L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev · Les programmes 1 Les programmes 2 Une approche historique...

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Sandrine Lagaize 1 Nicolas Perpète 2

1LMPA, ULCO

2Lycée Mariette, Boulogne/mer

shortname (shortinst) L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev 1 / 50

Sommaire

1 Les programmes

2 Une approche historique

3 L’inégalité de Bienaymé-TchebychevLe résultatDes applications

4 La loi faible des grands nombres

Les programmes

1 Les programmes

Les programmes

Le programme de première (1)

Modèle probabiliste

Les programmes

Modèle probabiliste Formule des probabilités totales

Les programmes

Modèle probabiliste Formule des probabilités totales Tableaux et arbres pondérés

Les programmes

Modèle probabiliste Formule des probabilités totales Tableaux et arbres pondérés Probabilité conditionnelle, indépendance

Les programmes

Variable aléatoire

Les programmes

Variable aléatoire Loi d’une v.a., espérance, variance

Les programmes

Variable aléatoire Loi d’une v.a., espérance, variance Loi binomiale

Les programmes

Avec Python :

Les programmes

Avec Python : Simuler une v.a. X de loi donnée

k 0 50 100P(X = k) 0, 2 0, 4 0, 4

Les programmes

k 0 50 100P(X = k) 0, 2 0, 4 0, 4

Moyenne d’un échantillon (X1, . . . ,Xn) de même loi que X

Mn =X1 + X2 + · · ·+ Xn

Les programmes

k 0 50 100P(X = k) 0, 2 0, 4 0, 4

Mn =X1 + X2 + · · ·+ Xn

Avec Python ou le tableur :

Les programmes

k 0 50 100P(X = k) 0, 2 0, 4 0, 4

Mn =X1 + X2 + · · ·+ Xn

Avec Python ou le tableur : Étant donnés N échantillons de taille n, proportion des

échantillons dont la moyenne est comprise entre µ− 2σ/√n et

µ+ 2σ/√n

Les programmes

Le programme de terminale (1)

Idée générale

Les programmes

Idée générale E (X ) = µ, V (X ) = σ2. Somme et moyenne d’un échantillon

(X1, . . . ,Xn) de même loi que X

Sn = X1 + X2 + · · ·+ Xn

Mn =X1 + X2 + · · ·+ Xn

Majoration de P(

|Mn − µ| ≥ kσ√n

Les programmes

Idée générale E (X ) = µ, V (X ) = σ2. Somme et moyenne d’un échantillon

(X1, . . . ,Xn) de même loi que X

Sn = X1 + X2 + · · ·+ Xn

Mn =X1 + X2 + · · ·+ Xn

Majoration de P(

|Mn − µ| ≥ kσ√n

Ancien programme Nouveau programmeXi ∼ B(p) Xi quelconques

Sn ∼ B(n, p) Sn quelconqueApprox. asympt. par N(0, 1) Calculs exacts via inég. B.T.

Loi N(0, 1) + stat. Loi binomiale + stat. + LGN

Les programmes

Dénombrement

Les programmes

Dénombrement Avec les

Les programmes

Loi binomiale

Les programmes

Loi binomiale Schéma de Bernoulli

Les programmes

Loi binomiale Schéma de Bernoulli Formule

× pk × (1 − p)n−k

Les programmes

× pk × (1 − p)n−k

Calculs à la main ou à l’aide d’algorithmes

Les programmes

× pk × (1 − p)n−k

Calculs à la main ou à l’aide d’algorithmesex 1 : X ∼ B(100, 0.5). Calculer P(X ≤ 10)

Les programmes

× pk × (1 − p)n−k

Calculs à la main ou à l’aide d’algorithmesex 1 : X ∼ B(100, 0.5). Calculer P(X ≤ 10)ex 2 : X ∼ B(100, 0.5). Résoudre P(X ≤ α) ≥ 0, 95

Les programmes

Somme de variables aléatoires

Les programmes

Somme de variables aléatoires E (aX ) = aE (X ) et E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )

Les programmes

Somme de variables aléatoires E (aX ) = aE (X ) et E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) V (X + Y ) = V (X ) + V (Y ) dans le cas de v.a. indépendantes –

V (aX ) = a2V (X )

Les programmes

Somme de variables aléatoires E (aX ) = aE (X ) et E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) V (X + Y ) = V (X ) + V (Y ) dans le cas de v.a. indépendantes –

V (aX ) = a2V (X ) Explication sous forme d’exercice.

