L'analyse multicritères

ANALYSE MULTICRITÈREANALYSE MULTICRITÈRE

PARNadia LehouxPascale Vallée

novembre 04 Analyse multicritère 2

INTRODUCTIONINTRODUCTION

Quel modèle choisir?

PLAN DE LA PLAN DE LA PRÉSENTATIONPRÉSENTATION

• Définition générale • Terminologie• Différentes méthodes utilisées• Cas pratique• Outils et logiciels• Groupes de recherche• Conclusion

DÉFINITIONDÉFINITION

• Science technique vouée à l’éclaircissement de la compréhension d’un problème de décision et à sa résolution

• Elle devient multicritère lorsque le problème comporte plusieurs objectifs, souvent contradictoires

DÉFINITIONDÉFINITION

• Analyse qui vise à expliciter une famille cohérente de critères pour permettre de concevoir, justifier et transformer les préférences au sein d’un processus de décision

CONTEXTECONTEXTE

• L’optimisation monocritère n’est souvent pas le reflet de la réalité

• Pour certains problèmes, il peut être parfois dangereux de les traiter dans l’optique de l’optimisation

OBJECTIFSOBJECTIFS

• Aider à prendre une décision ou àévaluer plusieurs options dans des situations où aucune possibilité n’est parfaite

• Permettre de concilier les aspects économiques, de design, technologiques, environnementaux, sociaux, …

EXEMPLES D’EXEMPLES D’APPLICATIONAPPLICATION

• Choix d’un site d’aménagement• Choix d’un moyen de transport• Décision d’investissement• Choix de l’utilisation d’une

technologie ou d’un système d’information

• Sélection de fournisseurs• ...

DÉMARCHE À SUIVREDÉMARCHE À SUIVRE• Recherche de la solution la plus adéquate

possible en 5 étapes:– Identifier l’objectif global de la démarche et le type

de décision– Dresser la liste des solutions possibles ou

envisageables– Dresser la liste des critères à prendre en

considération– Juger chacune des solutions aux yeux de chacun

des critères– Agréger ces jugements pour désigner la solution

qui obtient les meilleures évaluations

DÉMARCHE À SUIVREDÉMARCHE À SUIVRE

• Comment va-ton agréger les jugements ou encore l’ensemble des évaluations faites de chacune des solutions par rapport à chacun des critères, afin de désigner la solution la plus valable???

→ En utilisant une des nombreuses méthodes proposées dans la littérature

TERMINOLOGIETERMINOLOGIE

• Actions potentielles (alternatives)(Construire l’autoroute en rasant une forêt ou construire l’autoroute parmi des quartiers résidentiels?)

• Critères(Nombre d’hectares de forêt détruits, nombre d’habitants gênés par le bruit)

• Unités(1000 hectares de forêt, 20 000 habitants)

• Poids des critères(25%, 75%)

• Évaluations ou jugements(Action 1: 1, 5 Action2: 5, 1)

FAMILLE DE CRITÈRESFAMILLE DE CRITÈRES

• Liste exhaustive• Opérationnelle • Non redondante• Minimale • Cohérente• Indépendance des critères

ÉLÉMENTS DE LA MATRICE ÉLÉMENTS DE LA MATRICE DE JUGEMENTSDE JUGEMENTS

• Ensemble des actions potentielles A={a1,a2,a3,…,an} ai où i=1,2,…,n

• Différents critèrescj où j=1,2,…,m

• Poids des critèrespj où j=1,2,…,m

• Évaluations ou jugementseij où i=1,2,...,n, j=1,2,…,m

MATRICE DE JUGEMENTSMATRICE DE JUGEMENTS

e11 e12 … … … e1m

e21 … … … … …… … … … … …… … … … … …… … … eij … …en1 … … … … enm

p1 p2 p3 … … pmPoids relatifs

c1 c2 c3 … … cmAlternativesCritèresCritères

EXEMPLE DE MATRICEEXEMPLE DE MATRICE

52 000$ 3,5L 4 789mm51 000$ 3,3L 4 730mm

Acura MDXLexus RX330

50% 20% 30%Poids relatifs

Prix Cylindrée LongueurAlternatives

CritèresCritères

ÉVALUATION DES ÉVALUATION DES ACTIONSACTIONS

• Si une action a un mauvais score sur tous les critères, on peut l’éliminer

• Une action ai domine une action ak si:eij>=ekj pour tout j et si eij>ekj pour au moins un j

