Lo¨ıck Lhote, Fran¸cois Rioult, Arnaud Soulet

Analyse des problemes de fouille de donnees

Loıck Lhote, Francois Rioult, Arnaud Soulet

GREYC, universite de Caen Basse-Normandie

ALEA’06CIRM, Luminy

Lhote, Rioult, Soulet (GREYC, Caen) Problemes de fouille de donnees ALEA’06 1 / 27

1 Points de vue algorithmique du problemeVision matricielleVision graphes bipartitesVision graphes co-bipartitesAutres points de vue

2 Motivations en fouille de donneesMotifs frequents et motifs fermesTreillis des motifs

3 Modele pour l’analyse en moyenne

4 Hypotheses et Resultats

5 Conclusion et perspectives

Probleme : vision matricielle

Dans une matrice binaire, compter (a une permutation des lignes et des colonnes)

les rectangles maximaux en hauteur de 1

les rectangles maximaux en hauteur et en largeur de 1

condition supplementaire : hauteur≥ γ

un zéro

au moins

par ligne

un zéro

au moins

par ligne

un zéro

au moins

par ligne

un zéro

au moins

par ligne

un zéro

au moins

par ligne

un zéroau moins

par ligne

≥ γ

Probleme : vision graphes bipartites

Dans un graphe bipartite G = (S1,S2,E ), compter

les sous-graphes bipartites complets (S ′1,S′2,E

′) avec S ′2 maximum (ausens de l’inclusion)

les sous-graphes bipartites complets maximums

condition supplementaire : |S ′2| ≥ γ

colonnes lignes

≥ γ

Probleme : vision graphes co-bipartites

clique clique clique clique

graphe bipartite graphe co-bipartite separateur

Dans un graphe co-bipartite G = (S1,S2,E ), compter

les separateurs (S ′1,S′2,E

′) avec S ′2 minimum (au sens de l’inclusion)

les separateurs minimaux

condition supplementaire : |S ′2| ≤ n − γ (n = |S2|)

clique clique

mini mini ≤ n − γ

clique clique

Autres points de vue

matrice binaire n ×m=fonction de {1 . . . n} dans P({1 . . .m})→ ensembles (maximaux) dont l’intersection des images est de cardinal aumoins γ,

matrice binaire=hypergraphe→ ensembles (maximaux) de sommets contenus dans au moins γ hyperaretes,

Motifs γ-frequents

attributsobj. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7

o1 1 0 1 0 1 0 0o2 0 1 1 0 1 0 0o3 1 0 1 0 1 0 0o4 1 0 0 1 0 1 0o5 0 1 1 0 0 1 0o6 0 1 1 0 0 1 0o7 1 0 0 1 0 0 1o8 0 1 0 1 0 0 1

Motifs= ensemble d’attributs (itemset)exemple : {a1, a3} = a1a3

Supp(M)= objets (transactions) ou il y a des 1 dans toutes les colonnes dumotif Mexemple : Supp(a1a3) = {o1, o3}M est un motif γ-frequent si |Supp(M)| ≥ γexemple : a1a3 est un motif 0,1 ou 2-frequent mais pas 3-frequent

Motifs γ-frequents

o1 1 0 1 0 1 0 0o2 0 1 1 0 1 0 0o3 1 0 1 0 1 0 0o4 1 0 0 1 0 1 0o5 0 1 1 0 0 1 0o6 0 1 1 0 0 1 0o7 1 0 0 1 0 0 1o8 0 1 0 1 0 0 1

Motifs γ-frequents

o1 1 0 1 0 1 0 0o2 0 1 1 0 1 0 0o3 1 0 1 0 1 0 0o4 1 0 0 1 0 1 0o5 0 1 1 0 0 1 0o6 0 1 1 0 0 1 0o7 1 0 0 1 0 0 1o8 0 1 0 1 0 0 1

Motifs γ-frequents

o1 1 1 0 0 1 0 0o3 1 1 0 0 1 0 0o2 0 1 1 0 1 0 0o4 1 0 0 1 0 1 0o5 0 1 1 0 0 1 0o6 0 1 1 0 0 1 0o7 1 0 0 1 0 0 1o8 0 0 1 1 0 0 1

