MINISTÈRE DE L'INDUSTRIE ET DE LA RECHERCHE

BUREAU DE RECHERCHES GÉOLOGIQUES ET MINIÈRES

SERVICE GÉOLOGIQUE NATIONALB.P. 6009 - 45018 Orléans Cedex - Tél.: (38) 66.06.60

OPTIMISATION DES DISPOSITIFSDE CAPTAGE POUR L'IRRIGATION

PAR SIMULATION SUR MODÈLES MATHÉMATIQUESET PROGRAMMATION LINÉAIRE

par

J. AURIOL, M. BONNET et M. VANDENBEUSCH

Communication présentée au 9ème Congrès mondial de la CI.I.D., Moscou 1975

Département géologie de l'aménagementHydrogéologie

B.P. 6009 - 45018 Orléans Cedex - Tél.: (38) 66.06.60

74 SGIM 318 A M E Septembre 1974

RESUME

Ce rapport présente la communication adressée au 9ème Congrès mon-

dial organisé par la Commission internationale d'irrigation et de drainage à

Moscou en 1975.

Il expose une méthode générale pour déterminer le débit maximal

soutirable d'une nappe quand on peut fixer les points de captage possibles

et un certain nombre de contraintes sur les rabattements en divers "points

sensibles" du domaine aquifère. Cette méthode est basée sur l'utilisation,

conjointe de modèles de simulation et d'une technique de programmation liné-

aire. Plus particulièrement, quatre exemples concrets sont décrits, afin

d'illustrer les conditions d'emploi de la méthode dans le cas où il s'agit

d'optimiser l'alimentation de secteurs d'irrigation. On indique les problèmes

soulevés par l'application pratique ainsi que les résultats obtenus. Enfin,

les possibilités d'extension de la méthode sont brièvement esquissées.

La démarche exposée, ou celles qui peuvent en être dérivées, per-

mettent d'ores et déjà aux hydrogéologues de proposer aux aménageurs de

périmètres agricoles une évaluation précise des ressources en eau souterraine

disponibles (sous certaines contraintes à fixer d'un commun accord!) et des

conditions économiques (prix de revient de l'eau, en premier lieu] de leur

extraction.

SOMMAIRE

pages

RESUME

RESUME ET CONCLUSIONS (version en anglais)

1 - POSITION DU PROBLEME ET CONDITIONS D'APPLICATION DE LA METHODE ... 1

2 - EXPOSE THEORIQUE 2

2.1 - Définition des coefficients d'influence entre réseau depompage et réseau de contrôle 2

2.2 - Mise en équation du problème posé 32.3 - Résolution du problème 4

2.3.1 - Calcul des coefficients a 4

2.3.2 - Programmation linéaire 5

2.3.3 - Difficultés rencontrées dans l'application de la

méthode 6

3 - EXEMPLES 6

3.1 - Nappe du NEKOR 73.2 - Nappe du DRADERE 103.3 - Nappe du DERNA 123.4 - Nappe de BIR-JDID 14

4 - EXTENSIONS POSSIBLES DE LA METHODE 16

II

LISTE DES FIGURES - TABLEAU ET ANNEXE

pages

Présentation du problème. Notations 1

Nappe du NEK.OR B

Nappe du DRADERE 11

Nappe du DERNA 13

Nappe de BIR-JDID 15

Tableau 1 : Caractéristiques principales des 4 exemples présentés

[nappes du NEKOR, DRADERE, DERNA, BIR-JDID) 9

ANNEXE : Notations utilisées.

Ill

SUMMARY AND CONCLUSIONS

1 - Statement of the problem, and conditions for which the method can be applied

When it is planned to supply a part or the total water needs of

some irrigation perimeters with ground water resources it appears necessary

to indicate to the specialists in charge of the agricultural development the

total recoverable yield and the corresponding pumping field design.

The method presented hereunder applies to the case when the aquifer

to be tapped has been sufficiently well studied to be represented by a model

simulating a geographical area in which the perimeters to be irrigated are

included.