OPTIMUM DE PARETOOPTIMUM DE PARETO

• On cherche sur un graphique une solution supérieure du point de vue d’un critère, sans toutefois faire diminuer les autres critères

• Il existe des solutions non dominantes sur une frontière, et c’est au décideur de choisir l’action qu’il préfère

MÉTHODESMÉTHODES

• Les approches peuvent être divisées en trois catégories selon la façon dont les jugements seront agrégés (Schärlig, 1988)

MÉTHODESMÉTHODES

1) Agrégation complète (top-down approach) On cherche à agréger les n critères afin de les réduire en un critère unique. On suppose que les jugements sont transitifs ex: a>b, b>c alors a>c

MÉTHODESMÉTHODES

2) Agrégation partielle (bottom-up approach)On cherche à comparer des actions potentielles ou des classements les uns aux autres et à établir entre ces éléments des relations de surclassement. On doit alors respecter l’incomparabilité.

MÉTHODESMÉTHODES

3) Agrégation localeOn cherche en premier lieu une solution de départ. Par la suite, on procède à une recherche itérative pour trouver une meilleure solution.

MÉTHODES AVECMÉTHODES AVECAGRÉGATION COMPLÈTEAGRÉGATION COMPLÈTE

MÉTHODE WSM MÉTHODE WSM ((WeightWeight SumSum MethodMethod ou Somme de notes)ou Somme de notes)

On utilise ici une échelle de 0 à 6 (excellent=6, très bon=5, bon=4, moyen=3, passable=2, pas bon=1, médiocre=0)

Voici les résultats:

Action 1: 1 5 4 4 4 La somme est 18

Action 2: 4 3 4 3 3 La somme est 17

Selon la somme des évaluations des critères, l’action 1 serait la meilleure, pourtant elle est loin de satisfaire le critère 1

max ou min ∑eij*pj pour i=1,2,…,nj=1

MÉTHODE WPM MÉTHODE WPM (Percy Bridgman,1922)(Percy Bridgman,1922)((WeightWeight ProductProduct MethodMethod ou Multiplication de ratios)ou Multiplication de ratios)

Cette méthode pénalise fortement les actions très mauvaises pour un critère

Voici par exemple 3 actions potentielles et 3 critères

Action 1: 1 5 4 4 4 e1=(1/5)*(5/8)*(4/8)*(4/7)*(4/7)=0,0204

Action 2: 4 3 4 3 3 e2=(4/5)*(3/8)*(4/8)*(3/7)*(3/7)=0,0276

Avec cette méthode, l’action 2 serait ici la meilleure

max ou min ∏(aij/aLj)pij pour i =1,2,…nii j=1

MÉTHODE AHPMÉTHODE AHP(Thomas L. (Thomas L. SaatySaaty, 1971), 1971)

((AnalyticAnalytic HierarchyHierarchy ProcessProcess))

• Décomposer le problème complexe en une structure hiérarchique (niveaux)

• Effectuer les combinaisons binaires• Déterminer les priorités• Synthétiser les priorités• Cohérence des jugements

MÉTHODE AHPMÉTHODE AHP

Matrice de premier niveauMatrice de premier niveau

Exemple: La qualité de la technologie est beaucoup plus Exemple: La qualité de la technologie est beaucoup plus importante que les délais de livraison importante que les délais de livraison

