Post on 04-Apr-2015
Modèle mathématique (simplifié) d’un vélo
Guy Gauthier ing. Ph.D.SYS-823Été 2011
Paramètres définissant la géométrie du vélo
Paramètres définissant la géométrie du vélo
Centre de masse du vélo
Points de contact avec le sol
Prolongement de la fourche
Référentiels
Bicyclette version simplifiée – cas #1
L’angle λ = 0. Fourche avant verticale.
Ce qui implique que c = 0.
Vitesse de rotation duréférentiel xyz
Vitesses Roue arrière du vélo = V0; Centre de gravité = V.
Vitesse de rotation du référentiel:
0 0
0
tanV Vd
dy r b
0r rsind V V
dy r a
V
Vo
Vitesse du centre de gravité
A partir des deux équations précédentes:
Composante en y:
0 tan
sin
aVV
b
0r r0 tansiny
aVV V
b
Dynamique liée à l’inclinaison du vélo
Dynamique:
Avec:
2 2
2sin cos cosy
p
dVd VJ mgh mh
r dtdt
0r r
02cos
ydV aV d
dt dtb
Dynamique liée à l’inclinaison du vélo
De plus:
Ainsi:
220 0tan
cos tantan
aV VV V
r r b
220
2 20
cossin tan
cosp p
mhVd mgh a d
J bJ dtdt V
Bilan
C’est l’équivalent d’un pendule: Deux types de forces entrent en jeu:
Force centrifuge, proportionnelle à:
Force d’accélération angulaire, proportionnelle à:
0
dVdt
20 tanV
Linéarisation
Ce qui donne:
En Laplace
200
2
1( )( )
( ) p p
a V smhVsP s
s bJ s mgh J
220
20p p
mhVd mgh a d
J bJ V dtdt
Localisation des pôles et zéros
Pôles:
Zéros:0z V a
1,2 pp mgh J
Un des pôles est instable !
Valeurs numériques
h = 1.3 m; a = 0.4 m; b = 1.2 m; m = 75 kg; Jp ≈ mh2.
020 2
0.4 1( ) 0.64
7.55
V sP s V
s
1,2 2.75p g h
02.5z V
Bilan
Le gain du système dépend du carré de la vitesse du vélo.
La position du zéro dépend de la vitesse.
Pole instable à plus lent si h est grand. Plus facile de conduire un vélo d’adulte
qu’un vélo d’enfant.
g h
Comment rendre le vélo stable ?
La clé, c’est la fourche avant: Typiquement c = 4 à 8 cm.
Comment rendre le vélo stable ?
Cela introduit une rétroaction:
Ainsi, on obtient:
k
220
20p p
mhVd mgh a dk k
J bJ V dtdt
220 0
20
p p
amhkV kVd d mhg
bJ dt J bdt
Comment rendre le vélo stable ?
Pour que ce soit stable, il faut que:
Donc, une fourche avant est essentielle à la stabilité du vélo.
Vélo stable si vitesse suffisamment élevée.
Ce qui ne facilite pas la tâche aux enfants.
0
bgV
k
Cas ou la roue commandée est à l’arrière
Schéma de principe:
Regardez la direction du vecteur V !
Préliminaires
Équations:
Dynamique:
0 tan
br
sin
ar
0 tan
sin
aVV
b
2 2
2sin cos cosy
p
dVd VJ mgh mh
r dtdt
Suite du modèle
Avec:
Qui dérivé donne:
0sin tany
aVV V
b
02
1
cosydV aV d
dt b dt
Nouvelle dynamique
Qui est:
En linéarisant:
220
2 20
cossin tan
cosp p
mhVd mgh a d
J bJ dtdt V
220
20p p
mhVd mgh a d
J bJ V dtdt
Transformation de Laplace
La voici:
Mêmes pôles, mais zéro dans le plan droit maintenant ! Gros risque de problème.
200
2
1( )( )
( ) p p
a V smhVsP s
s bJ s mgh J
Transformation de Laplace
Et avec une fourche avant: k 220
20p p
mhVd mgh a dk k
J bJ V dtdt
220 0
20
p p
amhkV kVd d mhg
bJ dt J bdt
Bilan avec la conduite arrière
Système toujours instable. La conduite arrière introduit un zéro
dans le plan droit. Ce zéro rend le contrôle très difficile,
sinon impossible. Un très mauvais design.