Modélisation numérique en mécanique des fluides :

Applications à l'étude des écoulements en rotation

avec parois

L.M.S.N.M. FRE 2405 / C.N.R.SLa Jetée - Technopôle de Château-Gombert,

38 rue Frédéric Joliot Curie,13451 Marseille Cedex 20 France.

E. Serre

44ièmeième Rencontres Nationales des MécaniciensRencontres Nationales des Mécaniciens1919--23 Mai 2003, Le 23 Mai 2003, Le PradetPradet

Amélioration des performances des calculateurs depuis 1950 a conduit à lémergence de la MFN (CFD)

Complète lexpérience et la théorie à un coût efficace danslétude des écoulements réels.

Niveau de bruit faible et manipulation des équationsPermet de tester les avancées théoriques dans des

conditions impossibles (ou difficiles) à réaliser en expé-Permet de jouer avec certains termes dans les équationsex: supprimer la gravité

Contrôle des écoulements

Accès à lensemble du champs spatio-temporelPlus de détails et dinformation

Coût réduit par rapport à la soufflerie + temps réduit pour designer et développer

Equation de transport pour la Température

Equations de Navier- Stokes (conservation de la qte de mvt) Conservation de la masse

convection: terme dinertie

Accélération locale

Force externe

tractions: pressionet force visqueuse

Modèle mathématique:EQUATIONS OBERBECK-BOUSSINESQ

VpgTTVVtV 2

0 )(. ∇+∇−−−=∇+∂∂ υα

0=∇V

TTVtT 2. ∇=∇+

∂∂ χ

- Méthodes locales : différences finies, éléments finis, volumes finis

Les équations algébriques lient les valeurs des variables primitives avec des valeurs en des point adjacents.

(Le nbre détermine lordre de la méthode)

- Méthode globale: spectraleLes variables sont remplacées par des amplitudes associées à différentes fréquences

Trop complexes pour obtenir des solutions exactes !

Recherche de solutions approximées

Dv. de méthodes numériques

Equa. de la méca fluide+ cond. limites

DiscrétisationSpatio-temporelle

Système algébrique

Solution approximée

Solveur numérique

Solution exacte

Stabilité∆t, ∆x

consistence

Convergence∆t, ∆x 0

erreur Ψ-ΨNMKSystème linéaire

AX+BXT=S

=

Π=∇

Π+∆+−∇=∇−∇++−

++

+

+++

−

−−−+

11

1

111

BashforthAdams

11

schemeEuler backwardorder Second

11

on 0.

on Re1).().(2

243

nn

n

nnnnnnnnnn

WV

V

FVpVVVVt

VVV 4444 84444 76444 8444 76

δ

Schéma en temps:

second order semi-implicitbackward implicit Euler scheme + explicit Adams-Bashforth scheme for non-linear terms

Approximation spatiale :

- approximate Ψ=(u, v, w, p) par un développement en séries tronquées:

Tn and Tm Chebyshev polynomials: Tn(r) = cos(n cos-1 r), avec(r, z, θ) ∈ [-1; 1]2 × [0; 2π[.

- points de Gauss-Lobatto en (r, z) : xi = cos(iπ / N), i = 0,...,N

- Lerreur Ψ-ΨNMKdecroît exponentiellement si Ψ∈C∞

∑ ∑∑=

−

−==

Ψ=ΨM

m

ikmnnmk

K

Kk

N

nNMK ezTrTttzr

0

1 2/

2/0)()()( ),,,( θθ

)

Chaque variable est solution dune équation de la forme:( ) SA =Ψλ−Ψ

technique de diagonalisation complète adapté àla prise en compte de valeurs propres complexes

Solveur 3D

( ) SA =Ψλ−Ψ

Écoulements ouverts sur un milieu infini

- Origine et Application: la géophysique(Ekman 1905, Hide 1953)

- Outil théorique:- écoulements de similitude (von Karman 1921, Batchelor 1951)

solution exacte des équations de Navier-Stokes

Écoulements confinés : Applications industrielles multiples

- croissance cristalline (config. Czochralski)

- génie des procédés (mélangeur ...)

- turbomachines (système de refroidissement)

Présence de parois

- Outils expérimentaux et numériques

Les écoulements en rotation

Compresseur haute pression

Partie basse pression

Moteur SNECMA CFM56

Les écoulements industriels ...