Motifs γ-frequents

o1 1 1 0 0 1 0 0o3 1 1 0 0 1 0 0o2 0 1 1 0 1 0 0 Motifs frequents=rectangleso4 1 0 0 1 0 1 0 maximaux en hauteuro5 0 1 1 0 0 1 0o6 0 1 1 0 0 1 0o7 1 0 0 1 0 0 1o8 0 0 1 1 0 0 1

Motifs γ-fermes

o1 1 0 1 0 1 0 0o2 0 1 1 0 1 0 0o3 1 0 1 0 1 0 0o4 1 0 0 1 0 1 0o5 0 1 1 0 0 1 0o6 0 1 1 0 0 1 0o7 1 0 0 1 0 0 1o8 0 1 0 1 0 0 1

M est un motif γ-ferme si

|Supp(M)| ≥ γet si tout sur-motif a un support strictement plus petit

Motifs γ-fermes

o1 1 0 1 0 1 0 0o2 0 1 1 0 1 0 0o3 1 0 1 0 1 0 0o4 1 0 0 1 0 1 0o5 0 1 1 0 0 1 0o6 0 1 1 0 0 1 0o7 1 0 0 1 0 0 1o8 0 1 0 1 0 0 1

Motifs γ-fermes

o1 1 1 0 0 1 0 0o3 1 1 0 0 1 0 0o2 0 1 1 0 1 0 0o4 1 0 0 1 0 1 0o5 0 1 1 0 0 1 0o6 0 1 1 0 0 1 0o7 1 0 0 1 0 0 1o8 0 0 1 1 0 0 1

exemple : a1a3 n’est pas un motif 0,1 ou 2-ferme

Motifs γ-fermes

o1 1 1 1 0 0 0 0o3 1 1 1 0 0 0 0o2 0 1 1 0 1 0 0o4 1 0 0 1 0 1 0o5 0 1 1 0 0 1 0o6 0 1 1 0 0 1 0o7 1 0 0 1 0 0 1o8 0 0 1 1 0 0 1

exemple : a1a3 n’est pas un motif 0,1 ou 2-fermeexemple : a1a3a5 est un motif 0,1 ou 2-ferme

Motifs γ-fermes

o1 1 1 1 0 0 0 0o3 1 1 1 0 0 0 0o2 0 1 1 0 1 0 0 Motifs fermes=rectangleso4 1 0 0 1 0 1 0 maximaux en hauteuro5 0 1 1 0 0 1 0 et en largeuro6 0 1 1 0 0 1 0o7 1 0 0 1 0 0 1o8 0 0 1 1 0 0 1

exemple : a1a3 n’est pas un motif 0,1 ou 2-fermeexemple : a1a3a5 est un motif 0,1 ou 2-ferme

Treillis des motifs

Treillis des motifs 1-frequents

a1 a4a3a2 a5 a6 a7

a1a3 a1a4 a1a5 a1a6 a1a7 a2a3 a2a4 a2a5 a2a6 a2a7 a3a5 a3a6 a4a6 a4a7

a1a3a5 a1a4a6 a1a4a7 a2a3a5 a2a3a6 a2a4a7

Treillis des motifs

Treillis des motifs 1-fermes

a1 a4a3a2 a6

a1a3 a1a4 a2a3 a2a7 a3a5 a4a7

Treillis des motifs

Treillis des motifs 1-fermes

a1 a4a3a2 a6

a1a3 a1a4 a2a3 a2a7 a3a5 a4a7

probleme : taille du treillis ?

Utilisation des motifs

clustering : creation de classesexemple : regrouper des articles de journaux, proposer des pages web,. . .

classification : attribution d’une classeexemple : attribution d’un credit

regles d’associationsexemple : jambon, beurre ⇒ pain(80%)

Fouille de donnees et algorithmique

La fouille de donnees : peu d’analyses en moyenne

Fouille de donnees Algorithmique• rectangles maximaux de 1

motifs frequents/fermes • sous-graphes bipartites complets maximaux• separateurs minimaux

bordure negative Traverses minimales d’hypergraphescomplexite ?

