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Les nœuds del’affaireLorenz

V. Borrelli

La théorie desnœuds

L’attracteur deLorenz

Réseauxparallèles

Bibliographie

Les nœuds de l’affaire Lorenz

Vincent Borrelli

Université Ouverte-Université Lyon 1

Cycle 18 : Coups de théâtre en mathématique


V. Borrelli



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Bibliographie

Nœuds du mathématicien I

Ce nœud simple, une fois refermé, s’appelle le nœud detrèfle.


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Nœuds du mathématicien II

Le nœud de huit.


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Isotopie I

?

Peut-on passer du nœud de gauche à celui de droite parisotopie ?


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La réponse


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Isotopie II

?

Peut-on passer du nœud de trèfle droit au nœud de trèflegauche par isotopie ?


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Objectifs de la théorie desnœuds I

Etant donnés deux nœuds, dire si l’on peut passer de l’un àl’autre par isotopie. En particulier, dire si un nœud peut sedénouer.


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Produit de nœuds


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L’arithmétique des nœuds

#

=


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Dans l’autre sens


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Dans l’autre sens

#

=

Nœud composé = Nœud de huit ] Nœud de trèfle.


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Indécomposable !


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Nœuds premiers

Les nœuds de trèfle et de huit ne se décomposent pas, ilssont dits premiers.


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Correspondances

Arithmétique Théorie des nœuds

Nombres entiers Nœuds

Nombres premiers Nœuds premiers

6 = 3 × 2 #=


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Correspondances

Théorème. – La décomposition d’un entier en facteurspremiers est unique à l’ordre des termes près.

Théorème (Horst Schubert 1949) . – La décompositiond’un nœud en nœuds premiers est unique à l’ordre destermes près.


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Objectifs de la théorie desnœuds II

Donner une classification de tous les nœuds premiers.


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Le temps qu’il fait

Temperature

temps

Beau

tempsMauvais

Pression

Vent


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Convection in vitro

Edward Lorenz

8

3

dxdt

dy

dt

dz

dt

10 (y−x)

28x−y−xz

− z+xy

Convection d’un fluide idéal à deux dimensions dans unréservoir chauffé par le bas.


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L’attracteur de Lorenz

Image : Etienne Ghys et Jos Leys


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Des nœuds dans l’attracteur



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Des nœuds dans l’attracteur

Image : Etienne Ghys et Jos LeysUn nœud de trèfle


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Des nœuds dans l’attracteur III

Image : Etienne Ghys et Jos LeysPlusieurs nœuds ensembles


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Le patron de l’attracteur deLorenz



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Quelques trajectoires



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Sur la ligne de départ

2x

1

3

3

2


3

22x3

4=1

3+1=


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Pole positions

2x7

4

1

7

7

2


2x =7

4

7

8=1

7+1


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Question. – Tous les nœuds sont-ils présents dansl’attracteur de Lorenz ?

Théorème (Birman-Williams 83). – Non ! Parmi tous lesnœuds qui existent seuls certains nœuds premiers sonteffectivement présents : on les appelle les nœuds deLorenz.

A titre d’exemple, le nœud de trèfle est un nœud de Lorenzmais pas le nœud de huit.


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Pavages par parallélogrammes I


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Pavages par parallélogrammesII


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Pavages par parallélogrammesIII


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Points communs

Ces trois pavages ont des carreaux de même aire :

Ils ont aussi le même réseau de sommets :


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Quelques réseaux...

Question. – Quelle est la forme de l’espace de tous lesréseaux ?


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Réseaux carrés (carreaux d’aireunité)

Il y a une infinité de réseaux carrés...


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Rotation

Un quart de tour... complet !


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L’espace des réseaux carrés

Un point dans le quart de cercle vert suffit à définir unréseau carré.


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L’espace des réseaux carrés

L’espace de tous les réseaux carrés (de carreaux d’aireunité) est un cercle.


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L’espace de tous les réseaux

Question. – Quelle est la forme de l’espace de tous lesréseaux ?


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L’espace des réseauxThéorème. – L’espace tridimensionnel auquel on a ôté unnœud de trèfle représente tous les réseaux (dont lescarreaux sont d’aire unité) sauf un.


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Quelques exemples


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Le flot modulaire

1

1

Dilatation

a

a

L’aire des carreaux augmente !

1

1a1

a

Flot modulaire

L’aire des carreaux reste identique (égale à 1).


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Le flot modulaire

Le flot modulaire ne change pas l’aire des carreaux, mêmesi ce ne sont pas des carrés.


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Un tour complet du réseau


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Egaux ?


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Dans l’espace des réseaux


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Un autre exemple


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Egaux ?


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Dans l’espace des réseaux


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Pas de rond chez les carrés !


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Les deux sortes de réseauxSous le flot modulaire, certains réseaux ne bouclent pas :

alors que d’autres reviennent régulièrement sureux-mêmes :


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Nœuds du flot modulaire



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Une autre trajectoire donnant un nœud de trèfle.Image : Etienne Ghys et Jos Leys


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Une autre trajectoire donnant un nœud plus compliqué.Image : Etienne Ghys et Jos Leys


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Questionnement

Question. – Parmi tous les nœuds existants quels sontceux qui apparaissent dans l’espace des réseaux commenœuds du flot modulaire ?


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Coup de théâtre !

Etienne Ghys

Théorème (2006). – Les nœuds de Lorenz et les nœuds duflot modulaire sont les mêmes !


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Sources d’inspiration etremerciements

Etienne Ghys Jos Leys

A voir absolument : Le site Mathematical Imagery deJ. Leys et la page personnelle d’E. Ghys.


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Un article : Lorenz and modular flows : a visualintroduction, E. Ghys et J. Leys


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Coup de cœur : Le DVDDimensions

Téléchargeable gratuitement sur le site Dimensionshttp ://www.dimensions-math.org/

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