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7/26/2019 MethodeWeibull-2
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Gnie Industriel & Maintenance Semestre 3 : Cours ADEMise en a lication de la mthode de Weibull
Contexte :
Ltude dun historique de dfaillances dun matriel fait apparaitre les 11 temps de bonfonctionnement (TBF en heures) suivant :
24-46-36-14-48-19-43-31-40-26-29
Mthode :
1-Dtermination des paramtres du modle , , , , et(cas o les points s'alignent sur le papier de Weibull)
1-1Nombre de TBF N=11 F(i) = [ i 0,3 ]/[N + 0,4]1-2Remplissage du tableau de calcul en classant les TBF par ordre croissant
Identifiant i TBF t (h) F(t) R(t)=1- F(t)
1 14 0,06 0,94
2 19 0,15 0,85
3 24 0,24 0,76
4 26 0,32 0,68
5 29 0,41 0,59
6 31 0,50 0,50
7 36 0,59 0,41
8 40 0,68 0,32
9 43 0,76 0,24
10 46 0,85 0,15
11 48 0,94 0,06
1-3 Adaptation de lchelle des temps sur le papier, lorigine 1 -> 1 h
1-4Traage des point M [t , F(t)] sur le papier Weibull
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1-5Traage de la courbe (qui est ici une droite D) sur le papier Weibull
1-6Estimation du paramtre sur le papier Weibull
On lit = 36 heures
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Estimation du paramtresur le papier Weibull
On trace la droite parallle ( D ) passant par lorigine O elle coupe laxe des en un point qui indique
la valeur du paramtre
On lit = 2,55 heures
1-8
Estimation du paramtre sur le papier Weibull
La courbe tant une droite = 0
1-9 Modle de fiabilit rsultant
R(t) = exp[-{t/36}2,55]
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2-Cas o les points ne salignent pas
2-1 Changement de variables
Dans ce cas on prfre utiliser un changement de variables
R(t) = exp[-{(t- )/}]1/R(t) = exp[{(t- )/}]Ln[1/R(t)] = {(t- )/}]
Ln{Ln[1/R(t)]} =.Ln [(t- )/] = .Ln (t- )- .Ln ()
On pose : X = Ln (t) et Y = Ln[Ln {1/R(t)}]Do le tableau ci-dessous
Identifiant TBF X F(t) R(t)= Y=
i t (min) Ln(t) 1-F(t) Ln[Ln(1/R(t))]
1 423 6,05 0,06 0,94 -2,76
2 543 6,30 0,15 0,85 -1,82
3 654 6,48 0,24 0,76 -1,31
4 765 6,64 0,32 0,68 -0,94
5 876 6,78 0,41 0,59 -0,63
6 967 6,87 0,50 0,50 -0,37
7 1089 6,99 0,59 0,41 -0,12
8 1200 7,09 0,68 0,32 0,12
9 1543 7,34 0,76 0,24 0,36
10 2600 7,86 0,85 0,15 0,64
11 4448 8,40 0,94 0,06 1,03
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2-2 On trace les points M [ X, Y ] sur papier millimtr
2-3 On lit les coordonnes des 2 points extrmes
M1[6,05 - 0,06] et M3[8,4 - 0,94]
2-4 On trace M2
tel que Y1Y2= Y2Y3 do Y1Y2= -2,76 + [1,03 (-2,76)]/2 =- 0,865 et on lit
X2= 6,65 soit t2= 773
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2-5 On calcule alors la valeur de
Y2=0,5.(Y1+Y3)=> 2.Y2 = Y1+Y3
2.Ln[Ln{1/R(X2)}] = 2.Ln[Ln{1/R(X1)}] + 2.Ln[Ln{1/R(X3)}]2.Ln[Ln{1/exp[-(X2- )/]
)}] = Ln[Ln{1/exp[-(X1- )/])}] + Ln[Ln{1/exp[-(X3- )/]
)}]
2..Ln[(X2- )/] = .Ln[(X1- )/] + .Ln[(X3- )/]2.Ln[X2- ] = Ln[X3- ] + Ln[X1- ]
Ln[(X2- )2] = Ln[(X3- ).(X1- )]
(X2- )2= (X3- ).(X1- )
Do aprs calculs
= X2(X3-X2).(X2-X1)
(X3-X2)-(X2-X1)Soit encore aprs arrangement et changement de variables
= (t1.t3 -t22
t1+t3-2.t2
On trouve avec : t1= 423 t3= 4448 t2= 773
= (423.4448)-7732
423+4448-2.773
= 386 min
3-6 Changement dorigine des temps
On reprend les calculs tu tableau en effectuant le changement dorigine t = t -
Identifiant TBF TBF X F(t) R(t)= Y=
i t (min) t (min) Ln(t) 1-F(t) Ln[Ln(1/R(t))]
1 423 0,06 0,94 -2,76
2 543 0,15 0,85 -1,82
3 654 0,24 0,76 -1,31
4 765 0,32 0,68 -0,94
5 876 0,41 0,59 -0,63
6 967 0,50 0,50 -0,37
7 1089 0,59 0,41 -0,12
8 1200 0,68 0,32 0,12
9 1543 0,76 0,24 0,36
10 2600 0,85 0,15 0,64
11 4448 0,94 0,06 1,03
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3-7 On trace les points M [ X, Y ] sur papier millimtr
On constate que le modle est pratiquement linaire (si ce nest pas le cas on recommence la
mme opration)
On rappelle : Ln{Ln[1/R(t)]} = .Ln [(t- )/] = .Ln (t- )- .Ln ()Y = .X - .Ln ()
3-8Estimation du paramtresur le papierIl sagit de la pente de la droite soit ici := 0,93
3-9Estimation du paramtre a laide du papier-.Ln () = Y(0) => = exp[-Y(0)/]
soit ici = exp[6,3691/0,93]
= 943 min
3-10 Modle de fiabilit rsultant
R(t) = exp[-{(t-386)/943}0,93]