Post on 04-Apr-2015
Les mathématiques autrement
Calcul littéral• Réduire une somme algébrique
• La distributivité
• Factoriser
• La double distributivité mode d'emploi
Les mathématiques autrement
Réduire une somme algébrique
Les mathématiques autrement
On ajoute les termes en a² et on ajoute les termes en a.
+ 3a
Réduire une somme algébrique c’est l’écrire avec le moins de termes possibles
X = 7a² + 3a -5 + 2a - 3a²
= 7a²
- 3a²
- 3a²
+ 3a
+ 2a
+ 2a -5
-5
On regroupe les termes en a² et en a.
= 4a² + 5a -5
Y = 3a + 5 – 7a – 4a² + 6 + 3a - 7a + 5 + 6= - 4a²
On regroupe les termes
= -4a² - 4a + 11 en les ordonnant : les termes en a² puis en a .à copier
Les mathématiques autrement
c’est à toi
A = 8 – a + a² + 5a
B = 3t + 7 – 2t² + 4t - 1
C = -3 + 4k – 3k² + 5 +k²
= a² - a + 5a + 8= a² + 4a + 8
= -2t² + 3t + 4t + 7 – 1= -2t² + 7t + 6
= - 3k² + k² + 4k - 3 + 5= -2k² + 4k + 2
Les mathématiques autrement
La distributivité
Les mathématiques autrement
88+12 = 100
(22 + 3) × 4 = 22 × 4 + 3 × 4
(22+3)×4 = 22×4 + 3×4 = 25 × 4 = 100
Les 2 résultats sont égaux donc
22 × 4+ 3 × 4
La distributivité
On admet que c’est vrai pour tous les nombres. On dit que la multiplication est distributive sur l’addition (ou sur la soustraction).
avec des nombres
observe
Les mathématiques autrement
La distributivité
avec des lettres
(22 + 3) × 4 = 22 × 4 + 3 × 4+
avec des nombres
(a + b) × k = a × k + b × k+
Les mathématiques autrement
La distributivité
(a + b) × k = a × k + b × k+
(2 + b) × 5 =
(a - 3) × 4 =
(k + 7) × k =
2 × 5+ b × 5
a × 4- 3 × 4= 10 + 5b
= 4a - 12
k × k+ 7 × k= k² + 7k
à copier
(3 + h) × (-5) = 3 × (-5)+ h × (-5)= -15 + (-5)h= -15 - 5h
Les mathématiques autrement
c’est à toi
3 × (4 + a) =
8 × (1 - b) =
(5 + d) × (-3) =
(4 + f) × f =
g × (g -5) =
3 × 4 + 3 × a= 12 + 3a 8 × 1 - 8 × b= 8 – 8b
5 × (-3) + d × (-3) = -15 – 3d
4 × f + f × f= 4f + f² g × g + g × (-5)= g² - 5g
(a + b) × k = a × k + b × k+
Les mathématiques autrement
A = 2 × (3 + a)
= 2 × 3 + 2 × a
= 6 + 2a + ( )
= 6 + 2a
= 7a – 14
Quand on a le signe + devant la parenthèse, on recopie le signe
de chacun des nombres de la
parenthèse.
(a + b) × k = a × k + b × k+
Plus difficile observe
+ 5 × (a – 4)
+ ( 5 × a – 5 × 4)
5a 20+ -+5a - 20
Les mathématiques autrement
B = 3 × (2 - a)
= 3 × 2 + 3 × (-a)
= 6 - 3a – ( 2a 14)
= 6 - 3a = -5a - 8
Quand on a le signe - devant la parenthèse, on change le signe de tous les nombres
de la parenthèse.
(a + b) × k = a × k + b × k+
Plus difficile observe
- 2 × (a + 7)
- ( 2 × a + 2 × 7)
+ +-2a - 14
Les mathématiques autrement
C = 4 × (1 - a)
= 4 × 1 + 4 × (-a)
= 4 - 4a - ( 3a 6)
= 4 - 4a = -7a + 10
Quand on a le signe - devant la parenthèse, on change le signe de tous les nombres
de la parenthèse.
(a + b) × k = a × k + b × k+
Plus difficile observe
- 3 × (a - 2)
- ( 3 × a + 3 × (-2))
+ --3a + 6
à copier
Les mathématiques autrement
c’est à toi
D = 3×(5+a) + 2×(4–a)
=3×5+3×a+(2×4–2×a)
= 15 + 3a + ( 8 – 2a)
= 15 + 3a + 8 – 2a
= 1a – 23 = a – 23
= 2×3+2×a-(5×a+5×(-1))
E = 2×(3 + a) - 5×(a-1)
= 6 + 2a – ( 5a – 5)
= 6 + 2a – 5a + 5
= -3a + 11
Les mathématiques autrement
à suivre …
retour
Les mathématiques autrement
Factoriser
Les mathématiques autrement
a × k + b × k = k × (a + b)
(a + b) × k = a × k + b × kL’égalité
peut s’écrire aussi
a × k + b × k = (a + b) × k
observe
kou encore
× (a + b )× ×a + bOn a factorisé k
On souligne le facteur commun, on le recopie, puis dans la parenthèse on recopie tout ce qui n’est pas souligné.
