Méthodes Mécaniques d’Analyse

I. Elasticité

II. Plasticité et Rhéologie

III. Fracturation

ISTIL Matériaux 2ème année

Anne.Tanguy@univ-lyon1.fr

BIBLIOGRAPHIE Ouvrages généraux :M.F. Ashby et D.R.H. Jones, Matériaux, Dunod ed. (1998), 2 tomesY. Quéré, Physique des Matériaux, Ellipse ed. (1990)A. Zaoui, A. Pineau et D. François, Comportement Mécanique des Matériaux, Hermes ed. (1995)R. Lehoucq, D’où viennent les pouvoirs de Superman ?, EDP Sciences ed. (2003)

Ouvrages plus spécifiques :S. Etienne et L. David, Introduction à la physique des polymères, Dunod ed. (2002)S. Suresh, Fatigue of Materials, Cambridge University Press (1998)D. Bellet et J.J. Barreau, Cours d’Elasticité (photo-élasticimétrie), Cepadues-Editions (1993)J. Salençon, Mécanique des Milieux continus, Ellipse ed. (1990)L.Landau and E. Lifshitz, Théorie de l’Elasticité, Mir ed. (1990)

Ouvrages appliqués :R. Bourgeois et coll., Memotech Génie des Matériaux, Educalivre ed.Colombié et coll. Matériaux industriels, Dunod ed.G. Forest, Choix d’une méthode de contrôle, AFNOR ed.J. Perdijon, Aide mémoire Contrôle non destructif, Dunod ed.M. Dupeux, Aide mémoire Science des Matériaux, Dunod ed.Cahiers Formation du CETIM sur les contrôles non destructifs ,…

Introduction

Vocabulaire des mécaniciens+

Interprétation physico-chimique

Elasticité Plasticité Rhéologie Rupture

Qu’est-ce qu’un « Matériau »?

(A. Zaoui)

Résultat d’une synthèse entre la matière et l’usage qui en est fait.

Mise en oeuvre

Microstructure

Propriétés

Performances

Al polycristal (Electron Back Scattering Diffraction)

Cu polycristal : cold lamination (70%)/ annealing.

Si3N4 SiC dense

Dendritic growth in Al:

TiO2 metallic foams, prepared with different aging, and different tensioactif agent:

1) Deux éléments proches évoluent de façon similaire2) En particulier: conservation de la proximité« Champ » = quantité physique moyennée

sur un volume élémentaire= fonction continue de l’espace

3) En pratique: Hypothèse à valider.A cette échelle, les forces sont de courte portée

(forces de surface entre éléments de volume)

En général, valable à des échelles >> échelle caractéristique de la microstructure.Exemples: cristaux d >> distance interatomique (~ Å )

polycristaux d >> taille des grains (~nm ~mm) assemblée régulière de grains d >> taille des grains (~ mm) liquides d >> libre parcours moyen matériaux désordonnés d >> 100 distances interatomiques (~10nm)

Qu’est-ce qu’un milieu « continu » ?

Le comportement mécanique est entièrement décrit par la donnée du champ de déplacement:

ZYX

zyx

ZzuYyuXxu

z

y

x

ruV

W

v

Théorie Classique de l’Elasticité:

w

(1635-1703)

1678: Robert Hooke développe sa“True Theory of Elasticity”

Ut tensio, sic vis (ceiii nosstuv)“The power of any spring is in the sameproportion with the tension thereof.”

Loi de Hooke: s = E e (contrainte = E x déformaiton)où E est le MODULE D’YOUNG (RIGIDITE).

0SF

0ll

Elasticité Linéaire: Loi de Hooke

Machines de traction:

Réponse Elasto-Plastique:

u

Lz

F

Réponse élastique linéaire: F/S = E.u/Lz

Module d’élasticité

Contrainte de compression s

Déformation e

S

Ecoulement Plastique Elasticité

F/S

Eu/LzLimite d’élasticité sy

Ecoulement Visco-Plastique sflow de/dt

vitreloy

I. Elasticité

A) Concepts en Elasticité LinéaireB) Interprétation MicroscopiqueC) Méthodes de mesure

I. Elasticité

A) Concepts en Elasticité LinéaireB) Interprétation MicroscopiqueC) Méthodes de mesure

1) Contraintes locales:

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

sssssssss

s

Force par unité de surface

Agissant le long de la direction x,Sur la face normale à la direction y.