Une urne contient quatre boules indiscernables au toucher quiportent chacune deux no : un no rouge et un no bleu. On tire uneboule au hasard dans l’urne et on note X le no rouge, Y leno bleu.

Calculer E (X ), E (Y ) et E (X + Y ).

Les programmes

Linéarité de l’espérance

Propriété : Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur lemême espace de probabilité et admettant une espérance. Soit a unréel. On a

1 E (aX ) = aE (X ).

2 E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ).

Les programmes

1 E (aX ) = aE (X ).

2 E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ).

Dans le contexte du lycée :

Les programmes

1 E (aX ) = aE (X ).

2 E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ).

Dans le contexte du lycée :Propriété : Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes, àsupport fini, définies sur le même espace de probabilité. Soit a unréel. On a

1 E (aX ) = aE (X ).

2 E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ).

Les programmes

Preuve pour des V.A discrètes à support fini

1. Soit X une variable aléatoire définie sur un univers Ω muni d’uneprobabilité IP.

Les programmes

1. Soit X une variable aléatoire définie sur un univers Ω muni d’uneprobabilité IP.Notons X (Ω) = x1, x2, · · · , xn l’ensemble des valeurs prises par X .

Les programmes

Rappel : l’espérance de X est alors

Les programmes

E (X ) =∑

xi∈X (Ω)

xi IP(X = xi)

Les programmes

E (X ) =∑

xi∈X (Ω)

xi IP(X = xi) =n

xi IP(X = xi).

Les programmes

E (X ) =∑

xi∈X (Ω)

xi IP(X = xi) =n

xi IP(X = xi).

E (aX ) =n

(axi)IP(aX = axi)

Les programmes

E (X ) =∑

xi∈X (Ω)

xi IP(X = xi) =n

xi IP(X = xi).

E (aX ) =n

(axi)IP(aX = axi) = a

xi IP(X = xi)

Les programmes

E (X ) =∑

xi∈X (Ω)

xi IP(X = xi) =n

xi IP(X = xi).

E (aX ) =n

(axi)IP(aX = axi) = a

xi IP(X = xi) = aE (X ).

Les programmes

2. Soit X et Y deux variables aléatoires définies sur un même universΩ muni d’une probabilité IP.Notons X (Ω) = x1, x2, · · · , xn l’ensemble des valeurs prises par X .et Y (Ω) = y1, y2, · · · , ym l’ensemble des valeurs prises par Y .

Les programmes

2. Soit X et Y deux variables aléatoires définies sur un même universΩ muni d’une probabilité IP.Notons X (Ω) = x1, x2, · · · , xn l’ensemble des valeurs prises par X .et Y (Ω) = y1, y2, · · · , ym l’ensemble des valeurs prises par Y .

Posons Z = X + Y .Notons Z (Ω) = z1, z2, · · · , zl l’ensemble des valeurs prises par X .

Les programmes

Remarque : loi de Z

Pour tout zk ∈ Z (Ω), on a

Les programmes

Remarque : loi de Z

Z = zk = X = xi et Y = yj

Les programmes

Remarque : loi de Z

Z = zk =⋃

(i ,j) ; xi+yj=zkX = xi et Y = yj

Les programmes

Remarque : loi de Z

Z = zk =⋃

(i ,j) ; xi+yj=zkX = xi et Y = yj

D’où IP(Z = zk) =∑

(i ,j) ; xi+yj=zk

IP(X = xi ,Y = yj).

