Post on 16-Mar-2020
Une approche complète
La Mécanique classique de John Taylor s’adresse aux étudiants de licence déjà familiarisés avec les bases de lamécanique.
L’auteur y approfondit les notions fondamentales, puisdéveloppe des thèmes plus avancés tels que la formula-tion lagrangienne, la formulation hamiltonienne, la mécanique dans les référentiels non-inertiels, le mou-vement des corps rigides, les oscillateurs couplés, la théorie du chaos, la relativité restreinte et plusieursautres notions complexes. Certains physiciens incluant larelativité dans le corpus de la mécanique classique, cettebranche de la mécanique est également abordée danscet ouvrage.
Une approche progressive
Le livre est divisé en deux parties : la première partiecontient onze chapitres « essentiels » qui devraient êtrelus intégralement et dans l’ordre, alors que la secondecontient cinq chapitres « optionnels » indépendants lesuns des autres.
Chaque chapitre se termine par un grand nombre d’exer-cices corrigés, permettant notamment à l'étudiant de s'entraîner au traitement numérique par ordinateur.Les formules indispensables sont rappelées au début de chaque section d’entraînement, et une signalétiquesimple évalue la difficulté de chacun des exercices.
Traduit de l’américainT. Becherrawy est titulaire d’un doctorat de troisièmecycle de l’université de Paris et PH.D. de l’université de Rochester. Il enseigne à l’IUFM de Lorraine et à l’université de Nancy 1, et a enseigné à l’universitélibanaise de Beyrouth et à l’université de Savoie àChambéry. Il est par ailleurs l’auteur d’une vingtained’articles spécialisés ayant trait à la physique deshautes énergies.
Aurélie Cusset-Boudier est traductrice, rédactrice et réviseur scientifique.
a Une référence en mécanique classiquea Les notions les plus complexes expliquées de façon simplea De nombreux exercices corrigésa Des exercices à réaliser sur ordinateur
(sans logiciel payant)
9 782804 156893
ISBN : 978-2-8041-5689-3
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Mécanique classique
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Mécanique classique
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Mecanique Classique
Mecanique Classique
John R. TaylorUNIVERSITY OF COLORADO
Pour toute information sur notre fonds et les nouveautes dans votre domaine de
specialisation, consultez notre site web :
www.deboeck.com
Edition originale : Classical Mechanics, ISBN 1-891389-22-X
c© 2005 University Science Books
c© Groupe De Boeck SA
Rue des Minimes, 39
B-1000 Bruxelles
Tous droits reserves pour tous pays.
Il est interdit, sauf accord prealable et ecrit de l’editeur, de reproduire (notamment par
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de donnees ou de le communiquer au public, sous quelque forme que ce soit.
Imprime en Belgique
Depot legal :
Bibliotheque nationale, Paris : septembre 2012
Bibliotheque royale Albert Ier, Bruxelles : 2008/0074/067 ISBN : 978-2-8041-5689-3
Table des Matieres
Preface xiii
PARTIE I Les Fondements 1
CHAPITRE 1 Lois du Mouvement de Newton 3
1.1 Mecanique Classique 3
1.2 L’espace et le temps 4
1.3 Masse et force 11
1.4 Premiere et deuxieme lois de Newton, referentiels inertiels 14
1.5 Troisieme loi et conservation de la quantite de mouvement 19
1.6 Deuxieme loi de Newton en coordonnees cartesiennes 26
1.7 Coordonnees polaires a deux dimensions 29
Principales definitions et equations du chapitre 1 38
Problemes du chapitre 1 38
CHAPITRE 2 Projectiles et Particules Chargees 47
2.1 Resistance de l’air 47
2.2 Resistance lineaire de l’air 51
2.3 Trajectoire et portee dans un milieu lineaire 59
2.4 Resistance quadratique de l’air 63
2.5 Mouvement d’une particule chargee dans un champmagnetique uniforme 72
2.6 Exponentielles complexes 75
2.7 Solution pour le mouvement d’une particule chargee dans unchamp B 77
Principales definitions et equations du Chapitre 2 79
Problemes du chapitre 2 79 v
vi Table des Matieres
CHAPITRE 3 Quantite de mouvement et moment cinetique 91
3.1 Conservation de la quantite de mouvement 91
3.2 Fusees 93
3.3 Centre de masse (CM) 95
3.4 Moment cinetique d’une particule 98
3.5 Moment cinetique de plusieurs particules 103
Principales definitions et equations du chapitre 3 109
Problemes du chapitre 3 110
CHAPITRE 4 Energie 117
4.1 Energie cinetique et travail 117
4.2 Energie potentielle et forces conservatives 121
4.3 Force comme gradient de l’energie potentielle 129
4.4 La deuxieme condition pour que F soit conservative 132
4.5 Energie potentielle variable dans le temps 135
4.6 Energie des mouvements unidimensionnels rectilignes 137
4.7 Systemes unidimensionnels curvilignes 144
4.8 Forces centrales 149
4.9 Energie d’interaction de deux particules 154
4.10 Energie d’un systeme de plusieurs particules 161
Principales definitions et equations du chapitre 4 166
Problemes du chapitre 4 167
CHAPITRE 5 Oscillations 181
5.1 Loi de Hooke 181
5.2 Oscillations harmoniques 184
5.3 Oscillateurs a deux dimensions 190
5.4 Oscillations amorties 194
5.5 Oscillations forcees 200
5.6 Resonance 209
5.7 Serie de Fourier ∗ 216
5.8 Oscillateur excite par une force periodique quelconque(solution en serie de Fourier) ∗ 221
5.9 Moyenne quadratique (RMS) du deplacement, theoreme deParseval ∗ 227
Principales definitions et equations du Chapitre 5 230
Problemes du chapitre 5 232
∗Les sections marquees d’un asterisque peuvent etre omises en premiere lecture.
Table des Matieres vii
CHAPITRE 6 Calcul des variations 241
6.1 Deux exemples 242
6.2 Equation d’Euler–Lagrange 245
6.3 Applications de l’equation d’Euler–Lagrange 248
6.4 Systemes a plusieurs fonctions 253
Principales definitions et equations du Chapitre 6 258
Problemes du chapitre 6 258
CHAPITRE 7 Equations de Lagrange 265
7.1 Equations de Lagrange pour un mouvement sanscontraintes 266
7.2 Systemes contraints, un exemple 274
7.3 Systemes contraints dans le cas general 276
7.4 Demonstration des equations de Lagrange pour des systemescontraints 280
7.5 Exemples d’utilisation des equations de Lagrange 284
7.6 Quantites de mouvement generalisees et coordonneescycliques 297
7.7 Conclusion 298
7.8 Lois de conservation ∗ 299
7.9 Equations de Lagrange pour les forceselectromagnetiques ∗ 304
7.10 Multiplicateurs de Lagrange et forces de contrainte ∗ 307
Principales definitions et equations du chapitre 7 313
Problemes du Chapitre 7 314
CHAPITRE 8 Probleme a deux corps en interaction centrale 327
8.1 Le probleme 327
8.2 Coordonnees du CM et coordonnees relatives, massereduite 329
8.3 Equations du mouvement 331
8.4 Le probleme unidimensionnel equivalent 334
8.5 Equation de l’orbite 341
8.6 Orbites de Kepler 343
8.7 Orbites non liees de Kepler 349
8.8 Changement d’orbite 351
Principales definitions et equations du Chapitre 8 355
Problemes du Chapitre 8 356
viii Table des Matieres
CHAPITRE 9 Mecanique dans les referentiels non inertiels 363
9.1 Referentiels acceleres non tournants 364
9.2 Les marees 367
9.3 Vecteur-rotation 373
9.4 Derivees par rapport au temps dans un referentieltournant 377
9.5 La deuxieme loi de Newton dans un referentiel tournant 379
9.6 Force centrifuge 382
9.7 Force de Coriolis 386
9.8 Chute libre et force de Coriolis 390
9.9 Pendule de Foucault 393
9.10 Force de Coriolis et acceleration de Coriolis 397
Principales definitions et equations du chapitre 9 398
Problemes du chapitre 9 400
CHAPITRE 10 Mouvement de rotation des corps rigides 407
10.1 Proprietes du centre de masse 407
10.2 Rotation autour d’un axe fixe 413
10.3 Rotation autour d’un axe quelconque, tenseur d’inertie 419
10.4 Axes principaux d’inertie 428
10.5 Determination des axes principaux, equations aux valeurspropres 431
10.6 Precession d’une toupie soumise a un moment de forcefaible 435
10.7 Equations d’Euler 438
10.8 Equations d’Euler dans le cas d’un moment de force nul 440
10.9 Angles d’Euler ∗ 445
10.10 Rotation d’une toupie ∗ 448
Principales definitions et equations du chapitre 10 452
Problemes du chapitre 10 453
CHAPITRE 11 Oscillateurs couples et modes propres 463
11.1 Deux masses et trois ressorts 464
11.2 Ressorts identiques et masses egales 468
11.3 Cas de deux oscillateurs faiblement couples 473
11.4 Formalisme lagrangien : le pendule double 478
11.5 Cas general 484
11.6 Trois pendules couples 489
11.7 Coordonnees normales ∗ 493
Principales definitions et equations du Chapitre 11 496
Problemes du chapitre 11 497
Table des Matieres ix
PARTIE II Themes avances 505
CHAPITRE 12 Mecanique non lineaire et chaos 507
12.1 Linearite et non-linearite 508
12.2 Le pendule amorti et force (PAF) 513
12.3 Quelques caracteristiques previsibles du PAF 515
12.4 Le PAF : un exemple du chaos 518
12.5 Chaos et sensibilite aux conditions initiales 528
12.6 Diagrammes de bifurcation 537
12.7 Orbites dans l’espace d’etat 541
12.8 Sections de Poincare 550
12.9 Application logistique 555
Principales definitions et equations du chapitre 12 571
Problemes du chapitre 12 572
CHAPITRE 13 Mecanique hamiltonienne 581
13.1 Les variables de base 582
13.2 Equations de Hamilton pour les systemesunidimensionnels 584
13.3 Equations de Hamilton pour les systemesmultidimensionnels 589
13.4 Coordonnees cycliques 596
13.5 Equations de Lagrange et equations de Hamilton 598
13.6 Orbites dans l’espace des phases 600
13.7 Theoreme de Liouville ∗ 606
Principales definitions et equations du chapitre 13 614
Problemes du chapitre 13 614
CHAPITRE 14 Theorie des collisions 623
14.1 Angle de diffusion et parametre d’impact 624
14.2 Section efficace de collision 627
14.3 Generalisation de la notion de section efficace 631
14.4 Section efficace differentielle 636
14.5 Calcul de la section efficace differentielle 640
14.6 Diffusion de Rutherford 643
14.7 Sections efficaces dans divers referentiels ∗ 648
14.8 Relation entre les angles de diffusion dans le CM et dans lelaboratoire ∗ 652
Principales definitions et equations du chapitre 14 656
Problemes du chapitre 14 657
x Table des Matieres
CHAPITRE 15 Relativite restreinte 665
15.1 Relativite 666
15.2 Relativite galileenne 667
15.3 Postulats de la relativite restreinte 672
15.4 Relativite du temps, dilatation des durees 675
15.5 Contraction des longueurs 681
15.6 Transformation de Lorentz 684
15.7 Vitesse relativiste, loi de composition des vitesses 689
15.8 Espace–temps a quatre dimensions, quadrivecteurs 692
15.9 Produit scalaire invariant 698
15.10 Cone de lumiere 700
15.11 Regle du quotient et effet Doppler 706
15.12 Masse, quadri-vitesse et quadri-impulsion 709
15.13 L’energie comme quatrieme composante de l’impulsion 715
15.14 Collisions 722
15.15 Force en relativite 728
15.16 Particules de masse nulle, le photon 731
15.17 Tenseurs ∗ 736
15.18 Electrodynamique et relativite 739
Principales definitions et equations du chapitre 15 745
Problemes du chapitre 15 747
CHAPITRE 16 Mecanique des milieux continus 765
16.1 Mouvement transversal d’une corde tendue 767
16.2 Equation des ondes 770
16.3 Conditions aux limites, ondes sur une corde finie ∗ 774
16.4 Equation des ondes a trois dimensions 780
16.5 Forces volumiques et forces de contact 784
16.6 Contrainte et deformation, modules d’elasticite 788
16.7 Tenseur des contraintes 791
16.8 Tenseur des deformations d’un solide 797
16.9 Relation entre la contrainte et la deformation, loi deHooke 803
16.10 Equation du mouvement pour un solide elastique 806
16.11 Ondes longitudinales et ondes transversales dans unsolide 810
16.12 Fluides : description du mouvement ∗ 812
16.13 Ondes dans un fluide ∗ 816
Principales definitions et equations du chapitre 16 820
Problemes du chapitre 16 822
Table des Matieres xi
ANNEXES Diagonalisation des matrices reelles et symetriques 829
A.1 Diagonalisation d’une seule matrice 829
A.2 Diagonalisation simultanee de deux matrices 833
Bibliographie 837
Reponses des problemes de numeros impairs 839
Index 867
Preface
Ce livre s’adresse aux etudiants de sciences physiques qui ont deja aborde des
notions de mecanique dans un cours d’introduction a la physique (cours de
« physique de premiere annee » d’une universite americaine typique) et qui
sont a present prets a approfondir le sujet. Ce livre s’est construit a partir
d’un cours de mecanique que j’ai enseigne au Departement de Physique de
l’Universite du Colorado a des etudiants de deuxieme annee de physique,
de mathematiques, de chimie et a des eleves-ingenieurs. La plupart de ces
etudiants avaient deja suivi le cours de physique de premiere annee et avaient
ainsi deja acquis une certaine connaissance de base des lois de Newton, de
l’energie, de la quantite de mouvement, du mouvement harmonique, etc. En
ecrivant ce livre, je me suis d’abord base sur cette connaissance elementaire
pour en approfondir les idees fondamentales, puis j’ai poursuivi en developpant
des themes plus avances tels que la formulation lagrangienne, la formulation
hamiltonienne, la mecanique dans les referentiels non-inertiels, le mouvement
des corps rigides, les oscillateurs couples, la theorie du chaos et quelques autres
themes.
La mecanique est, bien entendu, l’etude du mouvement des corps : par
exemple d’un electron dans un tube cathodique, d’une balle de base-ball lancee
dans l’air ou encore d’une comete en orbite autour du Soleil. La mecanique
classique correspond a la formulation de la mecanique qui a ete developpee
par Galilee et Newton au 17e siecle et qui a ete reformulee par Lagrange et
Hamilton aux 18e et 19e siecles. Pendant plus de deux siecles, la mecanique
classique a ete consideree comme la seule formulation capable d’expliquer le
mouvement de tous les systemes imaginables.
Mais au debut du 20e siecle, deux grandes revolutions ont montre que
la mecanique classique ne pouvait plus etre utilisee ni pour les mouvements
aux vitesses proches de la vitesse de la lumiere, ni pour les particules sous-
atomiques se deplacant a l’interieur des atomes. Entre 1900 et 1930 sont alors
apparues la mecanique relativiste, developpee a l’origine pour decrire les corps
en mouvement rapide, et la mecanique quantique, developpee a l’origine pour xiii
xiv Preface
decrire les systemes sous-atomiques. Dans cette nouvelle competition entre les
differentes mecaniques, on pouvait s’attendre a ce que la mecanique classique
perde de son interet et de son importance. Cependant, en ce debut de 21e siecle,
la mecanique classique a garde toute son importante et reste meme toujours
aussi fascinante, et ce pour trois raisons. La premiere est qu’il existe toujours
autant de systemes physiques interessants qui sont mieux decrits en termes
classiques. Pour analyser les orbites des engins spatiaux et les trajectoires
des particules chargees dans les accelerateurs modernes, par exemple, il est
inevitable d’utiliser la mecanique classique. La seconde raison est que des
developpements recents en mecanique classique, en particulier associes au
developpement de la theorie du chaos, ont engendre de nouvelles branches
de la physique et des mathematiques, et ont modifie notre comprehension de
la notion de causalite. Ce sont ces nouvelles idees qui ont incite des physiciens,
parmi les meilleurs au monde, a etudier de nouveau la mecanique classique. La
troisieme raison est qu’une bonne comprehension de la mecanique classique est
toujours un prealable a l’etude de la relativite et de la mecanique quantique.
Les physiciens ont tendance a utiliser l’expression « mecanique classique »d’une facon plutot imprecise. Certains l’utilisent pour designer la mecanique
de Newton, de Lagrange et de Hamilton ; pour eux, la « mecanique classique »exclut la mecanique quantique et la relativite. Dans certains domaines de la
physique cependant, d’autres ont tendance a inclure la relativite comme faisant
partie de la « mecanique classique » ; pour ces physiciens, la « mecanique
classique » est ainsi equivalente a la « mecanique non-quantique ». Influences
par cet usage, certains cours de mecanique classique incluent un chapitre
d’introduction a la mecanique relativiste. Pour cette raison, j’ai inclus dans ce
livre un chapitre sur la mecanique relativiste que vous pourrez choisir d’etudier
ou non.
Un des interets d’un cours de mecanique classique est qu’il offre une belle
occasion d’apprendre certaines techniques mathematiques tres utiles dans de
nombreuses branches de la physique : les vecteurs, le calcul vectoriel, les
equations differentielles, les nombres complexes, les series de Taylor, les series
de Fourier, le calcul des variations, les matrices, etc. J’ai essaye dans ce
livre de vous donner au moins une revision ou une introduction a chacune de
ces techniques (avec des references bibliographiques) et de vous illustrer leur
utilisation dans le contexte generalement simple de la mecanique classique.
J’espere qu’a la lecture de ce livre vous saurez maıtriser ces outils et que vous
aurez pris conscience de leur importance.
Il est evident que ce livre contient plus de sujets que ce qui pourrait
probablement etre traite dans un cours d’un semestre. J’ai neanmoins essaye
d’eviter l’embarras du choix des sujets a omettre. Le livre est divise en deux
parties : la partie I contient onze chapitres « essentiels » qui devraient etre
lus dans l’ordre, alors que la partie II contient cinq chapitres « optionnels »qui sont independants et peuvent etre lus sans reference les uns aux autres.
Evidemment, cette division n’est pas tranchee et sa facon de l’utiliser dependra
du jugement de l’enseignant et de la preparation des etudiants. Dans mon cours
d’un semestre a l’Universite du Colorado, je me suis rendu compte qu’il fallait
Preface xv
que je traite dans sa quasi-totalite et dans l’ordre les chapitres de la partie I,
et que je laisse aux etudiants la liberte de choisir un des cinq chapitres de la
partie II comme projet de fin de semestre (ce qu’ils ont eu l’air d’apprecier).
Certains des professeurs qui ont utilise une version preliminaire de ce livre ont
trouve que les etudiants etaient suffisamment bien prepares et qu’ils pouvaient
traiter les quatre ou cinq premiers chapitres comme une revision rapide, ce qui
laissait plus de temps pour aborder certains chapitres de la partie II. Dans les
universites ou le cours de mecanique est enseigne sur deux trimestres, il a ete
possible de couvrir toute la partie I ainsi que la majeure partie de la partie II.
Puisque les chapitres de la partie II sont independants l’un des autres, il
est possible d’en etudier certains avant d’avoir fini la partie I. Par exemple,
le chapitre 12 sur le chaos peut etre traite juste apres le chapitre 5 sur les
oscillations. De meme, le chapitre 13 sur la mecanique hamiltonienne peut etre
lu juste apres le chapitre 7 sur la mecanique lagrangienne. Certaines sections
sont marquees d’un asterisque pour indiquer qu’elles peuvent etre omises sans
perdre la continuite du texte. Cela ne veut pas dire que les sujets qu’elles
traitent ne sont pas importants. . . et j’espere que vous reviendrez dessus pour
les lire plus tard !
Comme c’est toujours le cas dans un livre de physique, il est tres impor-
tant que vous traitiez un bon nombre d’exercices apres chaque chapitre. Je
propose dans cet ouvrage un grand nombre de problemes pour laisser du
choix au professeur et aux etudiants. Certains de ces problemes sont des
applications simples des idees developpees dans le chapitre et d’autres sont
des prolongements de ces idees. J’ai organise les problemes par sections, de
sorte que vous puissiez (et meme devriez) essayer d’en traiter quelques uns
des que vous aurez fini de lire chaque section d’un chapitre. (Naturellement,
les problemes poses pour une section donnee exigent generalement d’avoir
pris connaissance des sections precedentes, mais je vous promets qu’ils ne
necessitent pas d’avoir traite les sections suivantes.) J’ai essaye d’evaluer les
problemes pour indiquer leur niveau de difficulte, allant d’un asterisque (⋆)
pour un probleme simple, faisant generalement intervenir un seul concept prin-
cipal, a trois asterisques (⋆⋆⋆) pour un probleme presentant plus de challenge,
faisant intervenir plusieurs concepts et qui vous prendra probablement un
temps et un effort importants. Cette classification est assez subjective, tres
approximative et difficile a faire ; je vous serais reconnaissant de me suggerer
toute modification qui vous semblerait utile.
Certains problemes exigent l’utilisation d’un ordinateur pour tracer des
graphiques, pour resoudre des equations differentielles, etc. Aucun de ces
problemes n’exige de logiciel specifique : certains peuvent etre traites avec
un logiciel relativement simple tel que MathCad ou meme un tableur de type
Excel, d’autres exigent des logiciels plus sophistiques tels que Mathematica,
Maple ou Matlab. (D’ailleurs, l’experience m’a montre que le cours pour
lequel ce livre a ete ecrit etait une excellente occasion pour les etudiants
d’apprendre a utiliser ces logiciels tres utiles.) Les problemes qui exigent
l’utilisation d’un ordinateur portent la mention [Ordinateur]. Je les ai evalues
comme des problemes difficiles (⋆⋆⋆), ou au moins comme des problemes
xvi Preface
moyens (⋆⋆), parce que l’ecriture du programme peut prendre beaucoup de
temps. Naturellement, ces problemes seront plus faciles pour les etudiants qui
ont une certaine experience du logiciel necessaire.
