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8/8/2019 Logique Combinatoire - Cours
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- 1 -Logique CombinatoireCopyright F. Muller2002
Plan
n Les Systmes de Numration
n Fonctions et Circuits Logiques
n Simplification des Fonctions Logiques
n Les Diffrents Codes
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- 2 -Copyright F. Muller2002
Fonctions et Circuits Logiques
n Dfinitionn Algbre de commutation ou algbre de Boole
n Fonction logiquen Circuits combinatoires SSI & MSI
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- 3 -Logique CombinatoireCopyright F. Muller2002
Dfinitions
n
lment logiquen 2 lments logiques nots 0 et 1
n Le symbole 1 dsigne une action comme une lampesallume, la porte souvre
n Le symbole 0 indique gnralement labsence daction
n Variable logique ou boolenne Xn Une variable logique ou boolenne est une grandeur qui ne
peut prendre que 2 tats 0 ou 1
n Domaine de dfinition B2 = {0,1}
n Si X est une variable boolenne, on an X 0 si et seulement si X = 1n X 1 si et seulement si X = 0
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- 4 -Logique CombinatoireCopyright F. Muller2002
DfinitionsOprateurs logiques lmentaires
X
Inversion (Inversion (NotNot) ou Compl) ou Complmentationmentation
OpOpration OU (OR) ou Unionration OU (OR) ou Union
OpOpration ET (AND) ou Intersectionration ET (AND) ou Intersection
B2 B2
Notation :
01
10
XX
YXou +YX
B2 x B2 B2
Notation :
111
101
110000
X+YYX
111
001
010000
X.YYX
XYouY.XouYX
B2 x B2 B2
Notation :
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- 5 -Logique CombinatoireCopyright F. Muller2002
n Cas de 2 variables boolennes X et Y 2 domaines
DfinitionsDiagramme de Venn
n Les valeurs dune variable boolenne X peuvent trereprsentes par 2 rgions dun plan dlimites par unecourbe ferme.
X=0
X=1
n 3 variables boolennes 3 domaines
X=0
X=1
Y=0
Y=1
X=0
X=1
Y=0
Y=1
X.YX=0 Y=0
X + Y
X=1 Y=1
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- 6 -Copyright F. Muller2002
Fonctions et Circuits Logiques
n Dfinitionn Algbre de commutation ou algbre de Boole
n Fonction logiquen Circuits combinatoires SSI & MSI
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- 7 -Logique CombinatoireCopyright F. Muller2002
Lois fondamentales de lalgbre de Boole
n Lalgbre de commutation ou algbre de Boole est le systmealgbrique constitu de lensemble B2 et des oprations ET,OU, PAS.
1.A = A1+A = 10. A = 00+A = A
Identits remarquables
A+A = AA.A = A
Idempotence
A+A = 1A.A = 0
Complmentarit
A.(B+C) = A.B + A.CA+(B.C) = (A+B).(A+C) Diffrent algbre classique
Distributivit
A.(B.C) = (A.B).CA+(B+C) = (A+B)+CAssociativit
A.B = B.AA+B = B+A
Commutativit
A.B Variable logique dfinie par la table ETA+B Variable logique dfinie par la table OU
Fermeture
Axiomes delalgbre deboole
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- 8 -Logique CombinatoireCopyright F. Muller2002
Thorme de De Morgan
n
Thorme 1n La ngation dun produit de variables est gale la somme
des ngations des variables
n Thorme 2n La ngation dune somme de variables est gale au produit
des ngations des variables
CBACBA ++=..
CBACBA ..=++
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- 9 -Copyright F. Muller2002
Fonctions et Circuits Logiques
n Dfinitionn Algbre de commutation ou algbre de Boole
n Fonction logiquen Circuits combinatoires SSI & MSI
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- 1 0 -Logique CombinatoireCopyright F. Muller2002
Dfinitions
n
Une fonction logique de n variables x1, , xn est uneapplication qui a toute combinaison de
n Une fonction logique ne peut prendre que 2 tats 0ou 1
n Le nombre de fonctions que lon peut crer avec nvariables est 22
npuisqu chacune des 2n
combinaisons de variables, on peut fairecorrespondre les valeurs 0 ou 1
22lmentunsn variable BBn
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- 1 1 -Logique CombinatoireCopyright F. Muller2002
Fonction compltement dfinie
n Une fonction logique est compltement dfinie quandon connat sa valeur 0 ou 1 pour toutes lescombinaisons possibles des variables.