Les programmes

E (Z ) =∑

zk∈Z(Ω)

zk IP(Z = zk)

Les programmes

E (Z ) =∑

zk∈Z(Ω)

zk IP(Z = zk)

zk∈Z(Ω)

xi+yj=zk

IP(X = xi ,Y = yj)

Les programmes

E (Z ) =∑

zk∈Z(Ω)

zk IP(Z = zk)

zk∈Z(Ω)

xi+yj=zk

IP(X = xi ,Y = yj)

zk∈Z(Ω)

xi+yj=zk

zk IP(X = xi ,Y = yj)

Les programmes

E (Z ) =∑

zk∈Z(Ω)

zk IP(Z = zk)

zk∈Z(Ω)

xi+yj=zk

IP(X = xi ,Y = yj)

zk∈Z(Ω)

xi+yj=zk

zk∈Z(Ω)

xi+yj=zk

(xi + yj)IP(X = xi ,Y = yj)

Les programmes

E (Z ) =∑

zk∈Z(Ω)

zk IP(Z = zk)

zk∈Z(Ω)

xi+yj=zk

IP(X = xi ,Y = yj)

zk∈Z(Ω)

xi+yj=zk

zk∈Z(Ω)

xi+yj=zk

Les programmes

E (Z ) =n

Les programmes

E (Z ) =n

xi IP(X = xi ,Y = yj) +n

yj IP(X = xi ,Y = yj)

Les programmes

E (Z ) =n

IP(X = xi ,Y = yj) +m∑

IP(X = xi ,Y = yj)

Les programmes

E (Z ) =n

IP(X = xi ,Y = yj)

xi IP(X = xi) +m∑

yj IP(Y = yj)

Les programmes

E (Z ) =n

IP(X = xi ,Y = yj)

xi IP(X = xi) +m∑

yj IP(Y = yj)

= E (X ) + E (Y ).

Les programmes

Exercice.Un QCM comporte 5 questions. Pour chacune d’entre elles, 4réponses sont proposées, dont une seule est exacte. On note S lenombre de bonnes réponses à ce QCM pour un élève qui répondau hasard à toutes les questions.

Les programmes

1 Loi de S .

Les programmes

1 Loi de S .

2 On pose Xi =

1 si l’élève a bon à la question i

0 sinonCalcul de E (S) et V (S).

Les programmes

1 Loi de S .

2 On pose Xi =

1 si l’élève a bon à la question i

0 sinonCalcul de E (S) et V (S).

S = X1 + X2 + X3 + X4 + X5.

Les programmes

Application à la loi binomiale

Les programmes

Application à la loi binomiale X ∼ B(n, p)

X = X1 + · · ·+ Xn, où les Xi sont ind. et suivent une loi deBernoulli

Les programmes

E (X ) = np, V (X ) = np(1 − p)

Les programmes

E (X ) = np, V (X ) = np(1 − p)

Cas général

Les programmes

E (X ) = np, V (X ) = np(1 − p)

Cas général (X1, . . . ,Xn) échantillon de même loi que X

Espérance, variance et écart-type de Sn = X1 + · · ·+ Xn et deMn = Sn

Les programmes

Concentration, loi des grands nombres

Les programmes

Concentration, loi des grands nombres Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Les programmes

Concentration, loi des grands nombres Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Inégalité de concentration

Les programmes

Concentration, loi des grands nombres Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Inégalité de concentration Loi des grands nombres

Une approche historique

1 Les programmes

Le théorème de Bernoulli

Jakob Bernoulli (1654-1705)

« Voici le problème que je veux maintenant publier ici, l’ayant étudié avec soin

pendant 20 ans, problème dont la nouveauté aussi bien que la grande utilité ainsi

que ses profondes difficultés dépassent en poids et valeur tous les chapitres

précédents de mon oeuvre ».

Ars Conjectandi. 1713

Le problème

Bernoulli considère une urne contenant b boules blanches et r boulesrouges.