Algorithmes par niveaux • nb de motifs frequents+nb de motifs candidats

complexite ?Algorithmes en profondeur • structure arborescente

• techniques habituelles ?

Pires et meilleurs des cas

nombre de lignes/objets= n

nombre de colonnes/attributs= m

Meilleur des cas 0

nb de motifs frequents=O(1)nb de motifs fermes=O(1)

Pire des cas

0 1 . . . 1 1 . . . 1

1. . .

. . ....

......

.... . .

. . . 1...

...1 . . . 1 0 1 . . . 1

nb de motifs frequents=O(2m) nb de motifs fermes=O(2min(m,n))

en realite ou plutot en moyenne ?

Meilleur des cas 0

Pire des cas

0 1 . . . 1 1 . . . 1

1. . .

. . ....

......

.... . .

. . . 1...

...1 . . . 1 0 1 . . . 1

Meilleur des cas 0

Pire des cas

0 1 . . . 1 1 . . . 1

1. . .

. . ....

......

.... . .

. . . 1...

...1 . . . 1 0 1 . . . 1

Meilleur des cas 0

Pire des cas

0 1 . . . 1 1 . . . 1

1. . .

. . ....

......

.... . .

. . . 1...

...1 . . . 1 0 1 . . . 1

Modele aleatoire

Condition 1 : Base rectangulaire

log m = Θ(log n)

Condition 2 : independance des lignes/objets

Les lignes/objets sont independants 2 a 2.

Condition 3 : Lignes/objets=mots produits par une source S sur l’alphabet{0, 1}.

Modele aleatoire

log m = Θ(log n)

Modele aleatoire

log m = Θ(log n)

Remarque

Les lignes sont independantes mais pas necessairement les colonnes.

Seuils de frequence

Trois type de seuils γ :

seuil lineaire : γ = r · n, r ∈]0, 1[Hypothese 1 ⇒ comportement polynomial des motifs frequents

seuil intermediaire : log n = o(γ)Hypothese 2 ⇒ Motifs frequents∼Motifs fermes

seuil fixe :Hypothese 3 ⇒ comportement exponentiel des motifs frequents

Resultat : seuil lineaire γ = r · n

Hypothese 1

n lignes et m colonnes

pour X un motif, on note pX la probabilite qu’une ligne (un objet) contiennele motif X .

Alors il existe K1 > 0 et θ1 < 1 tels que

∀X , pX ≤ K1θ|X |1 .

Theoreme 1 [L., Rioult, Soulet]

Le nombre de motifs (r · n)-frequents est au plus polynomial en le nombred’attributs (colonnes),

Freqr ·n = O

), j =

⌊log r − log K1

log θ1

Resultat : seuil intermediaire

seuil intermediaire : log n = o(γ)

Hypothese 2

n lignes et m colonnes

pour X un motif, on note pX la probabilite qu’une ligne (un objet) contiennele motif X .

Alors il existe K2 > 0 et θ2 < 1 tels que

∀X ,Y , X ( Y , |X | ≥ K2,pY

pX≤ θ2.

Hypothese 2 ⇒ Hypothese 1

Le nombre de motifs γ-frequents est equivalent au nombre de motifs γ-fermes,

Freqγ ∼ Fermγ

Resultat : seuil constant

Sous probleme : pour γ (ou γ + 1) executions independantes de S, quel est lenombre de colonnes de 1 ?

S : 1 1 1 1 . . .S : 0 1 1 1 . . .S : 0 1 1 1 . . .S : 1 1 0 1 . . .

S : 0γ 1γ 0γ 1γ . . .nombre d’occurences de 1 dans un mot de longueur m pour S.loi gaussienne pour les sources classiques (Em[C ] ∼ αm, Vm[C ] ∼ βm)serie generatrice

Sγ(z ,w) =∑

M∈{0γ ,1γ}?

pM ewC(M) z |M|

Si C (M) = k alors il y a 2k motifs γ-frequentsmeme serie avec w = log 2

Sγ(z) =∑

M∈{0γ ,1γ}?

pM 2C(M) z |M|

S : 1 1 1 1 . . .S : 0 1 1 1 . . .S : 0 1 1 1 . . .S : 1 1 0 1 . . .