We also, assume that the general economical, agricultural and

hydrogeological conditions enable us to define "a priori" a network of

"possible pumping points" (P , P , ... P., ... P ) in reasonable number (say

about fifty at the most).

In the same way we shall determine a network of "control points"

(C., C , ... C , ... C ) on which one wants to limit the drawdowns due to the

exploitation, to less than some maximum values (SMAX , ... SMAX. . ..) which

can be deduced from various criteria such as : conservation of the resource,

compliance with legal requirements, physical properties of the reservoir,

feasibility of the wells (the latter can be eventually considered as "control

points"). Some of the pumping points may be used as control points.

Moreover, if we assume that ground water resources are less abun-

dant than cultivable surfaces, the most immediate objective is :

n

maximum exploitable yield - £ Qj1

where Qj is the optimum exploitable yield on the pumping point j - Objective

function under constraints attached to the "network of control points".

IV

2 - Theoretical considerations

This note shows how it is possible to solve the problem presented

above by the simultaneous use of a simulation model and linear programming,

in order to obtain :

- the network of pumping points which are effectively to be used ;

- the rate of pumping from each of them and the total yield which

is the objective function to be maximized ;

- the drawdowns on each of the control points.

3 - Examples

The method has been used successfully to design the supply of

several irrigation perimeters in Morocco under the supervision of the

"Direction de l'Hydraulique, Ministère des Travaux publics".

The more interesting cases are briefly described in order to show

how, in practice, the problem can be set up and how are determined the nume-

rical values which are to be introduced in the programs. The practical con-

clusions which can be derived from the results are also discussed.

4 - Conclusions and possible extensions

It has been verified, for all the examples, that in the arid or

semi arid zones, water is effectively a limiting factor. In this case it

appears that the optimisation of the exploitation on the basis of a physical

objective function (generally the maximum yield) must have priority.

As a matter of fact, the application of the method described above

has led the authors to propose in every case an "optimum exploitation network"

which shows itself to be smaller by far than the "possible pumping network".

However, it is necessary to develop the method in a more economical

way.

V

To do so we propose :

- first, a program for the determination of the cost of water pro-

duced from the "exploitation network", optimized by the method given above.

(This program has been used in some examples presented in the text].

- second, another formulation, more convenient when the ground-

water resource is not the limiting factor, in which the water cost is taken

as the objective function to be minimized. This formulation is now being

studied.

- 1 -

1 - POSITION DU PROBLEME ET CONDITIONS D'APPLICATION DE LA METHODE

Quand on désire assurer tout ou partie de l'alimentation de secteurs

d'irrigation à partir de prélèvements dans un aquifère, il faut indiquer aux

aménageurs, dès le stade de l'avant-projet, le débit global exploitable (que

l'on peut encore appeler "ressource disponible"] et la description du dispo-

sitif de captage correspondant.

En général, en hydrogéologie moderne, on n'aborde ce stade que

quand la nappe est suffisamment bien connue pour permettre sa représentation

par un modèle de simulation couvrant un certain domaine géographique^) dans

lequel les secteurs d'irrigation [Si] n'occupent qu'une certaine partie (fig.

ci-dessous].

Pi Point de pompage

Ci Point de contrôle

(S.] Secteur d'irrigation

Présentation du problème. Notations

II est d'autre part fréquent que les conditions agricoles, hydro-

géologiques, socio-économiques (contraintes sur l'occupation des sols] permet-

tent de définir "a •priori" un "réseau de points de pompage possibles" (P ,

2' "maximum].

P., ... P ] en nombre raisonnablement limité (une cinquantaine auj n

- 2 -

De même certaines caractéristiques physiques du système, des consi-

dérations économiques sur les frais de construction et d'exploitation du dis-

positif de captage, et la nécessité de limiter les préjudices (inévitables)

de l'exploitation envisagée à un niveau acceptable au plan général amènent à

fixer un "réseau de points de contrôle" (C , C„, ... C , ... C ) où le rabat-

tement doit être contraint à rester inférieur à un ensemble de valeurs limites

SMAX , SMAX2, ... SMAXi ... Ci

comme des points de contrôle.