Avant les problemes de chaque chapitre, j’ai insere un sommaire intitule
« Principales definitions et equations du chapitre xx ». J’espere qu’il vous
permettra de controler votre comprehension du chapitre apres l’avoir lu et qu’il
pourra vous servir plus tard comme reference pour y retrouver les formules de
base dont vous aurez oublie les details.
Il y a de nombreuses personnes que je souhaite remercier pour leur aide et
leurs suggestions. Je pense surtout aux professeurs Larry Baggett, John Cary,
Mike Dubson, Anatoli Levshin, Scott Parker, Steve Pollock et Mike Ritzwoller
de l’Universite du Colorado. Je pense egalement a des professeurs d’autres
institutions, qui ont lu le manuscrit ou ont utilise une edition preliminaire du
livre dans leurs cours :
Meagan Aronson, U of Michigan
Dan Bloom, Kalamazoo College
Peter Blunden, U of Manitoba
Andrew Cleland, UC Santa Barbara
Gayle Cook, Cal Poly, San Luis Obispo
Joel Fajans, UC Berkeley
Richard Fell, Brandeis University
Gayanath Fernando, U of Connecticut
Jonathan Friedman, Amherst College
David Goldhaber-Gordon, Stanford
Thomas Griffy, U of Texas
Elisabeth Gwinn, UC Santa Barbara
Richard Hilt, Colorado College
George Horton, Rutgers
Lynn Knutson, U of Wisconsin
Jonathan Maps, U of Minnesota, Duluth
John Markert, U of Texas
Michael Moloney, Rose-Hulman Institute
Colin Morningstar, Carnegie Mellon
Declan Mulhall, Cal Poly, San Luis Obispo
Carl Mungan, US Naval Academy
Robert Pompi, SUNY Binghamton
Mark Semon, Bates College
James Shepard, U of Colorado
Richard Sonnenfeld, New Mexico Tech
Edward Stern, U of Washington
Michael Weinert, U of Wisconsin, Milwaukee
Alma Zook, Pomona College
Je leur suis a tous tres reconnaissant, ainsi qu’a leurs etudiants, pour leurs
nombreux commentaires tres utiles. J’aimerais remercier tout particulierement
Carl Mungan, pour sa vigilance etonnante a saisir les erreurs de frappe,
Preface xvii
les points obscurs et les ambiguıtes, ainsi que Jonathan Friedman et son
etudiant Ben Heidenreich qui m’ont evite une erreur vraiment embarrassante
dans le chapitre 10. Je suis particulierement reconnaissant envers mes deux
amis et collegues, Mark Semon au Bates College et Dave Goodmanson a la
Boeing Aircraft Company, qui ont passe le manuscrit au peigne fin et m’ont
reellement fait des centaines de suggestions. Je remercie Christopher Taylor
de l’Universite du Wisconsin pour son aide patiente sur Mathematica et les
mysteres de LaTeX. Bruce Armbruster et Jane Ellis de University Science
Books m’ont permis de realiser mes reves d’auteur. L’editeur de ce texte, Lee
Young, est vraiment exceptionnel : c’est un expert en langue anglaise et en
physique et il m’a suggere de nombreuses ameliorations importantes. Enfin et
surtout, je voudrais remercier mon epouse Debby. Etre mariee a un auteur
peut etre tres penible et elle m’a supporte avec beaucoup de grace. En tant
que professeur d’anglais au plus haut niveau, elle m’a enseigne presque tout
ce que je connais sur l’art d’ecrire et d’editer. Je lui en suis eternellement
reconnaissant.
Malgre tous nos efforts, il y aura surement quelques erreurs dans ce livre
et je vous serais reconnaissant de me faire part de celles que vous pourrez y
trouver. Une documentation annexe, comprenant un manuel de l’enseignant
et d’autres notices, seront disponibles sur le site de University Science Books,
www.uscibooks.com.
John R. Taylor
Department of Physics
University of Colorado
Boulder, Colorado 80309, USA
John.Taylor@Colorado.edu
PARTIE I
Les FondementsCHAPITRE 1 Lois du Mouvement de Newton
CHAPITRE 2 Projectiles et Particules Chargees
CHAPITRE 3 Quantite de mouvement et moment cinetique
CHAPITRE 4 Energie
CHAPITRE 5 Oscillations
CHAPITRE 6 Calcul des variations
CHAPITRE 7 Equations de Lagrange
CHAPITRE 8 Probleme a deux corps en interaction centrale
CHAPITRE 9 Mecanique dans les referentiels non inertiels
CHAPITRE 10 Mouvement de rotation des corps rigides
CHAPITRE 11 Oscillateurs couples et modes propres
La partie I de ce livre traite les sujets qui sont presque unanimement con-
sideres comme les connaissances essentielles en mecanique que tout etudiant
doit acquerir pour sa licence de physique. La partie II contient des sujets op-
tionnels que vous pourrez choisir au gre de votre preference et du temps dont
vous disposez. Considerer un sujet comme « essentiel » ou « optionnel » est
evidemment discutable et depend votre niveau de connaissance. Si, par exem-
ple, vous vous estimez bien prepare, vous pourrez considerer les cinq premiers
chapitres de la partie I comme une revision rapide ou meme les sauter. En fait,
j’ai choisi d’ecrire les onze chapitres de la partie I de facon a ce qu’ils soient lus
les uns a la suite des autres, pour qu’a la lecture de chaque chapitre vous soyez
familier avec la plupart des idees developpees dans les chapitres precedents.
En revanche, j’ai essaye de rendre les chapitres de la partie II independants
les uns des autres, de sorte que vous puissiez les lire dans n’importe quel ordre,
apres avoir assimile le plus gros de la partie I.
CHAPITRE 1
Lois du Mouvement de Newton
1.1 Mecanique Classique
La mecanique est l’etude du mouvement des corps : celui des planetes autour
du Soleil, d’un skieur sur une piste ou d’un electron autour du noyau d’un
atome. Pour autant que nous le sachions, les Grecs anciens ont ete les premiers
a reflechir de facon serieuse sur la mecanique, il y a plus de 2000 ans, et la
mecanique qu’ils ont elaboree represente une grande avancee dans l’evolution
de la science. Cependant, les idees des Grecs ont ete serieusement mises a
defaut par les normes modernes et c’est pourquoi nous ne les considererons
pas ici. Le developpement de la mecanique que nous connaissons actuellement
a ete initie par les travaux de Galilee (1564–1642) et de Isaac Newton (1642–
1727). C’est la formulation de Newton, avec ses trois lois du mouvement, qui
constituera notre point de depart dans ce livre.
Vers la fin du 18e siecle et le debut du 19e siecle, deux autres formulations de
la mecanique ont ete developpees. Elles portent les noms de leurs inventeurs :
le mathematicien et astronome francais Joseph-Louis Lagrange (1736–1813)
et le mathematicien irlandais William Rowan Hamilton (1805–1865). Les
formulations lagrangiennes et hamiltoniennes de la mecanique sont exactement
equivalentes a celle de Newton mais elles fournissent des solutions nettement
plus simples a de nombreux problemes complexes. Elles sont aussi le point
de depart de plusieurs developpements de la physique moderne. Le terme
mecanique classique est un peu vague mais il designe generalement ces trois
formulations equivalentes de la mecanique. C’est en ce sens que ce livre traite
de mecanique classique.
Jusqu’au debut du 20e siecle, il semble que la mecanique classique etait
consideree comme le seul type de mecanique, capable de decrire correctement
tous les types de mouvement. Entre 1905 et 1925, il est devenu clair que
la mecanique classique ne pouvait decrire correctement ni le mouvement des
corps se deplacant avec une vitesse proche de celle de la lumiere, ni celui
des particules microscopiques a l’interieur des atomes et des molecules. Il 3
4 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton
en a resulte le developpement de deux formes completement nouvelles de la
mecanique : la mecanique relativiste, permettant de decrire les mouvements
a tres grande vitesse, et la mecanique quantique, permettant de decrire
le mouvement des particules microscopiques. J’ai inclus dans ce livre une
introduction a la relativite dans le chapitre « optionnel » 15. La mecanique
quantique requiert a elle-seule un livre entier (voire plusieurs) et je n’ai pas
essaye d’en donner ici ne serait-ce qu’une breve introduction.
Bien que la mecanique classique ait ete remplacee par la mecanique rela-
tiviste et par la mecanique quantique dans leurs domaines respectifs, il existe
toujours un vaste eventail de problemes interessants et toujours d’actualite
pour lesquels la mecanique classique donne une description complete et precise
des mouvements possibles. En fait, la recherche en mecanique classique s’est
intensifiee au cours des dernieres decennies et ce sujet est devenu un des do-
maines les plus a la mode de la physique, surtout apres le developpement
de la theorie du chaos. L’objectif de ce livre est de donner au lecteur les
bases approfondies du domaine passionnant qu’est la mecanique classique. Si
les problemes le permettent, je les discuterai dans le cadre de la formulation
newtonienne, mais j’essaierai egalement de souligner les situations ou les for-
mulations plus recentes de Lagrange et de Hamilton sont plus adaptees et de
les utiliser dans ces cas. Pour le niveau aborde dans ce livre, nous verrons que
l’approche lagrangienne presente de nombreux avantages importants par rap-
port a l’approche newtonienne et nous utiliserons la formulation lagrangienne
a plusieurs reprises a partir du chapitre 7. En revanche, les avantages de la
formulation hamiltonienne n’apparaissent qu’a un niveau plus avance et je re-
porterai son introduction au chapitre 13 (bien qu’elle soit utilisee a certains
endroits a partir du chapitre 7).
En ecrivant ce livre, j’ai suppose que vous aviez deja acquis les bases de
la mecanique newtonienne, habituellement enseignees dans un cours typique
d’introduction a la physique de premiere annee d’etudes universitaires. Ce
chapitre contient une breve revision des idees que vous etes suppose connaıtre.
1.2 L’espace et le temps
Les trois lois de mouvement de Newton sont formulees a partir de quatre
concepts fondamentaux sous-jacents : l’espace, le temps, la masse et la force.
Cette section fait le point sur les deux premiers : l’espace et le temps. En plus
d’une breve description de la vision classique de l’espace et du temps, je donne
ici un bref recapitulatif de l’utilisation des vecteurs qui permettent de reperer
les points de l’espace.
L’espace
Chaque point P de l’espace tridimensionnel dans lequel nous vivons peut etre
repere par un vecteur position r qui determine la distance et la direction de P
Section 1.2 L’espace et le temps 5
axe des z
axe des y
y
x
z
r
O
P
axe des x
Figure 1.1 Le point P est repere par le vecteur position r
qui donne sa position par rapport a l’origine choisie O.
Le vecteur r peut etre determine par ses composantes
cartesiennes (x, y, z) par rapport aux axes choisis Oxyz.
depuis une origine choisie O (voir la figure 1.1). Le vecteur r peut etre defini de
plusieurs facons. Une des plus naturelles consiste a preciser ses composantes
(x, y, z) dans les directions de trois axes perpendiculaires choisis. Il est habituel
pour cela d’introduire trois vecteurs unitaires, x, y et z, pointant le long des
trois axes et d’ecrire
r = xx + yy + zz. (1.1)
(x, y et z sont les composantes cartesiennes de r.)
A un niveau elementaire, il est conseille de choisir une seule bonne notation,
comme dans l’equation (1.1), et de s’y tenir. A un niveau plus avance, il est
presque impossible de se passer d’autres notations. Tous les auteurs ont leur
propre preference de notation (il est par exemple courant de rencontrer i, j et k
au lieu de x, y et z) et vous devez vous habituez a toutes les rencontrer. De
plus, chaque notation a ses inconvenients qui peuvent la rendre inutilisable
dans certaines situations. Ainsi, meme si vous optez pour votre systeme de
notation prefere, ce que vous ferez certainement, vous devez apprendre a
developper une certaine tolerance envers les autres.
Il est parfois pratique d’abreger (1.1) en ecrivant simplement
r = (x, y, z). (1.2)
Cette notation n’est evidemment pas totalement coherente avec l’equa-
tion (1.1) mais elle est habituellement sans aucune ambiguıte. Elle precise
simplement que r est le vecteur dont les composantes sont x, y et z. Lorsque
la notation (1.2) apparaıtra comme la plus pratique, je n’hesiterai pas a
l’utiliser. Dans le cas d’un vecteur quelconque (represente par un caractere
gras), nous designons ses composantes par le meme caractere (italique et non-
gras) affecte d’indices inferieurs x, y et z. Ainsi, les composantes du vecteur
vitesse v sont designees par vx, vy et vz et celles de l’acceleration a par ax, ay
et az.
Lorsque les equations deviennent plus compliquees, il devient tres long
d’ecrire les trois termes d’une somme telle que (1.1) ; on emploie plutot le
6 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton
signe de sommation∑
suivi d’un seul terme. La notation de l’equation (1.1)
ne se prete pas a ce raccourci. Pour cette raison, j’utiliserai parfois r1, r2 et r3
a la place de x, y et z pour designer les composantes de r, et e1, e2 et e3 a la
place de x, y et z pour designer les trois vecteurs. Nous definissons donc
r1 = x, r2 = y, r3 = z,
et
e1 = x, e2 = y, e3 = z.
(Le symbole e est couramment utilise pour les vecteurs unitaires car e
represente « eins » en allemand, ce qui signifie « un »). Avec ces notations,
l’equation (1.1) devient
r = r1e1 + r2e2 + r3e3 =
3∑
i=1
riei. (1.3)
Dans le cas d’une equation simple telle que celle-ci, la forme (1.3) ne presente
par de reel avantage par rapport a (1.1). Dans le cas d’equations plus com-
pliquees en revanche, la forme (1.3) est beaucoup plus pratique et je l’utiliserai
lorsqu’elle sera appropriee.
Operations sur les vecteurs
En mecanique, nous utilisons frequemment diverses operations mathematiques
qui peuvent etre effectuees sur les vecteurs. Si r et s sont deux vecteurs de
composantes
r = (r1, r2, r3) et s = (s1, s2, s3),
alors leur somme vectorielle (ou resultante) r + s est definie comme le vecteur
dont les composantes sont les sommes des composantes de r et s, d’ou
r + s = (r1 + s1, r2 + s2, r3 + s3). (1.4)
(Vous pouvez facilement verifier que cette regle est equivalente aux regles
habituelles du triangle ou du parallelogramme pour l’addition des vecteurs.)
Un exemple important de l’addition de vecteurs est la resultante des forces
qui agissent sur un corps : si deux forces Fa et Fb agissent en meme temps sur
un corps, leur effet est le meme que celui d’une seule force, la force resultante,
qui est simplement egale a la somme
F = Fa + Fb
selon la regle d’addition vectorielle (1.4).
Si c est une grandeur scalaire (c’est-a-dire un nombre ordinaire) et r un
vecteur, le produit cr est defini par
cr = (cr1, cr2, cr3). (1.5)
Section 1.2 L’espace et le temps 7
Cela signifie que cr est un vecteur de meme direction1 que r et de module egal
au module de r multiplie par c. Si par exemple un corps de masse m (qui est
une grandeur scalaire) a une acceleration a (qui est un vecteur), la deuxieme
loi de Newton affirme que la resultante F des forces qui agissent sur le corps
sera toujours egale au produit ma donne par la regle (1.5).
On peut considerer deux sortes de produit de deux vecteurs. D’abord, le
produit scalaire qui, pour deux vecteurs r et s, est donne par l’une ou l’autre
des formules equivalentes :
r · s = rs cos θ (1.6)
= r1s1 + r2s2 + r3s3 =
3∑
i=1
risi (1.7)
ou r et s designent les modules des vecteurs r et s tandis que θ est l’angle
qu’ils forment. (Pour montrer que ces deux definitions sont equivalentes, voir
le probleme 1.7.) Si par exemple une force F agit sur un corps et que celui-ci
se deplace d’une petite distance dr, le travail de la force est le produit scalaire
F · dr donne par l’une ou l’autre des equations (1.6) et (1.7). Le produit scalaire
est egalement utilise pour definir le module d’un vecteur : le module (ou la
longueur) d’un vecteur r est designe par |r| ou r. En vertu du theoreme de
Pythagore, il est donne par√
r 21 + r 2
2 + r 23 . L’equation (1.7) permet egalement
de l’ecrire sous la forme
r = |r| =√
r · r. (1.8)
Le produit scalaire r · r est souvent abrege par r2.
La deuxieme sorte de produit de deux vecteurs r et s est le produit vectoriel,
qui est defini par le vecteur p = r × s de composantes
px = rysz − rzsy
py = rzsx − rxsz
pz = rxsy − rysx
(1.9)
ou, de facon equivalente,
r × s = det
x y z
rx ry rz
sx sy sz
,
ou « det » designe le determinant. L’une ou l’autre de ces definitions implique
que r × s est un vecteur perpendiculaire a r et a s, de direction donnee par la
regle de la main droite et de module rs sin θ (voir le probleme 1.15). Le produit
vectoriel joue un role important dans l’analyse du mouvement de rotation. Par
exemple, la rotation d’un corps autour de l’origine sous l’effet d’une force F
(agissant en un point r) est determinee par le moment de F par rapport a O,
defini comme le produit vectoriel Γ = r × F.
1 Bien que ce soit souvent ce que l’on dit, il faut etre prudent avec cette affirmation. En
effet, si c est une grandeur negative alors cr est de direction opposee a celle de r.
8 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton
Derivation des vecteurs
De nombreuses lois de la physique (peut-etre meme la plupart) impliquent des
vecteurs et la plupart d’entre elles impliquent des derivees de vecteurs. Il y
a tant de facons de deriver les vecteurs qu’elles constituent une sous-branche
des mathematiques appelee analyse vectorielle, dont une grande partie sera
developpee dans ce livre. Je mentionne ici seulement la plus simple, la derivee
par rapport au temps d’un vecteur qui depend du temps. Par exemple, la
vitesse v(t) d’une particule est la derivee de sa position r(t) par rapport au
temps, c’est-a-dire v = dr/dt. De meme, l’acceleration est la derivee du vecteur
vitesse par rapport au temps, a = dv/dt.
La definition de la derivee d’un vecteur est semblable a celle d’une grandeur
scalaire. Rappelons que si x(t) est une fonction scalaire de t, sa derivee est
definie par
dx
dt= lim
∆t→0
∆x
∆t
ou ∆x = x(t + ∆t) − x(t) est la variation de x lorsque l’on passe des instants
t a t + ∆t. De la meme facon, si r(t) est un vecteur qui depend de t, nous
definissons sa derivee par le vecteur
dr
dt= lim
∆t→0
∆r
∆t(1.10)
ou
∆r = r(t + ∆t) − r(t) (1.11)
est la variation correspondante de r(t). L’existence de cette limite peut bien
entendu soulever de nombreuses questions delicates. Heureusement, aucune de
ces questions ne doit nous inquieter ici : tous les vecteurs que nous rencontrons
sont derivables et vous pouvez tenir pour acquis que les limites requises
existent. En utilisant la definition (1.10), nous pouvons montrer que la derivee
des vecteurs a toutes les proprietes habituelles des derivees. Si par exemple
r(t) et s(t) sont deux vecteurs qui dependent de t, la derivee de leur somme
est le resultat prevu :
d
dt(r + s) =
dr
dt+
ds
dt. (1.12)
De meme, si r(t) est un vecteur et f(t) une fonction scalaire, la derivee du
produit f(t)r(t) est donnee par la regle de derivation d’un produit :
d
dt(fr) = f
dr
dt+
df
dtr. (1.13)
Si vous etes le genre de personne qui prend plaisir a prouver ce type de
proposition, vous pouvez montrer qu’elle se deduit de la definition (1.10).
Heureusement, si ce n’est pas votre cas, vous n’avez pas a vous en inquieter
et vous pouvez accepter ce resultat sans demonstration.
Section 1.2 L’espace et le temps 9
Un autre resultat meritant d’etre mentionne concerne les composantes
de la derivee d’un vecteur. Supposons que la position r d’une particule en
mouvement ait pour composantes x, y, z et que nous voulions determiner sa
vitesse v = dr/dt. Quand nous derivons la somme
r = xx + yy + zz, (1.14)
la regle (1.12) nous donne la somme des derivees des trois termes et la regle
de derivation du produit (1.13) donne deux termes pour chacun de ces trois
termes (par exemple dxdt x + x dx
dt pour xx). La derivee de (1.14) doit donc etre
en principe la somme de six termes. Cependant, les vecteurs unitaires x, y et
z ne dependent pas du temps ; leurs derivees par rapport au temps sont donc
nulles. Par consequent, trois des six termes sont nuls et il nous reste seulement
les trois termes suivants :
dr
dt=
dx
dtx +
dy
dty +
dz
dtz. (1.15)
En comparant ce resultat avec l’expression
v = vxx + vyy + vzz
nous en deduisons que
vx =dx
dt, vy =
dy
dtet vz =
dz
dt. (1.16)
En d’autres termes, les composantes cartesiennes de v sont simplement les
derivees des composantes correspondantes de r. C’est un resultat que nous uti-
lisons frequemment (souvent sans meme y penser) en resolvant les problemes
elementaires de mecanique. Il est important de noter ici que ce resultat est
valable parce que les vecteurs unitaires x, y et z sont constants et que leurs
derivees sont par consequent absentes de l’equation (1.15). Nous verrons que
dans la plupart des systemes de coordonnees, comme les coordonnees polaires,
les vecteurs unitaires ne sont pas constants et que, par consequent, le resultat
donne en (1.16) paraıt sensiblement moins evident. Comme nous le verrons
plus loin, lorsque les problemes necessitent d’utiliser des coordonnees non-
cartesiennes, il est beaucoup plus difficile d’ecrire les relations des vitesses et
des accelerations aux composantes de r.