Expression des forces: dSnF .s

vecteur normalsurface

Unités: Pa (1atm = 105 Pa)

Ordre de Grandeur: MPa =106 Pa

Exemples de tenseurs de contrainte:

Traction:

Cisaillement:

Pression Hydrostatique:

SF00000000

s

u

00000

00

SF

SF

s

PP

P

000000

s

F

S

3)(str

P Par définition, pression

ZYX

zyx

ZzuYyuXxu

z

y

x

2) Déformations: ru

WeVWVwvwWvV

e

..2.. alors et si

: Lagrange-Green deTenseur

angulaire" distorsion" )21)(21(

2),cos( then 0. if

unitaire"extension "

WWVV

VW

VV

eeewvWV

eVVv

local"rotation detenseur "

21

.linéarisé"n déformatio detenseur " 21

Lagrange"-Green deTenseur " .21

uu

uu

uuuue

t

t

tt

e

VW

v

w

ZYX

zyx

ZzuYyuXxu

z

y

x

2) Déformations: ru

e

e

xu

xu

uu t

21

21

VW

v

w

Exemples de tenseurs de déformation linéarisés:

Traction:

Cisaillement:

Compression isotrope:

Unités: %. Ordre de Grandeur: élasticité OK si e<0.1% (métal) e<1% (polymère, amorphe)

L

Lu

Lv

Lv

y

x

00

00

00

eL+u

L-vu

002

0002

00

Lu

Lu

e

Lv

Lv

Lv

z

y

x

00

00

00

e

kllk

ijklijij C ess .,

0 3) Modules d’élasticité:21 Modules d’élasticité Cijkl

Cas particulier d’un milieu homogène et isotrope :

3/21

tr tr3

PV

V1- ilitécompressib

.tr..2 scontrainte 0

mse

deems

ijijijijσ 2 Modules d’élasticité (,m)

F

Lu

Lv

LuES

F

.

.

E, module d’Young, Coefficient de Poisson

Traction:u

Cisaillement simple:

Lu

SF .m

m, Module de Cisaillement

PCompression hydrostatique:

E)21(3

233

m

, compressibilité.Unités: J.m-3 , ou Pa.Ordre de Grandeur: -1< ≈ 0.33<0.5 et E ≈ Gpa ≈ sY/10-3

4) Energie Mécanique (déformations internes):

Expression de la puissance des efforts intérieurs:

partiespar n intégratio après .-

volumede unitépar .

, t

tu

rtW

dde

s

dds

dd

Energie Mécanique:

desd .,

E

Ainsi,

deds E

par unité de volume

Développement de Landau de l’énergie mécanique:

Expression générale de l’énergie mécanique par unité de volume:

....::21:0 eeesd CE

Ainsi Loi de Hookeut tensio sic vis

21 Modules d’élasticité Cgd

dans le cas 3D le plus général.

...:0 esed

ds CE

Pas de dépendance en (invariance par translation)

Pas de dépendance en (invariance par rotation)

u

Symétries du tenseur des Modules d’élasticité:

)..(:.. 11 SSSS es C+ Symétries spécifiques du cristal:

S Operateur de symétrie

)

)

)

gdgd

dggddggd

gdgd

deds

ee

ss

E

(CC

(CC

(CCSymétries générales:

Exemple d’un matériau homogène et isotrope :

2 modules d’élasticité

ItrEE

Itr sseeems

1or 2

21 modules d’élasticité dans le cas le + général à 3D

Onde longitudinale:Le mouvement des atomes est dans le sens de la propagation

Onde transverse:Le mouvement des atomes est perpendiculaire au sens de la propagation

m

2

,. 22..

LL cc

222.2.2. lmnL

cc LLlmn

Onde longitudinale:

LTT ccc m ,. 22

..