SMAX , SMAX9, ... SMAX. ... Certains points de pompage peuvent être utilisés

L'ensemble des points de pompage et des points de contrôle constitue

ce que nous appellerons une "configuration".

Dans ces conditions, l'objectif le plus immédiat est de déterminer

dans quelle mesure l'eau est un facteur limitant, ce qui implique la défini-

tion du débit maximal exploitable par l'ensemble des points de pompage, soit :

nQMAX - l Qj (fonction objectif]

1

où Qj est le débit optimal exploitable sur le point de pompage j sous les

contraintes attachées au réseau de contrôle.

C'est ce premier problème que nous examinerons principalement. Il

est effectivement le plus courant dans les zones arides ou semi-arides où,

en général, les ressources en eaux sont nettement plus limitées que les sur-

faces aménageables.

2 - EXPOSE THEORIQUE

2.1 - Définition des coefficients d'influence entre réseau de pompage et réseau

de contrôle

Soit un système de captage composé de (n) puits répartis de façon

quelconque dans un aquifère que nous supposons captif ou libre, mais présen-

tant dans ce cas des variations d'épaisseurs mouillées suffisamment faibles

pour que l'on puisse admettre que la transmissivité y reste indépendante de

la piézométrie.

- 3 -

Les lois de l'hydrodynamique en milieux poreux montrent que les

rabattements s^ provoqués en tout point (i) de cet aquifère, lorsque les

ouvrages produisent des débits constants Q. (j = 1, ..., n), sont des fonc

tions linéaires de ces débits, de la forme :

On dira que a-jj représente le coefficient d'influence de l'ouvrage

(j) sur le point (i] de l'aquifère que nous prendrons, par la suite, comme

appartenant au réseau de contrôle. (Mais, la propriété est vraie pour tout

point). Ce coefficient a¿j peut aussi être traduit numériquement comme le

"rabattement" provoqué au point (i) par un pompage à débit unitaire extrait

de l'ouvrage (j] agissant séparément. Dans ces conditions, ajj, coefficient

d'influence d'un ouvrage (j) sur lui-même, représente le rabattement au

droit de cet ouvrage lorsque sa production est égale au débit unitaire.

Pour un ensemble de m points et de n ouvrages, l'équation (1) peut

s'écrire sous forme matricielle :

s = B . Q (2)

où B est une matrice d'ordre Cm x n).

2.2 -Mise en équation du problème posé

II s'agit de répondre numériquement à la question : "combien faut-

il produire, à débit constant, au droit de chacun des n ouvrages d'un champ

captant, de sorte que la somme de ces débits soit maximale et que les rabat-

tements provoqués au droit de m points de contrôle soient, au plus, égaux à

une valeur fixée ?".

D'après le paragraphe précédent et en utilisant une notation matri-

cielle définie en annexe, il s'agit de trouver les variables Qj, positives,

telles que :

nf = £ qj (fonction objectif)

J-1

- 4 -

soit maximale et satisfasse les m + n inégalités :

B . 0 t SMAX

- UQ $ 0(3)

Cette dernière inéquation traduit la condition de signe sur les

débits, avec U matrice carrée unitaire d'ordre n.

Ou bien encore, il s'agit de trouver la matrice Q rendant la forme

linéaire f = I'Q maximale et vérifiant les m + n inégalités :

B . Q <ç SMAX (3I)

- UQ * G

On se trouve donc confronté à un problème classique de programma-

tion linéaire.

2.3 - Résolution du problème

2.3.1 - Calcul des coefficients ajj

II est clair que l'application de l'algorithme de programmation

linéaire implique la connaissance des coefficients a±j. On les obtient en

déterminant sur le modèle de la nappe (supposé convenablement calé) les

rabattements créés sur tous les points de contrôle par un débit unitaire pré-

levé seul successivement en chacun des points de pompage.

