La correction des systèmes asservis

1.1 Structured’un système asservi

Correcteur Actionneur Procédé Capteur

Mesure

MesurandeActionCommandeConsigne

Perturbations

+

-

Régulateur

– Régulation : la consigne est fixe– Asservissement : la consigne varie

Schéma général

Schéma simplifié

C(p)

Mesure

Consigne+

-KG(p)

1.2. Performances

Critères de régulation Une régulation doit :

– être précise :– suffisamment stable :

• Met MG (diagrammes de Bode et Nyquist)

– la plus rapide possible, sous contrainte des deux critères précédents :

• tr, temps de réponse, minimum (réponse indicielle)

• B, bande passante, maximum (diagramme de Bode)

0)(mesureconsigne)( ttt

Critère d’asservissement

En plus des critères précédents, un asservissement doit avoir une erreur de traînage suffisamment petite

0 5 10 15 200

5

10

15

20

25

30

35

Time (secs)

Am

plit

ude

Consigne

Mesure

Erreur de traînage

Régulation : la précision statique

Système non intégrateur

1

1

1

1

1

)p(C

papa

)pbpb(K)p(GK:BOFT

nn

mm

Régulation : la précision statique

Cas 2 : système intégrateur ou système non intégrateur avec correcteur intégrateur

Il faut une intégration en chaîne directe pour que le système soit précis

!! : Attention aux perturbations

1

1

1

1

)p(C

paa(p

)pbpb(K)p(GK:BOFT

nn

mm

Asservissement : l’erreur de traînage

Pour que l ’erreur de traînage soit nulle, il faut deux intégrations en chaîne directe

La stabilité

Pôles doivent être à partie réelle non positive Critères algébriques : ROUTH

– s ’applique à la fonction de transfert en BO ou en BF

Critère graphique : Nyquist (critère du Revers)– Ne s’applique que pour un système en BF

Equation caractéristique Soit un système à retour unitaire :

Sa FT en BF vaut :

Les zéros de « l ’équation caractéristique » :

correspondent aux pôles de la FT en BF, ils doivent être à partie réelle négative

Consigne+

-H(p)

)(1

)(

pH

pH

Critère du revers

Equation caractéristique :

lorsque le lieu de transfert H(p) passe par le point (-1,0), dit « point critique », le système est à la limite de la stabilité

1)( pH

R

I

-1

Stable

R

I

-1

Limite de stabilité

R

I

-1

Instable

Marges de stabilité

-180°

dB

°

A B

Marge de phase

Marge de gain

R

I

-1

A

B

Marge de phase

Marge de gain

M = 45 °

MG = 12 dB

Valeurs courantes :

- marge de phase : M = 30 à 50 °

- marge de gain : MG = 8 à 15 dB

Dans les calculs, on privilégie l ’utilisation de la marge de phase

Le dilemme stabilité-rapidité

Le réglage du gain est déterminant dans la synthèse d ’un correcteur et résulte d ’un compromis :– Kc faible : système stable mais « mou », erreurs de

position (si pas d ’intégration) et de traînage (si une intégration) importantes

– Kc élevé : système plus réactif, erreurs plus faibles mais risque d ’instabilité

Exemple : 2ème ordre avec correc. P

Kc

Mesure

Consigne+

- )2)(1(

1

pp

0 5 10 15 20

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

Real Axis

Ima

g A

xis

Diagramme de Nyquist

K M 1 50 Inf.

5 16.7 55.8

10 9.1 38.9

20 4.8 27.3

: erreur en régime permanent

1.3. Les actions de base

Action proportionnelle

C(p)

Mesure

Consigne+

-KG(p)

- On réagit proportionnellement à l ’erreur- Action toujours présente

200

2

20

2

pzp

K)p(KG

K)p(C c

Action Proportionnelle Intégrale

C(p)

Mesure

R=0+

- KG(p) + +

TN

Y

)fJp(p)p(KG

pT

)pT(K

pTK)p(C

i

ic

ic

1

11

Action proportionnelle et dérivée

C(p)

Mesure

Consigne+

-KG(p)

01

1

f,)fJp(p

)p(KG

)pT(K)p(C

K)p(C

dc

c

Différentes structures d ’un PID

Série :

Mixte :

Parallèle :