Le problème

Bernoulli considère une urne contenant b boules blanches et r boulesrouges.Notons p = b

b+rla proportion de boules blanches.

Le problème

Il effectue plusieurs fois n tirages avec remise dans cette urne.

Le problème

Il effectue plusieurs fois n tirages avec remise dans cette urne.Il constate que le nombre de boules blanches obtenu sn est chaquefois différent

Le problème

Il effectue plusieurs fois n tirages avec remise dans cette urne.Il constate que le nombre de boules blanches obtenu sn est chaquefois différentmais que la proportion sn

nest proche de p lorsque n est grand.

La modélisation

Notons Sn la variable aléatoire donnant le nombre de boules blanchesobtenu après n tirages.

La modélisation

On sait que Sn ∼ B(n, p).

La modélisation

Pour tout k ∈ 0, · · · , n, on a

IP(Sn = k) =

pk(1 − p)n−k .

La modélisation

Pour tout k ∈ 0, · · · , n, on a

IP(Sn = k) =

pk(1 − p)n−k .

Bernoulli avait constaté que plus k est proche de np plus cettequantité est grande.

Illustration

Représentation graphique de la densité de la loi B(400 ; 0, 5)

150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250

Le résultat de Bernoulli

Bernoulli a remarqué aussi que pour δ > 0 fixé, IP(|Snn− p| ≥ δ) est

d’autant plus petite que n est grand.

Autrement dit, avec les notations actuelles :

Autrement dit, avec les notations actuelles :∀δ > 0,

limn→+∞

IP(∣

n− p

∣≥ δ

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev

1 Les programmes

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev Le résultat

Inégalité de Markov

Cette inégalité attribuée à Markov (1856-1922) a été prouvée en1869.

Cette inégalité attribuée à Markov (1856-1922) a été prouvée en1869.Propriété :

Soit X une variable aléatoire positive admettant une espérance µ.Pour tout δ > 0, on a

IP(X ≥ δ) ≤ µ

Cette inégalité attribuée à Markov (1856-1922) a été prouvée en1869.Propriété :

Soit X une variable aléatoire positive admettant une espérance µ.Pour tout δ > 0, on a

IP(X ≥ δ) ≤ µ

150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250δ

IP(X ≥ δ)

Preuve en image

Soit G la fonction définie sur R par G (x) = IP(X ≥ x).

Preuve en image

Représentation graphique de la fonction G

Preuve en image

Représentation graphique de la fonction G

IP(X = xi )

Preuve en image

IP(X = xi )xi IP(X = xi )

Preuve en image

Représentation graphique de E (X )

E (X )

Preuve en image

Comparaison entre E (X ) et δIP(X ≥ δ)

E (X )

δIP(X ≥ δ)

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Irénée-Jules Bienaymé (1796-1878) a obtenu le résultat en 1853.

Pafnouti Tchebychev (1821-1894) l’a obtenu en 1867.

Propriété : Soit X une variable aléatoire admettant une espéranceµ et une variance V . Pour tout δ > 0, on a

IP(|X − µ| ≥ δ) ≤ V

Propriété : Soit X une variable aléatoire admettant une espéranceµ et une variance V . Pour tout δ > 0, on a

IP(|X − µ| ≥ δ) ≤ V

Démonstration : On applique l’inégalité de Markov à la variablealéatoire (X − µ)2.

Remarques

Remarque 1 : Cette inégalité n’a d’intérêt que pour δ > σ =√V .

Remarques

Remarque 2 : Cette inégalité est dite inégalité de concentration.

Remarques

Remarque 2 : Cette inégalité est dite inégalité de concentration.Elle donne un intervalle de fluctuation pour X ,

]µ− δ, µ+ δ[

de niveau 1 − V

Première application

Soit X une variable aléatoire admettant une variance. On note µ sonespérance et σ2 sa variance.