Le temps
Selon la conception classique, le temps t est un parametre universel et unique
pour tous les observateurs. Cela signifie que si tous les observateurs sont
equipes d’horloges precises et correctement synchronisees, ils seront tous
d’accord sur le moment auquel survient n’importe quel evenement. Actuelle-
ment, nous savons que cette facon de voir n’est pas tout a fait correcte :
selon la theorie de la relativite, l’instant ou survient un evenement n’est pas
le meme pour deux observateurs en mouvement relatif l’un par rapport a
10 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton
l’autre. Neanmoins, dans le domaine de la mecanique classique ou les vitesses
sont beaucoup plus petites que la vitesse de la lumiere, les differences entre
les temps mesures sont completement negligeables. J’adopterai donc la no-
tion classique d’un temps universel et unique (sauf bien evidemment dans le
chapitre 15 sur la relativite). Bien que le choix de l’origine du temps (ins-
tant que nous choisissons de nommer t = 0) soit completement arbitraire, les
intervalles de temps separant les evenements sont les memes pour tous les
observateurs.
Reperes et referentiels
La plupart des problemes de mecanique classique impliquent le choix (explicite
ou implicite) d’un systeme de reference, c’est-a-dire le choix d’une origine
spatiale et d’axes qui constituent le repere permettant de determiner les
positions (comme dans la figure 1.1) ainsi que le choix d’une origine temporelle
permettant de mesurer le temps. Les differences entre deux systemes peuvent
etre mineures. Ils peuvent par exemple ne pas avoir la meme origine des
temps : ce qui sera nomme t = 0 dans un systeme pourra etre nomme t′ =to 6= 0 dans un autre. Les deux systemes peuvent egalement avoir les memes
origines de l’espace et des temps mais differentes orientations des trois axes
de coordonnees. En profitant de ces differentes possibilites et en choisissant
avec soin le repere, vous pouvez parfois vous simplifier le travail. Par exemple,
dans un probleme ou l’on etudie un bloc qui glisse sur un plan incline, il est
souvent pratique de choisir un des axes dirige dans la direction de plus grande
pente du plan.
Une difference plus importante apparaıt quand les deux reperes sont en
mouvement relatif, c’est-a-dire quand l’origine de l’un se deplace par rapport
a l’autre. Nous parlons alors de referentiels differents. Nous verrons dans la
section 1.4 que tous les referentiels ne sont pas physiquement equivalents2.
Dans certains referentiels speciaux, appeles referentiels inertiels, les lois
fondamentales sont valables, sous leur forme habituelle simple. (C’est parce
que l’une de ces lois fondamentales de la mecanique, la premiere loi de Newton
dite loi d’inertie, est valable que ces referentiels sont dits inertiels.) Si un
premier referentiel est inertiel et un deuxieme est en mouvement rectiligne
accelere ou en rotation par rapport au premier, le second referentiel n’est pas
inertiel. Les lois fondamentales, et en particulier les lois de Newton, ne sont
alors pas valables sous leur forme habituelle dans le second referentiel. Nous
verrons que la distinction entre referentiels inertiels et referentiels non-inertiels
est essentielle dans notre etude de la mecanique classique. Elle joue un role
encore plus explicite dans la theorie de la relativite.
2 Cette assertion est correcte meme dans la theorie de la relativite.
Section 1.3 Masse et force 11
1.3 Masse et force
Les concepts de masse et de force sont centraux dans la formulation de la
mecanique classique. Les definitions precises de ces grandeurs ont occupe de
nombreux philosophes de la science et font l’objet de traites savants. Heureuse-
ment, nous n’avons pas a trop nous inquieter de ces questions delicates ici.
Vos cours d’introduction a la physique generale vous ont normalement donne
une idee suffisante de ce que les notions de masse et de force signifient et il
est aise de decrire comment ces grandeurs sont definies et mesurees dans de
nombreuses situations realistes.
Masse
La masse d’un corps caracterise son inertie, c’est-a-dire sa resistance a
l’acceleration : un gros rocher est difficile a accelerer — sa masse est grande ;
une petite pierre est facile a accelerer — sa masse est petite. Pour rendre cette
notion quantitative, nous devons definir une unite de masse et proposer une
methode pour mesurer la masse d’un corps en la comparant a cette unite.
L’unite internationalement acceptee de la masse est le kilogramme (kg), defini
arbitrairement comme la masse d’un prototype etalon en platine–iridium con-
serve au Bureau International des Poids et Mesures a Breteuil pres de Paris.
Pour mesurer la masse d’un autre corps, nous avons besoin d’une methode
de comparaison des masses. En principe, cela peut etre realise a l’aide une
balance d’inertie, representee sur la figure 1.2. Les deux corps a comparer
sont fixes aux deux extremites d’une tige legere et rigide. Une traction impor-
tante est ensuite exercee au centre de la tige. Si les masses sont egales, elles
acquierent la meme acceleration et la tige se deplace sans subir de rotation.
Si en revanche les masses ne sont pas egales, la plus grande acquiert une
acceleration plus faible et la tige se deplace en subissant une rotation.
forcecorde
tige
m1
m2
Figure 1.2 Une balance d’inertie compare les masses m1 et
m2 de deux corps fixes aux extremites d’une tige rigide. Les
masses sont egales si et seulement si une force appliquee
au milieu de la tige leur donne la meme acceleration, de
maniere a ce que la tige ne tourne pas.
12 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton
Ce qui est remarquable dans la balance d’inertie c’est qu’elle offre une
methode de comparaison des masses qui est basee directement sur la notion
de masse comme resistance a l’acceleration. En pratique, une balance d’inertie
est un instrument tres difficile a utiliser. Nous disposons heureusement d’autres
methodes pour comparer les masses, la plus facile etant celle qui consiste a
peser les corps. Comme vous devez certainement vous le rappeler, a partir de
vos cours d’introduction a la physique, la masse d’un corps est exactement
proportionnelle a son poids3 (la force de gravitation exercee sur le corps),
pourvu que toutes les mesures soient faites au meme endroit. Ainsi, deux
corps ont la meme masse si et seulement si leurs poids sont egaux (s’ils sont
peses au meme endroit). Une maniere simple et pratique de verifier si les deux
masses sont egales consiste donc simplement a les peser et a voir si leurs poids
sont egaux.
En disposant de methodes pour comparer les masses, nous pouvons facile-
ment mettre au point un systeme permettant de mesurer la masse d’un corps
quelconque. Nous pouvons d’abord realiser un grand nombre de copies du
kilogramme etalon, en utilisant une balance d’inertie ou une balance de poids.
Nous pouvons ensuite realiser des multiples et des sous-multiples du kilo-
gramme, chacun verifie avec la balance, obtenant ainsi des poids marques.
(Nous verifions l’equilibre d’une masse de 2 kg avec deux masses de 1 kg a
l’aide de la balance, l’equilibre de deux masses de 1/2 kg avec la masse de 1 kg
et ainsi de suite.) Enfin, pour mesurer une masse inconnue, il suffit de la placer
sur l’un des plateaux de la balance et de placer sur l’autre plateau des masses
marquees jusqu’a etablir l’equilibre a la precision desiree.
Force
La notion courante de force comme une poussee ou une traction est, de facon
surprenante, un bon point de depart pour la discussion de cette notion. Nous
sommes certainement conscients des forces que nous exercons nous-memes sur
les corps. Quand je porte un sac de ciment, je suis bien conscient d’exercer
une force ascendante sur le sac. Quand je pousse une caisse lourde sur un
plancher rugueux, je sens que j’exerce une force horizontale importante dans
la direction du mouvement. Il est peut-etre plus difficile d’identifier les forces
exercees par des objets inanimes et nous devons pour y parvenir aller chercher
dans les lois de Newton. Si je laisse tomber le sac de ciment, il s’accelere
vers le sol. Je peux en conclure qu’il doit etre soumis a une force qui le tire
vers le bas : le poids du sac, c’est-a-dire la force de pesanteur que la Terre
exerce sur lui. De la meme maniere, si je pousse la caisse sur le plancher, je
peux observer qu’elle ne s’accelere pas et j’en deduis qu’il doit y avoir une
3 Cette loi remonte aux experiences celebres de Galilee qui a montre que tous les corps
ont la meme acceleration dans le champ de pesanteur. Les premieres experiences modernes
ont ete realisees par le physicien hongrois Lorand Eotvos (1848–1919) ; elles ont montre
que le poids etait proportionnel a la masse avec une precision de l’ordre de 10−9. Des
experiences dans les dernieres decennies ont verifie cette egalite a 10−12 pres.
Section 1.3 Masse et force 13
pivot1
bras du levier
F2 = 2 N
F1 = 1 N
2
0
0
Figure 1.3 Une des nombreuses methodes pour mesurer une
force. Le dynamometre inferieur est etalonne pour indiquer
1 N. Si la position du pivot du levier a gauche est telle que le
rapport du bras superieur au bras inferieur est 1/2 et si la force
F1 est de 1 N, alors la force F2 qui realise l’equilibre est de 2 N.
Ceci permet d’etalonner le dynamometre superieur pour 2 N.
En modifiant la position du pivot, nous pouvons, en principe,
etalonner le deuxieme dynamometre pour lire n’importe quelle
force.
autre force (de frottement) qui agit sur la caisse dans la direction opposee
au deplacement. Le savoir-faire le plus important d’un etudiant en mecanique
elementaire consiste a bien examiner l’environnement d’un corps et a identifier
toutes les forces exercees sur le corps. Quels sont les objets qui le touchent et
qui peuvent exercer des forces de contact , comme le frottement ou la pression
atmospherique ? Quels sont les objets proches qui peuvent exercer des forces
d’action a distance, comme la force de gravitation de la Terre ou la force
electrostatique d’un corps charge ?
En acceptant que nous sachions identifier les forces, il nous reste a decider
comment les mesurer. Comme unite de force, nous adoptons naturellement le
newton (N), defini comme la force qui, agissant sur une masse de 1 kg, lui
donne une acceleration de 1 m/s2. Apres avoir defini l’unite de force, nous
pouvons utiliser plusieurs methodes pour mesurer une force, toutes donnant
bien evidemment le meme resultat final. La methode que preferent sans doute
la plupart des philosophes de la science consiste a se baser sur la seconde loi
de Newton pour definir la force generale. Par exemple, une force donnee est
de 2 N si elle imprime une acceleration de 2 m/s2 a un corps de 1 kg et ainsi
de suite. Ce n’est pas la facon habituelle de proceder pour mesurer les forces4.
Pour la discussion qui nous concerne, une procedure plus simple consiste a
4 Cette approche pourrait laisser penser que la deuxieme loi de Newton est simplement
une consequence de la definition de la force. Ce n’est pas tout a fait vrai : quelle que soit
la definition adoptee pour la force, une grande partie du contenu de la deuxieme loi de
Newton est experimentale. Un avantage de la determination des forces par le dynamometre
est qu’elle separe la definition de la force de la base experimentale de la deuxieme loi.
Evidemment, toutes les definitions admises pour la force donnent le meme resultat final
quelle que soit la force.
14 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton
utiliser un dynamometre (qui determine la force a partir de l’allongement
d’un ressort qu’elle provoque). En utilisant notre definition du newton, nous
pouvons etalonner un premier dynamometre pour indiquer 1 N. Nous pouvons
ensuite monter ce premier dynamometre avec un deuxieme aux extremites
d’un levier (voir la figure 1.3), ce qui nous permet de definir des multiples et
des sous-multiples du newton, en changeant la position du pivot. Il est ainsi
possible, en principe, de mesurer n’importe quelle force inconnue en la faisant
agir sur ce dynamometre etalonne et en lisant la valeur indiquee.
Nous avons jusqu’a present uniquement defini le module d’une force.
Comme vous devez deja le savoir, une force est un vecteur et nous devons
egalement definir sa direction. Ceci peut etre fait tres simplement de la facon
suivante : si une seule force F est appliquee a un corps initialement au repos,
la direction de F est definie comme la direction de l’acceleration resultante,
c’est-a-dire la direction du mouvement du corps. Maintenant que nous savons,
du moins en principe, ce qu’on entend par position, temps, masse et force,
nous pouvons commencer a discuter la pierre angulaire de notre sujet : les
trois lois du mouvement de Newton.
1.4 Premiere et deuxieme lois de Newton, referentiels
inertiels
Dans ce chapitre, je vais m’interesser aux lois de Newton appliquees a une
masse ponctuelle. Une masse ponctuelle, ou particule, est une idealisation
commode : c’est un corps qui a une masse, mais des dimensions negligeables,
et qui peut se deplacer dans l’espace sans avoir de degres de liberte internes.
Il peut avoir une energie cinetique « de translation » (energie liee a son
mouvement dans l’espace) mais il n’a aucune energie cinetique de rotation,
de vibration ou de deformation internes. Evidemment, les lois du mouvement
sont plus simples pour une particule ponctuelle que pour un corps etendu et
c’est la raison pour laquelle nous commencons par l’etude du mouvement des
particules. Je construirai plus loin la mecanique des corps etendus a partir de
la mecanique des particules ponctuelles en considerant un corps etendu comme
l’ensemble d’un grand nombre de particules.
Il faut reconnaıtre neanmoins que dans de nombreux problemes importants
les corps que l’on etudie peuvent etre approches de maniere tres realiste par des
masses ponctuelles. Les particules atomiques et sous-atomiques peuvent sou-
vent etre assimilees a des masses ponctuelles. Meme des objets macroscopiques
comme une pierre lancee du haut d’une falaise ou une planete orbitant autour
du Soleil peuvent, dans la plupart des situations, etre considerees comme des
particules ponctuelles. Ainsi, la mecanique des masses ponctuelles n’est pas
seulement un point de depart pour la mecanique des corps etendus ; c’est un
sujet qui a lui-meme beaucoup d’interet.
Les deux premieres lois de Newton sont bien connues et peuvent etre
facilement enoncees :
Section 1.4 Premiere et deuxieme lois de Newton, referentiels inertiels 15
Premiere loi de Newton (loi d’inertie)
En l’absence de forces, une particule se deplace avec une vitesse v
constante.
Deuxieme loi de Newton
Si des forces agissent sur une particule de masse m, la resultante F de
ces forces est toujours egale a la masse m multipliee par l’acceleration de
la particule :
F = ma. (1.17)
Dans cette equation, F est la somme vectorielle de toutes les forces agissant
sur la particule et a est son acceleration :
a =dv
dt≡ v
=d2r
dt2≡ r.
Ici, v designe la vitesse de la particule et j’ai introduit la notation commode
des symboles pointes pour designer leurs derivees par rapport au temps t,
comme dans v = r et a = v = r.
Les deux lois de Newton peuvent etre enoncees de plusieurs facons
equivalentes. Par exemple, un autre enonce de la premiere loi est : « en
l’absence de forces, une particule immobile demeure immobile et une particule
en mouvement continue a se deplacer avec la meme vitesse et dans la meme
direction ». Ceci revient exactement, bien entendu, a dire que la vitesse v est
toujours constante. Comme v est constante si et seulement si l’acceleration a
est nulle, un enonce encore plus compact de la premiere loi est : « en l’absence
de forces, une particule a une acceleration nulle ».
La deuxieme loi peut etre reformulee en terme de quantite de mouvement
de la particule, definie par
p = mv. (1.18)
En mecanique classique, nous supposons que la masse m d’une particule ne
change pas, ce qui donne
p = mv = ma.
La deuxieme loi (1.17) peut donc etre ecrite sous la forme
F = p. (1.19)
16 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton
En mecanique classique, les deux formes (1.17) et (1.19) de la deuxieme loi
sont exactement equivalentes5.
Equations differentielles
Ecrite sous la forme mr = F, la deuxieme loi de Newton est une equation
differentielle pour la position r de la particule. Cela revient a dire que c’est
une equation pour la fonction inconnue r(t) qui implique les derivees de la
fonction inconnue. Presque toutes les lois de la physique sont, ou peuvent etre,
ecrites comme des equations differentielles, et un physicien passe beaucoup de
temps a resoudre ces equations. La plupart des problemes dans ce livre font
intervenir des equations differentielles, que ce soit l’expression de la deuxieme
loi de Newton ou les equations equivalentes de la formulation lagrangienne ou
hamiltonienne de la mecanique. Ces equations peuvent etre de difficultes tres
variees. Certaines sont si faciles a resoudre qu’elles passent presque inapercues.
Si par exemple une particule est libre de se deplacer le long de l’axe des x et
qu’elle est soumise a une force constante Fo, la deuxieme loi de Newton s’ecrit
x(t) =Fo
m.
C’est une equation differentielle du second ordre pour x comme une fonction
de t. (Elle est du second ordre parce qu’elle implique des derivees jusqu’au
second ordre mais non d’ordre superieur.) Pour la resoudre, il suffit d’integrer
deux fois. La premiere integration donne la vitesse
x(t) =
∫
x(t) dt = vo +Fo
mt
ou la constante d’integration vo est la vitesse initiale de la particule. Une
deuxieme integration donne la position :
x(t) =
∫
x(t) dt = xo + vot +Fo
2mt2
ou la deuxieme constante d’integration xo est la position initiale de la par-
ticule. La solution de l’equation differentielle x(t) = Fom est si facile que nous
n’avons besoin d’aucune connaissance approfondie de la theorie des equations
differentielles. Cependant, nous rencontrerons dans la suite de ce livre un
bon nombre d’equations qui exigent une connaissance de cette theorie. Je
presenterai la theorie necessaire lorsque nous en aurons besoin. Evidemment,
ce serait un avantage si vous connaissiez les fondements de la theorie des
equations differentielles, mais vous n’aurez aucune difficulte a les apprendre
5 En relativite, les deux formes (1.17) et (1.19) de la deuxieme loi ne sont pas
equivalentes, comme nous le verrons dans le chapitre 15. Le choix entre ces deux formes
pour ecrire correctement la deuxieme loi depend des definitions que l’on donne a la force,
la masse et la quantite de mouvement en relativite. Si nous adoptons les definitions les plus
couramment utilisees de ces trois grandeurs, c’est la forme (1.19) qui est valable.
Section 1.4 Premiere et deuxieme lois de Newton, referentiels inertiels 17
en progressant dans ce texte. En effet, nombre d’entre nous considerent que
la meilleure facon d’apprendre ce genre de theories mathematiques est de les
apprendre dans le contexte de leurs applications physiques.
Referentiels inertiels
A premiere vue, la deuxieme loi de Newton inclut la premiere : si aucune force
n’agit sur un corps, alors F = 0 et la deuxieme loi (1.17) implique que a = 0, ce
qui n’est autre que la premiere loi. Il y a cependant une importante subtilite
et la premiere loi a un role important a jouer. Les lois de Newton ne peuvent
pas etre vraies dans tous les referentiels imaginables. Pour le comprendre,
considerons uniquement la premiere loi et imaginons un referentiel, que nous
appelleront S, dans lequel cette loi est vraie. Si, par exemple, l’origine et
les axes du referentiel S sont fixes par rapport a la surface de la Terre, la
premiere loi (la loi d’inertie) est valable dans le referentiel S a une tres bonne
approximation pres. Par exemple, un palet qui peut glisser sans frottement
sur une surface horizontale lisse se deplace avec une vitesse constante si la
resultante des forces auxquelles il est soumis est nulle. Puisque la loi d’inertie
est valable, nous disons que S est un referentiel inertiel (ou galileen). Si nous
considerons un deuxieme referentiel S′ qui se deplace par rapport a S avec
une vitesse constante sans subir de rotation, nous observons que ce meme
palet glisse egalement avec une vitesse constante par rapport a S′ (sans que
les vitesses du corps dans S et S′ soient les memes). Le referentiel S
′ est donc
egalement un referentiel inertiel.
Si maintenant nous considerons un troisieme referentiel S′′ qui est accelere
par rapport a S, le palet observe dans S′′ est vu comme accelere (dans la
direction opposee). La loi d’inertie n’est donc pas valable dans le referentiel
accelere S′′ et nous disons que S
′′ est non-inertiel. Je tiens a souligner qu’il
n’y a rien de mysterieux dans ce resultat qui est un fait experimental. Le
referentiel S′ pourrait etre un referentiel lie a un train a grande vitesse roulant
a vitesse constante sur une voie rectiligne et le palet qui glisse sans frottement
pourrait etre un glacon sur le plancher du train (voir la figure 1.4). Observe
dans le train (referentiel S′), le glacon est au repos et reste au repos en
accord avec la premiere loi. Vu par un observateur au sol (le referentiel S), le
glacon se deplace avec la meme vitesse que le train et continue avec la meme
vitesse constante, encore en accord avec la premiere loi. Supposons maintenant
que la meme experience soit realisee dans un deuxieme train (referentiel S′′)
qui accelere vers l’avant. Le glacon observe dans S′′ est alors accelere vers
l’arriere, bien qu’il ne soit soumis a aucune force resultante. Le referentiel S′′
est clairement non-inertiel et aucune des deux premieres lois de Newton n’est
valable dans S′′. On arriverait a la meme conclusion si le referentiel S
′′ etait
lie a un manege tournant. Le palet glissant sans frottement, soumis a aucune
force, ne se deplacerait pas en ligne droite dans S′′ et les lois de Newton ne s’y
appliqueraient donc pas.
