Modèle mathématique (simplifié) dun vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011.
-
Upload
ansell-rose -
Category
Documents
-
view
111 -
download
1
Transcript of Modèle mathématique (simplifié) dun vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011.
![Page 1: Modèle mathématique (simplifié) dun vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011.](https://reader036.fdocuments.fr/reader036/viewer/2022062404/551d9da4497959293b8d5936/html5/thumbnails/1.jpg)
Modèle mathématique (simplifié) d’un vélo
Guy Gauthier ing. Ph.D.SYS-823Été 2011
![Page 2: Modèle mathématique (simplifié) dun vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011.](https://reader036.fdocuments.fr/reader036/viewer/2022062404/551d9da4497959293b8d5936/html5/thumbnails/2.jpg)
Paramètres définissant la géométrie du vélo
![Page 3: Modèle mathématique (simplifié) dun vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011.](https://reader036.fdocuments.fr/reader036/viewer/2022062404/551d9da4497959293b8d5936/html5/thumbnails/3.jpg)
Paramètres définissant la géométrie du vélo
Centre de masse du vélo
Points de contact avec le sol
Prolongement de la fourche
![Page 4: Modèle mathématique (simplifié) dun vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011.](https://reader036.fdocuments.fr/reader036/viewer/2022062404/551d9da4497959293b8d5936/html5/thumbnails/4.jpg)
Référentiels
![Page 5: Modèle mathématique (simplifié) dun vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011.](https://reader036.fdocuments.fr/reader036/viewer/2022062404/551d9da4497959293b8d5936/html5/thumbnails/5.jpg)
Bicyclette version simplifiée – cas #1
L’angle λ = 0. Fourche avant verticale.
Ce qui implique que c = 0.
![Page 6: Modèle mathématique (simplifié) dun vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011.](https://reader036.fdocuments.fr/reader036/viewer/2022062404/551d9da4497959293b8d5936/html5/thumbnails/6.jpg)
Vitesse de rotation duréférentiel xyz
Vitesses Roue arrière du vélo = V0; Centre de gravité = V.
Vitesse de rotation du référentiel:
0 0
0
tanV Vd
dy r b
0r rsind V V
dy r a
V
Vo
![Page 7: Modèle mathématique (simplifié) dun vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011.](https://reader036.fdocuments.fr/reader036/viewer/2022062404/551d9da4497959293b8d5936/html5/thumbnails/7.jpg)
Vitesse du centre de gravité
A partir des deux équations précédentes:
Composante en y:
0 tan
sin
aVV
b
0r r0 tansiny
aVV V
b
![Page 8: Modèle mathématique (simplifié) dun vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011.](https://reader036.fdocuments.fr/reader036/viewer/2022062404/551d9da4497959293b8d5936/html5/thumbnails/8.jpg)
Dynamique liée à l’inclinaison du vélo
Dynamique:
Avec:
2 2
2sin cos cosy
p
dVd VJ mgh mh
r dtdt
0r r
02cos
ydV aV d
dt dtb
![Page 9: Modèle mathématique (simplifié) dun vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011.](https://reader036.fdocuments.fr/reader036/viewer/2022062404/551d9da4497959293b8d5936/html5/thumbnails/9.jpg)
Dynamique liée à l’inclinaison du vélo
De plus:
Ainsi:
220 0tan
cos tantan
aV VV V
r r b
220
2 20
cossin tan
cosp p
mhVd mgh a d
J bJ dtdt V
![Page 10: Modèle mathématique (simplifié) dun vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011.](https://reader036.fdocuments.fr/reader036/viewer/2022062404/551d9da4497959293b8d5936/html5/thumbnails/10.jpg)
Bilan
C’est l’équivalent d’un pendule: Deux types de forces entrent en jeu:
Force centrifuge, proportionnelle à:
Force d’accélération angulaire, proportionnelle à:
0
dVdt
20 tanV
![Page 11: Modèle mathématique (simplifié) dun vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011.](https://reader036.fdocuments.fr/reader036/viewer/2022062404/551d9da4497959293b8d5936/html5/thumbnails/11.jpg)
Linéarisation
Ce qui donne:
En Laplace
200
2
1( )( )
( ) p p
a V smhVsP s
s bJ s mgh J
220
20p p
mhVd mgh a d
J bJ V dtdt
![Page 12: Modèle mathématique (simplifié) dun vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011.](https://reader036.fdocuments.fr/reader036/viewer/2022062404/551d9da4497959293b8d5936/html5/thumbnails/12.jpg)
Localisation des pôles et zéros
Pôles:
Zéros:0z V a
1,2 pp mgh J
Un des pôles est instable !
![Page 13: Modèle mathématique (simplifié) dun vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011.](https://reader036.fdocuments.fr/reader036/viewer/2022062404/551d9da4497959293b8d5936/html5/thumbnails/13.jpg)
Valeurs numériques
h = 1.3 m; a = 0.4 m; b = 1.2 m; m = 75 kg; Jp ≈ mh2.
