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  • MOUVEMENT BROWNIEN PROCESSUS DE BRANCHEMENT

    ET SUPERPROCESSUS

    Jean-François LE GALL

    Notes de Cours de DEA 1994

  • Chapter 0

    Introduction

    Le but de ce cours est d’abord de décrire certaines relations existant entre marches aléatoires ou mouvement brownien et processus de branchement, ensuite d’appliquer ces relations à une construction trajectorielle des processus de branchement à valeurs mesures appelés superprocessus, dans le cas particulier du super-mouvement brow- nien. Cette construction repose sur l’introduction d’un processus de Markov à valeurs dans un espace de trajectoires, appelé ici le serpent brownien, qui présente un intérêt propre. Elle a aussi l’avantage de rendre plus évidentes certaines pro- priétés du super-mouvement brownien et, bien que ces applications ne soient pas développées ici, elle fournit des méthodes efficaces pour l’étude fine de ce proces- sus et de ses liens avec les équations aux dérivées partielles. Le présent cours a été conçu de façon à exiger un minimum de connaissances préalables. En parti- culier, nous donnons une approche complète des temps locaux et de la théorie des excursions du mouvement brownien, qui constituent deux outils importants. Nous décrivons ci-dessous le contenu des huit chapitres de ce cours en mettant l’accent sur les liens entre les différents thèmes abordés.

    Le point de départ du présent exposé est une correspondance remarquable, découverte par Harris, entre l’excursion positive de la marche aléatoire simple et l’arbre associé à un processus de Galton-Watson critique de loi de reproduction géométrique. On décrit cette correspondance de façon imagée en disant que le déplacement d’une particule qui monte et descend le long des branches de l’arbre fournit une excursion de marche aléatoire. Dans cette correspondance, le nombre de branches à un niveau k donné cöıncide avec le nombre de montées de k à k+1 pour la marche aléatoire. On sait bien que le mouvement brownien réel apparâıt comme limite de marches aléatoires de pas petit, ce qui suggère d’étudier les applications au mouvement brownien de la correspondance de Harris. Dans le chapitre 2, nous introduisons la notion importante de temps local du mouvement brownien, qui cons- titue le “bon” analogue des nombres de montées pour les marches aléatoires. Nous étudions aussi certaines propriétés fondamentales des temps locaux. Ensuite, le

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  • chapitre 3 développe, surtout en vue d’applications ultérieures, les liens entre temps locaux d’un mouvement brownien et nombres de montées pour certaines marches aléatoires plongées dans ce mouvement brownien. Grâce à ces liens, on obtient comme conséquence directe de la correspondance de Harris un théorème important de Ray-Knight sur la loi des temps locaux browniens considérés comme processus en la variable d’espace.

    Le chapitre 4 introduit les superprocessus, dans le cas particulier fondamental du super-mouvement brownien. On décrit la construction traditionnelle, par approxi- mation discrète, de ces processus. Pour cela on part de l’arbre de Galton-Watson évoqué ci-dessus, ou plus généralement d’un nombre fini de tels arbres, qu’on in- terprète comme arbres généalogiques d’un système de particules se déplaçant selon des mouvements browniens indépendants dans Rd. Le processus de Markov qui vaut à chaque instant la somme des masses de Dirac aux positions des particules en vie est le processus de branchement brownien. Par un passage à la limite lorsque le nom- bre de particules présentes à l’instant initial tend vers l’infini, et la durée de vie de chaque particule vers 0, on aboutit à un processus de Markov à valeurs dans l’espace des mesures finies sur Rd, qui est le super-mouvement brownien. Cette approche assez élémentaire donne aussi la fonctionnelle de Laplace du semi-groupe du super- mouvement brownien. Grâce à cette fonctionnelle de Laplace, nous développons dans le chapitre 5 certains calculs de moments qui conduisent rapidement à des ap- plications intéressantes. Nous étudions en particulier la dimension de Hausdorff du support du super-mouvement brownien, ainsi que des conditions suffisantes assurant que le support rencontre un ensemble donné.