18 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton
v = const' v ≠ const "
"'
Figure 1.4 Le referentiel S est lie au sol et le referentiel S′ est lie a
un train qui roule avec une vitesse v′ par rapport a S. Un glacon,
place sur le plancher du train, obeit a la premiere loi de Newton
qu’il soit observe dans S ou dans S′. Si le referentiel S
′′ est lie a
un train accelere vers l’avant, le glacon place sur le plancher de
S′′ est accelere vers l’arriere et la premiere loi n’est pas valable.
Apparemment donc, les deux lois de Newton sont valables uniquement dans
les referentiels inertiels (non animes d’accelerations rectilignes et non tour-
nants). La plupart des philosophes de la science considerent que la premiere
loi devrait etre utilisee pour identifier ces referentiels inertiels : un referentiel S
est inertiel si les corps qui ne sont soumis a aucune force se deplacent avec une
vitesse constante par rapport a S.6 Ayant identifie les referentiels inertiels au
moyen de la premiere loi de Newton, nous pouvons alors affirmer comme un
fait experimental que la deuxieme loi est valable dans ces memes referentiels
inertiels7.
Les lois du mouvement n’etant valables que dans les referentiels inertiels,
vous etes en droit de penser que notre attention pourrait se concentrer ex-
clusivement sur ces derniers ; c’est ce que nous allons faire pour le moment.
Neanmoins, vous devez avoir conscience que nous allons rencontrer des situa-
tions ou il est necessaire, ou du moins tres pratique, d’utiliser des referentiels
non-inertiels. L’exemple le plus important de tels referentiels est celui de la
Terre elle-meme. A une excellente approximation pres, un referentiel lie a la
Terre est inertiel — heureusement pour les etudiants de physique ! Neanmoins,
la Terre fait un tour par jour autour de son axe, un tour par an autour du
Soleil et le Soleil lui-meme orbite lentement autour du centre de notre galaxie la
6 On risque ici de tourner en rond : comment savoir si un corps n’est soumis a aucune
force ? Il vaut mieux ne pas repondre en disant : « parce qu’il se deplace a vitesse
constante » ! Cependant, on peut heureusement repondre en argumentant qu’il est possible
d’identifier toutes les sources de force : par exemple des personnes qui peuvent pousser
ou tirer ce corps ou encore d’autres corps proches et massifs qui peuvent exercer sur ce
corps des forces de gravitation. S’il n’y a aucune de ces sources autour, nous pouvons
raisonnablement affirmer que le corps n’est soumis a aucune force.7 Comme je l’ai mentionne precedemment, considerer la deuxieme loi comme un fait
experimental depend de la facon de definir la force. Si nous definissons la force par la
deuxieme loi, alors dans une certaine mesure la deuxieme loi devient une question de
definition. Si nous definissons les forces au moyen d’un dynamometre, alors la deuxieme loi
est clairement une proposition verifiable experimentalement.
Section 1.5 Troisieme loi et conservation de la quantite de mouvement 19
Voie Lactee. Pour toutes ces raisons, un referentiel lie a la Terre n’est pas exac-
tement inertiel. Bien que ces effets soient tres faibles, plusieurs phenomenes
sont plus simplement analyses en tenant compte du caractere non-inertiel d’un
referentiel lie a la Terre. Les marees et la trajectoire des projectiles a longue
portee en sont des exemples. Nous examinerons au chapitre 9 comment les lois
du mouvement doivent etre modifiees pour etre utilisees dans les referentiels
non-inertiels. Pour le moment cependant, nous allons limiter notre discussion
aux referentiels inertiels.
Validite des deux premieres lois
Depuis le developpement de la relativite et de la mecanique quantique, nous
savons que les lois de Newton ne sont pas toujours valables. Neanmoins, il
existe un grand nombre de phenomenes pour lesquels les deux premieres lois
sont exactes pour tous les resultats pratiques : ce sont les phenomenes de la
physique classique. Meme si les vitesses approchent la vitesse de la lumiere c et
que la relativite devient importante, la premiere loi reste exacte. (En relativite
comme en mecanique classique, un referentiel inertiel est par definition un
referentiel dans lequel la premiere loi est valable8.) Comme nous le verrons
dans le chapitre 15, les deux formes F = ma et F = p de la deuxieme loi ne
sont plus equivalentes en relativite. Toutefois, si F et p sont convenablement
definies, la deuxieme loi ecrite sous la forme F = p reste valable. Quoi qu’il
en soit, voici ce qu’il est important de retenir : dans le domaine classique,
nous pouvons supposer et nous supposerons que les deux premieres lois (la
seconde sous l’une ou l’autre des formes F = ma et F = p) sont exactement
et universellement valables. Vous pouvez, si vous le souhaitez, considerer cela
comme la definition d’un modele — le modele classique — du monde naturel.
Ce modele est logiquement coherent et il fournit une si bonne representation
de nombreux phenomenes physiques qu’il est amplement digne de notre etude.
1.5 Troisieme loi et conservation de la quantite de
mouvement
Les deux premieres lois de Newton concernent la reponse d’un seul corps aux
forces qui lui sont appliquees. La troisieme loi aborde une question differente :
chaque force exercee sur un objet implique inevitablement un deuxieme objet,
celui qui exerce la force. Le clou est frappe par le marteau, la charrette est
tiree par le cheval et ainsi de suite. C’est sans doute une question de bon sens,
mais la troisieme loi depasse largement notre experience quotidienne. Newton
s’est rendu compte que, si un corps 1 exerce une force sur un autre corps 2,
8 Cependant, en relativite, la relation entre differents referentiels inertiels (appelee
transformation de Lorentz ) est differente de celle de la mecanique classique. Voir la
section 15.6.
20 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton
F12 = −F21
F21
1
2
Figure 1.5 La troisieme loi de Newton affirme que
la force de reaction exercee sur le corps 1 par le
corps 2 est de meme module que la force exercee
sur le corps 2 par le corps 1 et de direction opposee,
c’est-a-dire F12 = −F21.
alors le corps 2 exerce une force, dite force de « reaction », sur le corps 1. Cela
semble normal : si vous exercez une forte pression sur un mur, il est evident
que le mur exerce une force sur vous, sinon vous tomberiez vers l’avant. Ce
que la troisieme loi affirme et qui depasse nos perceptions habituelles est ceci :
la force de reaction du corps 2 sur le corps 1 est toujours l’opposee de la force
qu’exerce le corps 1 sur le corps 2 (c’est-a-dire les deux forces ont le meme
module, la meme direction mais des sens opposes). Si nous notons F21 la force
exercee par le corps 1 sur le corps 2, la troisieme loi de Newton peut etre
enoncee d’une maniere compacte :
Troisieme loi de Newton
Si un corps 1 exerce une force F21 sur le corps 2, alors le corps 2 exerce
une force de reaction F12 sur le corps 1, donnee par
F12 = −F21. (1.20)
Cet enonce est illustre sur la figure 1.5 ou les corps 1 et 2 pourraient representer
la Terre et la Lune ou le proton et l’electron dans l’atome d’hydrogene. Il faut
noter que cette figure va reellement au-dela de l’enonce habituel (1.20) de la
troisieme loi : elle montre non seulement que les deux forces sont de meme
module et de directions opposees mais egalement qu’elles agissent suivant la
ligne qui joint les deux corps a la limite ou ils sont ponctuels. Des forces qui
ont cette propriete supplementaire sont dites forces centrales. La troisieme
loi n’exige pas reellement que les forces soient centrales mais, comme nous le
verrons plus tard, la plupart des forces que nous rencontrons (la gravite, la
force electrostatique entre deux charges, etc.) ont cette propriete.
Comme Newton lui-meme le savait bien, la troisieme loi est intimement liee
a la loi de la conservation de la quantite de mouvement. Considerons d’abord
seulement deux corps, comme sur la figure 1.6 qui pourrait illustrer la Terre
et la Lune ou deux patineurs sur glace. En plus de la force qu’exerce chaque
corps sur l’autre, il peut y avoir des forces « externes », exercees par d’autres
Section 1.5 Troisieme loi et conservation de la quantite de mouvement 21
F12
F2ext
F1ext
F21
1
2
Figure 1.6 Deux corps exercent des forces l’un sur
l’autre et peuvent aussi etre soumis a des forces « ex-
ternes », exercees par d’autres objets non illustres.
corps. La Terre et la Lune subissent toutes les deux les forces exercees par
le Soleil et les deux patineurs pourraient subir la force externe du vent. J’ai
represente les resultantes des forces externes sur les deux corps par Fext1 et
Fext2 . La resultante des forces agissant sur le corps 1 est alors
(resultante des forces sur 1) ≡ F1 = F12 + Fext1
et, de meme,
(resultante des forces sur 2) ≡ F2 = F21 + Fext2 .
Nous pouvons alors calculer les taux de variation des quantites de mouvement
des particules en utilisant la deuxieme loi de Newton :
p1 = F1 = F12 + Fext1 (1.21)
et
p2 = F2 = F21 + Fext2 . (1.22)
Si nous definissons la quantite de mouvement totale des deux corps par
P = p1 + p2,
alors le taux de variation de la quantite de mouvement totale est simplement
P = p1 + p2.
Pour l’evaluer, il suffit d’ajouter les equations (1.21) et (1.22). Alors les deux
forces internes F12 et F21 s’eliminent en vertu de la troisieme loi de Newton et
il nous reste
P = Fext1 + Fext
2 ≡ Fext (1.23)
ou Fext designe la resultante des forces externes sur le systeme de deux
particules.
Le resultat (1.23) est le premier d’une serie de resultats importants qui
nous permettent de construire une theorie des systemes de plusieurs particules
22 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton
a partir des lois fondamentales etablies pour une seule particule. Il affirme que
les forces internes n’ont aucun effet sur la quantite de mouvement totale d’un
systeme. Dans le cas particulier d’un systeme isole ou soumis a des forces de
resultante nulle (Fext = 0), nous trouvons P = 0, ce qui nous donne ce resultat
important :
si Fext = 0, alors P = constante. (1.24)
En l’absence de forces externes, la quantite de mouvement totale du systeme
de deux particules est constante au cours du temps. Ce resultat est appele
principe de conservation de la quantite de mouvement .
Systemes de plusieurs particules
Nous venons d’etablir la loi de conservation de la quantite de mouvement
pour un systeme de deux particules (1.24). La generalisation de ce resultat
aux systemes constitues d’un nombre quelconque de particules ne pose en
principe aucune difficulte. Je voudrais cependant la detailler car cela me
permet d’introduire une notation importante et cela vous entraınera a utiliser
le symbole de sommation. Considerons un systeme de N particules. Je designe
une particule par un indice grec α ou β, chacun pouvant prendre les valeurs
1, 2, . . . , N . La masse de la particule α est mα et sa quantite de mouvement
est pα. La force agissant sur la particule α est assez compliquee : chacune des
autres (N − 1) particules peut exercer une force que j’appelle Fαβ, la force de
β sur α, comme indique sur la figure 1.7. En outre, il peut y avoir des forces
externes, dont la resultante sur la particule α est Fextα . Ainsi, la force totale
sur la particule α est
(resultante des forces sur la particule α) = Fα =∑
β 6=α
Fαβ + Fextα . (1.25)
F
αF ext
α
α
β
Figure 1.7 Systeme de cinq particules designees par α
ou β = 1, 2, . . . , 5. La particule α est soumise a quatre
forces internes Fαβ (qu’exercent les particules β sur α),
representees par des fleches pleines. La particule α peut
egalement etre soumise a des forces externes dont la
resultante Fextα est representee par la fleche en pointilles.
Section 1.5 Troisieme loi et conservation de la quantite de mouvement 23
Ici la somme porte sur toutes les valeurs de β differentes de α (il faut se
rappeler qu’il n’y a aucune force Fαα parce que la particule α ne peut pas agir
sur elle-meme). Selon la deuxieme loi de Newton, Fα est le taux de variation
de pα :
pα =∑
β 6=α
Fαβ + Fextα . (1.26)
Ce resultat est valable pour α = 1, . . . , N .
Considerons maintenant la quantite de mouvement totale du systeme de
N particules :
P =∑
α
pα
ou la somme porte evidemment sur les N particules α = 1, 2, . . . , N . En
derivant cette relation par rapport au temps, nous trouvons
P =∑
α
pα
ou bien, en substituant l’expression (1.26) de pα,
P =∑
α
∑
β 6=α
Fαβ +∑
α
Fextα . (1.27)
La somme double contient N(N − 1) termes. Chaque terme Fαβ dans cette
somme peut etre associe a un autre terme Fβα (c’est-a-dire F12 associe a F21
et ainsi de suite), de sorte que
∑
α
∑
β 6=α
Fαβ =∑
α
∑
β>α
(Fαβ + Fβα). (1.28)
La somme double du second membre comprend seulement des valeurs de α et
β telles que β > α et comporte deux fois moins de termes que la somme du
premier membre. Mais chaque terme est la somme de deux forces (Fαβ + Fβα)
et, en vertu de la troisieme loi, chacune de ces sommes est nulle. Par consequent
la somme double de (1.28) est nulle. L’equation (1.27) s’ecrit donc
P =∑
α
Fextα ≡ Fext. (1.29)
Le resultat (1.29) est une generalisation de la relation (1.23) a un nombre
quelconque de particules. Il indique egalement que les forces internes n’ont
aucun effet sur la variation de la quantite de mouvement totale P. Le taux de
variation de P est determine uniquement par la resultante des forces externes
agissant sur le systeme. En particulier, dans le cas ou cette resultante est nulle,
on trouve P = 0, d’ou le
24 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton
Principe de conservation de la quantite de mouvement :
Si la resultante des forces externes Fext agissant sur un systeme de N
particules est nulle, la quantite de mouvement totale P de ce systeme est
conservee.
Comme vous devez certainement le savoir, cette loi est l’une des plus
importantes de la physique classique et elle est egalement valable en mecanique
quantique et en relativite. Si vous n’etes pas familier avec les manipulations de
sommations que nous avons effectuees, il est conseille de detailler les arguments
menant de l’equation (1.25) a l’equation (1.29) dans le cas de trois ou quatre
particules, en ecrivant toutes les sommes explicitement (voir les problemes 1.28
et 1.29). Vous pouvez egalement vous convaincre du fait que, reciproquement,
si le principe de conservation de la quantite de mouvement est valable pour
tous les systemes de plusieurs particules, la troisieme loi de Newton doit etre
vraie (probleme 1.31). En d’autres termes, la conservation de la quantite de
mouvement et la troisieme loi de Newton sont equivalentes l’une a l’autre.
Validite de la troisieme loi de Newton
En physique classique, la troisieme loi, tout comme la seconde loi, est si
bien verifiee experimentalement qu’elle peut etre consideree comme une loi
exacte de la nature. Cependant, quand les vitesses deviennent proches de la
vitesse de la lumiere, il est facile de voir que la troisieme loi ne peut plus etre
valable. En effet, cette loi affirme que les forces d’action et de reaction, F12(t)
et F21(t), mesurees au meme instant t , sont opposees. Comme vous le savez
certainement, dans les conditions ou la relativite est importante, le concept
d’un temps unique et universel doit etre abandonne : deux evenements qui sont
vus comme simultanes par un observateur sont en general non simultanes s’ils
sont vus par un autre observateur. Ainsi, meme si l’egalite F12(t) = −F21(t)
(ou les instants sont les memes) etait vraie pour un observateur, elle serait
generalement fausse pour un autre. Par consequent, la troisieme loi ne peut
pas etre valable dans le cadre de la relativite.
Assez etonnamment, il existe un exemple simple de force bien connue,
la force magnetique d’interaction entre deux charges en mouvement, pour
laquelle la troisieme loi de Newton n’est pas exactement valable, meme aux
faibles vitesses. Pour le verifier, considerons les deux charges positives de la
figure 1.8, avec q1 se deplacant dans la direction de Ox et q2 se deplacant dans
la direction de Oy. L’expression exacte du champ magnetique produit par
chaque charge est compliquee mais un argument simple permet de determiner
les directions correctes des deux champs et cela nous suffit. La charge mobile
q1 est equivalente a un courant dirige dans la direction de Ox. La regle de la
main droite pour les champs magnetiques montre que le champ qu’elle produit
a proximite de q2 est dirige selon Oz. La regle de la main droite pour les forces
montre alors que ce champ produit sur q2 une force F21 dirigee selon Ox. Un
Section 1.5 Troisieme loi et conservation de la quantite de mouvement 25
v2
F12
z
B (de q1)
B (de q2)
q2
q1
v1
y
x
F21
O
Figure 1.8 Chacune des charges positives en mouvement
q1 et q2 produit un champ magnetique qui exerce une
force sur l’autre. Ces forces magnetiques F12 et F21
n’obeissent pas a la troisieme loi de Newton.
raisonnement analogue (verifiez-le vous-meme) montre que la force F12 sur q1
est dirigee selon Oy, comme on peut le voir sur la figure 1.8. Il est donc clair
que ces deux forces n’obeissent pas a la troisieme loi de Newton !
Cette conclusion est particulierement surprenante car nous venons de voir
que la troisieme loi de Newton etait equivalente a la loi de conservation de
la quantite de mouvement. Apparemment, la quantite de mouvement totale
m1v1 + m2v2 des deux particules chargees de la figure 1.8 n’est pas conservee.
Cette conclusion, qui est correcte, permet de nous rappeler que la quantite de
mouvement « mecanique » mv des particules n’est pas le seul type de quantite
de mouvement. Les champs electromagnetiques peuvent egalement transporter
de la quantite de mouvement : dans la situation de la figure 1.8, la quantite de
mouvement mecanique perdue par les deux particules est justement la quantite
de mouvement electromagnetique des champs emis.
Heureusement, si les vitesses des particules sont beaucoup plus faibles que
la vitesse c de la lumiere (v ≪ c), la perte de quantite de mouvement mecanique
et la violation resultante de la troisieme loi sont totalement negligeables. Pour
le voir, notons qu’en plus de la force magnetique entre q1 et q2 s’exerce la
force electrostatique de Coulomb9, kq1q2/r2, qui elle obeit a la troisieme loi de
Newton. On peut montrer facilement (probleme 1.32) que la force magnetique
est de l’ordre de v2/c2 fois la force de Coulomb. Ainsi, c’est seulement lorsque
v est comparable a c (et c’est la que la mecanique classique doit alors ceder
la place a la relativite) que la violation de la troisieme loi par les forces
magnetiques devient importante10. On voit que la situation inattendue de la
figure 1.8 ne contredit donc pas notre affirmation selon laquelle la troisieme loi
de Newton est valable dans le domaine classique. C’est ce que nous supposerons
dans nos discussions sur la mecanique non-relativiste.
9 Ici, k est la constante de force de Coulomb, souvent ecrite comme k = 1/(4πǫo).10 La force d’interaction magnetique de deux circuits electriques n’est pas necessairement
faible, meme dans le domaine classique. On peut montrer cependant que cette force verifie
bien la troisieme loi. Voir le probleme 1.33.
26 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton
1.6 Deuxieme loi de Newton en coordonnees cartesiennes
Parmi les trois lois de Newton, celle que nous utilisons le plus souvent est
la seconde loi, souvent appelee equation du mouvement . Comme nous l’avons
vu, la premiere loi est theoriquement importante pour definir ce que nous
appelons un referentiel inertiel, mais elle n’a pas d’autres utilisations pratiques
en general. La troisieme loi est tres importante pour ecarter les forces internes
dans un systeme constitue de plusieurs particules, mais une fois les forces
impliquees connues, c’est la deuxieme loi que nous utilisons reellement pour
determiner le mouvement des corps qui nous interessent. En particulier, dans
de nombreux problemes simples, les forces sont connues ou faciles a trouver ;
la deuxieme loi est alors la seule qu’il nous faut pour resoudre le probleme.
Comme nous l’avons deja note, l’expression de la deuxieme loi
F = mr (1.30)
est une equation differentielle du second ordre11 pour le vecteur position
r en fonction du temps t. Dans un probleme typique, la resultante F des
forces est connue et notre travail consiste a resoudre l’equation (1.30) pour
determiner r(t). Parfois nous avons des informations sur r(t) et nous devons
utiliser l’equation (1.30) pour determiner certaines forces. Dans tous les cas,
l’equation (1.30) est une equation differentielle vectorielle. La maniere la plus
simple pour resoudre de telles equations est presque toujours de representer les
vecteurs par leurs composantes dans un systeme de coordonnees bien choisi.
Conceptuellement, le systeme de coordonnees le plus simple est le systeme
cartesien (ou rectangulaire) de vecteurs unitaires x, y et z. La force resultante
F s’ecrit alors
F = Fx x + Fy y + Fz z (1.31)
et le vecteur position r s’ecrit
r = x x + y y + z z. (1.32)
Comme nous l’avons note dans la section 1.2, cette expression de r en termes
de coordonnees cartesiennes est particulierement facile a deriver par rapport
au temps car les vecteurs unitaires x, y et z ne dependent pas du temps. Nous
pouvons deriver (1.32) deux fois pour avoir le resultat simple :
r = x x + y y + z z. (1.33)
Les composantes cartesiennes de r sont donc simplement les derivees secondes
des trois coordonnees x, y, et z de r et la deuxieme loi (1.30) devient
Fx x + Fy y + Fz z = mx x + my y + mz z. (1.34)
11 La force F peut parfois impliquer des derivees de r. (Par exemple, la force magnetique
sur une particule chargee en mouvement fait intervenir la vitesse v = r de la particule.) Dans
de rares cas, la force F implique des derivees de r d’ordre n > 2 ; la deuxieme loi est alors
une equation differentielle d’ordre n.