Ondes transverses: cisaillement simple

Ondes acoustiques dans un matériau isotrope :2 vitesses du son cL et cT

mm

u

)u(.)u.(.2u2

2

extft

Exemple d’un matériau anisotrope (cristal):

FCC3 modulesC11 C12 C44

HCP5 modulesC11 C12 C13 C33 C44 C66=(C11-C12)/2

Ex. cobalt Co: HC FCC T=450°C

3 modules(3 axes équivalents)

6 (5) modules(invariance de rotation autour d’un axe)

Le nombre de Modules d’élasticitédépend des Symétries

Notation de Voigt:

6)12(5)31(4)23(3)33(2)22(

1)11(

21 Modules d’élasticité indépendants)

)

)

gdgd

dggddggd

gdgd

deds

ee

ss

E

(CC

(CC

(CC

3 modules(3 axes équivalents)

6 (5) modules(invariance par rotation autour d’un axe)

6 modules

6 modules(2 axes équivalents de symétrie)

9 modules(2 plans orthogonaux de symétrie)

13 modules(1 plan de symétrie)

21 modules

I. Elasticité

A) Concepts en Elasticité LinéaireB) Interprétation MicroscopiqueC) Méthodes de mesure

Expression Microscopique des Modules locaux d’élasticité:

Example simple d’un cristal cubique.

Sur chaque liaison:

....)(21).( 02

22

0000 rdrd

rrrdrd

rrrr ijijijijij

ijijEEEE

déformation

contraintes

0

011 r

rrij e

20

20

2

0

20

11

).(

44'

rdrrd

rr

rf ijij

ijE

s

Modules d’élasticité

30

02

02

0111111 .1/'

rr

drrd

rC ijij EE

es

C1 ~ 2 m1 C2 ~ 2 m2 C3 ~ 2 (+mVerre de Lennrad-Jones 2D N=216 225 L=483

Cas général: Modules d’élasticité locaux

M. Tsamados et al. (2007)

)(..

....1)( 4321)(

)

,,,,2

4321

4321 4321

43432121

4321

iiiiinrr

rrrrrrV

iC iiiiiiii

eqii

eqii

eqii

eqii

eqii

eqii

iiiii

E

(

dg

gd

Exemple d’un matériau amorphe

Convergence progressivevers un matériaux isotrope

à grande échelle

Born-Huang

Introduction1) Types de liaisons interatomiques- Liaison covalente- Liaison ionique- Liaison métallique- Liaison de van der Waals- Liaison Hydrogène- Forces de solvatation

2) Structure de l’empilement- Cristaux- Composites- Amorphes- Polymères

Interprétation Microscopique

Bornes générales pour les modules d’élasticité macroscopiques d’un solide inhomogène.

Exemple de fibres dans une matrice:

VVEV

VEE

SSSESE

SSF

SESESESE

SSFFF

E

mm

ffL

Lmf

mmff

mf

LL

Lmmff

mmmfff

mmffmfL

Lmf

LLL

..

..........

..

.

es

eee

ss

eeeees

EL,T Module d’Young effectifEf Module des fibresEm , Module de la matrice

Voigt (1889)

Reuss (1929) Vf/V

EL

ET

E

m

m

f

f

T

mm

ff

T

mmmfffTT

mftotal

Tmf

TTT

EVV

EVV

E

VV

VV

VVV

E

1.1.1

..

..21..

21..

21

.

eee

sesese

sssses

EEE

Exemple de matériau hétérogène:

N. Teyssier-Doyen et al. (2007)

Voigt

Reuss

I. Elasticité

A) Concepts en Elasticité LinéaireB) Interprétation MicroscopiqueC) Méthodes de mesure

Méthodes de Mesure:

- Photoélasticimétrie- Essais de traction- Nanomécanique (micro-pilliers, couches minces..)- Mesures de déformation: TEM, X-Ray, Corrélations d’images..

Machines de traction:

Micro-Pilliers

Visualisation des réarrangements plastiques à petite échelle.