020 2
0.4 1( ) 0.64
7.55
V sP s V
s
1,2 2.75p g h
02.5z V
![Page 14: Modèle mathématique (simplifié) dun vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011.](https://reader036.fdocuments.fr/reader036/viewer/2022062404/551d9da4497959293b8d5936/html5/thumbnails/14.jpg)
Bilan
Le gain du système dépend du carré de la vitesse du vélo.
La position du zéro dépend de la vitesse.
Pole instable à plus lent si h est grand. Plus facile de conduire un vélo d’adulte
qu’un vélo d’enfant.
g h
![Page 15: Modèle mathématique (simplifié) dun vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011.](https://reader036.fdocuments.fr/reader036/viewer/2022062404/551d9da4497959293b8d5936/html5/thumbnails/15.jpg)
Comment rendre le vélo stable ?
La clé, c’est la fourche avant: Typiquement c = 4 à 8 cm.
![Page 16: Modèle mathématique (simplifié) dun vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011.](https://reader036.fdocuments.fr/reader036/viewer/2022062404/551d9da4497959293b8d5936/html5/thumbnails/16.jpg)
Comment rendre le vélo stable ?
Cela introduit une rétroaction:
Ainsi, on obtient:
k
220
20p p
mhVd mgh a dk k
J bJ V dtdt
220 0
20
p p
amhkV kVd d mhg
bJ dt J bdt
![Page 17: Modèle mathématique (simplifié) dun vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011.](https://reader036.fdocuments.fr/reader036/viewer/2022062404/551d9da4497959293b8d5936/html5/thumbnails/17.jpg)
Comment rendre le vélo stable ?
Pour que ce soit stable, il faut que:
Donc, une fourche avant est essentielle à la stabilité du vélo.
Vélo stable si vitesse suffisamment élevée.
Ce qui ne facilite pas la tâche aux enfants.
0
bgV
k
![Page 18: Modèle mathématique (simplifié) dun vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011.](https://reader036.fdocuments.fr/reader036/viewer/2022062404/551d9da4497959293b8d5936/html5/thumbnails/18.jpg)
Cas ou la roue commandée est à l’arrière
Schéma de principe:
Regardez la direction du vecteur V !
![Page 19: Modèle mathématique (simplifié) dun vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011.](https://reader036.fdocuments.fr/reader036/viewer/2022062404/551d9da4497959293b8d5936/html5/thumbnails/19.jpg)
Préliminaires
Équations:
Dynamique:
0 tan
br
sin
ar
0 tan
sin
aVV
b
2 2
2sin cos cosy
p
dVd VJ mgh mh
r dtdt
![Page 20: Modèle mathématique (simplifié) dun vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011.](https://reader036.fdocuments.fr/reader036/viewer/2022062404/551d9da4497959293b8d5936/html5/thumbnails/20.jpg)
Suite du modèle
Avec:
Qui dérivé donne:
0sin tany
aVV V
b
02
1
cosydV aV d
dt b dt
![Page 21: Modèle mathématique (simplifié) dun vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011.](https://reader036.fdocuments.fr/reader036/viewer/2022062404/551d9da4497959293b8d5936/html5/thumbnails/21.jpg)
Nouvelle dynamique
Qui est:
En linéarisant:
220
2 20
cossin tan
cosp p
mhVd mgh a d
J bJ dtdt V
220
20p p
mhVd mgh a d
J bJ V dtdt
![Page 22: Modèle mathématique (simplifié) dun vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011.](https://reader036.fdocuments.fr/reader036/viewer/2022062404/551d9da4497959293b8d5936/html5/thumbnails/22.jpg)
Transformation de Laplace
La voici:
Mêmes pôles, mais zéro dans le plan droit maintenant ! Gros risque de problème.
200
2
1( )( )
( ) p p
a V smhVsP s
s bJ s mgh J
![Page 23: Modèle mathématique (simplifié) dun vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011.](https://reader036.fdocuments.fr/reader036/viewer/2022062404/551d9da4497959293b8d5936/html5/thumbnails/23.jpg)
Transformation de Laplace
Et avec une fourche avant: k 220
20p p
mhVd mgh a dk k
J bJ V dtdt
220 0
20
p p
amhkV kVd d mhg
bJ dt J bdt
![Page 24: Modèle mathématique (simplifié) dun vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011.](https://reader036.fdocuments.fr/reader036/viewer/2022062404/551d9da4497959293b8d5936/html5/thumbnails/24.jpg)
Bilan avec la conduite arrière
Système toujours instable. La conduite arrière introduit un zéro
dans le plan droit. Ce zéro rend le contrôle très difficile,
sinon impossible. Un très mauvais design.