour les 6 puits existants il était de 351 1/s. On a retenu une solution
intermédiaire à 10 puits donnant les 3B0 1/s exigés'par les aménageurs. ' ¡-'
3.3 - Nappe du DERNA
Cette nappe est une partie de l'ensemble des nappes de la plaine
du Tadla au pied de l'Atlas marocain. Elle est alimentée en grande partie
par les pertes du réseau d'irrigation traditionnel qui distribue 6 m3/s
environ en provenance des sources de piedmont.
On envisage d'augmenter la superficie cultivée en aménageant le
maximum de parcelles pédologiquement favorables et en les alimentant en eau
par des forages à la nappe.
Le réseau des points de pompage a donc été défini par les ser-
vices agricoles après cartographie de ces zones favorables (soit 14 points,
voir carte fig. 3). Le réseau des points de contrôle est constitué par le
réseau des points de pompage, où l'on veut que le rabattement n'entraîne
pas un dénoyage des crépines, auquel on a ajouté 6 points situés dans des
zones à forte densité de population où il faut éviter de créer des rabat-
tements préjudiciables au réseau de puits traditionnels.
limit's au modèle
^f0_s trammissi vi té en 10' 7>*/s
fyz pvln projeté*
| | cultivable
\ cultivable
A maille ¿ rabattement limité (con/rô/e)
zones ¿ habitat i on
_ _j - lignes éléc tri ques existantes
^¿/¿"profondeur delà nappe
| | non cultivable
Figure 3 - Nappe du Derna
- 14 -
En définitive, cette formulation a conduit a retenir 10 points de
pompage pour un débit total de 1 m V s , ce qui permet aux aménageurs de défi-
nir la localisation des secteurs à moderniser et l'importance des équipements.
3.4 - Nappe de BIR-JDID
Du point de vue hydrogéologique, la nappe de Bir-Jdid est située
dans un contexte assez comparable à celui de la nappe du Dradère (voir para-
graphe 3.3) : alimentation par les infiltrations pluviales, émergences en
oueds côtiers et dans l'océan Atlantique, hais elle s'en distingue par deux
caractéristiques particulières qui en font un cas extrême : son alimentation
est beaucoup plus faible ( du fait de sa situation plus méridionale), l'a-
quifère est très pelliculaire et assez hétérogène, ce qui a conduit à une
prolifération anarchique des puits. On se trouve donc actuellement en pré-
sence d'un réseau d'exploitation a -priori, nettement surabondant par rapport
aux ressources. D'autre part, la réorganisation des activités agricoles de
la région a conduit les autorités à définir un certain nombre de secteurs
d'aménagement prioritaires. Il faut donc définir quel est le réseau à rete-
nir pour l'alimentation de ces secteurs et quel débit on peut en attendre
(voir carte fig. 4). Les contraintes portent sur les rabattements dans les
ouvrages qui sont limités de façon très imperative, dans tous les cas, par
l'épaisseur de l'aquifère (5 à 10 m en moyenne) et, pour les puits voisins
de la côte, par la nécessité de contrôler l'intrusion saline.
Les points de pompage ont été répartis sur les secteurs d'irri-
gation. Ils correspondent à des puits (ou groupe de puits dans une maille)
qui existent déjà (toute création d'ouvrage nouveau est exclue par hypothèse).
Gn a donc une configuration à 26 points de pompage et 28 points de contrôle
(dont 2 sans pompage pour le contrôle du biseau). Le seul jeu possible a
trait à la valeur de la contrainte de rabattement sur les puits éloignés de
la côte, selon que l'on admet un dénoyage plus ou moins important. En fait,
pour une variation de cette contrainte entre 3 m et 4 m, le débit disponible
varie de 70 1/s à 90 1/s avec, dans tous les cas, 15 puits. On a donc pro-
posé une solution moyenne à 80 1/s.