Le type de modèle utilisé peut être soit un simple modèle analyti-

que (combinaison de formules de l'hydraulique des puits), soit un modèle ana-

logique, soit un modèle numérique à condition qu'il puisse être considéré

comme suffisamment représentatif.

Dans le cas où on utilise un modèle aux différences finies, il est

nécessaire d'utiliser une formule d'approximation pour estimer les coeffi-

cients a-jj au droit des ouvrages eux-mêmes, à partir des rabattements dans

la maille.

- 5 -

Dans tous les exemples décrits ci-après, le calcul des coefficients

aij a été fait par simulation sur un modèle aux différences finies à mailles

carrées utilisé dans un stade préliminaire pour représenter la nappe dans son

état actuel. Ce programme délivre directement le jeu des coefficients a^^ sur

cartes perforées pour permettre un enchaînement rapide avec le programme d'op-

timisation. Mais il est tout aussi possible d'obtenir ces coefficients sur un

modèle analogique.

Notons que l'ensemble des coefficients a., se rapporte à une confi-

guration maximale de n points de pompage et m points de contrôle. On peut en

déduire des jeux de coefficients se rapportant à des "sous configurations"

comprenant un nombre plus petit de points (m' < m, n' < n), à condition que

tous appartiennent à la configuration initiale.

2.3.2 - Programmation linéaire

Pour la phase d'optimisation, c'est-à-dire la résolution du pro-

blème formulé en (3'), on peut utiliser n'importe quel programme général de

programmation linéaire. Toutefois, nous avons préféré concevoir un programme

particulièrement adapté aux conditions, notations et unités d'usage courant

en hydrodynamique. Il est écrit en FORTRAN IV et utilise la méthode du sim-

plexe.

Les données à fournir en entrée du programme sont :

- la matrice B des coefficients a .- de la configuration maximale,

- la définition (éventuelle) des sous configurations,

- pour chaque sous configuration, la (ou les) matrice(s) SMAX des

rabattements limites (plusieurs jeux de contraintes peuvent être

testés).

Le programme donne en résultat pour chaque configuration et (éven-

tuellement) chaque jeu de contraintes : le débit en chaque point de pompage

et le débit total correspondant (fonction objectif maximisée), les rabatte-

ments en chaque point de contrôle.

On constate, en général, que seuls certains puits sont à exploiter

et que seules certaines contraintes sont effectivement limitantes.

- 6 -

2.3.3 - Difficultés rencontrées dans l'application, de la méthode

L'exposé théorique précédent montre qu'il existe une démarche de

calcul en soi très rigoureuse permettant d'atteindre l'objectif de production

maximale pour une configuration donnée. Cependant, il est évident, en théorie,

et il se confirme en pratique, que le résultat de ce calcul, et donc le dis-

positif d'exploitation, dépend :

- du choix des configurations,

- du choix des contraintes,

- éventuellement, d'hypothèses sur le comportement à long terme

de l'aquifère (voir ci-après, paragraphe 3.1).

Ainsi, malgré la rigueur du raisonnement, il faut dans chaque cas

particulier faire largement appel à des considérations générales de nature

très diverse pour poser correctement le problème. Gn est même souvent amené

à retenir un certain nombre de formulations (ou, autrement dit, de configu-

rations et jeux de contraintes) d'où résultent un ensemble de solutions par-

mi lesquelles on choisit en définitive sur des critères plus ou moins empi-

riques. L'obtention de cet ensemble de solutions est rendue assez aisée par

le fait que le programme d'optimisation est très peu coûteux en temps ma-

chine, ce qui permet de balayer un grand nombre de cas.

Nous allons illustrer cette démarche par quelques exemples réels.

3 - EXEMPLES

La méthode décrite précédemment a été mise en oeuvre dans le cadre

de plusieurs projets d'aménagement hydro-agricole ayant pour objectif la

création de secteurs d'irrigation alimentés en tout ou partie par des prélè-

vements dans une nappe.