On souhaite estimer IP(X ∈]µ − 2σ, µ+ 2σ[) etIP(X ∈]µ− 3σ, µ+ 3σ[).

150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250

µ− 2σ µ+ 2σ

150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250

µ− 3σ µ+ 3σ

Par l’inégalité de BT, on obtient :

IP(X ∈]µ− 2σ, µ+ 2σ[)

IP(X ∈]µ− 2σ, µ+ 2σ[) = IP(|X − µ| < 2σ)

IP(X ∈]µ− 2σ, µ+ 2σ[) = IP(|X − µ| < 2σ) ≥ 1 − σ2

IP(X ∈]µ− 3σ, µ+ 3σ[)

IP(X ∈]µ− 2σ, µ+ 2σ[) = IP(|X − µ| < 2σ) ≥ 1 − σ2

IP(X ∈]µ− 3σ, µ+ 3σ[) = IP(|X − µ| < 3σ)

IP(X ∈]µ− 2σ, µ+ 2σ[) = IP(|X − µ| < 2σ) ≥ 1 − σ2

IP(X ∈]µ− 3σ, µ+ 3σ[) = IP(|X − µ| < 3σ) ≥ 1 − σ2

IP(X ∈]µ− 2σ, µ+ 2σ[) = IP(|X − µ| < 2σ) ≥ 1 − σ2

IP(X ∈]µ− 3σ, µ+ 3σ[) = IP(|X − µ| < 3σ) ≥ 1 − σ2

Limite de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Il s’agit d’une majoration grossière.

Exemple : soit X ∼ B(400 ; 0, 5).

Par l’inégalité de BT, on IP(X ∈]µ− 2σ, µ+ 2σ[) ≥ 0, 75

Exemple : soit X ∼ B(400 ; 0, 5).

alors que le calcul nous donne

Exemple : soit X ∼ B(400 ; 0, 5).

alors que le calcul nous donne

IP(X ∈]µ− 2σ, µ+ 2σ[) ≈ 0, 95.

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev Des applications

Application : Inégalité de concentration pour la

moyenne empirique

On considère une suite (Xn) de variables aléatoires définies sur unmême espace de probabilité, deux à deux indépendantes, de mêmeloi, admettant une espérance µ et une variance V .

moyenne empirique

Pour tout n ∈ N, notons Sn = X1 + · · ·+ Xn etMn =

1n(X1 + · · ·+ Xn).

moyenne empirique

1n(X1 + · · ·+ Xn).

On a E (Sn)

moyenne empirique

1n(X1 + · · ·+ Xn).

On a E (Sn) = nµ

moyenne empirique

1n(X1 + · · ·+ Xn).

On a E (Sn) = nµ puis E (Mn)

moyenne empirique

1n(X1 + · · ·+ Xn).

On a E (Sn) = nµ puis E (Mn) =1nE (Sn)

moyenne empirique

1n(X1 + · · ·+ Xn).

On a E (Sn) = nµ puis E (Mn) =1nE (Sn) = µ.

moyenne empirique

1n(X1 + · · ·+ Xn).

Et V (Sn)

moyenne empirique

1n(X1 + · · ·+ Xn).

Et V (Sn) = nV

moyenne empirique

1n(X1 + · · ·+ Xn).

Et V (Sn) = nV puis V (Mn)

moyenne empirique

1n(X1 + · · ·+ Xn).

Et V (Sn) = nV puis V (Mn) =1n2V (Sn)

moyenne empirique

1n(X1 + · · ·+ Xn).

Et V (Sn) = nV puis V (Mn) =1n2V (Sn) =

moyenne empirique

Pour tout n ∈ N, notons Mn =1n(X1 + · · ·+ Xn).

On a E (Mn) = µ et V (Mn) =Vn.

moyenne empirique

Par l’inégalité de BT, on obtient,

moyenne empirique

Par l’inégalité de BT, on obtient, pour tout δ > 0,

IP(|Mn − µ| ≥ δ) ≤ V

Cas particulier : Variables aléatoires de loi de

Bernoulli

On considère une suite (Xn) de variables aléatoires deux à deuxindépendantes et de loi de Bernoulli B(p) avec p ∈]0, 1[.