Expérimentalement

Spectrométrie Raman

B. C

ham

pagn

on e

t col

l. (2

006) Bande principale:

relation entre pression et angle entre tétraèdres de SiO2 (Si-O-SI)

Raie D2: densification variable selon les verres.

Micro-spectroscopie Raman ~mm2

Changement d’environnement sous contraintes

Changement d’environnement local.(variations de e sur ~10 Å)

Plasticité?

X-ray diffraction 90keVPoulsen et al. (2004)

410e

Axial strain field e11

resolution 50x200 mm2

h=0°

h=90°

Riz

za e

t col

l. (2

006)

Visualisation directe par MET in situ

Huf

nage

l et c

oll.

(200

2)

réarrangements locaux~ 1 nm

II. Plasticité

A) Mesures MacroscopiquesB) Interprétation MicroscopiqueC) Méthodes de durcissement

II.Bis Rhéologie Linéaire et Non-linéaire

II. Plasticité

A) Mesures MacroscopiquesB) Interprétation MicroscopiqueC) Méthodes de durcissement

Réponse Elasto-Plastique:

u

Lz

F

Réponse élastique linéaire: F/S = E.u/Lz

Module d’élasticité

Contrainte de compression s

Déformation e

S

Ecoulement Plastique Elasticité

F/S

Eu/LzLimite d’élasticité sy

Ecoulement Visco-Plastique sflow de/dt

vitreloy

ou Déformation Plastique irréversible

e

s

Elasticité

Plasticité

Essai de traction compression simple (uniaxial) sur un métal

e

pe elepel eee E

el se

e

s

Essai de traction compression simple (uniaxial) sur un métal

Domaine d’élasticité initial

Domaine d’élasticité actuel

L’évolution du domaine d’élasticité est appelé écrouissage

Comportement Parfaitement Plastique

EcrouissageProgressif

s

Critères de plasticité en fonction des contraintesSur le tenseur des contraintes, de valeurs propres s1, s2 et s3:

Critère de Tresca: (cission maximale)

Critère de von Mises: (énergie de distorsion)

Critère de Mohr-Coulomb (frottement):

Critère de Drucker-Prager (Pression):

La réponse plastique, irréversible, dépend de l’histoire du chargement.

Ecrouissage « cinématique » Ecrouissage « isotrope»

Domaine d'élasticité en traction torsion de l'acier doux

-100

-50

0

50

100

150

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250

Contrainte de traction en MPa

Cont

rain

te d

e to

rsio

n en

MPa

Domaine d'élasticité initial Domaine d'élasticité après chargement

Chargement

Translation du domaine élastique Dilatation du domaine élastiquedans l’espace des contraintes.

II. Plasticité

A) Mesures MacroscopiquesB) Interprétation MicroscopiqueC) Méthodes de durcissement

Modèles de Frenkel?

Cission maximale à 45°:

max. pour q=45°

Modèle de Frenkel (glissement en phase):

qqsqqs

q

qq cos.sin.

cos/Ssin.F

SF

q

F

S

S q

F q

?a2

a.

ax.2sin.

a2a.

//max

//

//

ms

ms

Valeur trop élevée !

Tapis de Mott

Dislocation de type « coin » Dislocation de type « vis »

Lb L//b

Vecteur de Burgers bLigne de dislocation LLargeur de dislocation W

Mouvement par glissement: dans le plan (b,L)Mouvement par montée

L

Estimation de la largeur W d’une dislocation:

W2

br

r2b)r(

max

maxmax

sm

smss

2b5.0 m

bW2exp2PN

ms

PNs

Visualisation de dislocations:

Photoélasticimétrie:

Microsope Electronique à Transmission:

MET haute résolution

« forêt » de dislocations (reconstitution numérique)

+ Lors d’un croisement: formation de crans..

12

2112 r

b.bF m

II. Plasticité

A) Mesures MacroscopiquesB) Interprétation MicroscopiqueC) Méthodes de durcissement

- Résistance mécanique intrinsèque- Durcissement par la « forêt »- Interaction avec des atomes étrangers- Interaction avec des joints de grains

- Durcissement par irradiation- Durcissement par amorphisation..