Les turbomachines: systèmes de refroidissement

5% décart sur la prédiction des transferts de chaleurresponsable de 60% des arrêts non programmés

Transferts de masse et de chaleur Turbulence

En aérodynamique- Ailes delta ou triangulaire - Au-delà dun certain angle dattaque lécoulement axial au cur du vortex est décéléré et peut même êtrecomplètement stoppé (stagnation point) et ainsi le vortex est dit « to break down »- Le cur du vortex ne conserve pas sa forme originale et au contraire semble se détruire complètement.

Éclatement tourbillonnaire

Avec ce phénomène la portance est réduite et laile peut devenir fortement instable et incontrôlable

Situation identique dans les « swirling pipes » qui peut engendrerdes écoulements de retour et des oscillations

Bubble type (Krause 1999)

Spiral type (Krause 1999)

Analyser et comprendre les phénomènes élémentaires fondamentaux (instabilités, éclatement tourbillonnaire, turbulence) ainsi que les transferts de masse et de chaleur associés se produisant dans les écoulements en rotation avec parois.

Objectifs et moyens de la recherche

Optimiser les procédés ou les systèmes industriels les mettant en jeu : turbomachines, aérodynamique interne et externe,

Étude dans des configurations modèles au moyen de la Simulation Numérique Directe (DNS) « haute performance » : équation Navier-Stokes 3D instationnaire, vitesse-pression, méthode spectrale

- Configurations géométriques simples (ou semi-complexes)mais constitutives de nombreux procédés industriels

Méthodologie de la recherche

Configurations modèles mais pertinentes avec des applications industrielles

Il faut se donner des modèles:géométrique, mathématique, numérique

Modèles géométriquesRapport de forme L = H/R

paramètre de courbureRm= (R1+R0)/(R1-R0)

Paramètresgéomètriques

Cavités rotor-stator

cylindrique annulaire

L<<1L>>1

Cavité annulaire en rotation densemble

DNS comme outil de recherche

- on ne prétend pas calculer des écoulements industriels !

- études contrôlées dans des configurations académiques difficilement reproductibles en expérience (perturbations non contrôlées)

- à des nombres de Reynolds relativement bas mais suffisant:

écoulements transitionnels : connaissance précise de tout le champs spatio-temporel

- Être raisonnable: moment dordre 3 ou intermittence dépendantfortement des très petites échelles pas vraiment accessible avec précision

- Dynamique spatio-temporelle des structures cohérentes induites par linstabilité- Valeurs critiques des paramètres de contrôle en régime transitoire

Ne nécessite pas une séparation très importante entreéchelles énergétiques - échelles dissipatives (Le & Moin 1994)

- accès à la statistique au moins jusquà lordre 2

écoulements turbulents, - accès à la physique de la turbulence Théorie du contrôle

Amélioration des approches RANS Impact industriel immédiat

Serre & Pulicani 2001

- Code Performances

- 6 Gflops- maximum taille mémoire utilisée: 2Go- 5 sec / time step- 1.8 millions variables (280x96x64 121x120- 2.5 x 10-6 sec/time-step/variable CNRS IDRIS (Paris)

- Supercomputer (vector) NEC SX5

- 40 processeurs de taille mémoire 224Go

- performance en crête: 8 Gflops par processeur

75% du max !!

Performances

Écoulements actuellement étudiésÉcoulements actuellement étudiés

Écoulements interdisques rotor-stator régimes de transition régime turbulent

Écoulements dans un cylindre éclatement tourbillonnaire transition vers linstationnaire

Écoulements de Taylor-Couette cavités rotor-stator, contra-rotation transition + turbulence

Écoulements en rotation densemble chauffés par le bas convection de Rayleigh-Bénard + Coriolis étude de « textures » chaotiques

Écoulement interdisque de type rotor-stator

Écoulement turbomachines, disques dur d ordinateur- connaissance des transferts de masse et de chaleur

Écoulements de base

Annulaire L = 0,13 Rm = 5 et Reh = 200

Couches Bödewadt

Couche d Ekman

Cylindrique L = 0.5 et Reh = 1400

Couche dEkman

- moteur de lécoulement:rotation différentielle

- écoulement de type Batchelor

Nombre de Reynolds:Reh = Ω (2h)²/ν

Variation radiale de lépaisseur de la couche de Bödewadt

Rotor-stator

(1) Trajectoire d Ekman(2) Écoulementgéostrophique

R0

Instabilité spiralede la couche d Ekman

Vg

(1)