Bernoulli

On a E (Mn) = p et V (Mn) =p(1−p)

Bernoulli

On a E (Mn) = p et V (Mn) =p(1−p)

Par l’inégalité de BT, on obtient, pour tout δ > 0,

IP(|Mn − p| ≥ δ) ≤ p(1 − p)

nδ2≤ 1

4nδ2.

Exercice en terminale (1)

On lance 3600 fois un dé équilibré à six faces. On souhaite minorer laprobabilité que le nombre d’apparitions du chiffre 1 soit compris entre480 et 720.

Soit S la variable aléatoire comptant le nombre d’apparitions duchiffre 1 au cours de ces lancers.

1 Loi de S .

2 Calcul de E (S) et V (S).

1 Loi de S .

3 480 < S < 720 ⇐⇒ |S − 600| < 120.

1 Loi de S .

3 480 < S < 720 ⇐⇒ |S − 600| < 120.

4 Inégalité de B.T. → P (480 < S < 720) ≥ 0, 96.

On effectue une suite de lancers d’un dé à quatre faces. Quel nombrede lancers suffit-il pour pouvoir affirmer avec un risque d’erreurinférieur à 5 % que la fréquence d’apparition du 4 est strictementcomprise entre 0, 24 et 0, 26 ?On pose

1 si le dé tombe sur 4 au lancer numéro i ,

0 sinon.

On note Mn la fréquence d’apparition du 4 au cours des n premierslancers.

0 sinon.

1 Espérance et variance de chacune des Xi .

0 sinon.

1 Espérance et variance de chacune des Xi .2 Expression de Mn en fonction des Xi .

0 sinon.

1 Espérance et variance de chacune des Xi .2 Expression de Mn en fonction des Xi .3 On cherche n tel que P (|Mn − 0, 25| < 0, 01) ≥ 0, 95.

0 sinon.

1 Espérance et variance de chacune des Xi .2 Expression de Mn en fonction des Xi .3 On cherche n tel que P (|Mn − 0, 25| < 0, 01) ≥ 0, 95.4 Inégalité de concentration → Valeur de n.

Intervalle de confiance : le problème

On lance 1000 fois une pièce de monnaie dont on ne sait pas si elleest équilibrée.

On lance 1000 fois une pièce de monnaie dont on ne sait pas si elleest équilibrée.On note p la probabilité de tomber sur pile.

On lance 1000 fois une pièce de monnaie dont on ne sait pas si elleest équilibrée.On note p la probabilité de tomber sur pile.On obtient 540 fois pile.

Donner un intervalle de confiance pour p au niveau 0,95.

Intervalle de confiance : la modélisation

Pour tout entier i strictement positif, notons la variable aléatoire Xi

prenant la valeur 1 si on obtient pile au i -ième lancer et prenant lavaleur 0 sinon.

prenant la valeur 1 si on obtient pile au i -ième lancer et prenant lavaleur 0 sinon.Alors pour tout i , Xi ∼ B(p).

Notons Mn =1n

Xi la proportion de pile obtenue après n lancers.

Notons Mn =1n

Xi la proportion de pile obtenue après n lancers.

Le problème consiste à trouver δ tel que

IP(|M1000 − p| < δ) ≥ 0, 95.

Intervalle de confiance : la résolution

D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a

IP(|M1000 − p| < δ) ≥ 1 − p(1 − p)

1000δ2≥ 1 − 1

4000δ2.

IP(|M1000 − p| < δ) ≥ 1 − p(1 − p)

1000δ2≥ 1 − 1

4000δ2.

Il suffit donc de choisir δ tel que

1 − 1

4000δ2≥ 0, 95.

IP(|M1000 − p| < δ) ≥ 1 − p(1 − p)

1000δ2≥ 1 − 1

4000δ2.