n Ces combinaisons sont au nombre de 2n pour nvariables
0010
1110
0001
1101
1
1
0
0
X
111
101
010
000
fZYExemple
n Soit une fonction de 3 variablesf(x,y,z)
n 23 = 8 combinaisons
n
Rpertorier les combinaisons danslordre croissant de 0 2n-1
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- 1 2 -Logique CombinatoireCopyright F. Muller2002
Fonction incompltement dfinie
n
Une fonction logique est incompltement dfiniequand sa valeur est indiffrente ou non spcifie pourcertaines combinaisons de variables
n On note sa valeur par X ou
0010
X110
X001
1101
1
1
0
0
X
X11
101
010
X00
gZYExemple
n Soit une fonction de 3 variablesg(x,y,z)
n 23 = 8 combinaisonsdont 4 combinaisons indfinies
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- 1 3 -Logique CombinatoireCopyright F. Muller2002
Formes Canoniques des Fct. LogiquesPremire Forme Canonique (1)
n Appel aussin Produels de Produitsn Forme canonique disjonctive
n Sexprime sous la forme dune somme de produits
n criture partir de la table de vritn Reprer dans la table de vrit les combinaisons x, y, z
pour lesquelles la fonctions vaut 1n Pour ces combinaisons, faire le produit des variables en
affectant le symbole aux variables dont ltat est 0. Onobtient les monmes de la fonction
n Faire la somme de tous les monmes
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- 1 4 -Logique CombinatoireCopyright F. Muller2002
Formes Canoniques des Fct. LogiquesPremire Forme Canonique (2)
n Exemplen soit la fonction f tel que
n f = 1 si la majorit des variables sont 1n f = 0 sinon
0010
1110
0001
1101
1
1
00
X
111
101
010000
fZY
0010
1110
0001
1101
1
1
00
X
111
101
010000
fZY
Ralisation de la table de vrit 1) Recherche les cas o la fonction vaut 1
2) criture des monmes
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- 1 5 -Logique CombinatoireCopyright F. Muller2002
Formes Canoniques des Fct. LogiquesPremire Forme Canonique (3)
n Remarquen Comment obtenir le complment de f ?
0010
1110
0001
1101
1
1
0
0
X
111
101
010
000
fZY
zyxzyxzyxzyxzyxf ........),,( +++=
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- 1 6 -Logique CombinatoireCopyright F. Muller2002
Formes Canoniques des Fct. LogiquesPremire Forme Canonique (4)
n criture de la table de vrit partir de f canoniquen dresser la table de vrit n variablesn les combinaisons correspondantes un monmes de f seront
affectes ltat 1, les autres ltat 0n Exemple
zyxzyxzyxzyxf ......),,( ++=
0010
0110
00011101
1
1
0
0
X
111
001
010
100
fZY
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- 1 7 -Logique CombinatoireCopyright F. Muller2002
Formes Canoniques des Fct. LogiquesDeuxime Forme Canonique (1)
n Appel aussin Produits de Produels
n Forme canonique conjonctive
n Sexprime sous la forme dun produit de sommes
n criture partir de la table de vritn Reprer les combinaisons pour lesquelles ltat de f est 0
n Pour ces combinaisons, faire la sommes des variables enaffectant le symbole aux variables dont ltat est 1
n
Faire le produit des sommes
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- 1 8 -Logique CombinatoireCopyright F. Muller2002
Formes Canoniques des Fct. LogiquesDeuxime Forme Canonique (2)
n Exemple
0010
11100001
1101
1
1
0
0
X
111
101
010
000
fZY
1) Recherche les cas o la fonction vaut 0
zyx ++
zyx ++
zyx ++
zyx ++
2) criture des monmes
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- 1 9 -Logique CombinatoireCopyright F. Muller2002
Formes Canoniques des Fct. LogiquesDeuxime Forme Canonique (3)
n criture de la table de vrit partir de fn Dresser la tablen Pour chaque terme somme de f, prendre la combinaison faisant
apparatren un 0 pour une variable directen un 1 pour une variable inverse note
n Affecter 0 f pour ces combinaisons, 1 f pour les autresn Exemple
)).().((),,( zyxzyxzyxzyxf ++++++=
1010
0110
10011101
1
1
0
0
X
111
001
010
100
fZY
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- 2 0 -Logique CombinatoireCopyright F. Muller2002
Fonctions dune seule variable Boolenne
n On peut former 221
fonctions, soit 4 fonctionsn Ces fonctions sont appeles monodes
10101
11000
f3f2f1f0x
00 =f
13 =f
xf =1
xf =2