Les mathématiques autrement
2 × 3 + 3 × a =+ a 3 × (× ×22 + a )
a × 4 - 3 × 4 = 4 ×× × (-aa - 33 )
à copier
On souligne le facteur commun, on le recopie puis dans la parenthèse on recopie tout ce qui n’est pas souligné.
a × k + b × k = k × (a + b)k × (a + b )× ×a
Les mathématiques autrement
2 × 3 + 3 × a = 2 + a+ a 3 × (× ×22 + a )
a × 4 - 3 × 4 = a - 34 ×× × (-aa - 33 )
On souligne le facteur commun, on le recopie puis dans la parenthèse on recopie tout ce qui n’est pas souligné.
2 × 5 + c × 5 =
8 × d + 8 × 5 =
e × 7 - 2 × 7 =
2 × f + g × 2 =
h × 3 - 3 × i =
5 × (2 + c)
8 × (d + 5)
7 × (e - 2)
2 × (f + g)
3 × (h - i)
a × k + b × k = k × (a + b)k × (a + b )× ×a
c’est à toi
Les mathématiques autrement
a × (3 + b) a × (3 + b)a + ab =3 × a + a3a + ab =
a × k + b × k = k × (a + b)k × (a + b )× ×aPlus difficile observe
×3 ×b =
Les mathématiques autrement
× b = a (3 + b)
a × k + b × k = k × (a + b)k × (a + b )× ×aPlus difficile observe
3 ×a + a
On peut simplifier l’écriture
en ak + bk = k(a + b)
a × k + b × k = k × (a + b)
Les mathématiques autrement
24 = 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6
2 × 7 + 7a
5a² + ba² =
14 + 7a =
D’autres exemples plus difficiles
ak + bk = k(a + b)
a²(5 + b)
3 + 3a = 3 × 1 + 3a= 3(1 + a)
14 = 2 × 7 = 7(2 + a)
3(
3 = 3 × 1
4a + 24 = 4a + 4 × 6= 4(a + 6)
On choisit 24 = 4 × 6 car dans l’autre
terme de la somme on a le facteur 4 à copier
Les mathématiques autrement
gd² + 3d² =
15 + 3f =
d²(g + 3)
5 + 5k = 5 × 1 + 5k= 5(1 + k)
3 × 5 + 3f = 3(5 + f)
2u + 30 = 2u + 2 ×15= 2(u + 15)
c’est à toi
5j - 45 = 5j - 5 × 9= 5(j - 9)
7h² - s²h² =
15y - 30 =
h²(7 – s²)
18 + 6t = 6 × 3 + 6t= 6(3 + t)
7 - 7p = 7 × 1 – 7p= 7(1 - p)
20z - 4 = 4 × 5z - 4 ×1= 4(5z - 1)
15y - 2×15= 15(y – 2)
Les mathématiques autrement
5ab - 5ac =
12a + 4ab =
3r² + 3rj =
a² + 3a =a² = a × a
a × a + 3a= a(a + 3)
Attention, on ne souligne qu’un seul « a » par terme !
D’autres exemples plus difficiles
ak + bk = k(a + b)
5a(b - c)
3 × 4a + 4ab = 4a(3 + b)
3r × r + 3rj = 3r(r + j)
à copier
Les mathématiques autrement
3tv + 3at =
5rv + 20r =
6dc + 6c² =
g² - 5g = g × g - 5g= g(g - 5)
5rv + 4 × 5r = 5r(v + 4)
3t(v + a)
6dc + 6c × c = 6c(d + c) 5tv + vat =
3r²v + 6r² =
15c + 5c² =
3h² + 5h = 3h × h + 5h= h(3h + 5)
3r²v+2×3r² = 3r²(v + 2)
3×5c+5c×c = 5c(3 + c)
tv(5 + a)
c’est à toi
Les mathématiques autrement
à suivre …
retour
Les mathématiques autrement
La double distributivité
Les mathématiques autrement
Calculons
(70 + 6) × (40 +7) = 76 × 47 = 3 572
70×40 + 70×7 + 6×40 + 6×7 = 2 800+490+240+42= 3 572
Les 2 résultats sont égaux donc
(70 + 6) × (40 +7) = 70×40 + 70×7 + 6×40 + 6×7
Observe
70×40 + 70×7 + 6×40 + 6×7 70×40 + 70×7 + 6×40 + 6×7 70×40 + 70×7 + 6×40 + 6×7 70×40 + 70×7 + 6×40 + 6×7
On admet que c’est vrai pour tous les nombres.