131/2Expérience

1/311/5Délai

251Qualité

ExpérienceDélaiQualité

Par rapport à la qualité :Alternatives 1 2 3

1 1 3 62 1/3 1 1/33 1/6 3 1

Par rapport au délai de livraison :Alternatives 1 2 3

1 1 1/3 42 3 1 53 1/4 1/5 1

Matrices de deuxième niveauMatrices de deuxième niveau

Par rapport à l’expérience de la firme :Alternatives 1 2 3

1 1 ½ 32 2 1 53 1/3 1/5 1

1,00SS3 1/391.7Somme

……131/2E

……1/311/5D

2,15/SS(1*5*2)1/3

= 2,15251Q

PoidsMoyenne géométriqueEDQObjectif

• On procède de la même manière pour les matrices de niveau 2

• On construit ensuite une matrice combinée contenant les critères et les alternatives

• On trouve les poids pondérés en multipliant le poids de chaque critère par le poids de chaque alternative par rapport à chaque critère

• Pour chaque alternative, on additionne les poids, et la meilleure action est celle ayant le poids maximal

MAUT MAUT ((Multi Attribute Utility TheoryMulti Attribute Utility Theory))

• Méthode développée vers la fin des années 60 par Ralph Keeney et Howard Raiffa

• Cherche à mesurer l’utilité totale qui peut être tirée de chacune des actions potentielles

• Elle est obtenue en combinant les utilités élémentaires ou partielles que présentent cette action aux yeux des différents critères

• L’utilité totale UA (x1,x2,..,xn) associée àl’action à évaluer sur les critères 1,2,..,n peut être obtenue selon une formule additive:

ou multiplicative:

ui(xi(a)): utilité générée par rapport au critère i si l’action a considérée a la performance xi

pi , αi et βi: poids du critère i

( ) ( ))(,...,,1

21 axupxxxU i

iiina ∑

( ) ( ))(,...,,1

21 axuxxxU i

iiiina ∑

+= βα

• Par des questions adressées au décideur ou via l’utilisation de loteries, on va pouvoir déterminer l’utilité partielle vis-à-vis chacun des critères

Ex: Choix d’un nouvel emploi

150 000 300 000

• La difficulté principale de cette méthode réside dans la complexité d’estimer la fonction d’utilité

• Suppose l’homme totalement rationnel!• L’efficacité des loteries grandement remise

en question dans la littérature

MÉTHODES AVECMÉTHODES AVECAGRÉGATION PARTIELLEAGRÉGATION PARTIELLE

ELECTREELECTRE

• Famille de méthodes dites de surclassement conçues par Bernard Roy et basées sur la comparaison d’actions

• Première méthode de la famille, Electre I, publiée en 1968

ELECTRE IELECTRE I

• Cette méthode repose sur le principe de Condorat (1785):

– Une action en surclasse une autre si elle est au moins aussi bonne que l’autre relativement à une majorité de critères, sans être nettement plus mauvaise que cette autre relativement aux autres critères

ELECTRE IELECTRE I

• On s’intéresse donc à chaque action de l’ensemble et on la compare àtoutes les autres

• La comparaison se fait par paire ordonnée (a p/r b ≠ b p/r a) et on se demande alors si l’action a surclasse ou non l’action b

I. Phase 1 : les jugements• Déterminer des critères cohérents• Attribuer des poids aux différents

critères considérés• Évaluer chaque action aux yeux de

chaque critère et élaborer la matrice

ELECTRE IELECTRE I

Poidsfort

86.553.52

107.5520

Poidsmoyen

Poidsfaible

t.bbnp

ELECTRE IELECTRE I

II. Phase 2: les indices• Pour chaque paire ordonnée d’actions,

poser l’hypothèse que la première action surclasse la seconde et confronter cette hypothèse aux chiffres de la matrice

• Additionner les poids des critères qui sont en accord avec l’hypothèse et diviser la somme par celle de tous les poids (indice de concordance)