Nous avons retenu quatre exemples traités au Maroc en coopération

avec la Direction de l'Hydraulique (Division des ressources en eau) du

Ministère des Travaux publics qui assurait la direction de ces projets sur le

plan hydrologique. Ils ont l'avantage de constituer un ensemble homogène par

le contexte général climatique et économique tout en présentant une diversité

assez grande pour bien illustrer les principaux aspects pratiques de la mise

en oeuvre de la méthode.

- 7 -

Dans tous les cas, la nappe à exploiter avait fait l'objet (de la

part de la D.R.E.] d'études hydrogéologiques suffisamment approfondies pour

permettre la réalisation d'un modèle représentatif de son état actuel.

Ces modèles étaient du type numérique aux différences finies à mail-

lage carré régulier permettant un enchaînement aisé avec le programme d'opti-

misation [voir ci-dessus paragraphe 2).

Nous allons décrire brièvement comment sur cette base se présente,

dans chaque cas particulier, le problème de la définition d'une "exploitation

optimale", comment sont déterminées les valeurs numériques nécessaires à sa

résolution par programmation linéaire, puis comment on peut critiquer et amé-

nager les résultats de cette résolution pour en sortir "la solution" proposée

en définitive aux aménageurs.

Le tableau 1 résume les caractéristiques principales des quatre

exemples choisis, qui portent sur les nappes du NEKGR (Maroc oriental], du

TADLA (Maroc central], du DRADERE (côte atlantique nord), BIR-JDID (côte

atlantique centre).

3.1 - Nappe du NEKOR

La nappe du Nekor circule dans une plaine côtière incluse dans le

domaine rifain : elle est alimentée, au Sud, par le débouché de trois oueds

(dont le principal est le Nekor) et s'abouche directement au Nord avec la

Méditerranée. L'écoulement est quasi permanent sans grandes variations inter-

annuelles (voir carte figure 1).

Dans cet exemple, particulièrement simple, les points de pompage

possibles sont connus : B ouvrages déjà réalisés au cours d'un précédent pro-

jet. On veut les utiliser au maximum de leurs possibilités en excluant toute

création d'ouvrage nouveau. Les contraintes portent sur les rabattements dans

les ouvrages qui doivent être maintenus en deçà d'une limite imposée par les

dimensions de la chambre de pompage (soit 30 m environ) et sur le niveau en

bordure de mer qui doit être maintenu à une cote suffisante pour éviter une

intrusion saline préjudiciable aux puits fermiers existants.

/ ? 3 i 5

MODELE MATHEMATIQUE

I"" LIMITE MANCHE

• LIMITE D'ALIMENTATION

AERODROME

d'AL HOCEIMA

GEOLOGIE HYDROGEOLOGIEVA FLYSCH

FORAGE DE KECON.NAISSANCE IS72

- Ç - AUTRES FORAGES

O PUITS

Iff PlEZOMEme 1972 JUIN

Figure 1 - Nappe du Nekor

TABLEAU 1 - Caractéristiques principales des 4 exemples présentés (nappes de NEKOR, DRADERE, DERNA, BIR-JDID)

Nappe

NEKOR

DRADERE

DERNA

BIR-JDID

Configuration maximale

Réseau de pompage

Nb

6

22

14

26

Critères d'implantation

ouvrages existants

6 ouvrages existants +réseau régulier sursecteur d'irrigation

zones pédologiquementfavorables

ouvrages existants sur5 secteurs d'irrigation

Réseau de contrôle

Nb

6

+

4

22+

7

14+

6

26+

2

Critères d'implantationet contraintes

puits (hauteur refoule-ment disponible surouvrages)contrôle biseau

puits [hauteur de re-foulement économique)

contrôle biseau

puits (dénoyage nappe)

contrôle niveau enrégion peuplée

puits (contrôle biseauou dénoyage nappe)contrôle biseau

Sous-configurations etvariantes étudiées

2 hypothèses sur l'ali-mentation de la nappe

3 jeux de contraintessur puits

variation du nombred'ouvrages entre 6 et22

variation des contrain-tes sur le contrôle enrégion peuplée

variation des contrain-tes sur puits

Solution

Nb

6

10

10

15

Q en1/9

300

360

1000

80

Prix enDH/m3

0,0623

0,055

I

C D

I

- 1 0 -

Dn en déduit aisément la "configuration" à tester qui est unique

et comprend un réseau de pompage à 6 points et un réseau de contrôle à 10

points (les 6 forages + 4 points de contrôle en bordure de côte].