fonctions constantes
cest la variable elle-mme
cest le complment de la variable
not NON ou NOT
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- 2 1 -Logique CombinatoireCopyright F. Muller2002
Fonctions de deux variables Boolennes
n On peut former 222
fonctions, soit 16 fonctions
101010101010101011
110011001100110001
111100001111000010
111111110000000000
f15f14f13f12f11f10f9f8f7f6f5f4f3f2f1f0yx
Fonction une seule variable
00 =f
115 =f
xf =3
xf =12
yf =5
yf =10
Oprateurs fondamentaux
yxf +=7
yxf .1 =
Autres fonctions
yxyxyxf =+= ..6
OU
ET
Fonction OU exclusif ou comparateurdingalit
yxyxyxf =+= ..9 Fonction Identique ou comparateurdidentit
yxyxf +== .8 Fonction NON OU ou NOR
yxyxf .14 =+= Fonction NON ET ou NAND
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- 2 2 -Copyright F. Muller2002
Fonctions et Circuits Logiques
n Dfinitionn Algbre de commutation ou algbre de Boole
n Fonction logiquen Circuits combinatoires SSI & MSI
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- 2 3 -Logique CombinatoireCopyright F. Muller2002
Circuits SSI (Small Scale Integration)Portes Logiques lmentaires (1)
Porte NON, PAS ou Inverseur (NOT)Porte NON, PAS ou Inverseur (NOT)
lectricitlectricit +5v
0v
Lampe = X
X
Cas 1 X = 0
+5v
0v
Lampe = XX
Cas 2 X = 1
1
Symboles lectroniquesSymboles lectroniques
X X X X
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- 2 4 -Logique CombinatoireCopyright F. Muller2002
Circuits SSI (Small Scale Integration)Portes Logiques lmentaires (2)
Porte ET (AND)Porte ET (AND)
Porte OU (OR)Porte OU (OR)
lectricitlectricit
+5v
0v
Lampe = X+Y
X
Y
lectricitlectricit
+5v
0v
Lampe = X.Y
X Y
Symboles lectroniquesSymboles lectroniques
X
Y
X.Y &X
Y
X.Y
Symboles lectroniquesSymboles lectroniques
1XY
X+YX
Y
X+Y
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- 2 5 -Logique CombinatoireCopyright F. Muller2002
Circuits SSI (Small Scale Integration)Portes Logiques de Base (1)
Porte OU Exclusif (EXOR)Porte OU Exclusif (EXOR)
X
Y
X Y =1X
Y
X Y
Porte OU Exclusif ComplmentPorte OU Exclusif Complment(EXNOR)(EXNOR)
X
Y=1
X
Y
X YX Y
Porte NON ET (NAND)Porte NON ET (NAND)
X
Y &
X
Y
X.YX.Y
Porte NON OU (NOR)Porte NON OU (NOR)
X
Y
X+Y
1
X
Y
X+Y
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- 2 6 -Logique CombinatoireCopyright F. Muller2002
Circuits SSI (Small Scale Integration)Portes Logiques de Base (2)
Circuits 3 tats (TRISTATE)Circuits 3 tats (TRISTATE)c
e s c = 0 alors s=haute impdance (z)c = 1 alors s=e
/c
e s c = 1 alors s=haute impdance (z)c = 0 alors s=e
c=0e s=z (haute impdance)
c=1e s=e
/c=1e s=e
/c=0e s= z (haute impdance)
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- 2 7 -Logique CombinatoireCopyright F. Muller2002
Circuits SSI (Small Scale Integration)Exemples
NAND (7400) NOT (7404)
OR (7408) Buffer Tristate (74126)
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- 2 8 -Logique CombinatoireCopyright F. Muller2002
Circuits MSI (Medium Scale Integration)Multiplexeur & Encodeur
MultiplexeurMultiplexeur
Adresses A,B,C, n fils
Entres E0,E1,E2,
2n fils
Sortie S1 fil
ExempleExemple
Multiplexeur 4 1
4 entres = 22
n=2 donc 2 fils dadresse A et B
1 sortie (toujours vrai)
EncodeurEncodeur
Entres E0,E1,,Em
n filsSortie S
m=2n fils ExemplesExemples
Encodeur 8 3 8 entres 3 sorties
Encodeur 10 4
1
10
S0
m-1
10
0
10
E1
1
00
S1
101
000010
SnE0Em-1
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- 2 9 -Logique CombinatoireCopyright F. Muller2002
Circuits MSI (Medium Scale Integration)Demultiplexeur & Dcodeur
DemultiplexeurDemultiplexeur
Adresses A,B,C, n fils
Sorties S0,S1,S2,
2n fils
Entre E 1 fil
ExempleExempleDemultiplexeur 1 8
1 entre (toujours vrai)
8 sorties ou 23 sorties
n=3 donc 3 fils dadresse A,B et C
ExemplesExemples
Dcodeur 3 8 3 entres 8 sorties
Dcodeur 4 10
m-1
10
0
01
S0
1
00
E1
0
10
S1
111
010000
Sm-1E0En
DcodeurDcodeur
Sorties S0,S1,,Sm
n fils
m=2n fils
Entres E0,E1,,En
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- 3 0 -Logique CombinatoireCopyright F. Muller2002
Circuits MSI (Medium Scale Integration)Exemples
Multiplexeur 4 vers 1 (74153) Additionneur 4 bits (7483)