ELECTRE IELECTRE I

II. Phase 2: les indices• Considérer les critères pour lesquels l’action a

est moins bonne que l’action b, choisir la divergence la plus forte et diviser cette divergence par la longueur de la plus grande échelle utilisée (indice de discordance)

• Choisir la divergence la 2e plus forte et la diviser par la longueur de la plus grande échelle (indice de discordance 2)

ELECTRE IELECTRE I

III. Phase 3: seuils de surclassement• Fixer un seuil de tolérance pour les

indices de concordance exprimant le minimum de concordance requis

• Fixer un seuil de tolérance pour l’indice de discordance exprimant le maximum de discordance toléré

• Examiner toutes les paires ordonnées d’après le seuil et ne conserver que celles passant le filtre

ELECTRE IELECTRE I

IV. Phase 4: tâtonnement et synthèse• Si certaines actions ne sont ni

surclassantes, ni surclassées, répéter les étapes 2 et 3 en augmentant ou en diminuant les valeurs des seuils, des poids, …

• Choisir si possible l’action qui surclasse les autres dans la plupart des scénarios

ELECTRE IELECTRE I

• Méthode qui permet de dégager un sous-ensemble de solutions

• Demande peu d’information donc facile à implanter

• Comporte quelques défauts qui sont corrigés dans les versions suivantes…

ELECTRE IELECTRE I

3005001500Proximité des autoroutes (m)

8002000400Proximité des zones urbaines

805010Coût (millions)

Site CSite BSite ACritères

ELECTRE IELECTRE I--ExempleExemple

752.5Site C57.55Site B32.57.5Site A244Poids

3-70-100-10échelle

Proximitédes

autoroutes (m)

Proximitédes zones

urbaines (m)

Coût (millions)

Critères

ELECTRE IELECTRE I--ExempleExemple

-0.80.4Site C

0.2-0.4Site B

0.60.6-Site A

Site C

Site B

Site A

-00.25Site C

0.25-0.2Site B

00-Site A

Site C

Site B

Site A

-0.20.4Site C

0.25-0.5Site B

0. 50.25-Site A

Site C

Site B

Site A

Indices de concordance Indices de discordance

Indices de discordance 2

ELECTRE IELECTRE I--ExempleExempleSeuil de tolérance: indice de concordance = 0.7

indice de discordance = 0.2

xSite C

xSite B

Site A

Site C

Site B

Site A Site A Site B

Site C

AUTRES MÉTHODESAUTRES MÉTHODES

• Electre II, III, IV (B. Roy, 1968 et +)• Prométhée I et II (J.-P. Brans, 1980)• Melchior (J. P. Leclerc, 1984)• Qualifex (J. Paelinck, 1976)• Oreste (M. Reubens, 1979)• Regim (P. Nijkamp et P. Rietveld,

1983)• Naiade (G. Munda, 1995)• …

MÉTHODES AVECMÉTHODES AVECAGRÉGATION LOCALE ET AGRÉGATION LOCALE ET

ITÉRATIVEITÉRATIVE

MÉTHODE DES CÔNES MÉTHODE DES CÔNES D’D’AMÉLIORATIONAMÉLIORATION

((GeoffrionGeoffrion, , DyerDyer, , FeinbergFeinberg, 1972), 1972)

• On a V, un ensemble de vecteurs correspondant à des actions potentielles

• On choisit un point vi dans V• On sélectionne les points préférables à vi

dans V, ce qui forme un cône• On choisit un point dans ce cône et on

recommence la procédure jusqu’à ce qu’il n’y ait plus d’amélioration possible

GOAL PROGRAMMINGGOAL PROGRAMMING

• On fixe d’abord pour chaque critère la valeur de l’évaluation que l’on désire avoir

• Pour chaque action, on détermine pour quel critère l’évaluation est la plus éloignée de la cible (donc le critère le moins respecté)