1 − 1

4000δ2≥ 0, 95.

C’est-à-dire

δ ≥ 1√4000 × 0, 05

IP(|M1000 − p| < δ) ≥ 1 − p(1 − p)

1000δ2≥ 1 − 1

4000δ2.

1 − 1

4000δ2≥ 0, 95.

C’est-à-dire

δ ≥ 1√4000 × 0, 05

IP(|M1000 − p| < δ) ≥ 1 − p(1 − p)

1000δ2≥ 1 − 1

4000δ2.

1 − 1

4000δ2≥ 0, 95.

C’est-à-dire

δ ≥ 1√4000 × 0, 05

2≈ 0, 07.

Intervalle de confiance : la conclusion

L’intervalle [0, 54 − 0, 08; 0, 54+ 0, 08] est un intervalle de confiancepour p au niveau 0,95.

Méthode de Monte-Carlo

Mn =Snn= prop. de points dans le quart de disque

π ≈ 4 ×Mn

Sn ∼ B(

n, π4

π ≈ 4 ×Mn

Sn ∼ B(

n, π4

∣Mn − π4

∣ < δ)

≥ 1 − 14nδ2

π ≈ 4 ×Mn

Sn ∼ B(

n, π4

∣Mn − π4

∣ < δ)

≥ 1 − 14nδ2

Il faut 100 × plus de temps pour avoir la 2e décimale que pouravoir la 1re

π ≈ 4 ×Mn

Sn ∼ B(

n, π4

∣Mn − π4

∣ < δ)

≥ 1 − 14nδ2

Problème annexe : temps pour remplir l’écran ?

π ≈ 4 ×Mn

Sn ∼ B(

n, π4

∣Mn − π4

∣ < δ)

≥ 1 − 14nδ2

Problème annexe : temps pour remplir l’écran ? Loi géométrique et série harmonique

La loi faible des grands nombres

1 Les programmes

Convergence en probabilité

Définition : Soit (Xn) une suite de variables aléatoires et soit X unevariable aléatoire toutes définies sur un même espace de probabilité.On dit que Xn converge en probabilité vers X si

∀ǫ > 0, limn→+∞

IP(|Xn − X | ≥ ǫ) = 0.

Convergence en probabilité

Définition : Soit (Xn) une suite de variables aléatoires et soit X unevariable aléatoire toutes définies sur un même espace de probabilité.On dit que Xn converge en probabilité vers X si

∀ǫ > 0, limn→+∞

IP(|Xn − X | ≥ ǫ) = 0.

On note XnIP−→

n→+∞X .

Loi faible des grands nombres

Théorème : Soit (Xn) une suite de variables aléatoires définies surun même espace de probabilité, deux à deux indépendantes, de mêmeloi admettant une espérance µ et une variance. Alors on a

XiIP−→

n→+∞µ.

Loi faible des grands nombres

Théorème : Soit (Xn) une suite de variables aléatoires définies surun même espace de probabilité, deux à deux indépendantes, de mêmeloi admettant une espérance µ et une variance. Alors on a

XiIP−→

n→+∞µ.

Remarque : L’inégalité de Bienaymé Tchebychev précise la vitessede convergence.

Application dans le cas du schéma de Bernoulli

Soit (Xn) une suite de variables aléatoires définies sur un mêmeespace de probabilité, deux à deux indépendantes, dont la loi est laloi de Bernoulli de paramètre p ∈]0, 1[. Alors on a

XiIP−→

n→+∞p.

Illustration

Résumé

Dénombrement.

Résumé

Dénombrement.

Espérance et variance d’une somme/d’une comb. lin.

Résumé

Dénombrement.

Somme et moyenne d’un échantillon.

Sn = X1 + X2 + · · ·+ Xn

Mn =X1 + X2 + · · ·+ Xn

Résumé

Dénombrement.

