Les fonctionsen économie et en mathématiques

Jacques BAIR

(CDS, 9 décembre 2011)

Sommaire

(Historique) (Dans l’enseignement) Décalage interdisciplinaire potentiel (Fonctions mathématiques exploitées en

économie) Conclusion

Historique

Deux points de vue

En mathématiques

- Concept très ancien

- Fort lente maturation

- cfr B-H, sur Orbi En économie

- Assez récent : Cournot (1801-1877)

- cfr B-H sur BibNum

Dans l’enseignement : généralités

Variété des notations

( ) [...]

( )

[...]

( )

( ) [...]

[...]

:

: ( )

: ( )

( , ) : ,

f x

f x

f

f

f f x

f t

y

f x y

f x f x

f x y f x

x y x A y B

E A B

« Pluridimensionnalité conceptuelle »

Plusieurs facettes :

- verbale

- numérique (tables)

- graphique

- analytique

- (ensembliste)

« Procept » (Tall, Sfard, …)

Exemple simple :

Symbole Processus Concept

x2 calcul du carré d’un nombre

-

f(x) = x2 idem fct = une loi

y= x2 dessiner une parabole

fct = équation

Décalage interdisciplinaire potentiel

Le procept

Souvent = outil Construction (souvent)

inductive Pas de mention explicite

de la loi ex.: C = C(q) Grandeurs endogène et

exogène (p, q, …)

Grandeur parfois ordinale

Souvent = objet Approche (souvent)

hypothético-déductive Mention explicite de la

loi f

Variables (in)dépendantes (x, y, …)

Grandeur cardinale

Compétences

Habiletés calculatoires faibles

Savoir calculer et interpréter :

- taux d’évolution (nbre décim., fraction, %)

- propension- élasticité

Habiletés calculatoires importantes

Savoir exploiter :- taux de variation

Compétences (suite)

Traitement de cas typiques

Procédé de résolution familier

Liens avec la réalité économique

Explorer des cas exceptionnels, contre-exemples

Situation de résolution de problème

La situation problématique est admise

La représentation graphique

Représentation graphique = un départ

Choix des axes variable Importance des unités sur

les axes (inclinaison vs pente)

Axes orthogonaux Segments verticaux Construction par points

Parfois, plusieurs courbes

Représentation graphique = un but

Choix des axes imposé Peu d’importance des unités

sur les axes

Axes pouvant être qcqs Pas de sgmts verticaux Construction d’après des

propriétés Généralement, 1 seule

courbe par graphique

Graphe dans le 1er quadrant

Intensité de la pente (et élasticité)

Rendement

Représentation typique: une droite

Graphe complet

Signe de la pente

Concavite / convexité

Représentation typique: une courbe

Analyse infinitésimale

Souvent variations discrètes (ou entières)

Infini actuel Notations dC/dq (ou D ou

« del » ou « delta ») Variation marginale : C(q+1)

– C(q) ou C’(q) ou C(q)-C(q-1) Importance de l’élasticité

(sans dérivée) Différentielle = nombre très

petit

Variations généralement continueInfini potentielNotation : f’(x) Variation :

Peu d’intérêt pour l’élasticité (avec dérivée)Différentielle = fct linéaire

f

Fonctions usuelles

Fonctions linéaires Importance des FAPM Fonctions carré, cube,

puissances quelc., … Définition du logarithme

(expo.) Définition de

l’exponentielle (continuité)

Fonctions affines Peu d’intérêt pour les

FAPM Fonctions polynômes

(degré quelconque) Définition du logarithme

(primitive) Définition de

l’exponentielle (logarithme)

Types de raisonnement

Souvent « littéraire »

Exemple : Si le coût moyen est minimal, alors il est égal au coût marginal

Souvent « formel »

Démonstration mathématique (avec hypothèses)

Situations particulières

Quasi-concavité Importance des

fonctions implicites Courbes enveloppes

Extrema liés Equations récurrentes

Concavité Fonctions surtout

explicites Rarement courbes

enveloppes Extrema libres Equations

différentielles

Fonctions mathématiques exploitées en économie

Exemples simples (cfr SBPMef)

Lois d’offre et de demande Coûts (fixes, variables, moyens, marginaux,

taxes, …) Revenu (net, brut, …) Fonction d’utilité, courbe d’indifférence Fonction de production, isoquante Evolution dynamique d’une grandeur …

Conclusion

Plaidoyer pour un enseignement interdisciplinaire

Les différents points de vue peuvent être utilisés pour faciliter l’acquisition des concepts dans chacune des deux disciplines

Une interdisciplinarité peut mettre en pratique le jeu de contextualisation-décontextualisation

Permet une réflexion formatrice sur le processus de modélisation

Pour les mathématiques, montre l’utilité de la discipline, tout en renouvelant l’enseignement

Pour l’économie, peut apporter plus de rigueur, une motivation pour les études abstraites

…

Citation (Cf. Bonneval, Repères-IREM, 1999)

Les enseignants qui acceptent de s’y engager y trouvent leur compte : en décloisonnant le savoir, l’échange permet un enrichissement mutuel et un nouveau regard sur sa propre discipline

Merci pour votre attention