Les mathématiques autrement (a + b) (c +d) = ac + ad + bc + bd
Pour tous nombres relatifs a, b, c et d
(a + 3) (2 +d) = a×2 + ad + 3×2 + 3d= 2a + ad + 6 + 3d
(a + 4) (3 +a) = a×3 + aa + 4×3 + 4a= 3a + a² + 12 + 4a= a² + 7a + 12
On développe
On réduit
On développe
On réduit
On groupe et on ordonne
(7 + a) (3 - a) = 7×3 - 7a + a×3 - aa= 21 - 7a + 3a – a²= -a² - 4a + 21
On développe
On réduit
On groupe et on ordonneà copier
Les mathématiques autrement
c’est à toi
(a + 3)(5 + a) = a×5 + aa + 3×5 + 3a= 5a + a² + 15 + 3a= a² + 8a + 15
(7 - b)(5 + b) = 7×5 + 7b - b×5 - bb= 35 + 7b – 5b – b²= -b² + 2b + 35
(c - 4)(c - 3) = cc - c×3 – 4c + 4×3= c² - 3c – 4c + 12= c² - 7c + 12
Les mathématiques autrement
FIN
Les mathématiques autrement
On ajoute les termes en a² et on ajoute les termes en a.
+ 3a
Réduire une somme algébrique c’est l’écrire avec le moins de termes possibles
X = 7a² + 3a -5 + 2a - 3a²
= 7a² - 3a² + 2a -5
On regroupe les termes en a² et en a.
= 4a² + 5a -5Y = 3a + 5 – 7a – 4a² + 6
+ 3a - 7a + 5 + 6= - 4a²
On regroupe les termes en les ordonnant : les termes en a² puis en a.
= -4a² - 4a + 11
1) Réduire une somme algébrique
retour
Calcul littéral
Les mathématiques autrement
2) La distributivité
(a + b) × k = a × k + b × k(2 + b) × 5 =
(a - 3) × 4 =
(k + 7) × k =
2 × 5 b × 5
a × 4 3 × 4
= 10 + 5b
= 4a - 12
k × k 7 × k= k² + 7k
+
+
-
retour
(3 + h) × (-5) = 3 × (-5)+ h × (-5)= -15 + (-5)h= -15 - 5h
Les mathématiques autrement
A = 2 × (3 + a)
= 2 × 3 + 2 × a
= 6 + 2a + ( )
= 6 + 2a + 5a - 20
= 7a – 14
Quand on a le signe + devant la parenthèse, on recopie le signe
de chacun des nombres de la
parenthèse.
+ 5 × (a – 4)
+ ( 5 × a – 5 × 4)
5a 20-
Les mathématiques autrement
B = 3 × (2 - a)
= 3 × 2 + 3 × (-a)
= 6 - 3a – ( 2a 14)
= 6 - 3a = -5a - 8
Quand on a le signe - devant la parenthèse, on change le signe de tous les nombres
de la parenthèse.
- 2 × (a + 7)
- ( 2 × a + 2 × 7)
+
-2a - 14
Les mathématiques autrement
C = 4 × (1 - a)
= 4 × 1 + 4 × (-a)
= 4 - 4a - ( 3a 6)
= 4 - 4a = -7a + 10
- 3 × (a - 2)
- ( 3 × a + 3 × (-2))
-
-3a + 6
retour
Les mathématiques autrement
3) Factoriser
a × k + b × k = k × (a + b)k
a × k - b × k = k × (a - b)k
2 × 3 + 3 × a = 3 × (2 + a)3
a × 4 - 3 × 4 = 4 × (a - 3)4
On souligne le facteur commun, on le recopie, puis dans la parenthèse, on recopie tout ce qui n’est pas souligné.
Les mathématiques autrement
3a + ab = a(3 + b)
2 × 7 + 7a
5a² + ba² =
14 + 7a =
(5 + b)
3 + 3a = 3 × 1 + 3a= 3(1 + a)
= 7(2 + a)
4a + 24 = 4a + 4 × 6= 4(a + 6)
On choisit 24 = 4 × 6 car dans l’autre terme de la somme on a le facteur 4.
a²
On écrit 3 sous la forme du produit 3 × 1.
On écrit 14 sous la forme du produit 2 × 7.
retour
Les mathématiques autrement
5ab - 5ac =
12a + 4ab =
3r² + 3rj =
a² + 3a = a × a + 3a= a(a + 3)
Attention, on ne souligne qu’un seul « a » par terme !
3 × 4a + 4ab = 4a(3 + b)
3r × r + 3rj = 3r(r + j)
5a(b - c)
retour
Les mathématiques autrement
4) La double distributivité
(a + b) (c +d) = ac + ad + bc + bd
(a + 3) (2 +d) = a×2 + ad + 3×2 + 3d
= 2a + ad + 6 + 3d
On développe
On réduit
(a + 4) (3 +a) = a×3 + aa + 4×3 + 4a
= 3a + a² + 12 + 4a
= a² + 7a + 12
On développe
On réduit
On groupe et on ordonne
(7 + a) (3 - a) = 7×3 - 7a + a×3 - aa
= 21 - 7a + 3a – a²
= -a² - 4a + 21
On développe
On réduit
On groupe et on ordonne
Pour tous nombres relatifs a, b, c et d
retour
Les mathématiques autrement
retour
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