Post on 04-Apr-2015
Les puissances de 10
Si on souhaitait déterminer le volume du Soleil
700000000 700000000 7000000003
4
En supposant que le Soleil soit une boule, on aurait :
23582241024173210771436755040V
Mètres cubes. Imaginez qu’il faille effectuer des calculs avec ce nombre !
Comment Lire ce nombre ?
V
Combien font : 10 × 10 × 10 × 10 ? 10000
Combien font : 10 × 10 ? 100
Combien font : 100 × 100 ?
Combien font : 100 × 10 ? 1000
10000
Qu’observe-t-on ?
En fait, on compte les zéros et on les ajoute, c’est cela que l’on va utiliser …..
Pour effectuer un produit particulier, on fait une addition de zéros !!!!
Notons 103
10 × 10 × 10 Ou encore 1 000 !
Combien y a-t-il de facteurs dans ce produit, dans ce « nombre » ?
le nombre suivant :
103 = 1000 = 10 × 10 × 10
1 2 3Il y en a :
Ainsi 105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 1 00000
5 facteurs égaux à 10, 5 zéros après le 1 …
Exercice :
105 =
103 =
101 =
104 =
100 =
100 000
1 000
10
10 000
1
1 000 000 =
100 =
100 000 000 =
10 =
1 =
106
102
108
101
100
Après avoir observé de grands nombres
Intéressons-nous aux petits nombres…
Problématique :
Lire le nombre qui donne la taille d’un proton :
0,000000000000000000000000001667 g
Comment faire ?
Compter les chiffres après la virgule, les zéros et le reste ….
Notons 10-5 :
Le nombre constitué :
5 chiffres significatifs
uniquement de 0 et de 1
qui a 5 chiffres après la virgule
En fait : 0 , 0 0 0 0 1
5 chiffres après la virgule
5 zéros et un « 1 »
5 chiffres significatifs
On note 10-5 le nombre : 0 , 0 0 0 0 1
Mais 0 , 0 0 0 0 1 C’est 100000
1
510
1
55
10
110
C’est aussi : Car 105 = 1 00000
Nous pouvons alors noter :
Ainsi :
100
1
10
110
22 0 , 0 1
Exercice :
10-1 =
10-3 =
10-6 =
10-4 =
10-0 =
10-9 =
0, 1
0, 0 0 1
0, 0 0 0 0 0 1
0, 0 0 0 1
1
0, 0 0 0 0 0 0 0 0 1
1 chiffre après la virgule
Opération et puissances de 10
102 × 103 =
10 × 10 10 × 10 × 10×
2 3Facteurs égaux à 10
Facteurs égaux à 10
et
Font 5
On compte les facteurs égaux à 10On peut noter 105
105 ( 2 + 3 = 5 )
101 × 104 =
10 × 10 × 10 × 10 × 10 =
1 facteur et 4 facteurs font 5 facteurs
Et on note …. 105
1051+4 = 5
100 × 103 =
1 × 10 × 10 × 10 =
0 Zéro après le 1 3 facteurs égaux à 10
10 × 10 × 10 =
0 facteur et 3 facteurs font 3 facteurs
Et on note …. 103
103
0+3 = 3
En résumé, pour multiplier les puissances de 10On ajoute les exposants…
Un peu d’exercice…..
105 × 102 =
1012 × 100 =
10421 × 1027 =
10 5 + 2 = 107
10 12 + 0 = 1012
10 421 + 27 = 10448
10-3 × 10-2 = 310
1210
123 1010
11
× =
Et si les exposants étaient négatifs ! ? ! …
Mais 103 × 102 = 103+2 = 105
D’où 10-3 × 10-2 = 510
1= 10-5
Et ( - 3 ) + ( - 2 ) =
Là encore, on ajoute les exposants….
( - 5 )
En résumé, pour multiplier les puissances de 10On ajoute toujours les exposants…
Un peu d’exercice…..
10-5 × 10-2 =
10-12 × 100 =
10-421 × 10-27 =
10 - 5 + ( - 2 ) = 10-7
10 -12 + 0 = 10-12
10 – 421 - 27 = 10-448
Et si les exposants sont de signes contraires ?
102 × 10-3 = 310
11
102
3
2
101
110
× =
Là encore, on ajoute les exposants….
=
3
2
10
10
3
2
10
10
101010
1010
= = 110
1= 10-1
2 + ( - 3 ) = 2 – 3 = - 1
Dans tous les cas, on ajoute les exposants;On peut donc écrire :
Pour n et p nombres entiers relatifs, On a :
10n × 10p = 10 n + p
105 × 10-2 =
10-7 × 10 7 =
10 5 + ( - 2 ) = 10 3
10 -7 + 7 = 10 0
10-3 × 10 2 =
10 9 × 10 3 =
10-128 × 10-15 =
10 – 3 + 2 = 10-1
10 9+3 = 10 12
10 – 128 - 15 = 10-143
Exercice :
3
2
10
10
101010
1010
110
1= = = 10-1
Comment calculer 3
2
10
10 ?
2 – 3 = ( - 1 )3
2
10
10Et = 10-1
On soustrait les exposants ….
De la même manière :
5
7
10
10
1010101010
10101010101010
= =1
102
7 – 5 = 2 Et = 102
5
7
10
10
On soustrait les exposants ….
3
2
10
10
3
2
101
101
2
3
10
10= = = 101
Comment améliorer l’écriture de 3
2
10
10
?
( - 2 ) – ( - 3 ) = = 101
On soustrait encore les exposants ….
=1
10
10
1 3
2
- 2 + 3 = 1Et 3
2
10
10
5
2
10
10
5
2
101
101
107
= = = 107
Un peu plus vite ….5
2
10
10
?
2 – ( - 5 ) = = 107
On soustrait encore les exposants ….
=1
10
1
10 52
2 + 5 = 7Et 5
2
10
10
5
7
10
10
5
7
101
101
7
5
10
10= = = 10-2
Encore un pour la forme….5
7
10
10
?
( - 7 ) – ( - 5 ) = = 10-2
On soustrait encore les exposants ….
=1
10
10
1 5
7
- 7 + 5 = - 2Et 5
7
10
10
Dans tous les cas, on soustrait les exposants;On peut donc écrire :
Pour n et p nombres entiers relatifs, On a :
pnp
n10
10
10
Exercice :
107
103
10-4
105
103
10-5
10-23
10-48
10 7- 3 = 10 4
10 -4-5 = 10 -9
10 3-(-5) = 10 8
10-23-(-48) =1025
10-9
105
10-8
108
104
105
1
105
10 -9-5 = 10 -14
10 -8-8 = 10-16
10 4-5 = 10 -1
10 - 5