Sγ(z ,w) =∑

M∈{0γ ,1γ}?

pM ewC(M) z |M|

Sγ(z) =∑

M∈{0γ ,1γ}?

pM 2C(M) z |M|

S : 1 1 1 1 . . .S : 0 1 1 1 . . .S : 0 1 1 1 . . .S : 1 1 0 1 . . .

Sγ(z ,w) =∑

M∈{0γ ,1γ}?

pM ewC(M) z |M|

Sγ(z) =∑

M∈{0γ ,1γ}?

pM 2C(M) z |M|

S : 1 1 1 1 . . .S : 0 1 1 1 . . .S : 0 1 1 1 . . .S : 1 1 0 1 . . .

Sγ(z ,w) =∑

M∈{0γ ,1γ}?

pM ewC(M) z |M|

Sγ(z) =∑

M∈{0γ ,1γ}?

pM 2C(M) z |M|

S : 1 1 1 1 . . .S : 0 1 1 1 . . .S : 0 1 1 1 . . .S : 1 1 0 1 . . .

Sγ(z ,w) =∑

M∈{0γ ,1γ}?

pM ewC(M) z |M|

Sγ(z) =∑

M∈{0γ ,1γ}?

pM 2C(M) z |M|

S : 1 1 1 1 . . .S : 0 1 1 1 . . .S : 0 1 1 1 . . .S : 1 1 0 1 . . .

Sγ(z ,w) =∑

M∈{0γ ,1γ}?

pM ewC(M) z |M|

Sγ(z) =∑

M∈{0γ ,1γ}?

pM 2C(M) z |M|

S : 1 1 1 1 . . .S : 0 1 1 1 . . .S : 0 1 1 1 . . .S : 1 1 0 1 . . .

Sγ(z ,w) =∑

M∈{0γ ,1γ}?

pM ewC(M) z |M|

Sγ(z) =∑

M∈{0γ ,1γ}?

pM 2C(M) z |M|

Resultat 3

Hypothese 3

On pose Si (z), pour i = γ ou γ + 1, la serie

Si (z) =∑

M∈{0i ,1i}?

pM 2C(M) z |M| :=∑m≥0

am,izm.

On suppose que Si (z) admet une unique singularite dominante zi avec

zi ∈]1

2, 1[ et zγ < zγ+1

Le nombre de motifs γ-frequents est asymptotiquement exponentiel en lenombre de colonnes et polynomial en le nombre de lignes,

Freqγ =

)am,γ [1 + O (n · θm)] , θ =

zγ + ε

zγ+1 − ε

Quels types de sources ?

sources de Bernoulli de parametre p

Hypothese 1 : pX = p|X |

Hypothese 2 : pour X ( Y , pY /pX ≤ p < 1Hypothese 3 :

Si (z) =1

1− z(1 + pi ), [zm]Si (z) = (1 + pi )m

Le ie symbole est 1 avec la probabilite pi avec 0 < θ1 < pi < θ2 < 1

Hypothese 1 : pX ≤ θ|X |2

Hypothese 2 : pour X ( Y , pY /pX ≤ p < θ2

Hypothese 3 :

[zm]Sγ(z) =mY

(1 + pγi ) ≥ (1 + θi

modeles groupes de Bernoulli pour les attributs qui s’excluent mutuellement(ex : petit, moyen grand)

chaınes de markov (irreductibles et aperiodiques)

sources dynamiques (completes ou markoviennes)

Si (z) =1

1− z(1 + pi ), [zm]Si (z) = (1 + pi )m

Hypothese 3 :

[zm]Sγ(z) =mY

(1 + pγi ) ≥ (1 + θi

Si (z) =1

1− z(1 + pi ), [zm]Si (z) = (1 + pi )m

Hypothese 3 :