• L’action étant la moins à l’écart est la meilleure

GOAL PROGRAMMING GOAL PROGRAMMING SIMPLIFIÉSIMPLIFIÉ

9 7 8a*

4 5 68 5 77 6 55 4 6

c1 c2 c3

2 1 34 3 2

c1 c2 c3

CritèresCritères DistancesDistances

Selon cette méthode, l’action 2 serait la meilleureSelon cette méthode, l’action 2 serait la meilleure

AUTRES MÉTHODESAUTRES MÉTHODES

• STEM (Benayoun et Tergny, 1969)• Méthode Ziont-Wallenius (S. Zionts,

1974)• …• Et autres approches connues

– Branch and Bound– Méthode tabou– …

CASCAS

CHOIX DCHOIX D’’UN UN ÉÉQUIPEMENT DE QUIPEMENT DE MANUTENTIONMANUTENTION

CASCAS

• Le but est de trouver le meilleur modèle d’équipement

• Nous avons deux modèles potentiels de chariots élévateurs(Crown, Simplex)

• Nous avons trois critères de décision(coût, vitesse, entretien)

* Cette liste de critères est loin d’être exhaustive, mais le but est de comprendre la méthode

CASCASTrouver le

meilleur chariot

Coût Vitesse Entretien

Crown Simplex

Niveau 0: But

Niveau1:

Critères

Niveau 2:

Alternatives

CASCAS

• On compare chaque paire d’options en regard de chaque critère

• D’importance égale (1)• Modérément plus important (3)• Beaucoup plus important (5)• Considérablement plus important (7)• D’une importance écrasante (9)

CASCAS

Matrice de niveau 1

151/3Entretien

1/511/5Vitesse

351Coût

EntretienVitesseCoût

CASCAS

11/3Simplex

31Crown

SimplexCrownCritère: Coût

11Simplex

11Crown

SimplexCrownCritère: Vitesse

Matrices de niveau 2

11/5Simplex

51Crown

SimplexCrownCritère: Entretien

CASCAS

151/3Entretien

1/511/5Vitesse

351Coût

Calcul approximatif du poids pondéré des critères

1,00004

0,29751,19

0,0850,34

2,47/4=0,6175

(1*5*3)1/3=2,47

PoidsMoyenne géo.

CASCAS

12,309

0,250,57711/3Simp

0,751,73231Crown

Poidsmoy.gSimpCrown

Critère: Coût

12,6830,170,44711/5Simp0,832,23651Crown

Poidsmoy.gSimpCrown

Critère: Entretien

0,5111Simp

0,5111Crown

Poidsmoy.gSimpCrown

Critère: Vitesse

CASCAS

Matrice combinée

0,170,50,25Simplex

0,830,50,75Crown

CASCAS

0,24750,05060,04250,1544Simplex

►0,75250,24690,04250,4631Crown

SOMMEEntretienVitesseCoût

Poids pondérés1,000

0,29750,085

2,47/4=0,6175

Vitesse

Entretien

On multiplie les éléments de la matrice précédente par le poids obtenu pour chaque critère

CHOIX DE LA MÉTHODECHOIX DE LA MÉTHODE

• Comment choisir la bonne méthode? Il est souvent plus difficile de choisir la bonne méthode que de résoudre le problème!

→ Très nombreuses→ École française vs américaine→ Pas de méthode parfaite

CHOIX DE LA MÉTHODECHOIX DE LA MÉTHODE• Martel et Guiltoni (1998) suggère de

prendre en considération:→ Le nombre de décideurs→ Les préférences naturelles du décideur→ Une méthode qui va dans le sens de la vision de

la problématique du décideur→ L’information disponible et qui sera traitée

adéquatement par la méthode→ Le degré « compensatoire » de la méthode→ Les hypothèses sur lesquelles repose la méthode→ Le système de support à la décision qui

accompagne la méthode

OUTILS ET LOGICIELSOUTILS ET LOGICIELS

• Plusieurs logiciels dédiés à une méthode:- Electre IS, III, IV, TRI, IRIS, SRFhttp://www.lamsade.dauphine.fr/el2.log- AHPhttp://www.expertchoice.com/- Naiade (gratuit)http://www.aiaccproject.org/meetings/Trieste_