15
N A P P E D E B I R - D J I D
Chaouïa cotière
\odite mathématique
néable (ligne de courant)
•ngation de la zone dt SIR OJIO
10 Courbt piéiomitnqut (tolesNGMtéut dtlMntppt Oi -
252 253 2Si 255 256 257 251 259 2(1 2(1 2(2 263 26t 2(5 266 2(7 26»
- 16 -
4 - EXTENSIONS POSSIBLES DE LA METHODE
La maximisation de la production est bien l'objectif essentiel de
l'aménageur d ¡ns les régions où l'eau est le seul facteur limitant. L'éva-
luation du coût correspondant n'est qu'un simple calcul algébrique addition-
nel : ce calcul a néanmoins été automatisé, afin d'augmenter la rapidité
d'obtention des résultats dans chaque hypothèse examinée. Les prix élémen-
taires sont estimés à partir des marchés de travaux déjà exécutés dans la
région ou le pays (voir quelques résultats, tableau 1).
Si, au contraire, l'eau n'est pas un facteur limitatif, on cher-
chera à minimiser le coût sous une contrainte de production, plutôt qu'à
minimiser la production.
On se donnera donc un seuil réaliste qQ fixé a priori, et on
cherchera la répartition des débits minimisant le coût, tout en fournissant
un débit > qQ et tout en respectant les contraintes de rabattement définies
précédemment.
La nouvelle fonction objectif est alors plus complexe, elle ré-
sulte de l'addition d'un coût de production et d'un coût d'investissement.
- Le coût d'investissement dépend linéairement des débits.
- Le coût de fonctionnement est une fonction quadratique des dé-
bits (en fait, c'est une fonction bilinéaire des débits et des rabattements,
ces derniers étant: eux-mêmes fonction linéaire des débits].
Sans entrer dans le détail de l'élaboration des divers termes de
la fonction de coût (ce qui fera l'objet d'une publication ultérieure), on
peut noter qu'elle a la forme suivante :
f = F + a'Q + Q'AQ
où F est un scalaire, a une matrice colonne, et A la matrice carrée des ra-
battements unitaires dans les forages.
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Qn a donc un problème quadratique :
Maximiser f = F + a'Q + Q'AQ sous Q i QQ
-UQ $ Q (4)
BQ ¡s SMAX
Nous n'envisagerons pas ici les méthodes de résolution du problème
(4), mais il faut noter une difficulté méthodologique liée à la formulation
du problème :
- Dans le cas où il existe déjà un réseau de puits équipés, le
coût d'investissement se réduit soit à 0, soit au terme constant F (inves-
tissements actualisés]. Le choix entre ces deux solutions est un choix éco-
nomique, appartenant à l'aménageur. Qn peut dire, dans ce cas, que le pro-
blème (4) est bien posé.
- Dans les cas où, au contraire, il s'agit d'un projet d'équipe-
ment, la résolution du problème (4] peut conduire a des valeurs nulles pour
certains débits ; ce qui modifie d'autant le coût d'investissement. La for-
mulation (4), bien qu'utilisable en première approximation, n'est donc pas
parfaitement adaptée au problème. Nous étudions actuellement d'autres for-
mulations, faisant appel à la programmation mixte.
ANNEXE
N O T A T I O N S
a.. coefficient d'influence de l'ouvrage j sur l'ouvrage i
A matrice carrée (n x m] des coefficients a., avec i => 1, .... n
j - 1, ..., n
A' désigne la matrice transposée de A
B matrice (m x n] des coefficients a., avec i s 1, ......m
j * 1 , ..., n
et m i n
n nombre d'ouvrages
m nombre de puits de contrôle, ouvrages compris
Q matrice colonne des débits q. des n ouvrages
U désigne la matrice carrée unitaire d'ordre n
I' désigne la matrice ligne d'ordre u : (1, .... 1)
T désigne la transmissivité d'un terrain aquifère Cen m2/s)
S désigne le coefficient d'emmagasinement d'un terrain aquifère
(adimensionnel)
s. rabattement observé au droit du point (i) de 1'aquifère
smax. rabattement maximal toléré au droit du point (i) de 1'aquifère
s matrice colonne composée des (m] rabattements s.
SMAX matrice colonne composée des (m) rabattements smax.
m x n représente l'ordre d'une matrice Cm = nombre de.lignes, n - nombre
de colonnes]
f fonction à optimiser