Méthodes de mesure:

- traction-compression-torsion- Mesures de dureté:

Dureté Brinell Dureté Vickers

II. Plasticité

A) Mesures MacroscopiquesB) Interprétation MicroscopiqueC) Méthodes de durcissement

II.Bis Rhéologie Linéaire et Non-linéaire

Réponse Elasto-Plastique:

u

Lz

F

Réponse élastique linéaire: F/S = E.u/Lz

Module d’élasticité

Contrainte de compression s

Déformation e

S

Ecoulement Plastique Elasticité

F/S

Eu/LzLimite d’élasticité sy

Ecoulement Visco-Plastique sflow de/dt

vitreloy

Verres Métalliques Verres Minéraux (SiO2, a-Si) Polymères (PMMA,PC)

Pâtes

Colloides

Poudres

Au-delà du comportement élastique:

- Comportement plastique- Comportement visco-élastique- Réponse rhéologique non-linéaire

),(dtdf ees

Plasticité Viscosité

Réponse rhéologique linéaire:

tdttttdtd

cstet

.)'(1)()(.1 0

0 htt

het

he

h

mh

mte

ehemt

sst

hm

ct tiquecaractéris temps t.

0

VE

e1.)t(

dtd.)t(.)t(

. )()(.1.10

0 thm

teth

tm

eeee

tttdtd

dtd

VE

Fluide Visqueux Newtonien: Ex. Eau, miel..

Solide de Kelvin-Voigt: Elasticité Retardée (comportement anelastique)

Fluide de Maxwell: Ex. Solide près de Tf

Elasticité Instantanée + Ecoulement Visqueux

Comportement visco-élastique général: (mémoire) 'dt)'t(.'ttf)t(.f)t(t

0

.

0 tte

crystaux les dans , 3

2

DakTL

h

Differents comportements:

(1643-1727)

1687: Isaac Newton parle des liquides et des écoulements sous cisaillement dans ses “Principia”:“The resistance which arises from the lack ofslipperiness of the parts of the liquid, other things being equal, is proportional to the velocity with which the parts of the liquid are separated from one another.”

Loi de Newton: τ = η dγ/dtoù η est le coefficient de viscosité Newtonien.

(1635-1703)

1678: Robert Hooke développe sa“True Theory of Elasticity”

Ut tensio, sic vis (ceiii nosstuv)“The power of any spring is in the sameproportion with the tension thereof.”

Loi de Hooke: s = E e (contrainte = E x déformaiton)où E est le MODULE D’YOUNG (RIGIDITE).

)(es )/( dtdes

dtd, ees

interne" friction" 'G/''G)tan()(''iG)('G)(G

d

)sin(0 tee

)sin(0 dtt t

)cos(.).('')sin(.).(' 00 tGtG eet

Rhéomètres Dynamiques:

Forceage oscillant:

Réponse:

G’, Module Elastique-réponse instantanée-

G’’, Module de perte (visqueux)-retard-

Exemple d’un solide Elastique

Exemple d’un fluide Visqueux Newtonien

Exemple d’un fluide de Maxwell:

0''G'G et m

h.'' and 0' GG

0'' and ' response elastic :.'' and 0' response viscous:0

..'' and .' 222

2

222

22

GGGG

GG

mh

hmmh

hmhm

PâtesHuiles Acier

Appareils de Mesure:

Bilan Energétique:

)(''.2.)('..)(4

)(sin).(''..)2sin().('.2..

20

20

4/

0

220

20

ee

eeet

GGdttT

tGtGdtd

T

P

P

Energie élastique stockée pendant T/4 puis rendue

(par unité de volume et de temps).