La principale difficulté provient dans ce cas du fait que l'on ne

connaît pas très bien le mécanisme d'alimentation par les oueds et qu'il y a

donc une incertitude sur le comportement à long terme de la nappe. Deux hypo-

thèses ont donc été faites : une hypothèse optimiste où l'alimentation amont

est supposée à charge constante, une hypothèse pessimiste où l'alimentation

est supposée à débit constant [identique à celui de l'état actuel).

Dans ces conditions, il faut calculer pour la configuration définie

deux jeux de coefficients d'influence correspondant à chacune des hypothèses.

Pour chacun, on a également testé 6 jeux de contraintes pour définir l'in-

fluence relative des rabattements sur forages et des niveaux imposés pour

contrôler l'intrusion saline. Soit au total 12 calculs par programmation

linéaire donnant 12 débits de 260 1/s à 405 1/s avec une forte concentration

autour de 300 1/s.

C'est ce dernier chiffre qui a été retenu et constitue la solution

proposée aux aménageurs.

3.2 - Nappe du DRADERE

La nappe du Dradère est une nappe côtière, située en bordure de

l'océan Atlantique entre Kenitra et Larache. Sa seule source d'alimentation

est constituée par les infiltrations pluviales ; ses émergences sont péri-

phériques : oueds Dradère et Soueire et océan Atlantique.

Deux secteurs d'irrigation sont prévus. Nous ne traiterons ici que

du secteur sud situé sur la moitié méridionale de la nappe (voir carte fig. 2)

Certains forages existent mais sont insuffisants pour fournir le débit néces-

saire. Il faut compléter le réseau avec un nombre minimal de puits tous im-

plantés dans le secteur lui-même.

— Fpaisseur d'eau salée,en m . f 2032 N* I.R.E..—— Courue piézomètrique observé,en m -<£- forage avec essai^—- " " calculé', en m 10 Transmiisivite en lO~*m2/s

• 1 Point de pompage k i> Point de controle Y\ Z 1 3\ + I S I 6 | 7 \8 \ 9 | 10 | It | 12 | 13 \ M \ IS \ It | 17 \ 18 | 1$ \20\2t \22\2Z\ 2* | 25 \26 \27\ ZS | 23 \SO\3I | S2\S3\34 | 3S\ 36 \S7

-y Vers la•I MERJA ZERGA

308 l/s

Figure 2 - Nappe du Dradère, secteur sud

- 12 -

En ce qui concerne les contraintes, l'aménageur, par des calculs

économiques préliminaires, a fixé une hauteur de refoulement maximale d'où

l'on déduit pour chaque ouvrage un rabattement limite. On veut également

que le biseau salé soit maintenu dans une zone côtière inoccupée par les

cultures.

La "configuration maximale" a donc été définie en répartissant

régulièrement les points de pompage possibles sur l'ensemble du secteur

d'irrigation (soit 22 points, voir fig. 2] et en implantant 7 points de

contrôle à la limite de la zone côtière sacrifiée (soit au total 29 points

de contrôle].

Dans ce cas la démarche a consisté à étudier comment variait le

débit total disponible quand on réduisait progressivement le réseau de pom-

page, en conservant en priorité les forages existants (c'est-à-dire en tes-

tant successivement plusieurs sous-configurations]. On a ainsi pu démontrer

que le débit pour la configuration maximale était de 405 1/s tandis que

pour les 6 puits existants il était de 351 1/s. On a retenu une solution

intermédiaire à 10 puits donnant les 3B0 1/s exigés'par les aménageurs. ' ¡-'

3.3 - Nappe du DERNA

Cette nappe est une partie de l'ensemble des nappes de la plaine

du Tadla au pied de l'Atlas marocain. Elle est alimentée en grande partie

par les pertes du réseau d'irrigation traditionnel qui distribue 6 m3/s

environ en provenance des sources de piedmont.