Section 1.6 Deuxieme loi de Newton en coordonnees cartesiennes 27
En comparant les composantes des deux membres de cette equation vecto-
rielle, nous trouvons que Fx doit etre egale a mx et ainsi de suite pour les
composantes y et z. En coordonnees cartesiennes, l’equation vectorielle (1.30)
est donc equivalente a trois equations dans les trois directions :
F = mr ⇐⇒
Fx = mx
Fy = my
Fz = mz.
(1.35)
Ce beau resultat montre qu’en coordonnees cartesiennes la deuxieme loi de
Newton a trois dimensions est equivalente a trois versions a une dimension
de la meme loi. Ce resultat est a la base de la solution de presque tous
les problemes simples de mecanique en coordonnees cartesiennes. Voici un
exemple de tels problemes.
EXEMPLE 1.1 Bloc glissant sur un plan incline
Un bloc de masse m initialement au repos glisse sur un plan incline d’un
angle θ par rapport a l’horizontale. En supposant que le coefficient de
frottement est µ, quelle distance aura-t-il parcouru au bout du temps t ?
Notre premiere tache consiste a choisir un systeme de reference. Nous
choisissons naturellement l’origine spatiale au point du depart du bloc
et l’origine du temps (t = 0) a l’instant de depart. Comme vous devez
vous en souvenir d’apres vos cours d’introduction a la physique, le
meilleur choix pour les axes consiste a prendre Ox dirige dans la direction
descendante de plus grande pente, Oy normal au plan et le troisieme axe
Oz horizontal et situe dans le plan incline (voir la figure 1.9). Ce choix a
deux avantages. Tout d’abord, comme le bloc glisse dans la direction de
plus grande pente, le mouvement est entierement dirige dans la direction
de Ox (seule x varie). Si nous avions choisi l’axe des x horizontal et l’axe
des y vertical, alors x et y auraient toutes les deux varie. En second
lieu, deux des trois forces s’exercant sur le bloc sont inconnues (la force
normale N et la force de frottement f , le poids w = mg etant connu).
Avec notre choix des axes, chacune des forces inconnues a seulement une
composante non nulle car N est dirigee dans la direction de la normale
Oy et f est dirigee dans la direction de Ox (dans la direction opposee au
mouvement, c’est-a-dire vers les x negatifs).
Nous pouvons a present appliquer la deuxieme loi de Newton. Le
resultat (1.35) signifie que nous pouvons analyser les trois composantes
separement comme suit.
Il n’y a aucune force dirigee dans la direction de Oz et donc Fz = 0.
Comme Fz = mz, nous en deduisons que z (ou vz) est constante et
puisque le bloc demarre sans vitesse initiale, la vitesse z est nulle a
tout instant t. De l’equation z = 0, nous deduisons que z est constante
et, puisque le bloc part de l’origine, nous en concluons que z = 0 a tout
instant t. Comme nous aurions certainement pu le deviner, le mouvement
demeure dans le plan vertical Oxy.
28 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton
y
O
x
f
N
θw = mg
Figure 1.9 Un bloc glisse sur un plan incline d’un angle θ
par rapport a l’horizontal. Les trois forces qui agissent sur
le bloc sont son poids w = mg, la reaction normale N du
plan et la force de frottement f dont le module est f = µN .
L’axe des z n’est pas represente ; il est horizontal et situe
dans le plan incline (oriente vers l’avant).
Puisque le bloc ne quitte pas le plan incline, nous savons qu’il n’y a
aucun mouvement dans la direction de Oy et que, en particulier, y = 0.
Par consequent, la deuxieme loi de Newton implique que la composante
Fy de la resultante des forces est nulle. De la figure 1.9, nous voyons que
cela implique que
Fy = N − mg cos θ = 0.
Ainsi, en projetant la deuxieme loi de Newton sur Oy, on determine
la reaction normale du plan incline N = mg cos θ tandis que la relation
f = µN determine la force de frottement f = µmg cos θ. Toutes les forces
sont maintenant determinees. Tout ce qui nous reste a faire est d’ecrire
la derniere composante (selon Ox) de la deuxieme loi pour determiner le
mouvement.
La composante de la deuxieme loi selon Ox, Fx = mx (voir la fi-
gure 1.9), implique que
wx − f = mx
ou
mg sin θ − µmg cos θ = mx.
La masse m se simplifie de cette equation et nous trouvons l’acceleration
le long de Ox :
x = g(sin θ − µ cos θ). (1.36)
Ayant determine x et montre que c’est une constante, il suffit de l’integrer
deux fois pour determiner x en fonction de t. La premiere integration
Section 1.7 Coordonnees polaires a deux dimensions 29
donne la vitesse
x = g(sin θ − µ cos θ)t.
ou nous avons utilise le fait que x = 0 pour t = 0, ce qui impose que
la constante d’integration soit nulle. La seconde integration donne la
position :
x(t) = 12g(sin θ − µ cos θ)t2
(de nouveau la constante d’integration est nulle) et nous avons entiere-
ment resolu le probleme.
1.7 Coordonnees polaires a deux dimensions
r = r
O φ
x
y
Figure 1.10 Definition des coordonnees polaires r et φ.
Bien que les coordonnees cartesiennes aient le merite d’etre simples, nous
allons voir que certains problemes sont presque impossibles a resoudre sans
utiliser des systemes de coordonnees non-cartesiennes. Pour illustrer la com-
plexite des coordonnees non-cartesiennes, considerons la forme de la deuxieme
loi de Newton dans le cas d’un mouvement a deux dimensions, en utilisant les
coordonnees polaires. Ces coordonnees sont definies sur la figure 1.10. Au lieu
d’utiliser les deux coordonnees rectangulaires x et y, nous reperons la position
d’une particule par sa distance r a l’origine O et par l’angle φ mesure a partir
de l’axe des x. Connaissant les coordonnees rectangulaires x et y, il est facile
de calculer les coordonnees polaires r et φ et reciproquement, en utilisant les
relations suivantes (assurez-vous de comprendre ces quatre equations12) :
x = r cos φ
y = r sin φ
}
←→{
r =√
x2 + y2
φ = arctan(y/x)(1.37)
Comme dans le cas des coordonnees cartesiennes, il convient d’introduire
deux vecteurs unitaires, que je noterai ici r et φ. Pour comprendre leurs
definitions, notons que nous pouvons definir le vecteur unitaire x comme le
12 Il y a une petite subtilite dans l’equation donnant φ. On doit s’assurer que φ tombe
dans le bon quadrant car le premier et le troisieme quadrants donnent les memes valeurs
pour y/x (de meme pour le deuxieme et le quatrieme quadrants). Voir le probleme 1.42.
30 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton
y
x
(a)
r
x
y
x
(b)
r
r
φ
φ
ˆ
ˆ ˆ
Figure 1.11 (a) Le vecteur unitaire x est dirige dans la direc-
tion des x croissants a y constante. (b) Le vecteur unitaire
r est dirige dans la direction des r croissants a φ constant ;
φ est dirige dans la direction des φ croissants a r constante.
Contrairement a x et y, les directions des vecteurs r et φ
changent si le vecteur position r change.
vecteur de module 1 oriente dans la direction des x croissants lorsque y est
maintenue fixe [voir la figure 1.11(a)]. D’une facon analogue, nous definirons
r comme le vecteur unitaire dirige dans la direction du deplacement lorsque r
augmente et que l’angle φ est maintenu fixe (c’est-a-dire un deplacement dans
la direction radiale). De meme, φ est le vecteur unitaire dirige dans la direction
du deplacement lorsque φ augmente et que r est maintenue fixe (c’est-a-dire
un deplacement sur le cercle de rayon r). La figure 1.11 illustre une difference
importante entre les vecteurs unitaires x et y des coordonnees cartesiennes et
les nouveaux vecteurs unitaires r et φ. Les vecteurs x et y sont les memes
en tout point du plan tandis que les directions des vecteurs r et φ changent
avec le vecteur position r. Nous verrons que cela complique l’utilisation de la
deuxieme loi de Newton en coordonnees polaires.
La figure 1.11 suggere une autre facon d’ecrire le vecteur unitaire r. Etant
dirige dans la meme direction que r et de module egal a l’unite, il peut s’ecrire :
r =r
|r| . (1.38)
Ce resultat suggere un deuxieme role pour la notation « chapeau ». Pour tout
vecteur a, nous pouvons definir a comme le vecteur unitaire dirige dans la
direction de a, c’est-a-dire a = a/|a|.Les deux vecteurs unitaires r et φ etant perpendiculaires dans notre espace
bidimensionnel, tout vecteur du plan peut etre ecrit comme une combinaison
lineaire de ces vecteurs. Ainsi, la resultante des forces F exercee sur un corps
peut etre ecrite sous la forme
F = Frr + Fφφ (1.39)
ou Fr et Fφ sont les composantes de F en coordonnees polaires. Si par exemple
le corps en question est une pierre que je fais tournoyer en cercle au bout
d’une corde (ma main etant a l’origine) alors Fr est la tension de la corde
et Fφ est la force de resistance de l’air, tangente au cercle et dirigee dans la
Section 1.7 Coordonnees polaires a deux dimensions 31
y
x
(a)
t2
1φ1φt1
r(t2)
(b)
r(t1)
r(t2)
r(t1)
1rˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
Figure 1.12 (a) Positions d’une particule a deux instants
consecutifs t1 et t2. A moins que la particule ne se deplace
exactement dans la direction radiale, les vecteurs unitaires
correspondants r(t1) et r(t2) pointent dans des directions
differentes. (b) La variation ∆r de r est la base du triangle
isocele illustre.
direction opposee au mouvement. L’expression du vecteur position r lui-meme
est particulierement simple en coordonnees polaires. D’apres la figure 1.11(b),
il est clair que
r = rr . (1.40)
Nous sommes a present prets a discuter la forme de la deuxieme loi de
Newton, F = mr, en coordonnees polaires. En coordonnees rectangulaires,
nous avons vu que la composante de r selon l’axe des x etait simplement
x, ce qui nous a conduit au resultat tres simple donne en (1.35). Nous devons
maintenant trouver les composantes de r en coordonnees polaires, c’est-a-dire
deriver la relation (1.40) deux fois par rapport a t. Bien que (1.40) soit tres
simple, le vecteur r change lorsque r varie. Aussi, quand nous derivons (1.40),
nous trouvons un terme qui fait intervenir la derivee de r. Notre premiere
tache consiste donc a trouver cette derivee.
La figure 1.12(a) illustre la position d’une particule a deux instants
consecutifs t1 et t2 = t1 + ∆t. Si les angles correspondants φ(t1) et φ(t2)
sont differents, les deux vecteurs unitaires r(t1) et r(t2) ont des directions
differentes. La variation de r est illustree sur la figure 1.12(b). Si ∆t est faible,
elle est approximativement donnee par
∆r ≈ ∆φ φ
≈ ∆φ
∆t∆t φ. (1.41)
(Notez que ∆r est perpendiculaire a r, c’est-a-dire dirige dans la direction
de φ.) En divisant les deux membres par ∆t et prenant la limite ∆t → 0 alors
∆r/∆t → dr/dt et ∆φ∆t → φ et nous trouvons :
dr
dt= φ φ. (1.42)
32 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton
(Voir le probleme 1.43 pour une autre demonstration de ce resultat important.)
Notons que la derivee dr/dt est dirigee dans la direction de φ et qu’elle est
proportionnelle au taux de variation de l’angle φ dans le temps ; ces deux
proprietes sont bien celles auxquelles on s’attend d’apres la figure 1.12.
Maintenant que nous connaissons la derivee de r, nous sommes prets a
deriver l’equation (1.40). En utilisant la regle de la derivee d’un produit, nous
obtenons deux termes :
r = rr + rdr
dt,
puis, en utilisant le resultat (1.42), nous trouvons pour la vitesse
v ≡ r = rr + rφ φ. (1.43)
De cette relation, nous pouvons tirer les composantes polaires de la vitesse :
vr = r et vφ = rφ = rω (1.44)
ou, dans la deuxieme equation, j’ai utilise la notation habituelle ω pour
la vitesse angulaire φ. Bien que les resultats donnes en (1.44) vous soient
familiers apres vos cours d’introduction a la physique, ils sont clairement
plus compliques que les resultats correspondants en coordonnees cartesiennes
(vx = x et vy = y).
Avant de pouvoir ecrire la deuxieme loi de Newton, nous devons deriver la
relation une deuxieme fois pour obtenir l’acceleration :
a ≡ r =d
dtr =
d
dt(rr + rφ φ) (1.45)
ou l’expression finale est obtenue en remplacant r par l’expression (1.43). Pour
evaluer la derivee obtenue dans (1.45), nous devons calculer la derivee de φ.
Ce calcul est totalement analogue a celui qui mene a (1.42) et il est illustre
sur la figure 1.13. En inspectant cette figure, vous devriez facilement vous
convaincre du fait que
dφ
dt= −φr. (1.46)
En retournant a l’equation (1.45), nous pouvons maintenant effectuer la
derivation pour obtenir les cinq termes suivants :
a =
(
rr + rdr
dt
)
+
(
(rφ + rφ)φ + rφdφ
dt
)
ou, si nous remplacons les derivees des deux vecteurs unitaires par les expres-
sions (1.42) et (1.46),
a =(
r − rφ2)
r +(
rφ + 2rφ)
φ. (1.47)
Cet horrible resultat est un peu plus facile a comprendre si nous considerons
le cas particulier ou la distance r est constante, comme dans le cas d’une
Section 1.7 Coordonnees polaires a deux dimensions 33
y
x
(a) (b)
1
(t2)
(t1)
‹
φ
‹
φ(t1)
‹
φ ‹
φ
(t2)
‹
φ
1φ
1φ
Figure 1.13 (a) Le vecteur unitaire φ a deux instants
consecutifs t1 et t2. (b) La variation ∆φ.
pierre que je fais tournoyer a l’extremite d’une corde de longueur fixe. Avec
r constante, les deux derivees r et r sont nulles et (1.47) se reduit a deux
termes :
a = −rφ2r + rφφ
ou
a = −rω2r + rαφ,
ou ω = φ designe la vitesse angulaire et α = φ l’acceleration angulaire. Ce
resultat familier de la physique elementaire exprime que, si une particule
decrit un cercle fixe, elle subit une acceleration « centripete » (dirigee vers
le centre) rω2 (ou v2/r) et une acceleration tangentielle rα. Dans le cas
general neanmoins, si la distance r au centre n’est pas constante, l’acceleration
comprend les quatre termes de (1.47). Le premier terme r dans la direction
radiale est bien celui auquel on s’attend si seule r change, mais le dernier
terme 2rφ dans la direction tangentielle φ est plus difficile a interpreter. Il est
appele acceleration de Coriolis et je l’aborderai en detail au chapitre 9.
Apres avoir etabli l’expression de l’acceleration (1.47), nous pouvons finale-
ment ecrire la deuxieme loi de Newton en coordonnees polaires :
F = ma ⇐⇒{
Fr = m(r − rφ2)
Fφ = m(rφ + 2rφ).(1.48)
Ces equations en coordonnees polaires n’ont pas l’admirable simplicite des
equations (1.35) en coordonnees cartesiennes. En definitive, l’une des motiva-
tions principales a prendre la peine de reformuler la mecanique newtonienne
sous forme lagrangienne (chapitre 7) est que cette derniere permet de manip-
uler des coordonnees non-cartesiennes aussi facilement que les coordonnees
cartesiennes.
On pourrait penser que la deuxieme loi de Newton en coordonnees polaires
est si compliquee que l’occasion de l’utiliser ne se presente jamais. Cependant,
il existe en fait de nombreux problemes qui sont plus faciles a resoudre en
utilisant les coordonnees polaires et je conclurai cette section en en donnant
un exemple elementaire.
34 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton
EXEMPLE 1.2 Skateboard dans un half-pipe
Le « half-pipe » des parcs de skateboards est un demi-cylindre d’axe
horizontal et de rayon R = 5 m (voir la figure 1.14). Un skateboard qui
roule sans frottement est lache sur cette piste. Discutez son mouvement
en utilisant la deuxieme loi de Newton. En particulier, si le skateboard
est lache en un point qui n’est pas tres eloigne du fond, combien de temps
faut-il pour qu’il revienne a son point de depart ?
Le skateboard etant contraint a se deplacer sur une trajectoire circu-
laire, ce probleme peut etre resolu plus facilement en coordonnees polaires
avec l’origine O au centre, comme indique sur la figure. (A un certain
point de l’analyse suivante, essayez d’utiliser les coordonnees cartesiennes
et decouvrez la difficulte que vous aurez a resoudre les equations du
mouvement.) Avec ce choix des coordonnees polaires, la coordonnee
r est constante (r = R) et la position du skateboard est entierement
determinee par l’angle φ. Comme r est constante, la deuxieme loi (1.48)
prend la forme relativement simple
Fr = −mRφ2 (1.49)
et
Fφ = mRφ. (1.50)
Les deux forces qui agissent sur le skateboard sont le poids w = mg et
la force normale a la piste N, comme illustre sur la figure 1.14. On voit
facilement que les composantes de la resultante des forces F = w + N
sont
Fr = mg cos φ − N et Fφ = −mg sin φ.
O
N
w = mg
φ
Figure 1.14 Skateboard dans un « half-pipe »de rayon R. La position du skateboard est
determinee par l’angle φ mesure a partir de
la verticale dans le sens inverse des aiguilles
d’une montre. Les deux forces qui agissent sur
le skateboard sont le poids w = mg et la force
normale N.
Section 1.7 Coordonnees polaires a deux dimensions 35
En substituant l’expression de Fr dans (1.49), nous obtenons une
equation reliant N , φ et φ. Par chance le terme N ne nous interesse
pas et par chance aussi, si nous substituons l’expression de Fφ dans
(1.50), nous obtenons une equation qui ne depend pas du tout de N :
−mg sinφ = mRφ
ou, en simplifiant par m et en rearrangeant l’equation,
φ = − g
Rsin φ. (1.51)
L’equation (1.51) est l’equation differentielle pour φ(t) qui determine
le mouvement du skateboard. Qualitativement, nous pouvons facilement
voir le type de mouvement auquel elle conduit. D’abord, si φ = 0,
cette equation implique que φ = 0. Par consequent, si nous placons le
skateboard au repos (φ = 0) au point φ = 0, il ne se deplacera jamais
(a moins que quelqu’un ne le pousse). Cela veut dire que φ = 0 est
une position d’equilibre, comme on l’aurait facilement devine. Supposons
ensuite qu’a un instant donne φ ne soit pas nul et pour nous fixer les idees,
supposons que φ > 0, c’est-a-dire que le skateboard soit situe a droite de
la verticale. L’equation (1.51) implique alors que φ < 0 : l’acceleration
est dirigee vers la gauche. Si le skateboard se deplace vers la droite, il
doit donc ralentir et, a un certain moment, s’arreter, puis commencer a
se deplacer vers la gauche13. En se deplacant vers la gauche, il s’accelere,
revient au fond et continue son mouvement vers la gauche. Une fois du
cote gauche (φ < 0), φ devient positive et le skateboard doit, a un certain
moment, retourner vers le fond puis continuer son deplacement vers la
droite. En d’autres termes, l’equation differentielle (1.51) implique que
le skateboard oscille dans un sens puis dans l’autre.
L’equation du mouvement (1.51) ne peut pas etre resolue analytique-
ment en termes de fonctions elementaires telles que des polynomes, des
fonctions trigonometriques, logarithmiques ou exponentielles14. Ainsi, si
nous voulons des informations plus quantitatives sur le mouvement, nous
pouvons la resoudre numeriquement en utilisant un ordinateur (voir le
probleme 1.50). Cependant, si le skateboard est lache avec un angle ini-
tial φo faible, l’angle φ restera toujours faible et nous pouvons utiliser
l’approximation des petits angles :
sin φ ≈ φ. (1.52)
13 Je suppose que le skateboard n’atteint pas le sommet, car il risque alors de quitter
la piste. C’est bien le cas s’il a ete lache sans vitesse initiale a une certaine position φo de
la piste. La methode la plus directe de le montrer est de recourir a la loi de conservation
de l’energie que nous n’aborderons pas avant le chapitre 4. Pour le moment vous pouvez
accepter cette assertion comme une question de bon sens.14 En fait, la solution de l’equation (1.51) est une fonction elliptique de Jacobi . Je pense
cependant que, pour la plupart d’entre nous, la fonction de Jacobi n’est pas « elementaire ».
36 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton
Dans cette approximation, l’equation (1.51) devient
φ = − g
Rφ. (1.53)
Elle peut alors etre resolue en utilisant des fonctions elementaires. [A
cette etape, vous aurez certainement remarque que notre discussion du
probleme du skateboard est tres similaire a l’analyse du pendule simple.
En particulier, c’est l’approximation des petits angles (1.52) qui permet
de resoudre le probleme du pendule simple dans vos cours d’introduction
a la physique. Cette analogie n’est pas accidentelle. Mathematiquement
les deux problemes sont exactement identiques.] Si nous definissons le
parametre
ω =
√g
R, (1.54)
l’equation (1.53) devient
φ = −ω2φ. (1.55)
C’est l’equation du mouvement de notre skateboard dans l’approximation
des petits angles. Je voudrais a present detailler sa solution pour intro-
duire des idees que nous utiliserons a plusieurs reprises par la suite. (Si
vous avez deja etudie les equations differentielles, vous pouvez considerer
les trois prochains paragraphes comme une revision rapide.)
Nous observons d’abord qu’il est facile de deviner deux solutions
de l’equation (1.55). La fonction φ(t) = A sin(ωt) est clairement une
solution pour toute valeur de la constante A. [Une premiere derivation de
sin(ωt) apporte un facteur ω et change le sinus en cosinus ; une seconde
derivation apporte un autre facteur ω et change le cosinus en −sinus.