Sn = X1 + X2 + · · ·+ Xn

Mn =X1 + X2 + · · ·+ Xn

Loi binomiale

Résumé

Dénombrement.

Sn = X1 + X2 + · · ·+ Xn

Mn =X1 + X2 + · · ·+ Xn

Loi binomiale

Loi normale

Résumé

Dénombrement.

Sn = X1 + X2 + · · ·+ Xn

Mn =X1 + X2 + · · ·+ Xn

Loi binomiale

Loi normale

Inégalité de B.T. et applications

Résumé

Dénombrement.

Sn = X1 + X2 + · · ·+ Xn

Mn =X1 + X2 + · · ·+ Xn

Loi binomiale

Loi normale

Inégalité de B.T. et applications Inégalité de concentration, loi binomiale, stat., LGN

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev · Les programmes 1 Les programmes 2 Une approche historique...

Documents

Transcript of L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev · Les programmes 1 Les programmes 2 Une approche historique...

Interactions entre le système fédéral d’impôts et de ... · l’inégalité de revenus sur les impôts et les transferts (donc sur l’équilibre budgétaire ... On trouvera

Staff Santé Publique Le 11/04/2012 - Université de Poitiersmedphar.univ-poitiers.fr/santepub/images/staff_2012/0411_HARCEL.pdf · 3. l’inégalité entre harceleur et harcelé

territoire • économie • formation • éducation • transport ... · De l’école à l’entreprise, en passant par la sphère privée, l’inégalité est une réalité quantifiable

Inégalité, Mobilité et Pauvreté : une exploration ...perso.univ-lemans.fr/~guillot/papiers/SBAYG.pdf1 / 21 Introduction Le plus souvent, les dimensions de l’inégalité des ressources

Réussite scolaire des filles et des garçons et ... · séquence de mathématiques à l'école primaire qui montre l'inégalité de traitement des filles et des garçons par ...

L’INEGALITE DE LA DEPENSE PUBLIQUE …piketty.pse.ens.fr/fichiers/enseig/memothes/DeaZuber2003.pdf · Cette première inégalité, l’inégalité des chances face à l’école

ICRW - Cibler la pauvreté et l’inégalité entre les genres pour … · 2017-06-15 · Cibler la pauvreté et l’inégalité entre les genres pour améliorer la santé maternelle

L’inégalité de longueur des membres inférieurs Diagnostic ...

(FR) Aspects économiques de l'inégalité linguistique

Histoire 30S 1. Origines/Causes §Imperialismw: L’inégalité des possession (colonies etc) entre les pays augmente les tensions. Plus de terres – plus de.

Le Pacte de Bridgetown - De l’inégalité et de la ...

La mondialisation de l'inégalité - INSEE

Séminaire sur les pays à faible revenu L'inégalité du ...

L’inégalité économique des territoires ; Chine ; une idéologie de la métropolisation ?...

Dr Louis René Villermé (1782-1863) · mondes ». Et le rapporteur, Charles Dupin expliquait que la machine avait libéré l'homme, qu'elle avait supprimé « l'inégalité des forces

Essai sur l’inégalité des races humaines - tybbot.free.frtybbot.free.fr/Tybbow/Livres/Gobineau/essai_inegalite_races_1.pdf · Arthur de Gobineau, Essai sur l’inégalité des

Discours sur l'origine et les fondements de l'inégalité parmi les ...

perso-math.univ-mlv.frperso-math.univ-mlv.fr/users/pajor.alain/recherche/docs/Mil-Paj... · L'inégalité du théorème 4 peut être appliquée dans différents contextes. D'abord,

LE CREDIT; INSTRUMENT DE DOMINATION - | …bv.cdeacf.ca/EA_PDF/2004_11_0513.pdf · A) La propriété privée provoque l'inégalité entre les familles et crée l'exploitation de classe

NOUVEAUX PROGRAMMES POUR lECOLE Rentrée 2002. Cycle 3 Programmes 1995 Programmes 2002.