Post on 23-Feb-2016
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Mécanique des fluides
Guy Gauthier ing. Ph.D.
SYS-823 - Été 2013
LE BILAN MATIÈRE
Comme en comptabilité, il faut que ça balance.Rien ne se perd, rien ne se créé…
Cours #1 - SYS-823 Page 3
Le bilan matière
Équation de ce bilan :
m asse d e liq u ided ans le ré serv o irà t t
m asse de liq u idedans le ré servo irà t
m asse d e liq u id e en tran t dan s le rése rvo ird e t à t t
m asse de liqu ide so rtan t du réserv o irde t à t t
V V F dt F d tt t t i
t
t t
t
t t
dVdt
F Fi
Cours #3 - SYS-823 Page 4
Le bilan matière [2]
Or :
Si la densité est constante :
Bilan :
dVdt
Vddt
dVdt
dVdt
dVd t
dVdt
F Fi dVdt
F Fi
Cours #1 - SYS-823 Page 5
Équation différentielle linéaire ordinaire
Pour résoudre cette équation différentielle:
Il suffit de connaître: Les entrées : Fi(t) et F(t); Le volume initial : V(0).
dVdt
F Fi
Variable d’état
Entrées
Cours #1 - SYS-823 Page 6
Solution
La solution de cette équation différentielle est :
V F F d Vi
t
( ) ( ) ( ) 0
0
Cours #1 - SYS-823 Page 7
Exemple avec réservoir cylindrique
Pour un réservoir cylindrique : V = Ah
Si le débit de sortie est proportionnel à la racine carrée de la hauteur de liquide:
dVdt
Adhd t
F Fi
F h
Cours #1 - SYS-823 Page 8
Équation différentielle non-linéaire
L’équation différentielle à résoudre pour la hauteur est :
dhd t
FA A
hi
Variable d’état
Entrée
Paramètres
Cours #1 - SYS-823 Page 9
Solution – vidange d’un réservoir s’écoulant par gravité
La solution de cette équation est (en supposant que Fi = 0) :
dhd t A
h
dhh A
dt
dh
h Adt
h
h
t
t
o o
Cours #1 - SYS-823 Page 10
Solution (2)
Donc :
Si to = 0 :
2 2
2
h hA
t t
h hA
t t
o o
o o
h t hA
to( )
2
2
Ballon-tampon de gaz(Gas surge drum)
Soit: V : volume du ballon-tampon (m3); n : quantité de gaz (moles); MW : poids moléculaire du gaz
(kg/mole); qi : débit molaire entrant (moles/s); q : débit molaire sortant (moles/s);
Ballon-tampon de gaz
La masse s’accumulant dans le ballon est:
Si poids moléculaire constant:
Wi Wi W
d nMq M qM
dt
idn q qdt
Loi des gaz parfaits
La relation pression-volume est caractérisée par la loi des gaz parfaits:
Ainsi:
PV nRT
PVnRT
Loi des gaz parfaits
Donc:
La température T (en kelvins) et le volume V (en m3) sont assumés constants.
R est la constante des gaz parfaits (en J/(k.mole)).
8.314472 J/(k.mole).
i
d PV RTdn V dP q qdt dt RT dt
Bilan
Finalement:
Le stockage de gaz dans un réservoir change la pression.
idP RT q qdt V
Exemple:
Réservoir de 5 m3, Température de 300 kelvins, Pression initiale du réservoir de 101300 Pa.
Débit entrant de 10 moles/min; Pression en aval de 101300 Pa; coefficient d’écoulement de 0.35 mole/(Pa.min).
Exemple:
n = 203.06 moles, quantité initiale de gaz – évalué à partir de la loi des gaz parfaits.
Puis:
i
i av
dP RT q qdt V
RT q P PV
PVnRT
Exemple:
Avec les valeurs numériques:
7
498.87 0.35 101300
498.87 174.60 1.77 10
i
i
dP q Pdt
q P
Exemple:
Simulation:
Loi de Bernoulli
Équation correspondant à cette loi:
Fluide incompressible; Fluide parfait (viscosité négligeable et
pas de pertes de charges).
2
constante2v p zg g
Exemple
Réservoir qui se vide par gravité:
Exemple
Selon Bernoulli:2 21 1 2 2
1 22 2v p v pz zg g g g
v1 = 0 m/sp1 = 1 atm. p2 = 1 atm.
Exemple
Ce qui mène à:
Donc:
Et:
22
1 22v z z hg
2 2v gh
2 2 2 2 2Q A v A gh
Exemple
Dans le réservoir:
Ce qui mène à:
Ressemble à:
2 1dhQ Adt
2
1
2A ghdhdt A
dh hdt A
Car le réservoir se vide
Exemple
Dans le réservoir:
Ce qui mène à:
Ressemble à:
2 1dhQ Adt
2
1
2A ghdhdt A
dh hdt A
Car le réservoir se vide
Bilan énergétique d’une ligne de fluide
Énergie cinétique:
Énergie potentielle:
Énergie élastique:
2 21 1 12 2c VE mv v
1z VE mgz gz
1p VE pV p
Correspond à
chaque terme
Loi de Bernoulli (fluide compressible)
Équation correspondant à cette loi:
Avec g le rapport des capacités calorifiques du fluide donné par:
2
constante2 1v p zg g
gg
p
v
CC
g 1.67 pour gaz monoatomique
1.40 pour gaz diatomique
Tableau de Cp et Cv pour divers gaz
Cp J/kg/k Cv J/kg/kAir 1005 718O2 917 653N2 1038 741Vapeur d’eau 1867 1406He 5234 3140Ne 1030 618Propane (C3H8) 1692 1507