Ainsi, la solution proposee satisfait l’equation φ = −ω2φ.] De meme, la
fonction φ(t) = B cos(ωt) est une autre solution pour toute valeur de la
constante B. En outre, comme on peut facilement le verifier, la somme
de ces solutions est elle-meme une solution. Ainsi, nous avons trouve une
famille de solutions :
φ(t) = A sin(ωt) + B cos(ωt) (1.56)
quelle que soit la valeur des deux constantes A et B.
Je voudrais maintenant montrer que toute solution de l’equation du
mouvement (1.55) est de la forme (1.56), ou en d’autres termes que (1.56)
est la solution generale de (1.55), ou encore que nous avons trouve toutes
les solutions et que nous n’avons pas besoin d’en rechercher d’autres.
Pour nous faire une idee de la raison pour laquelle il en est ainsi, no-
tons que l’equation (1.55) est une expression de la derivee seconde φ
de l’inconnue φ. Si nous connaissions φ en fonction du temps, nous
pourrions trouver φ par deux integrations successives et le resultat con-
tiendrait deux constantes inconnues (les deux constantes d’integration)
qui pourraient etre determinees en considerant par exemple les valeurs
initiales de φ et de φ. En d’autres termes, la connaissance de φ nous
Section 1.7 Coordonnees polaires a deux dimensions 37
indiquerait que φ appartient a une famille de fonctions qui dependent
precisement de deux constantes indeterminees. En fait, l’equation (1.55)
ne nous indique pas comment evolue φ en fonction de t ; elle relie
simplement φ a φ. Cependant, il est plausible qu’une telle equation
implique que φ appartienne a une famille de fonctions qui contient
precisement deux constantes indeterminees. Si vous connaissez la theorie
des equations differentielles, vous savez que c’est bien le cas, sinon je
dois vous demander de l’accepter comme un fait plausible : toutes les so-
lutions d’une equation differentielle du second ordre [parmi une grande
classe d’equations « raisonnables » incluant l’equation (1.55) et toutes
les equations que nous rencontrerons dans ce livre] appartiennent a une
famille de fonctions qui dependent de deux constantes independantes,
comme les constantes A et B de l’equation (1.56). (Plus generalement,
les solutions d’une equation differentielle d’ordre n contiennent exacte-
ment n constantes independantes.)
Ce theoreme nous eclaire sur la solution (1.56). Nous savions deja
que toute fonction de la forme (1.56) etait une solution de l’equation du
mouvement (1.55). Notre theoreme nous garantit a present que toute
solution de l’equation du mouvement est de cette forme. Ce meme
argument s’applique a toutes les equations differentielles du second ordre
que nous rencontrerons. Si par un moyen quelconque nous pouvons
trouver une solution de la forme de (1.56), qui depend de deux constantes
arbitraires, alors nous pouvons etre certains d’avoir trouve la solution
generale de l’equation.
Il nous reste a present simplement a determiner les deux constantes A
et B pour le skateboard. Pour cela, nous devons considerer les conditions
initiales. A l’instant t = 0, l’equation (1.56) implique que φ = B. Par
consequent B est justement la valeur initiale de φ que nous designons
par φo ; nous avons ainsi B = φo. A l’instant t = 0, l’equation (1.56)
implique que la vitesse angulaire est φ = ωA. Si le skateboard est lache
sans vitesse initiale, nous devons avoir A = 0 et la solution s’ecrit
φ(t) = φo cos(ωt). (1.57)
La premiere chose a noter a propos de cette solution est que,
comme nous l’avions prevu pour des raisons generales, φ(t) oscille
periodiquement et indefiniment des valeurs positives aux valeurs negati-
ves et inversement. En particulier, le skateboard revient pour la premiere
fois a sa position initiale φo lorsque ωt = 2π. Ce temps s’appelle periode
du mouvement, que nous designons par τ . La periode des oscillations du
skateboard est donc
τ =2π
ω= 2π
√
R
g. (1.58)
Pour R = 5 m et g = 9,8 m/s2, nous trouvons que le skateboard revient a
son point de depart apres τ = 4,5 secondes.
38 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton
Principales definitions et equations du chapitre 1
Produit scalaire et produit vectoriel
r · s = rs cos θ = rxsx + rysy + rzsz [eqs. (1.6) & (1.7)]
r × s = (rysz − rzsy, rzsx − rxsz, rxsy − rysx) = det
x y z
rx ry rz
sx sy sz
[eq. (1.9)]
Referentiels inertiels
Un referentiel inertiel est un referentiel dans lequel la premiere loi de Newton
est valable, c’est-a-dire un referentiel non accelere et non tournant.
Vecteurs unitaires d’un systeme de coordonnees
Si (ξ, η, ζ) sont les coordonnees d’un systeme orthogonal, alors
ξ est le vecteur unitaire dirige dans la direction des ξ croissants
a η et ζ constantes,
de meme pour η et ζ. Tout vecteur s peut etre ecrit sous la forme
s = sξξ + sηη + sζζ.
La deuxieme loi de Newton dans divers systemes de coordonnees
Forme Cartesiennes Polaires 2D Cylindriques
Vectorielle (x, y, z) (r, φ) (ρ, φ, z)
F = mr
Fx = mx
Fy = my
Fz = mz
{
Fr = m(r − rφ2)
Fφ = m(rφ + 2rφ)
Fr = m(ρ − ρφ2)
Fφ = m(ρφ + 2ρφ)
Fz = mz
eq. (1.35) eq. (1.48) probs. 1.47 ou 1.48
Problemes du chapitre 1
Les problemes de chaque chapitre sont arranges dans l’ordre des sections. Un probleme pose
pour une section donnee exige une comprehension de cette section et des sections precedentes
uniquement. Dans chaque section, les problemes sont ordonnes par difficulte croissante. Un
seul asterisque (⋆) indique un probleme simple impliquant un seul concept important. Deux
asterisques (⋆⋆) indiquent un probleme legerement plus difficile et qui implique souvent plusieurs
concepts. Trois asterisques (⋆⋆⋆) indiquent un probleme qui pose un vrai defi, soit parce qu’il est
intrinsequement difficile soit parce qu’il necessite de longs calculs. Il est inutile de preciser que ces
distinctions sont approximatives.
Problemes du chapitre 1 39
Les problemes qui necessitent l’utilisation d’un ordinateur sont precises par [Ordinateur]. Ils
sont pour la plupart consideres comme difficiles (⋆⋆⋆) car ils requierent souvent un certain temps
pour ecrire le programme necessaire, particulierement si vous etes debutant dans la programmation.
SECTION 1.2 L’espace et le temps
1.1 ⋆ Soient deux vecteurs b = x + y et c = x + z. Calculez b + c, 5b + 2c, b · c et b × c.
1.2 ⋆ Soient deux vecteurs b = (1, 2, 3) et c = (3, 2, 1). (Rappelez-vous que cette ecriture est
juste une maniere compacte de preciser les composantes des vecteurs.) Trouvez b + c, 5b − 2c,
b · c et b × c.
1.3 ⋆ En appliquant le theoreme de Pythagore deux fois (dans sa version bidimensionnelle
habituelle), montrez que la longueur r d’un vecteur tridimensionnel r = (x, y, z) verifie la
relation r2 = x2 + y2 + z2.
1.4 ⋆ L’une des nombreuses utilisations du produit scalaire est de determiner l’angle forme
entre deux vecteurs donnes. Trouvez l’angle forme entre les vecteurs b = (1, 2, 4) et c = (4, 2, 1)
en evaluant leur produit scalaire.
1.5 ⋆ Determinez l’angle que forme la diagonale volumique d’un cube avec la diagonale d’une
des faces. [Conseil : choisissez un cube de cote 1, ayant un sommet en O et le sommet oppose
au point (1, 1, 1). Determinez le vecteur qui represente la diagonale volumique, le vecteur qui
represente la diagonale d’une face et l’angle forme entre eux comme dans le probleme 1.4.]
1.6 ⋆ En evaluant le produit scalaire b · c, determinez les valeurs du scalaire s pour que les
deux vecteurs b = x + sy et c = x − sy soient orthogonaux. (Rappelez-vous que deux vecteurs
sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.) Expliquez vos reponses a
l’aide d’un croquis.
1.7 ⋆ Montrez que les deux definitions du produit scalaire r · s comme rs cos θ (1.6) et∑
risi (1.7) sont equivalentes. Une maniere de le montrer consiste a choisir l’axe des x
dirige dans la direction de r. [A proprement parler, vous devez d’abord vous assurer que la
definition (1.7) est independante du choix des axes. Si vous appreciez ces subtilites, reportez-
vous au probleme 1.16.]
1.8 ⋆ (a) Utilisez la definition (1.7) pour montrer que le produit scalaire est distributif, c’est-
a-dire que r · (u + v) = r · u + r · v. v. (b) Si r et s sont des vecteurs qui dependent du temps,
montrez que la regle de derivation d’un produit s’applique a r · s, c’est-a-dire que
d
dt(r · s) = r · ds
dt+
dr
dt· s .
1.9 ⋆ En trigonometrie elementaire, vous avez probablement appris la loi des cosinus pour
un triangle de cotes a, b et c, qui s’ecrit c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ, ou θ est l’angle forme entre
les cotes a et b. Montrez que la loi des cosinus est une consequence directe de l’identite
(a + b)2 = a2 + b2 + 2a · b.
1.10 ⋆ Une particule se deplace dans le sens des aiguilles d’une montre sur un cercle de centre O
et de rayon R avec la vitesse angulaire constante ω. Le cercle est dans le plan Oxy et la
particule est sur l’axe des x a l’instant t = 0. Montrez que la position de la particule est
donnee par
r(t) = xR cos(ωt) + yR sin(ωt).
40 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton
Determinez la vitesse et l’acceleration de la particule. Determinez le module et la direction de
l’acceleration. Comparez les resultats aux proprietes bien connues du mouvement circulaire
uniforme.
1.11 ⋆ La position d’une particule mobile en fonction du temps t est donnee par
r(t) = xb cos(ωt) + yc sin(ωt),
ou b, c et ω sont des constantes. Decrivez l’orbite de cette particule.
1.12 ⋆ La position d’une particule mobile en fonction du temps t est donnee par
r(t) = xb cos(ωt) + yc sin(ωt) + zvot
ou b, c, vo et ω sont des constantes. Decrivez l’orbite de cette particule
1.13 ⋆ Soit u un vecteur unitaire arbitraire. Montrez que tout vecteur b verifie la relation
b2 = (u · b)2 + (u × b)2.
Expliquez ce resultat par des mots et a l’aide d’un schema.
1.14 ⋆ Montrez que deux vecteurs quelconques a et b verifient l’inegalite
|a + b| ≤ (a + b).
[Conseil : evaluez |a + b|2 et comparez-le a (a + b)2.] Expliquez pourquoi cette relation
s’appelle l’inegalite triangulaire.
1.15 ⋆ Montrez que la definition (1.9) du produit vectoriel est equivalente a la definition
elementaire selon laquelle r × s est perpendiculaire a la fois a r et a s, avec une amplitude
rs sin θ et une direction donnee par la regle de la main droite. [Conseil : bien qu’il soit difficile
de le montrer, la definition (1.9) ne depend pas du choix des axes de reference. Par consequent,
il convient de choisir des axes de sorte que r soit dirige dans la direction de Ox et que s soit
situe dans le plan Oxy.]
1.16 ⋆⋆ (a) En definissant le produit scalaire r · s par l’equation (1.7), r · s =∑
risi , montrez
que le theoreme de Pythagore implique que le module de tout vecteur r est r =√
r · r. (b) Il
est clair que le module d’un vecteur ne depend pas du choix des axes de coordonnees. Le
resultat de la question (a) garantit donc que le produit scalaire r · r, defini par (1.7), est le
meme pour tout choix des axes orthogonaux. Utilisez cela pour montrer que r · s, defini par
(1.7), ne depend pas du choix des axes orthogonaux. [Conseil : rappelez-vous que la longueur
du vecteur est r + s.]
1.17 ⋆⋆ (a) Montrez que le produit vectoriel defini par (1.9) est distributif, c’est-a-dire que
r × (u + v) = (r × u) + (r × v). (b) Etablissez la regle de derivation du produit
d
dt(r × s) = r × ds
dt+
dr
dt× s .
Attention a l’ordre des facteurs.
1.18 ⋆⋆ Supposons que les trois vecteurs a, b et c soient les trois cotes d’un triangle ABC
d’angles aux sommets α, β et γ (figure 1.15). (a) Montrez que l’aire du triangle est donnee
Index
Toutes les entrees sont identifiees par leur numero de page. De plus, lorsque l’entree fait reference a unesection ou a un chapitre entier, j’ai indique les sections ou les chapitres entre parentheses ; par exemple(sec.1.1) ou (ch.1). De meme, lorsque l’entree fait principalement reference a une figure, un exemple, unprobleme ou une note de bas de page, j’ai ajoute une parenthese comme (fig.1.2), (ex.1.3), (pb.1.4), oujuste (nbp.).
Acceleration,centripete, 33de chute libre, 383–386de Coriolis, 33de Coriolis, et force de
Coriolis, 397 (sec.9.10)en coordonnees cartesiennes,
26en coordonnees polaires 2D,
33Action,
Voir Integrale d’actionAddition,
des vecteurs, 6des vecteurs-rotation, 376
Amortissement,critique, 199–200, comme
limite de l’amortissementfaible, 235–236 (pbs.5.24& 5.32)
eleve, 198faible, 197
Angle solide, 637Angles d’Euler, 445 (sec.10.9)Aphelie, 345Apogee, 351Application logistique, 555
(sec.12.9)chaos, 569–579 (fig.12.43)
definition, 559diagramme de bifurcation,
567–571relation de Feingenbaum, 578
(pb.12.29)sensibilite aux conditions
initiales, 578 (pb.12.30)Application, 557
iteree, f(f(x)), 557, 564sinusoıdale, 577 (pbs.12.23–
12.25)Attracteur, 209
etrange, 552plus d’un attracteur pour un
PAF, 523pour une application
logistique, 560Autosimilarite, des fractales,
552Auto-similitude, du diagramme
logistique de bifurcation,570
Axes principaux de contrainte,826 (pb.16.21)
Axes principaux d’inertie, 428(sec.10.4)
determination, 431 (sec.10.5)d’une lame, 457 (pb.10.30)existence, 430
pour un cube tournant autourd’un sommet, 432 (ex.10.4)
B, Module de compression, 790en fonction de la constante α
de la loi de Hooke, 805pour l’air, 828
Balance d’inertie, 11Bande passante, Voir Largeur
de resonanceBarn, 630Bassin d’attraction, 577
(pb.12.22)β, coefficient d’amortissement,
195Bifurcation, 295
d’un PAF, 526Bloc,
glissant sur un plan incline,27 (ex.1.1), 128 (ex.4.3)
glissant sur une cale enmouvement, 289 (ex.7.5)
Bouteille dans un seau, 189(ex.5.2)
C = module de cisaillement,790
en fonction de la constante βde la loi de Hooke, 806
867
868 Index
Calcul des variations, 241 (ch.6)definition, 244systeme a plusieurs fonctions,
253 (sec.6.4)Capacite, 558Cascade de doublement de
periode,de convection dans une
cellule a mercure, 525–526(fig.12.9)
pour un PAF, 523–528pour une application
logistique, 568Causalite, 703Centre de masse, Voir CMCerceau tournant avec perle,
291 (exs.7.6 & 7.7)Chambre a brouillard, 627Champ electrique, d’une charge
a vitesse constante, 764(pb.15.110)
Champ electromagnetique,d’une ligne chargee, 742
(ex.15.12)tenseur, 741transformation de Lorentz,
741Champ magnetique, et particule
chargee, 72 (secs.2.5–2.7)Chaos, 507 (ch.12)
critere, 511 (nbp.)pour un PAF, 538–540
(figs.12.17–12.18)pour une application
logistique, 568–569(fig.12.43)
sensibilite aux conditionsinitiales, pour un PAF,532–537
sensibilite aux conditionsinitiales, pour uneapplication logistique, 578(pb.12.19)
Chemin le plus court entre deuxpoints, 648 (ex.6.1), 255(ex.6.3)
a trois dimensions, 264(pb.6.27)
Chemin qui rend l’integralestationnaire, 244
Chute libre,a l’aide de l’energie, 143
(ex.4.6)acceleration, 383et force de Coriolis, 390
(sec.9.8)
Circuit RLC, 194force, 201
CM, centre de masse, 95, 329,407 (sec.10.1)
acceleration reliee aux forcesexternes, 97
definition en tant qu’integrale,97
du systeme Terre-Lune, 112(pb.3.17)
du systeme Terre-Soleil, 112,(pb.3.16)
d’un cone plein, 97, (ex.3.2)referentiel, Voir Referentiel du
CMvitesse reliee a la quantite de
mouvement totale, 97Coefficient d’amortissement β,
195d’un PAF, 514
Coefficients de Fourier,expression integrale,218–219
Colatitude, θ, 151Collision elastique, 110 (pb.3.5),
158de particules de masses
differentes, 177 (pb.4.46)energie perdue dans le
referentiel du laboratoire,663 (pb.14.29)
particules de masses egales,160 (ex.4.8)
relativiste, 724 (ex.15.10)Collision,
de morceaux de masticrelativistes, 722 (ex.15.9)
d’un morceau de mastic etd’une platine tournante,106 (ex.3.3)
parfaitement inelastique, 92(ex.3.1), 178 (pb.4.48)
Comete de Halley, 346Conditions aux limites, 774Cone de lumiere, 700 (sec.15.10)
futur, Voir Nappe du futurpasse, Voir Nappe du passe
Cone,de base, Voir Cone d’espaceCM, 97 (ex.3.2)d’espace, pour la precession
libre, 444du corps, pour la precession
libre, 443tenseur d’inertie, 426 (ex.10.3)
Configuration speciale, 668
Conservation,de la quantite de mouvement,
21, 23, 91de l’energie en mecanique
lagrangienne, 301–304de l’energie pour un systeme
a deux particules, 156–158de l’energie pour un systeme
a plusieurs particules, 163de l’energie, 127du moment cinetique, 99, 106,
332Constante,
d’attenuation, 198–200de force, pour le probleme de
Kepler, 343de Lame, 805 (nbp.)de Planck, 658 (pb.14.12), 733
Contraction de Lorentz-Fitzgerald, 683
Voir aussi Contraction deslongueurs
Contraction des longueurs, 681(sec.15.5)
formule, 683ne peut pas etre vue, 750
(pb.15.14)Contrainte = force/aire,
789–790Coordonnees generalisees, 268,
276–278forcees, 278 (nbp.)naturelles, 278
Coordonnees spheriques, 150gradient, 152–153
Coordonnees,cycliques, 298cylindriques, 45 (pb.1.47)forcees, 278 (nbp.)ignorables, Voir Coordonnees
cycliquesnaturelles, 278normales, 472, 493 (sec.11.7),
504 (pbs.11.33–11.35)polaires 2D, 29rheonomes, 278 (nbp.)scleronomes, 278 (nbp.)