)1()1(

)( pTpT

pTKpC d

i

ic

)1

1()( pTpT

KpC di

c

pTpT

KpC di

c 1

)(

PI PD

D

I

P

D

I

P

1.4. Réglage parapproximations successives

Principe

S ’applique en boucle fermée avec un correcteur PID sur un système quelconque

3 étapes :– réglage de l ’action P (actions I et D inhibées)– réglage de l ’action D (action I inhibée)– réglage de l ’action I (sauf si le procédé est

intégrateur)

Réglage de l ’action P

Après le réglage, il reste une erreur de position0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Time (secs)

Am

plit

ude

Action P trop forte

Action P trop faible

Réglage correct

Réglage de l ’action D

l ’action D doit minimiser le dépassement0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Time (secs)

Am

plit

ude

Action D trop faible

Action P seule

Action D correcte

Action D trop forte

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Time (secs)

Am

plit

ude

Réglage de l ’action I

Action I trop forte

Action I trop faible

1.5. Méthodes approchées de réglage

Méthode de Ziegler et Nichols (BO)

• On utilise la réponse indicielle qui doit être apériodique

• Une table donne les coefficients du PID à partir de Tu et Ta et K

• Résultats obtenus empiriquement, réglage « dur »

• D1% = 30 à 60 %, rapport d ’amplitude entre dépassements : 1/4

Tu Ta

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

Time (secs)

Am

plit

ud

e

ud

ui

u

ac

di

c

TT

TT

TK

TK

pTpT

KpC

5.0

2

2.1

)1

1()(:mixtePID

Exemple

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Time (secs)

Am

plit

ude

Réponse indicielle

du système en BO

)101)(51)(1(

2)(

ppppKG

0 10 20 30 40 50 60 700

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Time (secs)

Am

plit

ude

D2 = D1 /4

Réponse indicielle

du système corrigé en BF

Méthode de Ziegler et Nichols (BF)

• On ajuste le gain Kc pour amener le système à la limite de la

stabilité : Kc = K0 et oscillations de période T0

• Une table donne les coefficients du PID à partir de K0 et T0

• Résultats obtenus empiriquement, réglage « dur »

• D1% = 30 à 60 %, rapport d ’amplitude entre dépassements : 1/4

Kc

Mesure

Consigne+

-KG(p)

T0

00

00

00

33.0125.0

5.05.0

33.06.0

)1

1()(:mixtePID

TTTT

TTTT

KKKK

pTpT

KpC

dd

ii

cc

di

c

Réglage Réglage original « léger dépassement »

Exemple )21)(1(

5.0)(

ppppKG

Système intégrateur donc méthode en BF plus adaptée

Réponse indicielle

du système corrigé en BF

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Time (secs)

Am

plit

ude

Oscillations limites en BF avec

un correcteur P (Kc = 3)

0 10 20 30 40 50 60 700

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Time (secs)

Am

plit

ude

Comparaison réglages Z. et N.

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Time (secs)

Am

plit

ude

Réglage original

Réglage « léger dépassement »

Intérêts et limites de la méthode

Pas de modélisation fine– BO : procédé à comportement stable et apériodique

– BF : aucun pré-requis

Essai facile à réaliser Réglage adapté à une grande gamme de systèmes Réglage pour les régulations uniquement Peut servir de point de départ pour un réglage plus

fin

1.6. Correction par compensation directe des pôles

Principe

Les correcteurs PD, PID et à avance/retard de

phase introduisent un ou deux zéros dans la

chaîne directe

Si on positionne le zéro à une valeur identique à

un pôle réel, le zéro compense le pôle et la FT

résultante est plus simple et plus rapide

Permet de supprimer un (ou deux) pôle(s) lent

Exemples 1er ordre :

2ème ordre apériodique :

précisordre11

1:BFenFT

1)(

,avec))(1(

)(:PIDcorrecteur

er

12

cii

c

dii

dic

KKTppT

KKpKG

TTTTpT

pTTpTKpC

précisordre11

1:BFenFT

1)(

avec)1(

)(:PIcorrecteur

er

cii

c

ii

ic

KKTppT

KKpKG

TTpT

pTKpC

1221

avec)1)(1(

)( TTpTpT

KpKG

)1()(

Tp

KpKG

1.7. Systèmes à retard

Prédicteur de Smith

– Utilisé pour les systèmes à faible réglabilité– La présence du retard dans la boucle limite

l ’augmentation du gain du correcteur– le retard ne peut être supprimé– Objectif : trouver une structure de réglage qui permette

de sortir « artificiellement » le retard de la boucle et donc de rendre le réglage du correcteur indépendant du retard :