[zm]Sγ(z) =mY

(1 + pγi ) ≥ (1 + θi

Si (z) =1

1− z(1 + pi ), [zm]Si (z) = (1 + pi )m

Hypothese 3 :

[zm]Sγ(z) =mY

(1 + pγi ) ≥ (1 + θi

Sources dynamiques completes

mot associé à x: babb....

deux branches inverses : h0 et h1

operateurs :

H0[f ](x) = |h′0(x)|f (h0(x)), H1[f ](x) = |h′1(x)|f (h1(x)), H = H0 + H1

si M = `1 . . . `m, branche inverse associee hM = h`1 ◦ . . . ◦ h`m

Hypothese 1 : pour un motif X

On utilise recursivement

H1[φ](t) ≤ θ1φ(t), avec θ1 < 1.

On obtient pX ≤ (1 + ε)θ|X |−n0

Hypothese 2 : distorsion bornee des branches + nombre de branches fini

operateurs :

H ◦H1 ◦H ◦ . . . ◦H1 ◦H ◦H1 ◦H ◦H[f0](t)dt

H1[φ](t) ≤ θ1φ(t), avec θ1 < 1.

operateurs :

H ◦H1 ◦H ◦ . . . ◦H1 ◦H ◦H1 ◦H ◦H[f0](t)dt

pX ≤∫ 1

H ◦H1 ◦H ◦ . . .H1 ◦Hn0 [f0](t)dt

H1[φ](t) ≤ θ1φ(t), avec θ1 < 1.

Hypothese 2 : distorsion bornee des branches + nombre de branches finiLhote, Rioult, Soulet (GREYC, Caen) Problemes de fouille de donnees ALEA’06 23 / 27

operateurs :

pX ≤∫ 1

H ◦H1 ◦H ◦ . . .H1 ◦Hn0 [f0](t)dt

pX ≤ (1 + ε)

H ◦H1 ◦H ◦ . . .H1[φ](t)dt

H1[φ](t) ≤ θ1φ(t), avec θ1 < 1.

Hypothese 2 : distorsion bornee des branches + nombre de branches finiLhote, Rioult, Soulet (GREYC, Caen) Problemes de fouille de donnees ALEA’06 23 / 27

operateurs :

pX ≤ (1 + ε)

H ◦H1 ◦H ◦ . . .H1[φ](t)dt

H1[φ](t) ≤ θ1φ(t), avec θ1 < 1.

operateurs :

pX ≤ (1 + ε)

H ◦H1 ◦H ◦ . . .H1[φ](t)dt

H1[φ](t) ≤ θ1φ(t), avec θ1 < 1.

operateurs :

pX ≤ (1 + ε)

H ◦H1 ◦H ◦ . . .H1[φ](t)dt

H1[φ](t) ≤ θ1φ(t), avec θ1 < 1.

Sources dynamiques completes : hypothese 3

Operateurs :

H1[F ](x1, . . . , xγ) = |h′1(x1)| . . . |h′1(xγ)|F (h1(x1), . . . , h1(xγ))

H0[F ](x1, . . . , xγ) =∑

(`1,...,`γ) 6=(1,...,1)

|h′`1(x1)| . . . |h′`γ

(xγ)|F (h`1(x1), . . . , h`γ(xγ))

H = H0 + 2H1

Serie S(z)

Sγ(z) =

∫[0,1]γ

(I− zH)−1(x1, . . . , xγ)dx1 . . . dxγ

Unique pole simple en z = 1/λ(γ) avec

λ(γ) > λ(γ + 1) > 1

Operateurs :

H0[F ](x1, . . . , xγ) =∑

(`1,...,`γ) 6=(1,...,1)

|h′`1(x1)| . . . |h′`γ

(xγ)|F (h`1(x1), . . . , h`γ(xγ))

H = H0 + 2H1

Serie S(z)

Sγ(z) =

∫[0,1]γ

(I− zH)−1(x1, . . . , xγ)dx1 . . . dxγ

λ(γ) > λ(γ + 1) > 1

Operateurs :