Corbeaux dans un chene, 629(ex.14.1)
Corde,mouvement longitudinal, 825
(pb.16.17)mouvement transversal, 767
(sec.16.1)Corps rigide, 164
en rotation, 407 (ch.10)
Index 869
Courbe brachistochrone, 249(ex.6.2), 262 (pb.6.21)
= cycloıde, 251, 261 (pb.6.14)proprietes isochrones, 263
(pb.6.25)Courbes de Lissajous, 193Covariance galileenne, des lois
de Newton, 669Cube, en equilibre sur un
cylindre, 145 (ex.4.7)Cycle deux, pour une
application logistique,564
Cycloıde, 251, 261 (pb.6.14)Voir aussi Courbe
brachistochroneCyclone, 388Cylindre sur une pente, 165
(ex.4.9)
Decomposition du tenseur dedeformation, 802
Decomposition en fractionssimples, 87 (pb.2.37)
Definition classique,de la force, 12de la masse, 11de la quantite de mouvement,
15Deformation = variation
relative, 789–791Degres de liberte, 278∇, del, 130
operateur differentiel, 131∇2 = Laplacien, 780Demi-largeur, 213Demi-vie, 680Densite de cibles, ncib, 628Dephasage,
pour la diffusion, 658(pb.14.12)
pres de la resonance, 215Derivation des vecteurs, 8Derivee,
materielle, 813par rapport au temps, dans
un referentiel tournant, 377(sec.9.4)
partielle, 130, 169 (pbs.4.10& 4.11)
totale, Voir Derivee materielleDescription,
de Lagrange d’un fluide, 812(nbp.)
d’Euler d’un fluide, 812 (nbp.)materielle d’un fluide, 812
spatiale d’un fluide, 812Deuxieme loi de Kepler,
100–104Deuxieme loi de Newton, 15
dans un referentiel tournant,379 (sec.9.5)
dans un referentiel tournant,a l’aide du formalismelagrangien, 401 (pb.9.11)
en coordonnees cartesiennes,26 (sec.1.6)
en coordonnees polaires 2D,33
forme rotationnelle, 100validite, 19
Diagonalisation des matrices,829 (annexe)
de deux matrices, 833(sec.A.2)
du tenseur d’inertie, 434d’une seule matrice, 829
(sec.A.1)Diagonalisation simultanee,
de deux matrices, 833(sec.A.2)
Diagramme de bifurcation,pour un PAF, 538–540
(figs.12.17–12.18)pour une application
logistique, 567–571Diffusion de Rutherford, 523,
643 (sec.14.6)dependance angulaire, 646
(ex.14.6)Diffusion par une sphere dure,
642 (ex.14.5)sections efficaces par rapport
au laboratoire et au CM,655 (ex.14.7)
Diffusion,amplitude (en theorie
quantique), 658 (pb.14.12)angle, dans le laboratoire en
fonction du CM, 654angle, θ, 624de deux spheres dures, 631de neutrons par une feuille
d’aluminium, 630 (ex.14.2)elastique & inelastique, 635
Dilatation des durees, 675(sec.15.4)
formule, 679mise en evidence, 680–681ne peut pas etre vue, 749
(pb.15.10)
pour un avion a reaction, 678(ex.15.1)
Dilatation, 800 (ex.16.5)Divergence, ∇ · v, 609
en tant qu’expansion relativepar unite de temps, 611
pour un espace a ndimensions, 612
e1, e2, e3, vecteurs unitaires, 6
Ecoulement,de cisaillement, 610 (ex.13.7)laminaire, 610
Effet Compton, 734–736Effet Doppler, 707–709
transversal, 754 (pb.15.48)
Electrodynamique, relativiste,739 (sec.15.18)
Electromagnetique,quadri-potentiel, 763
(pb.15.107)quadrivecteur de densite de
courant, 763 (pb.15.108)quantite de mouvement, 25
Elements de dilatation, ǫii, d’untenseur des deformations,802
Energie cinetique, 117de rotation autour d’un axe
fixe, 414–415de rotation autour d’un axe
quelconque, 430, 457–458(pb.10.33)
d’un corps en rotation, enfonction des angles d’Euler,448
relativiste, 720totale, comme somme du
terme orbital et du termepropre, 412
Energie potentielle,dans un champ de gravite
uniforme, 168–169 (pbs.4.5–4.6)
de deux particules chargees,134–135
de plusieurs particules,162–163
definition, 124des systemes unidimensionnels
lineaires, 138–142d’un pendule simple, 173
(pb.4.34)d’un ressort, 169 (pb.4.9)d’une molecule diatomique,
141
870 Index
Energie potentielle, (suite)d’une particule chargee dans
un champ electrique, 125(ex.4.2)
effective, pour un probleme adeux corps, 335
interne, d’un corps rigide, 164kx4, 172 (pb.4.29)pres de la position l’equilibre,
183 (ex.5.1)variable dans le temps, 135,
172 (pb.4.27)
Energie, 117 (ch.4)au repos, 719conservation, Voir
Conservation de l’energiede masse, 719de seuil, 726des mouvements
unidimensionnelsrectilignes, 137 (sec.4.6)
d’interaction de deuxparticules, 154–158
d’un mouvement harmonique,190
d’un systeme de plusieursparticules, 161 (sec.4.10)
d’une comete, relation avecl’excentricite, 348
mecanique, 126relativiste, 716
Entraınement de l’ether, 671
Equation autonome, 511 (nbp.),599 (nbp.)
Equation aux valeurs propres,431
generalisee, pour desoscillateurs couples, 467
Equation des ondes,en fonction du Laplacien, 781pour une corde, 769solution par separation des
variables, 823 (pb.16.9)tridimensionnelles, 780
(sec.16.4)unidimensionnelles, 770
(sec.16.2)
Equation d’Euler-Lagrange, 257avec deux variables
dependantes, 255
Equation du mouvement, 26d’un fluide non visqueux, 814d’un solide elastique, 810Voir aussi Deuxieme loi de
Newton
Equation radiale,pour un probleme a deux
corps, 334transformee, 341
Equation,caracteristique, 196, 432constitutive, 803de Bernouilli, 814–815de continuite, 815de contrainte, 308de croissance, 556de Navier, 809homogene, 202non homogene, 202
seculaire, Voir Equationcaracteristique
Equations de Hamilton, 581(ch.13)
comparaison avec lesequations de Lagrange, 598(sec.13.5)
derivation, pour un systemeunidimensionnel, 586
pour les systemesmultidimensionnels,589 (sec.13.3)
pour les systemesunidimensionnels, 584(sec.13.2)
pour un champ de forcecentral, 592 (ex.13.3)
pour un corps en chute libre,604 (ex.13.6)
pour un oscillateurunidimensionnel, 602(ex.13.5)
pour une masse sur un cone,594 (ex.13.4)
Voir aussi Hamiltonien, H
Equations de Lagrange, 265(ch.7)
avec multiplicateurs deLagrange, 310
comparees aux equations deHamilton, 598 (sec.13.5)
et lois de conservation, 299(sec.7.8)
modifiees, 310pour des forces magnetiques,
304 (sec.7.9)pour des systemes contraints,
280 (sec.7.4)pour un mouvement sans
contraintes, 266 (sec.7.1)Voir aussi Lagrangien
Equations de Maxwell,
sous forme quadri-dimensionnelle, 764(pb.15.111)
Equations d’Euler, 438(secs.10.7–10.8)
avec un moment de force nul,440 (sec.10.8)
Equations differentielles, 16couplees, 52solution generale, 36
Equilibrage dynamique, desroues de voiture, 416
Equilibre,instable, lorsque d2U/dx2 < 0,
139stable, lorsque d2U/dx2 > 0,
139Espace,
de configuration, 582des phases, 584d’etat, 545, 582
Espace-temps, 692 (sec.15.8),695
Etat (ou Etat du mouvement),545
Excentricite, ǫ, des orbites deKepler, 347
relation avec l’energie, 348Exemple du chaos,
le PAF, 518 (sec.12.4)Experience de Michelson et
Morley, 671Exponentielles complexes, 75Exposant de Liapunov, 534
Facteur de poussee, λ, 352Facteur de qualite, Q, 213Fluides ideaux, 812 (secs.16.12–
16.13)Fluides non visqueux, Voir
Fluides ideauxFonction,
complementaire, 203 (nbp.)de Morse, energie potentielle
approchee, 232 (pb.5.2)paire, 222periodique, definition, 216
Fonctions hyperboliques, 67, 86(pbs.2.33–2.34)
Force a symetrie spherique, 149centrale implique
conservative, 176–177(pbs.4.43–4.44)
Voir aussi Invariance dans lesrotations
Index 871
Force centrale, 20, 100, 149(sec.4.8)
a symetrie spherique impliqueconservative, 176–177(pbs.4.43 & 4.44)
conservative implique asymetrie spherique, 153,177 (pb.4.45)
probleme a deux corps, VoirProbleme a deux corps, eninteraction centrale
Force centrifuge, 293, 381, 382(sec.9.6)
contribution a g, 383–386Force conservative, 121–124
centrale implique a symetriespherique, 153, 177(pb.4.45)
conditions, 123deuxieme condition, 132exemple : force de Coulomb,
133 (ex.4.5)Force de contrainte, 281
eliminee dans l’approchelagrangienne, 265
reliee au multiplicateur deLagrange, 311
Force de Coriolis, 381, 386(sec.9.7)
comparee a la forcemagnetique, 386
effet sur la chute libre, 390(sec.9.8)
et acceleration de Coriolis,397 (sec.9.10)
Force generalisee, 270composante φ = moment, 272
Force magnetique,entre deux circuits, 43
(pb.1.33)et equations de Lagrange, 304
(sec.7.9)violation de la troisieme loi de
Newton, 25Force,
a symetrie spherique, VoirForce a symetrie spherique
agissant sur α, Fα = −∇α U ,163
comme gradient de l’energiepotentielle, 129–131
de contact (de surface),785–786
de Coulomb = conservative,133 (ex.4.5)
de Lorentz, 740
de maree, 369de surface, Voir Force de
contactde type chaleur, 728definition, 12derive d’une energie
potentielle, 131d’excitation, γ, d’un PAF, 514d’inertie, 365fictive, 365non conservative, 127ordinaire, 729relativiste, 728 (sec.15.15)volumique, 785
Forces electriques etmagnetiques, rapportentre les forces, 43 (pb.1.32)
Formule de composition desvitesses,
classique, 364, 669relativiste, 690
Formule de diffusionRutherford, 645
Formule d’Euler, 76Fractale, 551Frequence cyclotron, 73, 79Frisbee, precession, 459
(pb.10.43)Fusees, 93 (sec.3.2)
a plusieurs etages, 112(pb.3.12)
navette spatiale, 111 (pbs.3.7& 3.9)
poussee, 95Saturn V, 111 (pb.3.6)
Futur absolu, 702
g, contribution de la forcecentrifuge, 383–386
go = accelerationgravitationnelle, 384
γ = constante de force, pour leprobleme de Kepler, 343
γ = intensite d’excitation, pourun PAF, 514
γ =√
1 − β2, 679Γ = moment, 99Gedankenexperiment =
experience de pensee, 676Geiger & Marsden, 645
donnees, 660 (pbs.14.16–14.17)
Generateur de Compton, 405(pb.9.31)
Geodesique,sur un cone, 262 (pb.6.17)sur un cylindre, 260 (pb.6.7)sur une sphere, 252, 261
(pb.6.16)GPS, importance de la
dilatation des durees, 681Gradient, ∇, 130, 170
(pbs.4.12–4.15 & 4.18)en coordonnees spheriques,
152–153Grandeur scalaire de Lorentz,
698Voir aussi Quadri-scalaire
Graviton, 732 (nbp.)
Half-pipe et skateboard, 34Haltere, tournant et glissant,
108 (ex.3.4)Hamiltonien, H, 302, 581
(ch.13)definition, 583, 590differente de l’energie pour les
systemes non naturels, 616(pbs.13.11 & 13.12)
d’une particule chargee dansun champ magnetique, 617(pb.13.18)
en tant qu’energie d’unsysteme naturel, 302–304,585
Harmoniques, 517, 776d’une corde finie, 776
Hommes sur un wagon plat, 110(pb.3.4)
Horizon temporel, 575(pb.12.16)
Horizontale, definition, 386Hypothese du continu, 767
Impulsion,d’un photon, reliee au vecteur
d’onde, 733relativiste, 712relativiste, a trois dimensions,
714Voir aussi Quantite de
mouvementInegalite triangulaire, 40
(pb.1.14)Integrale,
curviligne, 119d’action, 268, Voir aussi
Actionelliptique, 176 (pb.4.38)premiere, de l’equation
872 Index
Integrale, (suite)d’Euler-Lagrange, 261(pb.6.10 & 6.20)
Intervalle de temps propre, 679d’un corps, 711
Invariance,de la masse, Voir Masse
invariabledans les rotations, 149dans les translations, 155de la norme, x · x, 700du produit scalaire dans
l’espace-temps, 699du produit scalaire, 698
(sec.15.9)Isotropie de la pression en
l’absence de force decisaillement, 786
ℓ = moment cinetique, 98L = moment cinetique total,
103–105Lagrangien, L,
definition generale, 304d’une toupie, en fonction des
angles d’Euler, 448L = T − U , 266non-unicite, 304–305pour une particule chargee
dans un champ magnetique,306-307
Voir aussi Equations deLagrange
λ = facteur de poussee, 352λ = rapport de masse, 653Lame,
axes principaux, 457(pb.10.30)
tenseur d’inertie, 456(pb.10.23)
Lamina, 610 (nbp.)Laplacien, ∇2, 780-781Largeur a mi-hauteur, Voir
Largeur de resonanceLargeur de resonance, 213Latitude, 151Lemme de Schur, 804 (nbp.)Libre parcours moyen, d’une
molecule d’air, 632 (ex.14.3)Ligne d’univers, 711, 753
(pb.15.38)Linearite et non-linearite, 508
(sec.12.1)Loi de Hooke, 181 (sec.5.1)
generalisee, pour un solide,804–805
Loi de reflexion, pour ladiffusion par une spheredure, 659 (pb.14.13)
Loi de Snell-Descartes etprincipe de Fermat,259–260 (pb.6.4)
Loi de Stokes, 80 (pb.2.2)Loi de transformation relativiste
de la vitesse,Voir Formule de composition
des vitesses relativisteLoi d’inertie, 15
Voir aussi Premiere Loi deNewton
Lois de conservation,en mecanique lagrangienne,
299 (sec.7.8)Lois de Newton, 3 (ch.1)
deuxieme, Voir Deuxieme loide Newton
premiere, Voir Premiere loide Newton
troisieme, Voir Troisieme loide Newton
Longitude, φ, 151Longueur propre, 683
Machine d’Atwood, 147–149a l’aide du Hamiltonien, 588
(ex.13.2)a l’aide d’un multiplicateur de
Lagrange, 311 (ex.7.8)a partir des equations de
Lagrange, 285 (ex.7.3)avec prise en compte de la
poulie, 174 (pb.4.35)double, 323 (pb.7.27)energie, 173 (pb.4.31)
Marees, 367 (sec.9.2)grandes, 372petites, 372
Masse,changement, dans l’experience
de Franck-Hertz, 718(ex.15.7)
definition classique, 11definition relativiste, 710energie, 719invariable, 710matrice, 465, 488non-conservation, en
relativite, 717–718ponctuelle, 14proportionnelle au poids, 12rapport, 653reduite, µ, 330
variable, 710, 715Matrice,
de masse, Voir Matriced’inertie
de rappel, 465, 488de rotation (3D), 693de rotation (4D), 696definie positive, 834diagonale, 428d’inertie, 465, 488multiplication, 421orthogonale, 737pour une transformation
speciale, 696trace, 802transposee A, 423, 737unite, 1, 425
Mecanique,classique, 3des milieux continus, 765
(ch.16)hamiltonienne, Voir
Equations de Hamilton
lagrangienne, Voir Equationsde Lagrange
non-lineaire, 507 (ch.12)quantique, 4
Meson Pi, desintegration, 748(pb.15.8)
Methode des images, 824(pb.16.12)
MeV/c, 721MeV/c2, 721Minkowski, 692Mode fondamental, 776Modes propres, 463 (ch.11)
determination, 468d’une corde finie, 774–776
Module,de cisaillement, Voir Cde compression, Voir Bde Young, Voir Yd’elasticite = con-
trainte/deformation,791
Molecule diatomique, energiepotentielle, 141
Moment canonique, 583Moment cinetique, 98 (secs.3.4–
3.5)comme somme du terme
orbital et du terme propre,410
conservation, VoirConservation du momentcinetique
Index 873
de deux corps dans lereferentiel du CM, 333
de plusieurs particules,103–105
d’une particule, ℓ, 98en fonction des angles d’Euler,
447en fonction des coordonnees
du CM et des coordonneesrelatives, 410
L = Iω, 422Lz = Izω, pour une une
rotation autour d’un axe z,414
non necessairement parallele aω, 415
par rapport au CM, 107total, L, 103–105
Moment conjugue,Voir Moment canonique
Moment d’inertie, 105Iz, 414
Moment, Γ, 99Moments d’inertie principaux,
429Mortes-eaux, Voir Marees,
petitesMouvement,
a phase verrouillee, 576(pb.12.17)
absolu, non existence, 674harmonique, Voir Oscillations
harmoniquesoscillatoire, d’un PAF,
535–536 (fig.12.15), 541(fig.12.19)
quasi-periodique, 193Moyenne quadratique, du
deplacement, 228d’un oscillateur force, 229
(ex.5.6)µ = masse reduite, 330Multiplicateur, d’un point fixe,
562Multiplicateurs de Lagrange,
307 (sec.7.10)relies aux forces de contrainte,
311Multiplication, des matrices,
421
n, vecteur unitaire normal a lasurface, 784
Nappe du futur, 700Nappe du passe, 700
Navette spatiale, 111 (pbs.3.7& 3.9)
Neutrino, 732 (nbp.)Nombre de Reynolds, 51, 80
(pb.2.3)Nombres complexes, 88–89
(pb.2.45–2.51)utilises pour une particule
chargee dans un champmagnetique, 74–78
Non-linearite, 508 (sec.12.1)Noyau de la Terre = liquide,
811Nutation, d’une toupie, 450
ωo = pulsation propre, 195, 514Onde longitudinale,
dans un solide, 811sur une corde, 825 (pb.16.17)
Onde transversale,dans un solide, 810sur une corde, 767 (secs.16.1–
16.3)Onde triangulaire,
sur une corde finie, 778(ex.16.2)
sur une corde infinie, 771(ex.16.1)
Onde,dans la roche, 811 (ex.16.8)dans un fluide = longitudinale,
818dans un fluide, 816 (sec.16.13)dans un solide, 810 (sec.16.11)de cisaillement, Voir Onde
transversale, dans un solideplane, 781spherique, 782–783stationnaire, 774sur une corde, 767 (secs.16.1–
16.3)Ondes,
primaires, P, 811secondaires, S, 811
Operateur,differentiel, 201lineaire, 201
Orbite dans l’espace des phases,600 (sec.13.6)
pour un corps en chute libre,604 (ex.13.6)
pour un oscillateurunidimensionnel, 602(ex.13.5)
Orbite dans l’espace d’etat, 541(sec.12.7)
definition, 545Orbites de Kepler, 343
(secs.8.6–8.7)= ellipses, 345changement d’orbite, 351
(sec.8.8)excentricite, 348, 351hyperbole, 351parabole, 351Voir aussi Orbites de l’etat
lie, de l’etat non lieOrbites,
de l’etat lie (ou liees), 339,344–348
de l’etat non lie (ou libre),338, 349 (sec.8.7)
elliptique, de planetes, 345liees, Voir Orbite de l’etat lienon liees, Voir Orbite de
l’etat non lieparaboliques de Kepler, 351
Oscillateur,anisotrope, 192–193isotrope, 190–192
Oscillateurs couples, 463 (ch.11)a n degres de liberte, 484
(sec.11.5)amortis et excites (499
(pb.11.11)amortis, 499 (pb.11.10)equation matricielle du
mouvement, 465, 488faiblement couples, 473
(sec.11.3)Oscillation de Chandler, 444Oscillations forcees (lineaires),
200 (secs.5.5–5.6)solution complexe, 203solution en serie de Fourier,
221 (sec.5.8)Oscillations harmoniques, 184
(sec.5.2)comme partie reelle d’une
exponentielle complexe, 187definition, 186energie, 190
Oscillations, 181 (ch.5)a deux dimensions, 190
(sec.5.3)amorties, 194 (sec.5.4)couplees, Voir Oscillateurs
couplesd’une perle sur un cerceau
filiforme, 295 (ex.7.7)
874 Index
Oscillations, 181 (ch.5) (suite)excitees par un train
d’impulsions rectangulaires,224 (ex.5.5)
forcees (lineaires), 200(secs.5.5–5.6)
forcees, solutions complexes,203
non amorties, 196sous-amorties, 197sur-amorties, 198
Ouragan, 388
PAF, 513 (sec.12.2)caracteristiques previsibles,
515 (sec.12.3)mouvement revolutif, 536–
537 (fig.12.15), 540–541(fig.12.19)
un exemple du chaos, 518(sec.12.4)
Paradoxe des jumeaux, 748(pb.15.5)
Parametre d’impact, b, 626–627Particule chargee dans un
champ magnetique, 72(sec.2.5–2.7)
Mouvement helicoıdal, 77–79Particule, 14Particules de masse nulle, 731
(sec.15.16)Partie deviatorique E′ du
tenseur des deformations,802
Partie spherique e1 du tenseurdes deformations, 802
Passe absolu, 702Pendule simple,
deuxieme approximation pourla periode, 176 (pb.4.39)
energie potentielle, 173–174(pb.4.34)
periode exacte, 175–176(pb.4.38)
Pendule,amorti et force, Voir PAFdans une voiture acceleree,
365 (ex.5.1)de Foucault, 393 (sec.9.9)double, 478 (sec.11.4)spherique, 322 (pb.7.40)
Pendules couples, 489 (sec.11.6)Perigee, 351Perihelie, 345Periode deux,
pour un PAF, 520
pour une applicationlogistique, 564
Periode trois, pour un PAF, 522Perle,
sur un cerceau en rotation,291 (exs.7.6 & 7.7)
sur un cerceau en rotation,oscillations, 295 (ex.7.7)
sur un fil rectiligne, a l’aide duHamiltonien, 587, (ex.13.1)
sur une tige en rotation, 317(pb.7.21)
Phenomene de Gibbs, 221(nbp.)