+

-C1(p) KG(p) e-p

+

-C2(p) KG(p) e-p

Prédicteur de Smith

En identifiant les 2 schémas, on trouve :

Ex : 1er ordre retardé avec correcteur PI :

)1)(()(1

)()(

2

21 pepKGpC

pCpC

TTpT

pTKpC

Tp

KpKG i

i

ic

:prendon,)1(

)(,1

)( 2

Tpe

KpC

pCpC p

1)1(

)(1

)()(

2

21

+

-C2(p) KG(p)

Tp

eK

p

1

)1(

+

C1(p)

Réalisé avec un compensateur de temps

mort (CTM)

1.8 Représentation normaliséedes procédés

Norme NF E 04-203

Codets d ’identification

Identification des variables

Identification des affichages et actions

Affichages– A : alarme– I : indication– L : signalisation lumineuse– R : enregistrement– Q : intégration

Actions– C : régulation– K : sélection auto/manu– T : transmission– V : dispositif réglant– Y : relais– Z : actionneur

Exemples

Exemple : colonne à distiller

Charge

Résidu

Rebouilleur

Condenseur

Distillat

Vapeur de tête

Incondensables

Reflux externe

Colonne

Ballon de tête

Exemple : colonne à distiller

Débit

Niveau

Débit

Pression

Débit

1.9. Stratégies de régulation

Régulation cascade• Utilisée pour les procédés à inertie importante

• On maîtrise une variable intermédiaire

• Permet de modifier une partie de la chaîne directe

• La boucle interne doit être la plus rapide, elle est réglée en premier

C1(p)+

-

+

-C2(p) G1(p) G2(p)

Boucle interne, esclave, secondaire

Boucle externe, maître, primaire

Résultats

Step Response

Time (min)

Am

plitu

de

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Sans boucle interne

Illustration uniquement avec correcteurs P

Régulation a priori

On utilise la mesure d ’une perturbation pour essayer de compenser « a priori » son effet sans attendre qu ’il se manifeste à la sortie

Vient en complément d ’une boucle classique

+

-C(p) KG(p)

H(p)

+

+

perturbation

Régulation a priori– Autres appellations : prédictive, par anticipation,

feedforward

– Pour que la perturbation soit sans effet, il faut que :

+

-C1(p) K1G1(p)

C2(p)

+

+

K2G2(p)

+

+

K3G3(p)

perturbation

Capteur de mesure de la perturbation

)()(

)()()()()()(

31

2

31

222211233 pGpG

pG

KK

KpCpGKpGKpCpGK

Régulation a priori– Pour réaliser C2(p) on utilise un correcteur à avance/retard de

phase :

– Détermination des paramètres :

– Outre le capteur supplémentaire, il faut 3 modules de calcul :• un module avance/retard de phase

• un module sommateur

• un module de commande auto/manu

pT

pTKpC C

2

122 1

1)(

3

))()((

3

))(( 312

21

31

22

pGpGtT

pGtT

KK

KK rr

C

Ex. : régulation de température– Le four a une inertie importante– Le débit de la charge est susceptible de varier

TIC

T T

T Y

Charge

Air

Fuel

Boucle simple

Boucle simple + a priori

HIC

T T

T Y

Charge

Air

Fuel

F T

F Y

TIC

FYLL /

Modules de calcul

Commande auto/manu

Ex. : régulation de température– Le module de commande

auto/manu permet de conserver la maîtrise de la vanne en manuel

– Sur le sommateur, il faut soustraire la valeur moyenne de l ’effet de la perturbation :

HIC

T T

T Y

Charge

Air

Fuel

F T

F Y

TIC

FYLL /

Modules de calcul

Commande auto/manu

Q

202

12 1

1)(PIDsortie)( CC KQ

pT

pTKpQpS

1.10 Régulation de moteursà courant continu

Régulation cascade d ’un moteur CC

– Boucle interne de courant avec correcteur de type PI– Boucle externe de vitesse avec correcteur de type PI

Capteur de vitesse

LpR 1

k

fJp 1

kaV

rC

elmCI

pT

K

t10 V

tK

iK

mIm

cI

c bV

Capteur de courant

Convertisseur

MoteurCorrecteur

courantCorrecteur

vitesse

Sécurités

)(1 pC )(2 pC)( pS

pT f1

1

Filtre

Les sécurités

Limitation du courant max

Limitation du di/dt

maxcI

cIbV

Si < max alors Ic = Vb

Si = max alors dIc /dt = K1 max

maxcI

bVp

K1