On envisage d'augmenter la superficie cultivée en aménageant le

maximum de parcelles pédologiquement favorables et en les alimentant en eau

par des forages à la nappe.

Le réseau des points de pompage a donc été défini par les ser-

vices agricoles après cartographie de ces zones favorables (soit 14 points,

voir carte fig. 3). Le réseau des points de contrôle est constitué par le

réseau des points de pompage, où l'on veut que le rabattement n'entraîne

pas un dénoyage des crépines, auquel on a ajouté 6 points situés dans des

zones à forte densité de population où il faut éviter de créer des rabat-

tements préjudiciables au réseau de puits traditionnels.

limit's au modèle

^f0_s trammissi vi té en 10' 7>*/s

fyz pvln projeté*

| | cultivable

\ cultivable

A maille ¿ rabattement limité (con/rô/e)

zones ¿ habitat i on

_ _j - lignes éléc tri ques existantes

^¿/¿"profondeur delà nappe

| | non cultivable

Figure 3 - Nappe du Derna

- 14 -

En définitive, cette formulation a conduit a retenir 10 points de

pompage pour un débit total de 1 m V s , ce qui permet aux aménageurs de défi-

nir la localisation des secteurs à moderniser et l'importance des équipements.

3.4 - Nappe de BIR-JDID

Du point de vue hydrogéologique, la nappe de Bir-Jdid est située

dans un contexte assez comparable à celui de la nappe du Dradère (voir para-

graphe 3.3) : alimentation par les infiltrations pluviales, émergences en

oueds côtiers et dans l'océan Atlantique, hais elle s'en distingue par deux

caractéristiques particulières qui en font un cas extrême : son alimentation

est beaucoup plus faible ( du fait de sa situation plus méridionale), l'a-

quifère est très pelliculaire et assez hétérogène, ce qui a conduit à une

prolifération anarchique des puits. On se trouve donc actuellement en pré-

sence d'un réseau d'exploitation a -priori, nettement surabondant par rapport

aux ressources. D'autre part, la réorganisation des activités agricoles de

la région a conduit les autorités à définir un certain nombre de secteurs

d'aménagement prioritaires. Il faut donc définir quel est le réseau à rete-

nir pour l'alimentation de ces secteurs et quel débit on peut en attendre

(voir carte fig. 4). Les contraintes portent sur les rabattements dans les

ouvrages qui sont limités de façon très imperative, dans tous les cas, par

l'épaisseur de l'aquifère (5 à 10 m en moyenne) et, pour les puits voisins

de la côte, par la nécessité de contrôler l'intrusion saline.

Les points de pompage ont été répartis sur les secteurs d'irri-

gation. Ils correspondent à des puits (ou groupe de puits dans une maille)

qui existent déjà (toute création d'ouvrage nouveau est exclue par hypothèse).

Gn a donc une configuration à 26 points de pompage et 28 points de contrôle

(dont 2 sans pompage pour le contrôle du biseau). Le seul jeu possible a

trait à la valeur de la contrainte de rabattement sur les puits éloignés de

la côte, selon que l'on admet un dénoyage plus ou moins important. En fait,

pour une variation de cette contrainte entre 3 m et 4 m, le débit disponible

varie de 70 1/s à 90 1/s avec, dans tous les cas, 15 puits. On a donc pro-

posé une solution moyenne à 80 1/s.