φ, vecteur unitaire,derivee, 32en coordonnees cylindriques,
45 (pbs.1.47 & 1.48)en coordonnees polaires 2D,
30en coordonnees spheriques,
151Photon, 731 (sec.15.16)
relation entre p & k, 733Pion, Voir Meson PiPlan incline,
bloc glissant, 27 (ex.1.1), 128(ex.4.3)
cylindre sur une pente, 165(ex.4.9)
Pluton, decouverte, 665 (nbp.)Poids, proportionnel a la masse,
12Poincare, 510
section, Voir Section dePoincare
Point fixe, 560multiplicateur, 562stable, 562valeur propre, 562
Point,de l’espace des phases, z, 599stationnaire, 244
Points limites, 140pour le mouvement radial
d’une comete, 338Portance, 48Portee,
d’un projectile avec resistancelineaire, 60
d’une balle de base-ball avecresistance quadratique, 70(ex.2.6)
Position relative, r, 328Positions d’equilibre d’un
systeme unidimensionnel,pour dU/dx = 0, 140
Poussee, 95Precession,
de Larmor, 403 (pb.9.22)des equinoxes, 437d’un frisbee, 459 (pb.10.43)d’une toupie soumise a un
moment de force faible, 435(sec.10.6)
d’une toupie, en fonction desangles d’Euler, 448
libre, d’un corps a symetriespherique, 442–445
libre, en fonction des anglesd’Euler, 461 (pb.10.55)
Premiere loi de Kepler, 346Premiere loi de Newton, 15
validite, 19Pression = isotrope en l’absence
de forces de cisaillement,786
Principe de Fermat, 243et loi de reflexion, 259 (pb.6.3)et loi de Snell-Descartes, 259
(pb.6.4)Principe de Hamilton, 268Principe de superposition, 185
ne s’applique pas auxequations non lineaires, 512
Principe variationnel, 241, 244Probleme a deux corps, en
interaction centrale, 327(ch.8)
energie potentielle effective,335
equation du mouvementrelatif, 331
equation radiale transformee,341
equation radiale, 334Lagrangien, 331mouvement relatif dans un
plan fixe, 333orbites fermees ou non, 740probleme unidimensionnel
equivalent, 334 (sec.8.4)Probleme de Kepler, 336
Voir aussi Probleme adeux corps, en interactioncentrale
Probleme de la bulle de savon,262 (pb.6.19)
Produit scalaire, 7equivalence des deux
definitions, 39 (pb.1.7)
Index 875
Produit,d’inertie, 416–417d’un vecteur et d’un scalaire,
6vectoriel, 7
Pulsation d’excitation, ω,d’un PAF, 514vs. pulsation propre ωo, 203
Pulsation naturelle,Voir Pulsation propre
Pulsation propre, ωo, 195d’un PAF, 514vs. pulsation d’excitation, ω,
203Pulsations propres, 467
Quadri-espace, 695Quadri-force, 731Quadri-impulsion, 714Quadri-scalaire, 698Quadrivecteur, 695
definition, 697densite de courant quadri-
dimensionnelle, 763(pb.15.108)
impulsion-energie, 716, Voiraussi Quadri-impulsion
quadri-potentielelectromagnetique, 763(pb.15.107)
Quadri-vitesse, 712Quantite de mouvement
generalisee, 270, 297composante φ = moment
cinetique, 272Quantite de mouvement,
conservation, VoirConservation de laquantite de mouvement
definition classique, 15en electromagnetique, 25totale, reliee au mouvement
du CM, 97
r,derivee, 31vecteur unitaire des
coordonnees polaires2D, 29
vecteur unitaire descoordonnees spheriques,150–151
Rapidite, 752 (pbs.15.30–15.31)Referentiel du CM, 332
pour un probleme a deuxcorps, 331–332
relativiste, 723Referentiel, 9
accelere, 364 (sec.9.1)de l’espace, 438du corps, 438inertiel, 10, 17, 672non-inertiel, 17, 363 (ch.9)privilegie, non existence, 674propre, 683
Referentiels tournants, 377(secs.9.4–9.10)
derivees par rapport autemps, 377 (sec.9.4)
et deuxieme loi de Newton,379 (sec.9.5)
Regime,permanent, 206transitoire, 206
Region de l’eloignement absolu,704
Regle du quotient, 706Regle vdv/dx, 82 (pb.2.12)Relation de Feigenbaum,
pour un PAF, 527–528pour une application
logistique, 578 (pb.12.29)Relativite restreinte, 665 (ch.15)
postulats, 672Relativite, 666
de la simultaneite, 689,750–751 (pb.15.19)
du temps, Voir Dilatation desdurees
galileenne, 667 (sec.15.2)generale, 666
Resistance de l’air, 47–72comparaison des termes
lineaire et quadratique, 49lineaire, 48, 51 (secs.2.2–2.4)quadratique, 48, 63 (secs.2.4–
2.5), 80 (pb.2.4)Resistance lineaire, 48, 51
(secs.2.2–2.4)comparee a la resistance
quadratique, 49pour la trajectoire d’un
projectile, 59pour un mouvement
horizontal, 52pour un mouvement vertical,
54Resistance quadratique, 48, 63
(secs.2.4–2.5), 80 (pb.2.4)comparee a la resistance
lineaire, 49
pour la trajectoire d’une ballede base-ball, 69 (ex.2.6)
pour un mouvementbidimensionnel horizontalet vertical, 68
pour un mouvementhorizontal, 63
pour un mouvement vertical,66
Resonance, 209 (sec.5.6)dephasage a proximite,
214–215largeur, Voir Largeur de
resonancesur une route de type “planche
a laver”, 211, 238 (pb.5.43)Resultante, 6
Voir aussi Somme vectorielleρ = distance a l’axe z, 45
(pb.1.47)ρ, vecteur unitaire, 45–46
(pbs.1.47 & 1.48)RMS, Voir Moyenne
quadratiqueRotation, 407 (ch.10)
autour d’un axe fixe, 413(sec.10.2)
autour d’un axe quelconque,419 (sec.10.3)
Rotationnel d’un vecteur, 132,170–171 ( pbs.4.22 & 4.25)
Route de type “planche alaver”, 211, 238 (pb.5.43)
Rutherford, Voir Diffusion deRutherford
Scalaire a trois dimensions, VoirScalaire dans les rotations
Scalaire dans les rotations, 697Section de Poincare, 550
(sec.12.8)Section efficace differentielle,
636 (secs.14.4–14.5)calcul, 640 (sec.14.5)dans divers differentiels, 648dans le laboratoire, en
fonction du CM, 651, 654definition, 638–639pour la diffusion de
Rutherford, 645pour la diffusion par une
sphere dure, 642 (ex.14.5)Section efficace, 627 (secs.14.2–
14.3)dans divers differentiels, 648de capture, 634
876 Index
Section efficace, 627 (secs.14.2–14.3) (suite)
de diffusion, 634de fission, 634definition, 629d’ionisation, 634d’ionisation, nulle si energie
< energie d’ionisation, 636elastique & inelastique, 635totale, 635
Sensibilite aux conditionsinitiales,
pour un PAF, 533 (fig.12.13)pour une application
logistique, 578 (pb.12.30)Separation des variables,
pour l’equation des ondes, 823(pb.16.9)
pour une equationdifferentielle du premierordre, 64, 67 (nbp.), 81(pb.2.7)
Serie de Fourier, 216 (sec.5.7–5.9)
definition, 218pour un oscillateur excite, 221
(sec.5.8)pour un train d’impulsions
rectangulaires, 219 (ex.5.4)Serie,
de Taylor, 83 (pb.2.18)des sinus de Fourier, 777, 824
(pb.16.13)d’ondes partielles, 659
(pb.14.12)Serpent relativiste, 687 (ex.15.3)Simultaneite, 689, 750–751
(pb.15.19)Skateboard dans un half-pipe,
34 (ex.1.2)Solution,
complete d’un mouvementunidimensionnel, 142
de l’equation homogene, 203generale, d’une equation
differentielle du secondordre, 37
numerique, pour la trajectoired’une balle de base–ball, 69(ex.2.6)
particuliere, 202Solutions independantes, 196
(nbp.)Somme vectorielle, 6Sous-espaces irreductibles, 804
(nbp.)
Sous-harmonique, 521sr, steradian, 637Stabilite,
des points fixes, 562d’un corps tournant librement,
442Steradian, sr, 637Symbole de Kronecker, δij, 456
(pb.10.21)Symetrie,
axiale, 419de reflexion, 418du tenseur des contraintes,
795du tenseur d’inertie, 422
Systemes unidimensionnels,curvilignes, 144 (sec.4.7)energie, 137 (secs.4.6–4.7)graphiques de l’energie
potentielle, 138–142Systemes,
contraints, 274, 279holonomes, 279non holonomes, 279–280
Temps caracteristique, τ ,pour une resistance lineaire,
53, 57pour une resistance
quadratique, 65Temps,
conception classique, 9discret, 555en relativite, 675 (sec.15.4)propre, d’un corps, 711propre, Voir Intervalle de
temps propreTenseur des contraintes, Σ, 791
(sec.16.7)= symetrique, 795dans un fluide statique, 795
(ex.16.3)definition, 793
Tenseur des deformations, E,decomposition, 802definition, 799d’un solide, 797 (sec.16.8)elements de dilatation, ǫii, 802pour la dilatation, 800
(ex.16.5)pour le glissement, 801
(ex.16.6)Tenseur des derivees, D,
797–798pour une petite rotation, 799
Tenseur d’inertie, 419 (sec.10.3)definition, 421diagonalisation, 434d’un cone plein, 426 (ex.10.3)d’un cube plein, 423 (ex.10.2)d’une lame plane, 456
(pb.10.23)symetrie, 423
Tenseur, 656 (sec.15.17)dans l’espace-temps quadri-
dimensionnel, 739de champ electromagnetique,
741de moment d’inertie, Voir
Tenseur d’inertiedes contraintes et des
deformations, relation, 803(sec.16.9)
metrique, G, 739tridimensionnel, 736–738
Theoreme de la divergence, 609demonstration, 621 (pb.13.37)
Theoreme de l’energie cinetique,sous forme infinitesimale, 118
Theoreme de Liouville, 606(sec.13.7)
demonstration, 612–613Theoreme de Noether, 298, 304
et moment cinetique, 324(pb.7.46)
Theoreme,de Fourier, 218de Gauss, Voir Theoreme de
la divergencede la composante nulle, 753
(pb.15.35)de Parseval, 229de reciprocite de Cauchy, 825
(pb.16.19)des axes paralleles, generalise,
456 (pb.10.24)du viriel, 176 (pb.4.41), 359
(pb.8.17)Theorie des collisions, 623
(ch.14)quantique, 623Voir aussi Diffusion, section
efficaceθ, vecteur unitaire, en
coordonnees spheriques,151
Toupie,mouvement, a l’aide des angles
d’Euler, 448 (sec.10.10)nutation, 450
Index 877
precession, a l’aide des anglesd’Euler, 449
precession, due a un momentde force faible, 435(sec.10.6)
Trace d’une matrice, 802Train d’impulsions
rectangulaires,excitant un oscillateur, 224
(ex.5.5)serie de Fourier, 219 (ex.5.4)
Transformation canonique, 600exemples, 618–619 (pb.13.24–
13.25)Transformation de Lorentz, 684
(sec.15.6)du champ electromagnetique,
741equations, 685inverse, 686speciale, 696
Transformation,de Legendre, 585 (nbp.)galileenne, 667
Travail,comme variation de l’energie
potentielle, 126d’une force, 118–119pour les deplacements
infinitesimaux, 119Troisieme loi de Kepler, 346–347Troisieme loi de Newton, 19
(sec.1.5)et conservation de la quantite
de mouvement, 22non valide en relativite, 24validite, 24violation pour les forces
magnetiques, 25
Unites naturelles, 490Universalite, du doublement de
periode, 528
Valeur propre, 431d’un point fixe, 562
Vecteur de l’espace des phases,z, 599
Vecteur du genre espace, 704Vecteur du genre temps, 705Vecteur-rotation, 373 (sec.9.3)
addition, 376Vecteurs unitaires,
e1, e2, e3, 6i, j, k, 5
r et φ, 29
r et φ, derives, 31–32
r, θ, φ, 151
ρ, φ, z, 45–46 (pbs.1.47& 1.48)
x, y, z, 5Vecteurs, 4
covariants et contravariants,736
derivation, 8deux definitions du produit
scalaire, 39 (pb.1.7)produit scalaire, 7produit vectoriel, 7propres, 431rotationnel, 132somme vectorielle, 6
Verticale, definition, 386Viscosite, η, 80 (nbp.)Vitesse angulaire,
d’un referentiel lie a la Terre,377
Vitesse de la lumiere,comme limite de la vitesse des
influences causales, 704comme limite de la vitesse des
particules materielles, 705comme limite de la vitesse
entre deux referentielsinertiels, 679
et experience de Michelson etMorley, 671
invariance, 754 (pb.15.43)non-invariance dans la
transformation galileenne,669
Vitesse limite,d’une balle de base-ball,
67(ex.2.5)pour une resistance lineaire,
55pour une resistance
quadratique, 65Vitesse,
des ondes transversales surune corde, 769
du son dans l’air, 828(pb.16.36)
du son dans l’eau, 819(ex.16.9)
du son dans un fluide, 818d’une onde longitudinale dans
un solide, 810d’une onde longitudinale sur
une corde, 825 (pb.16.17)d’une onde transversale dans
un solide, 810
en coordonnees polaires 2D,32
quadrivecteur, 711–712, Voiraussi Quadri-vitesse
Vives-eaux, Voir Marees,grandes
vlim, vitesse limite, 55, 66
x, vecteur unitaire, 5
y, vecteur unitaire, 5Y = module de Young, 790
en fonction des constantes α& β de la loi de Hooke, 806
relie a B et C, 806Yoyo, 316 (pb.7.14)
z, vecteur unitaire, 5Zone de frappe ideale, 455
(pb.10.18)
Identites trigonometriques
sin(θ ± φ) = sin θ cos φ ± cos θ sinφ cos(θ ± φ) = cos θ cos φ ∓ sin θ sin φ
cos θ cos φ = 12 [cos(θ + φ) + cos(θ − φ)] sin θ sin φ = 1
2 [cos(θ − φ) − cos(θ + φ)]
sin θ cos φ = 12 [sin(θ + φ) + sin(θ − φ)]
cos2 θ = 12 [1 + cos(2θ)] sin2 θ = 1
2 [1 − cos(2θ)]
cos θ + cos φ = 2 cos
(θ + φ
2
)
cos
(θ − φ
2
)
cos θ − cos φ = 2 sin
(θ + φ
2
)
sin
(φ − θ
2
)
sin θ ± sin φ = 2 sin
(θ ± φ
2
)
cos
(θ ∓ φ
2
)
cos2 θ + sin2 θ = 1 sec2 θ =1
cos2 θ= 1 + tan2 θ
eiθ = cos θ + i sin θ [formule d’Euler]
cos θ = 12(e
iθ + e−iθ) sin θ = 12i(e
iθ − e−iθ)
Fonctions hyperboliques
ch z = 12(e
z + e−z) = cos(iz) sh z = 12(e
z − e−z) = −i sin(iz)
th z =sh z
ch zsech z =
1
ch z
ch2z − sh2z = 1 sech2z + th2z = 1
Developpement en series
f(z) = f(a) + f ′(a)(z − a) + 12!f
′′(a)(z − a)2 + 13!f
′′′(a)(z − a)3 + . . . [serie de Taylor]
ez = 1 + z + 12!z
2 + 13!z
3 + . . . ln(1 + z) = z − 12z
2 + 13z
3 − . . . [ |z| < 1]
cos z = 1 − 12!z
2 + 14!z
4 − . . . sin z = z − 13!z
3 + 15!z
5 − . . .
ch z = 1 + 12!z
2 + 14!z
4 + . . . sh z = z + 13!z
3 + 15!z
5 + . . .
tan z = z + 13z
3 + 215z
5 + . . . [ |z| < π/2] th z = z − 13z
3 + 215z
5 − . . . [ |z| < π/2]
(1 + z)n = 1 + nz +n(n − 1)
2!z2 + . . . [ |z| < 1] [serie du binome]
Quelques derivees
d
dztan z = sec2 z
d
dzth z = sech2 z
d
dzsh z = ch z
d
dzch z = sh z
Quelques integrales
∫dx
1 + x2= arctanx
∫dx
1 − x2= argthx
∫dx√
1 − x2= arcsinx
∫dx√
1 + x2= argshx
∫
tanx dx = − ln(cos x)
∫
th x dx = ln(ch x)
∫dx
x + x2= ln
(x
1 + x
) ∫x dx
1 + x2= ln(1 + x2)
∫dx√
x2 − 1= argchx
∫x dx√1 + x2
=√
1 + x2
∫dx
x√
x2 − 1= arccos
(1
x
) ∫ √x dx√1 − x
= arcsin(√
x) −√
x(1 − x)
∫dx
(1 + x2)3/2=
x
(1 + x2)1/2
∫
ln(x) dx = x ln(x) − x
∫ 1
0
dx√1 − x2
√1 − mx2
= K(m) [integrale elliptique complete de premiere espece]
Donnees numeriques (qui peuvent etre utilisees dans les problemes)
Systeme solaire
(masse de la Terre) = 5,97 × 1024 kg
(rayon de la Terre) = 6,38 × 106 m
(masse de la Lune) = 7,35 × 1022 kg
(rayon de la Lune) = 1,74 × 106 m
(masse du Soleil) = 1,99 × 1030 kg
(rayon du Soleil) = 6,96 × 108 m
(distance Terre–Lune) = 3,84 × 108 m
(distance Terre–Soleil) = 1,50 × 1011 m
Gaz parfaits
Nombre d’Avogadro, NA = 6,02 × 1023 particules/mole
Constante de Boltzmann, k = 1,38 × 10−23 J/K = 8,62 × 10−5eV/K
Constante des gaz parfaits, R = 8,31 J/(mole.K) = 0,0821 litre.atm/(mole.K)
CNTP = 0◦C et 1 atm
(Volume de 1 mole de gaz aux CNTP ) = 22,4 litres
Facteurs de conversion
Aire : 1 barn = 10−28 m2
Energie : 1 eV = 1,60 × 10−19 J
Quantite de chaleur : 1 cal = 4,184 J
Longueur : 1 inch (pouce) = 2,54 cm
1 mile = 1609 m
Masse : 1 u (unite de masse atomique)
= 1,66 × 10−27 kg = 931,5 MeV/c2
1 lb (livre) = 0,454 kg
1 MeV/c2 = 1,074 × 10−3 u = 1,783 × 10−30 kg
Quantite de mouvement : 1 MeV/c = 5,34 × 10−22 kg.m/s
Quelques constantes fondamentales
Vitesse de la lumiere, c = 3,00 × 108 m/s
Constantes de Planck, h = 6,63 × 10−34 J.s et ℏ = 1,05 × 10−34 J.s
Permeabilite du vide, µo = 4π × 10−7 N/A2
Permittivite du vide, ǫo = 8,85 × 10−12 C2/(N.m2)
Constante de Coulomb, k = 1/(4πǫo) = 8,99 × 109 N.m2/C2
Identites vectorielles
A · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B)
A × (B × C) = B(A ·C) − C(A ·B) [regle BAC − CAB]
Analyse vectorielle
∇f = x∂f
∂x+ y
∂f
∂y+ z
∂f
∂z[coordonnees cartesiennes]
= r∂f
∂r+ θ
1
r
∂f
∂θ+ φ
1
r sin θ
∂f
∂φ[coordonnees spheriques]
= ρ∂f
∂ρ+ φ
1
ρ
∂f
∂φ+ z
∂f
∂z[coordonnees cylindriques]
∇ × A = x
(∂
∂yAz −
∂
∂zAy
)
+ y
(∂
∂zAx −
∂
∂xAz
)
+ z
(∂
∂xAy −
∂
∂yAx
)
[coordonnees cartesiennes]
= r1
r sin θ
[∂
∂θ(sin θAφ) −
∂
∂φAθ
]
+ θ
[1
r sin θ
∂
∂φAr −
1
r
∂
∂r(rAφ)
]
+ φ1
r
[∂
∂r(rAθ) −
∂
∂θAr
]
[coordonnees spheriques]
= ρ
[1
ρ
∂
∂φAz −
∂
∂zAφ
]
+ φ
[∂
∂zAρ −
∂
∂ρAz
]
+ z1
ρ
[∂
∂ρ(ρAφ) −
∂
∂φAρ
]
[coordonnees cylindriques]
∇ ·A =∂
∂xAx +
∂
∂yAy +
∂
∂zAz [coordonnees cartesiennes]
=1
r2
∂
∂r(r2Ar) +
1
r sin θ
∂
∂θ(sin θAθ) +
1
r sin θ
∂
∂φAφ [coordonnees spheriques]
=1
ρ
∂
∂ρ(ρAρ) +
1
ρ
∂
∂φAφ +
∂
∂zAz [coordonnees cylindriques]
∇2f =∂2f
∂x2+
∂2f
∂y2+
∂2f
∂z2[coordonnees cartesiennes]
=1
r
∂2
∂r2(rf) +
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(
sin θ∂f
∂θ
)
+1
r2 sin2 θ
∂2f
∂φ2[coordonnees spheriques]
=1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ∂f
∂ρ
)
+1
ρ2
∂2f
∂φ2+
∂2f
∂z2[coordonnees cylindriques]
Une approche complète
La Mécanique classique de John Taylor s’adresse aux étudiants de licence déjà familiarisés avec les bases de lamécanique.
L’auteur y approfondit les notions fondamentales, puisdéveloppe des thèmes plus avancés tels que la formula-tion lagrangienne, la formulation hamiltonienne, la mécanique dans les référentiels non-inertiels, le mou-vement des corps rigides, les oscillateurs couplés, la théorie du chaos, la relativité restreinte et plusieursautres notions complexes. Certains physiciens incluant larelativité dans le corpus de la mécanique classique, cettebranche de la mécanique est également abordée danscet ouvrage.
Une approche progressive
Le livre est divisé en deux parties : la première partiecontient onze chapitres « essentiels » qui devraient êtrelus intégralement et dans l’ordre, alors que la secondecontient cinq chapitres « optionnels » indépendants lesuns des autres.
Chaque chapitre se termine par un grand nombre d’exer-cices corrigés, permettant notamment à l'étudiant de s'entraîner au traitement numérique par ordinateur.Les formules indispensables sont rappelées au début de chaque section d’entraînement, et une signalétiquesimple évalue la difficulté de chacun des exercices.
Traduit de l’américainT. Becherrawy est titulaire d’un doctorat de troisièmecycle de l’université de Paris et PH.D. de l’université de Rochester. Il enseigne à l’IUFM de Lorraine et à l’université de Nancy 1, et a enseigné à l’universitélibanaise de Beyrouth et à l’université de Savoie àChambéry. Il est par ailleurs l’auteur d’une vingtained’articles spécialisés ayant trait à la physique deshautes énergies.
Aurélie Cusset-Boudier est traductrice, rédactrice et réviseur scientifique.
a Une référence en mécanique classiquea Les notions les plus complexes expliquées de façon simplea De nombreux exercices corrigésa Des exercices à réaliser sur ordinateur
(sans logiciel payant)
9 782804 156893
ISBN : 978-2-8041-5689-3
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Mécanique classique
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Mécanique classique
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