Energie Moyenne Dissipée, par unité de temps pendant T/4,

à cause du frottement visqueux >0

eemmagasiné énergiedissipée énergie

'G''Gtand

Facteur de Perte (Frottement Interne)

Facteur de Perte d Matériau

> 100 Polymer or Elastomer (example : Butyl rubber)

10-1 Natural rubber, PVC with plasticizer, Dry Sand, Asphalte, Cork, Composite material with sandwich structure (example 3 layers metal / polymer / metal)

10-2 Plexiglas, Wood, Concrete, Felt, Plaster, Brick

10-3 Steel, Iron, Lead, Copper, Mineral Glass10-4 Aluminium, magnésium

Module Elastique

Cristallisation: G’ augmente, la mobilité décroit

Polymère (PET) Verre Minéral

ZrF4

Exemple de Globules Rouges:

G’

G’’

e(t)/t0

Fluage (creep) Macroscopique dans les Métaux:

Canalisation Romaine en Plomb

Fluage Métaux Céramiques Polymères T > 0,3-0,4 Tm 0,4-0,5 Tm Tg

Dislocation creep: b=0 m=4-6 Non-Lineaire 0.3 Tm<T<0.7 Tm

Nabarro-Herring creep: b=2 m=1 « Newtonien ». diffusion de défauts

T>0.7 Tm

~ 1h

Températures de Fusion, pour P=1 atm, Glace: Tm=273°K, Plomb: Tm=600°K, Tungstène: Tm=3000°K

ms

Limite Théorique

Rhéologie non-linéaire:

F. Varnik (2006) 3D Lenard-Jones Glass

Du Liquide au Solide Amorphe:

Comportements Rhéologiques Non-Linéaires:

Shear softeningEx. peinture, shampoing

(1925) Ostwald avec 1n.Kn.

et

Shear thickeningEx. sable mouillé, huile polymère, silly-putty 1n.K

n.

avec et

Fluide à seuil (plastique)Ex. solides amorphes, pâtes

Casson 1,nBulkley -Herschel 1,n Bingham

.

0 .

.

n

CC

C

K etttt

ett

Ex. Verre de Lennard-JonesTsamados, 2010

avec <1

../ ehes xy

shear softening

Exemple:Systèmes amorphes (verres, colloïdes..)

Ex. Billes de gel polyélectrique

Ex. Ketchup

?mh

Origine Microscopique du comportement non-linéaire?

II. Fracturation

A) Faciès de fractureB) Critères de fracturation

Faciès de fracture:

Fracture Ductile

Fracture Fragile

Fracture Ductile et Fracture Fragile

Rupture Mixte ductile/fragile

Rupture mixte dans un acier austéno-ferritiquerupture ductile de l’austénite (CFC)rupture fragile de la ferrite (CC)

c..K

fr.2

K

0

ijij

s

q

s

Champ de contraintes au voisinage d’une fracture:

Critère naïf de fracturation fragile:

Valeur trop élevée !aa

E.4

e.L.2We.L.a.E

..21W

0

diss0

0él

gs

gss

L

e

c

0

diss

00él

KK

E.2c.

e.dc.2W

e.dc.c2.E

..21W

gs

g

ss

:Griffith de Critère

fissure la créer pour dissipée Energie

:dc de fracture la de avancéel' de lors relaxée élastique Energie

Facteur d’intensité de contraintes

Ténacité

Critère de Irwin-Griffith: préfissuration, longue portée des interactions.

Approche Statistique des critères de fracturation:

Loi de Weibull (1951):

Plus m (module de Weibull) est faible,plus la dispersion est grande

Ex: Acier m=100, Craie m=5 Céramiques techniques m=10

m

00rupt V

Vexp1Pss

Rupture en Fatigue:

stries de fatigue

Sollicitation cyclique:

Lois de fatigue de matériaux sans préfissuration:Rupture contrôlée par l’initiation des fissures.

Fatigue à grand nombre de cycles N>104, smaxet |smin|<sYexemple: pièces en vibrationLoi de Basquin:

Fatigue oligocyclique, smax>sYexemple: pièces soumises à des surchages occasionnellesLoi de Coffin:

1/15a1/8 avec 1a

f CN.s

0.6b0.5 avec 2b

fP CN.e

CC

CFC

Puis, à partir de la loi de Paris :

on détermine le nombre de cycle à rupture par intégration de cette loi :

Lois de fatigue de matériaux Avec préfissuration:Propagation des fissures

Loi de Paris

On calcule tout d'abord la dimension du défaut critique pour K=Kc :