La corde vibranteI) Equation de la corde vibrante

1) Le modèle

Le modèle

T0 x

P|| P || = || T0 ||

Le modèle

y

x

Td(x,t)

Tg(x,t)

M

x

y(x,t)(x,t)

Le modèle

1. L’élément de la corde situé au point de coordonnées (x, 0) à l’équilibre se trouve au point de coordonnées (x, y(x,t)) hors équilibre, i.e. que l’on néglige son déplacement le long de l’axe Ox.On s’intéresse aux vibrations transversales de la corde.

Le modèle

2. L’angle (x,t) que fait la tangente à la corde au point d’abscisse x à l’instant t est un infiniment petit et on se limite à l’ordre un.On s’intéresse aux faibles mouvements transversaux.

Le modèle

3. Considérons une coupure fictive de la corde au point M d’abscisse x ; l’action exercée par la partie gauche de la corde sur la partie droite se réduit à une force de tension Tg(x) tangente à la corde ;de même l’action exercée par la partie droite de la corde sur la partie gauche se réduit à une force de tension Td(x). Par le principe des actions réciproques : Tg(x) = – Td(x).

La corde vibranteI) Equation de la corde vibrante

1) Le modèle

2) Mise en équation

Mise en équation

y(x,t)y(x + dx,t)

x x + dx

(x,t)

(x + dx,t)

Tg(x,t)

Td(x + dx,t)

Système : un brin élémentaire de corde, de masse dm constante, compris entre les abscisses x et x + dx, de longueur au repos dx, dm = .dx

Référentiel : Terrestre supposé galiléen

Forces : la tension Tg(x) exercée par la partie gauche de la corde en x ;la tension Td(x + dx) exercée par la partie droite de la corde en x + dx.

Choix de la base : (O, ux, uy) car le mouvement est plan

RFD : dm.a = Td(x + dx) + Tg(x) = Td(x + dx) – Td(x)

dm.a = dxxdT¶

¶.a =

xdT¶

¶

Les mouvements sont transversaux suivant Oy.

Projection sur Ox :

( )ddx T .cosT0

x x¶¶

= =¶ ¶

(Td.cos)(x,t) = Constante = (Td.cos)(L,t)

Au premier ordre, (Td.cos)(L,t) = Td(L,t) = T0

Au premier ordre, (Td.cos)(x,t) = T0

Projection sur Oy :

( ) ( )2dy d 0

2

T T .sin T .tany

x x xt

¶ ¶ ¶¶= = =

¶ ¶ ¶¶

μ2 2

0 02 2y y y

T Tx xt x

Equation des cordes vibrantes

2 2

2 2 2y 1 y

0x c t

μ0T

c

Couplage

yx

Tdy = Td.sin = T0.tan = T0

dy0 0 0

T y y v T T T

t t x x t x

μ μ2

dy2

Ty v

t xt

Couplage

μ dyTv

t x

dy0 0

T y v T T

t t x x

Le couplage entre la composante transverse de la tension et la vitesse est à l’origine de la propagation.

Une déformation de la corde provoque une tension qui elle-même génère une vitesse de déplacement qui génère un déplacement…

La corde vibranteII) Solutions de l’équation de D’Alembert

La même solution générale peut être représentée par une combinaison linéaire d’ondes planes progressives (OPP) ou d’ondes planes stationnaires (OPS).

La corde vibranteII) Solutions de l’équation de D’Alembert

1) Les ondes planes progressives

a) Recherche de la solution générale

2 2

2 2 2y 1 y

0x c t

u = x – c.t

v = x + c.t

2y

0u v

y(u,v) = f(u) + g(v)

y(x,t) = f(x – c.t) + g(x + c.t)

La corde vibranteII) Solutions de l’équation de D’Alembert

1) Les ondes planes progressives

a) Recherche de la solution générale

b) Interprétation

Définition :

Une onde est dite plane si, à un instant t donné, la grandeur caractérisant l’onde qui se propage est la même en tous les points d’un plan () perpendiculaire à la direction fixe u de propagation de l’onde.

() est un plan d’onde.

() est un plan d’onde

t, (P) = (M) u

()

P

M

Interprétation

f(u)

x1

x

t1

f(u1)

f(u)

x2

x

t2 > t1f(u2)

C’est l’équation horaire d’un mouvement de translation rectiligne uniforme suivant l’axe Ox, dans le sens des x croissants à la célérité c.

x2 = x1 + c(t2 – t1) > x1

f(x – c.t) représente une onde plane progressive suivant Ox dans le sens des x croissants avec une célérité c et ceci indépendamment de la forme de f.

