Le plan des cours d’algèbre ‘Etude des phénomènes structurés

en classes’ 1. Introduction aux matrices : exemples en dynamique de

population

2. Les espaces vectoriels, les bases et les matrices : définitions et opérations

3. Les matrices pour résoudre des systèmes linéaires

4. Diagonalisation d’une matrice : applications en dynamique de population et en génétique

5. Normes et distances

Addition

3 5

A B 4 1

3 5

2 3 1 2

A 4 0 B 0 1 A B ?

2 1 1 4

2 1 3 2 3 5

A B 4 0 0 1 4 1

2 1 1 4 1 3

Multiplication par un scalaire

2 4

A 3 2

1 0

2 3

A 4 2 1 A ?

1 0

2 3

A 4 2

1 0

2 1 4 2A B

1 4 0 2

AB ?

BA ?

Multiplication AB (1 ligne de A x 1 colonne de B)

8 4AB

6 10BA

Multiplication AB (1 ligne de A x 1 colonne de B)

2 1 4 2A B

1 4 0 2

2

2

2 2 1 2

1 4 1 4 4 0 1 2 4 2

8 6AB

4 10

6

2 1 2 1

4BA AB

2 8

4

0

4 0

2,13,2 3,1

1 0 22

2 3 22

1 0 2

Sous réserve du respect des dimensions :

AB C A BC

A B D AB AD

B D E BE DE

Transposition (ligne colonne)

2 32 4 1

A 4 2 A3 2 0

1 0

t

A B A B

A A

A A

AC C A

t t t

t t

t t

t t t

Matrices élémentaires

2 5 1

0 3 2

1 2 4

1 0 0

0 3 0

0 0 2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0

0 0

0 0

1

4

093

92

32

0 0

0

1

2 3

4 8 2

Matrice diagonale

Matrice Identité

Matrice symétrique

Matrice triangulaire

Matrice scalaire

Matrices carrées

Propriétés des matrices carrées

• Déterminant

• Matrice adjointe

• Matrice inverse

Déterminant : notation

A chaque matrice carrée d’ordre n, on peut associer un scalaire, le déterminant de A

Déterminant d’ordre n

A ija

11 1

1 2

1

det A det , , ,n

n

n nn

a a

v v v

a a

Déterminant d’ordre 2 : calcul

a c

b d

ad bc_

Exemple

1 2

1 2?

Matrice adjointeou co-matrice

A A 1i j

ijadj com

A ija

Où ij est le déterminant d’ordre n-1 extrait du déterminant de A en enlevant la ième ligne et la jème colonne.

Co-facteur de l’élément aij :

Matrice carrée d’ordre n :

Co-matrice :

1i j

ij

Méthode de calcul des déterminants d’ordre > 2

det (A) = la somme des produits obtenus en multipliant les éléments d’une ligne (ou d’une colonne) par leurs co-facteurs respectifs.

Déterminant d’ordre > 2

715 13

1 3 1 4 1 4

4 3 4 3 1 3221

1 4

1 3

1

2

2 4 3

2 13 2 715

3

Propriétés des déterminants

• Si A a une (ou plusieurs) ligne (ou colonne) de zeros : det(A) = 0

• Si A est triangulaire : det (A) = produit des éléments diagonaux

• Si on échange 2 lignes (ou colonnes), alors le déterminant change de signe

• Si on multiplie une ligne (ou colonne) par un scalaire, le déterminant est multiplié par ce scalaire

• Si un multiple d’une ligne (ou colonne) a été additionné à une autre ligne (colonne)

alors le déterminant ne change pas

1 1 4

det A 2 1 3

2 4 3

ème ème

1 1 4

2 1 3 en ajoutant la 2 ligne à la

0 6

d 3

3

et A

18 15

det

d A

A

et

3

ère ème

1 4

3 5 en retirant 2 la 1 ligne à la

1

0

3 60

d 2et A

Matrice inverse

Une matrice est inversible si et seulement si

son déterminant est NONNON nul

1 1A A

det Atadj

Exemples

1

1

A

A

det A

1A

1A

t

t

a b

d c

c dadj

b a

ac bd

c d

b aac bd

c b

d aac bd

11

22

11

22

1

0

A0

1

1 0

A0

1

pp

pp

a

a

a

a

a

a

Lien entre les vecteurs et les matrices

Les coordonnées d’un vecteur dans une base forment une matrice colonne

1 2 3

1

1, 1,1 X 1

1

x e e e

x

3. Les matrices pour résoudre des systèmes linéaires

MathSV chapitres 2 et 3bis

Un éleveur de bovins dispose en hiver de trois aliments (foin, ensilé, farine) qui contiennent chacun trois éléments nutritifs indispensables

(A, B, C) selon le tableau suivant (unités arbitraires) :

    Foin   Ensilé   Farine

A 1 1 1

B 1 1 0

C 0 1 1

Chaque animal doit quotidiennement disposer de 6 unités de A, 3 unités de B et 5 unités de C. Quelles sont les doses de foin (x), d'ensilé (y) et de farine (z) que doit lui fournir l'éleveur ?

6

S 3 AX B

5

x y z

x y

y z

1 1 1

A 1 1 0

0 1 1

X

x

y

z

6

B 3

5

TD Problème 7

6

S 3 AX B

5

x y z

x y

y z

1 1 1

A 1 1 0

0 1 1

X

x

y

z

6

B 3

5

Définitions:

A est la matrice d’une application linéaire f

B et X sont les matrices des coordonnées des vecteurs

Notation :

AXy f x B

et y x

• On peut définir un système linéaire avec une matrice

• On peut définir un système linéaire avec une application linéaire

Une application linéaire

Une application d’une espace vectoriel, E, dans un autre, F (si E et F sont de la forme IRn c’est une fonction) est linéaire :

L’image d’une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des images

Image et Noyau

FE

0E

0F

kerf

I mf

INjectivité

FE

NONNON OUIOUI

SURjectivité

FE

NONNON OUIOUI

BIjectivité

FE

Injective et surjective :Tout élément de F a un antécédent unique, tout élément de E à une image unique.

Définitions

• Isomorphisme: A. L. bijective

• Endomorphisme : A.L. de E dans E

• Automorphisme : endomorphisme bijectif

Lien entre les applications linéaires, les bases et les matrices

Quand les 2 espaces vectoriels associés à une application linéaire sont munis d’une base :

On peut écrire la matrice d’une application linéaire relativement à ces bases

Exemple

3 2

1 2 3 1 2 2 3

:

, , ,2 3

f

x x x x x x x

1 1 0A

0 2 3

1

1, 1,1 X 1

1

x

11 1 0 2

Y AX 10 2 3 1

1

2,1y f x

Quelle est la matrice associée à cette application linéaire relativement aux bases canoniques ?

Quelle est l’image du vecteur (1,-1,1) ?

Pour la première séance de TT

• QCM 1 et 3

• Exercices 1.6, 1.7, 1.10 et 3.1

Et aussi

• QCM 2 et 3bis