(2)

)0.25Ro,122Re(82 δ ≈≤≤

Reh = 1790 Cw = 530

Mode k=12 de la couche limited Ekman

0.36/VV7.26ε

9.86σ

gΦ =−=

=

Cavité annulaire en rotation d ensemble (L=3.37, Rm=5)

Champs instantanés dansun plan meridien (r,z)

R0 R1

u

v

w

Champs de vitesse projeté

Ecoulement Turbulent: Re=300000Maillage

301×97×64

Zone géostrophique : structures cohérentesde grandes échelles

Expérience UMIST à très grande rotation

Iso-surfaces de température

Couche de fluide en rotation chauffée par le bas: convection de Rayleigh-Bénard en rotation

Géophysique : couche atmosphérique

Comprendre comment la force de Coriolis agit sur les structureset les propriétés thermiques de la convection

Intérêt plus fondamental: formation de patterns (« texture »)aspects non-linéaires : pb délicat en mécanique des fluides et en physique des états condensés

RAYLEIGH-BENARD CONVECTION IN AN INFINITIVELY EXTENDED LAYER

Two control parameters:

υ/κPr

3

=

∆=

υκα TdgRa

Under ideal conditions Rac=1708

Steep gradient across a fluid layer

Ideal straight rolls at the onset

Loin du seuil critique les rouleaux se courbent et des défauts apparaissent

W. Pesch : Spiral defect chaosNumerical solution of Boussinesq equation

G. Ahlers : stars structurespicture from optical-shadowgraph techniqueComplex spatio-temporal dynamics involving,

rotating spirals and dislocations

Spirals get contact atRa=6800

S-shaped structure rotatingin the direction of the disks

Iso-lines of temperature at mid-height in a cylinder Γ=5, Ω=60 (conducting thermal sidewall condition). Dark regions are warm upflows and bright regions are cold downflows.

Küppers-Lortz state atRa=8000

Etudes des modes de parois

Ω=60, Ra=4800 Chaos spatio-temporel

Patterns Complexes (dislocations)

Ω=60 , Ra=10000 périodique aux parois

Modes de parois en contra-roation

Ω=60 , Ra=10000 Quasi-périodique aux paro

Interaction des modes de parois

Écoulement dans un cylindre et éclatement tourbillonnaire

Aérodynamique interne et externe

CL Ekman

CL Bödewadt

Stewartson- likelayer

Re=2500, L=4

Le disque du haut tourne instantanément à Re=2500

Une couche dEkman se forme agissant commeune pompe extrayant le fluide de manière centrifuge

Le fluide est advecté avec du swirl le longdu cylindre vers la couche de Bödewadt

Le fluide spirale vers laxe et de nouveau swirle en remontant le long de laxe formant un vortex

Ce vortex peut se casser pour certainescombinaisons de L et Re

Dans la pluspart des cas la formation dune zone de recirculation est inclue dans la définitionde léclatement tourbillonnaire (Leibovich 1978)

VB est assimilé à une ou plusieurs zones de recirculation

Ecoulement de base

Illustration: Régimes stationnaires: L= 2.

Points de stagnation

Reh = 1500Reh = 1492

Reh = 1854

Visualisations expérimentalesEscudier (1984)

Profils de vitesse axialeSuivi de particules dansun plan (r, z)

Iso-surface w=0

Pas de point de stagnation deux points de stagnation

Processus parfaitement continue en temps

un point de stagnation

Transition vers linstationnaire en régimes isothermes

Brisure de symétrie correspond à une bifurcation deNaimark-Sacker associée à un mode k=1 dinstabilité: VB 3D

Relative à la brisure de symmétrie SO(2) de lécoulement externeinstabilité centrifuge ou de jet tournant

A la première bifurcation, le VB reste axisymmétrique

Première bifurcation de létat de base:Hopf associée à une onde tournante k=4à Re=2900

Conclusion et perspectives

- La modélisation numérique apparaît comme un outil efficace et moderne pour étudier des pbs de mécanique desfluides complexes: non-intrusifs, précis, accès à tous le champs

-Accroissement continu des performances des ordinateurs- Augmentation de la taille des maillages

* Description déchelles spatiales plus petites (DNS en turbulence)

- Géométries et écoulements plus complexes(méthode multidomaines 3D, écoulements compressibles)

- Objectifs : Turbulence et contrôle