C’est l’équation horaire d’un mouvement de translation rectiligne uniforme suivant l’axe Ox, dans le sens des x décroissants à la célérité c.

x2 = x1 + c’(t2 – t1) = x1 – c(t2 – t1) < x1

g(x + c.t) représente une onde plane progressive suivant Ox dans le sens des x décroissants avec une célérité c et ceci indépendamment de la forme de g.

La solution générale de l’équation de propagation unidimensionnelle dite de D’Alembert,

Conclusion :

peut s’écrire sous la forme d’une superposition de deux ondes planes progressives se propageant en sens opposés le long de Ox avec la même célérité c : y(x,t) = f(x – ct) + g(x + ct).

2 2

2 2 2y 1 y

0x c t

La corde vibranteII) Solutions de l’équation de D’Alembert

1) Les ondes planes progressives

a) Recherche de la solution générale

b) Interprétation

c) Cas des ondes planes progressives harmoniques

Finalement, l’onde plane progressive harmonique se propageant suivant l’axe Ox dans le sens des x croissants peut s’écrire :

y(x,t) = A.cos(t – k.x + 0)ω

k 0c

Une onde plane progressive harmonique se propageant suivant l’axe Ox dans le sens des x décroissants peut s’écrire :

y(x,t) = A.cos(t + k.x + 0)ω

k 0c

y(x,t) = A.cos(t – k’.x + 0)ω

k 0c

'

(M) = 0

u

()

M

t

x

(M) = 0

u

()

M

x + dx

t + dt

() est un plan d’onde

La corde vibranteII) Solutions de l’équation de D’Alembert

1) Les ondes planes progressives

2) Les ondes stationnaires

Les ondes stationnaires

nœud de vibration

ventre de vibrationλ2

La corde vibranteII) Solutions de l’équation de D’Alembert

1) Les ondes planes progressives

2) Les ondes stationnaires

3) Conclusion

Une O.P.P.H. peut se décomposer en deux ondes stationnaires de même pulsation de même amplitude et en double quadrature ;

Conclusion

Une O.P.S. peut se décomposer en deux O.P.P.H. de même pulsation, de même amplitude et se propageant en sens opposés ;

Le choix de l’écriture de la solution dépend du problème à étudier, en particulier des conditions aux limites.

La corde vibranteIII) Les vibrations libres d’une corde fixée à ses deux

extrémités

1) Les modes propres

La corde vibranteIII) Les vibrations libres d’une corde fixée à ses deux

extrémités

1) Les modes propres

a) Exploitation des conditions aux limites

ω π πλ

mm 1

m

2k m m.k

c L

π1k

L

πm 1

1

k m.k

k L

ω ω

πω

m 1

1

m.

.c

L

ν ν

ν

m 1

1

m.

c

2L

λλ

λ

1m

1

m

2L

La corde vibranteIII) Les vibrations libres d’une corde fixée à ses deux

extrémités

1) Les modes propres

a) Exploitation des conditions aux limites

b) Les modes propres

Par théorème de superposition, la solution générale de ce problème peut s’écrire sous la forme d’une somme infinie :

mm 1

y(x,t) y (x,t)

π πφm m

m 1

m m cy(x,t) A .sin x .cos t

L L

Mode fondamental : 1

n = 1

λ12

λ1L2

N N

V

Harmonique 2 : 2 = 2 1

n = 2

N N

V

N

V

L = 2 2

Harmonique 3 : 3 = 31

n = 3

NN

V

N

V V

N

3

λ33

L2

Harmonique 4 : 4 = 41

n = 4

N N

V

N

V V

N N

V

4L = 24

La corde vibranteIII) Les vibrations libres d’une corde fixée à ses deux

extrémités

1) Les modes propres

2) Problème général

La corde vibranteIV) Les vibrations forcées d’une corde fixée à une

extrémité ; Ondes stationnaires et résonances

1) La corde de Melde

Corde de Melde à deux instants différents

λ2

La corde vibranteIV) Les vibrations forcées d’une corde fixée à une

extrémité ; Ondes stationnaires et résonances

1) La corde de Melde

a) Ondes stationnaires

2) Ondes stationnaires et résonances

La corde vibranteIV) Les vibrations forcées d’une corde fixée à une

extrémité ; Ondes stationnaires et résonances

1) La corde de Melde

a) Ondes stationnaires

2) Ondes stationnaires et résonances

b) Les résonances