    De façon schématique, le processus de branchement brownien, qui est la forme discrète du super-mouvement brownien, est construit en ajoutant des déplacements spatiaux (browniens) à un arbre de Galton-Watson. En pensant à la correspondance de Harris, on est amené à chercher un processus aléatoire qui serait à l’excursion de la marche aléatoire simple ce que le processus de branchement brownien est à l’arbre de Galton-Watson. Ce processus, le serpent (brownien) discret du chapitre 6, prend ses valeurs dans l’espace des trajectoires arrêtées dans Rd. A chaque instant, la valeur du serpent discret est une trajectoire brownienne dans Rd, issue d’un point fixé, dont la longueur (le temps de vie) est la valeur à l’instant considéré d’une marche aléatoire simple réfléchie sur N. Si à l’instant suivant la marche aléatoire saute de +1 on prolonge d’autant la trajectoire brownienne, si au contraire la marche aléatoire saute de −1, on raccourcit la trajectoire brownienne en effaçant son extrémité. Ensuite, le même passage à la limite qui fait passer de la marche aléatoire simple au mouvement brownien conduit du serpent discret au serpent brownien, processus de Markov continu fortement markovien à valeurs dans l’espace des trajectoires arrêtées. A chaque instant, la valeur du serpent brownien est une trajectoire brownienne arrêtée dans Rd, dont le temps de vie évolue comme un mouvement brownien réfléchi dans R+.

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  • L’ensemble des valeurs prises par un serpent discret est exactement l’ensemble des trajectoires historiques d’un processus de branchement brownien. Comme le passage à la limite du processus de branchement brownien vers le super-mouvement brownien correspond au passage à la limite du serpent discret vers le serpent brow- nien, on s’attend aussi à ce que les valeurs prises par le serpent brownien soient les trajectoires historiques des “particules individuelles” d’un super-mouvement brow- nien. Une telle affirmation n’a a priori guère de sens puisqu’il n’y a pas de par- ticules individuelles dans le super-mouvement brownien, mais seulement à chaque instant la donnée d’une mesure qui représente la distribution des particules en vie à cet instant. Néanmoins, cette idée peut être formalisée rigoureusement et con- duit à la construction du super-mouvement brownien, à partir du serpent brownien, développée dans le chapitre 7. Cette construction a de multiples avantages. Elle donne immédiatement accès au “processus historique” rendant compte des trajec- toires individuelles des particules. Elle permet aussi de compléter rapidement les in- formations trajectorielles obtenues dans le chapitre 5. Dans le chapitre 8 enfin, nous appliquons la construction du chapitre 7 à la décomposition de Lévy-Khintchine du super-mouvement brownien. Cette décomposition revient dans l’évolution du super- mouvement brownien à classer les particules en fonction de leur ancêtre à l’instant initial. En termes du serpent brownien, on distingue les différentes excursions en dehors de 0 du processus des temps de vie, qui est rappelons-le un mouvement brownien réfléchi dans R+. La mesure d’excursion obtenue en considérant le serpent brownien (ou le super-mouvement brownien par la correspondance du chapitre 7) sur une seule de ces excursions joue un rôle important dans de multiples applications que nous ne développons pas ici.

    Il est sans doute regrettable que le cours s’arrête à ce point, puisque les ou- tils introduits sont susceptibles de nombreuses applications. Un exemple typique d’application du serpent brownien aux propriétés trajectorielles du super-mouvement brownien est fourni par l’article [28], qui complète les résultats antérieurs obtenus dans [33] et [8] notamment. Une introduction aux liens entre le serpent brow- nien et les équations aux dérivées partielles se trouve dans l’article [26], motivé par les travaux de Dynkin [11], [12] pour les superprocessus. Voir aussi [27] et les références de cet article pour des développements plus récents. Enfin, il faut si- gnaler que plusieurs versions “browniennes” de la correspondance de Harris ont été étudiées par divers auteurs, en commençant par Neveu et Pitman [31]. Aldous [2] introduit un arbre aléatoire continu qui est à l’excursion brownienne ce que l’arbre de Galton-Watson est à l’excursion de la marche aléatoire simple. L’article [25] donne une approche simplifiée, reposant sur la théorie des excursions, du résultat principal d’Aldous. L’idée d’associer un arbre aléatoire infini à l’excursion brow- nienne est aussi exploitée par Abraham [1]. Tous ces travaux n’étudient pas directe- ment les super-processus mais n’en sont pas moins étroitement liés à leur structure généalogique ainsi qu’à celle du serpent brownien.

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  • Chapter 1

    Arbres de Galton-Watson et Excursions de Marches Aléatoires

    L’objet principal de ce chapitre est d’établir une correspondance bijective simple, préservant la mesure, entre l’excursion positive de la marche aléatoire simple sur Z et l’arbre associé à un processus de Galton-Watson