02/trieste_cd/Software/Software.htm#nai

OUTILS ET LOGICIELSOUTILS ET LOGICIELS

• Plusieurs logiciels dédiés à une méthode:- Macbethhttp://www.m-macbeth.com/Msite.html- Evidential Reasoning Approach (version étudiante

gratuite)http://www.e-ids.co.uk/

- Nimbus (en ligne)http://nimbus.mit.jyu.fi/N4/index.html

OUTILS ET LOGICIELSOUTILS ET LOGICIELS• Plusieurs logiciels comprenant plus d’une

méthode:- MultCSync (version gratuite)http://uts.cc.utexas.edu/~consbio/Cons/ResNet.html- NLPJOB (version gratuite)http://www.uni-

bayreuth.de/departments/math/~kschittkowski/easy_opt.htm

-Visual Decisionhttp://www.visualdecision.com/download_f.htm

OUTILS ET LOGICIELSOUTILS ET LOGICIELS• Plusieurs logiciels comprenant plus d’une

méthode:- Ergohttp://www.arlingsoft.com/download/ergo_download.a

sp-Vig et Vimdahttp://www.numplan.fi/- Et plusieurs autres…

• Il existe également diverses applications développées sur Excel, MatLab, …et disponibles sur le Web

LOGICIEL HIPRELOGICIEL HIPRE

Un applet du logiciel HIPREhttp://www.hipre.hut.fi

GROUPES DE RECHERCHEGROUPES DE RECHERCHE• Euro Working Group Multicriteria Decision

Aiding (EWG-MCDA)www.inescc.pt/~ewgmcda/

• Geographic Information and AnalysisMulticriteria Decision (GIMDA)

• Decision and Control Laboratory, Universitéde l’Illinois

• Decision Support Systems LaboratoryUniversité technique de Crète

• IBL, Université de l’Hohenheim• Institute of Mathematics, Université de Liège

GROUPES DE RECHERCHEGROUPES DE RECHERCHE• LAMSADE (Laboratory for Analysing and

Modelling Decision), Université de Dauphine• International Society on Multiple Criteria

Decision Making• Multiple Criteria Decision Support, École

d’économie d’Helsinki• Service de Mathématiques de la Gestion,

Université Libre de Bruxelles• Laboratory of Mathematical Methods for

Economic Decision Analysis, Académie des sciences de Russie

CONCLUSIONCONCLUSION

• Il est difficile de trouver LA méthode appropriée au problème auquel le décideur est confronté

• Il existe plusieurs bonnes solutions, le choix de l’alternative dépend plutôt du décideur

RéférencesRéférencesCaillet, R., Analyse multicritère: Étude et comparaison des méthodes existantes en vue d’une application en analyse de cycle de vie, CIRANO, Montréal, août 2003

Chankong, V. et Haimes, Y.Y., Multiobjective decision makingtheory and methodology, North-Holland, 1983, 406 pages.

Dhaenens, C. et Talbi, El-G., Optimisation multi-critères: approche par métaheuristiques (http://www.lifl.fr/~dhaenens

Guitouni, A. et Martel J-M, Tentative guidelines to help choosingan appropriate MCDA method, Université Laval, 1997

Martel, J-M., Aggregating preferences: utility function andoutranking approaches, Université Laval, 1993

RéférencesRéférencesOlson, David L., Comparison of three multicriteria methods to predict known outcomes, Texas A&M University, 1999Schärling, Alain, Décider sur plusieurs critères, Presses Polytechniques Romandes, 1985, 304 pages.

Talbi, El-G., Méthodes d’optimisation avancées

Zeleny, M., Multiple criteria decision making, McGraw-Hill, Columbia University, 1982, 563 pages.

L'analyse multicritères

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