H0[F ](x1, . . . , xγ) =∑

(`1,...,`γ) 6=(1,...,1)

|h′`1(x1)| . . . |h′`γ

(xγ)|F (h`1(x1), . . . , h`γ(xγ))

H = H0 + 2H1

Serie S(z)

Sγ(z) =

∫[0,1]γ

(I− zH)−1(x1, . . . , xγ)dx1 . . . dxγ

λ(γ) > λ(γ + 1) > 1

Schema de la preuve

Freqγ =∑

X∈{a1,...,am}∑n

X (1− pX )n−i

Freqγ = γ(nγ

) ∑X∈{a1,...,am}

∫ pX

0tγ−1(1− t)n−γdt

(1− t)n−γ ≈ 1− (n − γ)t

seuil fixe seuil lineaire

fonction gamma incompletemethode de Laplace

Preuve : seuil fixe

Freqγ = γ

) ∑X⊂{a1,...,am}

∫ pX

tγ−1(1− t)n−γdt

(1− t)n−γ ≈ 1− (n − γ)t

Freqγ ≈(

) ∑X⊂{a1,...,am}

pγX − (n − γ)

γ + 1

) ∑X⊂{a1,...,am}

pγ+1X

Mais pγX s’ecrit aussi

pγX =

∑M1, . . . ,Mγ

Mi ∈ {0, 1}m

X ⊂ Mi

P(M1) . . .P(Mγ)

En inversant toutes les sommes,∑X⊂{a1,...,am}

pγX =

∑M1,...,Mγ

2|M1∩...∩Mγ |P(M1) . . .P(Mγ)

Preuve : seuil fixe

Freqγ = γ

) ∑X⊂{a1,...,am}

∫ pX

(1− t)n−γ ≈ 1− (n − γ)t

Freqγ ≈(

) ∑X⊂{a1,...,am}

pγX − (n − γ)

γ + 1

) ∑X⊂{a1,...,am}

pγ+1X

pγX =

∑M1, . . . ,Mγ

Mi ∈ {0, 1}m

X ⊂ Mi

P(M1) . . .P(Mγ)

pγX =

∑M∈{0γ ,1γ}m

2C(M)P(M)

Preuve : seuil fixe

Freqγ = γ

) ∑X⊂{a1,...,am}

∫ pX

(1− t)n−γ ≈ 1− (n − γ)t

Freqγ ≈(

) ∑X⊂{a1,...,am}

pγX − (n − γ)

γ + 1

) ∑X⊂{a1,...,am}

pγ+1X

pγX =

∑M1, . . . ,Mγ

Mi ∈ {0, 1}m

X ⊂ Mi

P(M1) . . .P(Mγ)

pγX = [zm]Sγ(z)

Preuve : seuil fixe

Freqγ = γ

) ∑X⊂{a1,...,am}

∫ pX

(1− t)n−γ ≈ 1− (n − γ)t

Freqγ ≈(

) ∑X⊂{a1,...,am}

pγX − (n − γ)

γ + 1

) ∑X⊂{a1,...,am}

pγ+1X

pγX =

∑M1, . . . ,Mγ

Mi ∈ {0, 1}m

X ⊂ Mi

P(M1) . . .P(Mγ)

En inversant toutes les sommes,

Freqγ ≈(

)[zm]Sγ(z)− (n − γ)

γ + 1

)[zm]Sγ+1(z)

Conclusion et perspectives

Trois resultats avec des conditions suffisantes :

seuil fixe : nombre exponentiel de motifs frequentsseuil intermediaire : equivalence entre motifs frequents et fermesseuil lineaire : nombre polynomial de motifs frequents

s’appliquent a toutes les sources classiques

modeles de bases de donnees non correlees

Perspectives :

Nombre de motifs fermes pour un seuil fixe ?analyses d’autres motifs (bordure negative, motifs candidats, motifs libres,. . . )analyses des algorithmes par niveaux et en profondeurtrouver des modeles plus realistescontraintes generalisees

Lo¨ıck Lhote, Fran¸cois Rioult, Arnaud Soulet

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