Post on 04-Apr-2015
Les probabilités
... la valeur d'un hasard est égale à son degré d'improbabilité.Milan Kundera
Remise en cause de l’approche pascalienne par Bernoulli
« Mais à la vérité ici s’offre à nous un autre chemin pour obtenir ce que nous cherchons. Ce qu’il n’est pas donné d’obtenir a priori l’est du moins a posteriori, c’est-à-dire qu’il sera possible de l’extraire en observant l’issue de nombreux exemples semblables ; car on doit présumer que, par la suite, chaque fait peut arriver et ne pas arriver dans le même nombre de cas qu’il avait été constaté auparavant, dans un état de choses semblables, qu’il arrivait ou n’arrivait pas.
Approche fréquentiste de la probabilité
3
Une approche « fréquentiste »
Exemple du lancer de punaise :P F
P
G
P F
P
G
On ne peut approcher la probabilité de « Tête » ou celle de « Côté » que par l’expérimentation.
La fréquence de chacune des issues « Tête » ou « Côté » tend à se stabiliser pour un grand nombre de lancers.
Un exemple
Avantages de l’approche fréquentiste
elle donne une définition expérimentale de la probabilité, conduisant à une vision objective de cette probabilité.
on peut définir la probabilité même s’il n’y a pas équiprobabilité
Mais tous les événéments ne sont pas reproductibles…
Quelle est la probabilité qu’il fasse beau demain?
Quelle est la probabilité que la fusée Ariane décolle?
Quelle est la probabilité que ce nombre soit premier?
l’approche fréquentiste fonde la simulation…
Quelle est la probabilité que deux entiers pris au hasard soient premiers entre eux?
elle souligne le lien entre les probabilités et les statistiques.
La probabilité que f soit comprise entre p – 1
n et p + 1
n
dépasse 90% pour tout n dépasse 93% pour tout n supérieur à 25 dépasse 95% pour tout n supérieur à 530
Pour des échantillons de taille supérieure ou égale à 25 et une probabilité p comprise entre 0,2 et 0,8, la fréquence f appartient à l’intervalle
1 1,p pn n
dans 95% des cas.
Générer le hasard ?
Générateurs (pseudo-) aléatoires dans un ordinateur…
« Anyone who considers arithmetical methods of producing random digits is, of course, in a state of sin. »John Von Neuman, 1951
Le générateur middle-square…
Les générateurs congruentiels…
Dans ce qui suit, nous appellerons "générateur aléatoire" un calcul déterministe fournissant des nombres appartenant à [0,1[ et censés ressembler aux nombres que fournirait une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon la loi uniforme.
Le fichier TNS…
Un germe x0
Une relation de récurrence
1 mod( , )n nx ax b c
481 31167285 1 mod 2n nx x Générateur de Lavaux et Jenssens
F I N