15

N A P P E D E B I R - D J I D

Chaouïa cotière

\odite mathématique

néable (ligne de courant)

•ngation de la zone dt SIR OJIO

10 Courbt piéiomitnqut (tolesNGMtéut dtlMntppt Oi -

252 253 2Si 255 256 257 251 259 2(1 2(1 2(2 263 26t 2(5 266 2(7 26»

- 16 -

4 - EXTENSIONS POSSIBLES DE LA METHODE

La maximisation de la production est bien l'objectif essentiel de

l'aménageur d ¡ns les régions où l'eau est le seul facteur limitant. L'éva-

luation du coût correspondant n'est qu'un simple calcul algébrique addition-

nel : ce calcul a néanmoins été automatisé, afin d'augmenter la rapidité

d'obtention des résultats dans chaque hypothèse examinée. Les prix élémen-

taires sont estimés à partir des marchés de travaux déjà exécutés dans la

région ou le pays (voir quelques résultats, tableau 1).

Si, au contraire, l'eau n'est pas un facteur limitatif, on cher-

chera à minimiser le coût sous une contrainte de production, plutôt qu'à

minimiser la production.

On se donnera donc un seuil réaliste qQ fixé a priori, et on

cherchera la répartition des débits minimisant le coût, tout en fournissant

un débit > qQ et tout en respectant les contraintes de rabattement définies

précédemment.

La nouvelle fonction objectif est alors plus complexe, elle ré-

sulte de l'addition d'un coût de production et d'un coût d'investissement.

- Le coût d'investissement dépend linéairement des débits.

- Le coût de fonctionnement est une fonction quadratique des dé-

bits (en fait, c'est une fonction bilinéaire des débits et des rabattements,

ces derniers étant: eux-mêmes fonction linéaire des débits].

Sans entrer dans le détail de l'élaboration des divers termes de

la fonction de coût (ce qui fera l'objet d'une publication ultérieure), on

peut noter qu'elle a la forme suivante :

f = F + a'Q + Q'AQ

où F est un scalaire, a une matrice colonne, et A la matrice carrée des ra-

battements unitaires dans les forages.

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Qn a donc un problème quadratique :

Maximiser f = F + a'Q + Q'AQ sous Q i QQ

-UQ $ Q (4)

BQ ¡s SMAX

Nous n'envisagerons pas ici les méthodes de résolution du problème

(4), mais il faut noter une difficulté méthodologique liée à la formulation

du problème :

- Dans le cas où il existe déjà un réseau de puits équipés, le

coût d'investissement se réduit soit à 0, soit au terme constant F (inves-

tissements actualisés]. Le choix entre ces deux solutions est un choix éco-

nomique, appartenant à l'aménageur. Qn peut dire, dans ce cas, que le pro-

blème (4) est bien posé.

- Dans les cas où, au contraire, il s'agit d'un projet d'équipe-

ment, la résolution du problème (4] peut conduire a des valeurs nulles pour

certains débits ; ce qui modifie d'autant le coût d'investissement. La for-

mulation (4), bien qu'utilisable en première approximation, n'est donc pas

parfaitement adaptée au problème. Nous étudions actuellement d'autres for-

mulations, faisant appel à la programmation mixte.

ANNEXE

N O T A T I O N S

a.. coefficient d'influence de l'ouvrage j sur l'ouvrage i

A matrice carrée (n x m] des coefficients a., avec i => 1, .... n

j - 1, ..., n

A' désigne la matrice transposée de A

B matrice (m x n] des coefficients a., avec i s 1, ......m

j * 1 , ..., n

et m i n

n nombre d'ouvrages

m nombre de puits de contrôle, ouvrages compris

Q matrice colonne des débits q. des n ouvrages

U désigne la matrice carrée unitaire d'ordre n

I' désigne la matrice ligne d'ordre u : (1, .... 1)

T désigne la transmissivité d'un terrain aquifère Cen m2/s)

S désigne le coefficient d'emmagasinement d'un terrain aquifère

(adimensionnel)

s. rabattement observé au droit du point (i) de 1'aquifère

smax. rabattement maximal toléré au droit du point (i) de 1'aquifère

s matrice colonne composée des (m] rabattements s.

SMAX matrice colonne composée des (m) rabattements smax.

m x n représente l'ordre d'une matrice Cm = nombre de.lignes, n - nombre

de colonnes]

f fonction à optimiser