Post on 25-Jun-2020
Les nœuds del’affaireLorenz
V. Borrelli
La théorie desnœuds
L’attracteur deLorenz
Réseauxparallèles
Bibliographie
Les nœuds de l’affaire Lorenz
Vincent Borrelli
Université Ouverte-Université Lyon 1
Cycle 18 : Coups de théâtre en mathématique
Les nœuds del’affaireLorenz
V. Borrelli
La théorie desnœuds
L’attracteur deLorenz
Réseauxparallèles
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Nœuds du mathématicien I
Ce nœud simple, une fois refermé, s’appelle le nœud detrèfle.
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Nœuds du mathématicien II
Le nœud de huit.
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Isotopie I
?
Peut-on passer du nœud de gauche à celui de droite parisotopie ?
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La réponse
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Isotopie II
?
Peut-on passer du nœud de trèfle droit au nœud de trèflegauche par isotopie ?
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Objectifs de la théorie desnœuds I
Etant donnés deux nœuds, dire si l’on peut passer de l’un àl’autre par isotopie. En particulier, dire si un nœud peut sedénouer.
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Produit de nœuds
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L’arithmétique des nœuds
#
=
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L’arithmétique des nœuds
#
=
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Dans l’autre sens
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Dans l’autre sens
#
=
Nœud composé = Nœud de huit ] Nœud de trèfle.
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Indécomposable !
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Nœuds premiers
Les nœuds de trèfle et de huit ne se décomposent pas, ilssont dits premiers.
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Correspondances
Arithmétique Théorie des nœuds
Nombres entiers Nœuds
Nombres premiers Nœuds premiers
6 = 3 × 2 #=
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Correspondances
Théorème. – La décomposition d’un entier en facteurspremiers est unique à l’ordre des termes près.
Théorème (Horst Schubert 1949) . – La décompositiond’un nœud en nœuds premiers est unique à l’ordre destermes près.
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Objectifs de la théorie desnœuds II
Donner une classification de tous les nœuds premiers.
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Le temps qu’il fait
Temperature
temps
Beau
tempsMauvais
Pression
Vent
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Convection in vitro
Edward Lorenz
8
3
dxdt
dy
dt
dz
dt
10 (y−x)
28x−y−xz
− z+xy
Convection d’un fluide idéal à deux dimensions dans unréservoir chauffé par le bas.
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L’attracteur de Lorenz
Image : Etienne Ghys et Jos Leys
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Des nœuds dans l’attracteur
Image : Etienne Ghys et Jos Leys
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Des nœuds dans l’attracteur
Image : Etienne Ghys et Jos Leys
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Des nœuds dans l’attracteur
Image : Etienne Ghys et Jos Leys
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Des nœuds dans l’attracteur
Image : Etienne Ghys et Jos LeysUn nœud de trèfle
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Des nœuds dans l’attracteur III
Image : Etienne Ghys et Jos LeysPlusieurs nœuds ensembles
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Le patron de l’attracteur deLorenz
Image : Etienne Ghys et Jos Leys
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Quelques trajectoires
Image : Etienne Ghys et Jos Leys
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Sur la ligne de départ
2x
1
3
3
2
Image : Etienne Ghys et Jos Leys
3
22x3
4=1
3+1=
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Pole positions
2x7
4
1
7
7
2
Image : Etienne Ghys et Jos Leys
2x =7
4
7
8=1
7+1
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Question. – Tous les nœuds sont-ils présents dansl’attracteur de Lorenz ?
Théorème (Birman-Williams 83). – Non ! Parmi tous lesnœuds qui existent seuls certains nœuds premiers sonteffectivement présents : on les appelle les nœuds deLorenz.
A titre d’exemple, le nœud de trèfle est un nœud de Lorenzmais pas le nœud de huit.
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Pavages par parallélogrammes I
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Pavages par parallélogrammesII
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Pavages par parallélogrammesIII
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Points communs
Ces trois pavages ont des carreaux de même aire :
Ils ont aussi le même réseau de sommets :
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Quelques réseaux...
Question. – Quelle est la forme de l’espace de tous lesréseaux ?
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Réseaux carrés (carreaux d’aireunité)
Il y a une infinité de réseaux carrés...
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Rotation
Un quart de tour... complet !
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L’espace des réseaux carrés
Un point dans le quart de cercle vert suffit à définir unréseau carré.
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L’espace des réseaux carrés
L’espace de tous les réseaux carrés (de carreaux d’aireunité) est un cercle.
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L’espace de tous les réseaux
Question. – Quelle est la forme de l’espace de tous lesréseaux ?
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L’espace des réseauxThéorème. – L’espace tridimensionnel auquel on a ôté unnœud de trèfle représente tous les réseaux (dont lescarreaux sont d’aire unité) sauf un.
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Quelques exemples
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Le flot modulaire
1
1
Dilatation
a
a
L’aire des carreaux augmente !
1
1a1
a
Flot modulaire
L’aire des carreaux reste identique (égale à 1).
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Le flot modulaire
Le flot modulaire ne change pas l’aire des carreaux, mêmesi ce ne sont pas des carrés.
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Un tour complet du réseau
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Egaux ?
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Dans l’espace des réseaux
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Un autre exemple
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Egaux ?
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Dans l’espace des réseaux
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Pas de rond chez les carrés !
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Les deux sortes de réseauxSous le flot modulaire, certains réseaux ne bouclent pas :
alors que d’autres reviennent régulièrement sureux-mêmes :
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Nœuds du flot modulaire
Image : Etienne Ghys et Jos Leys
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Nœuds du flot modulaire
Image : Etienne Ghys et Jos Leys
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Nœuds du flot modulaire
Une autre trajectoire donnant un nœud de trèfle.Image : Etienne Ghys et Jos Leys
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Nœuds du flot modulaire
Une autre trajectoire donnant un nœud plus compliqué.Image : Etienne Ghys et Jos Leys
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Questionnement
Question. – Parmi tous les nœuds existants quels sontceux qui apparaissent dans l’espace des réseaux commenœuds du flot modulaire ?
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Coup de théâtre !
Etienne Ghys
Théorème (2006). – Les nœuds de Lorenz et les nœuds duflot modulaire sont les mêmes !
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Sources d’inspiration etremerciements
Etienne Ghys Jos Leys
A voir absolument : Le site Mathematical Imagery deJ. Leys et la page personnelle d’E. Ghys.
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Un article : Lorenz and modular flows : a visualintroduction, E. Ghys et J. Leys
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Coup de cœur : Le DVDDimensions
Téléchargeable gratuitement sur le site Dimensionshttp ://www.dimensions-math.org/