Post on 04-Apr-2015
Introduction aux plans d’expériencesP. Lambert
D’après J.-M. Fuerbringer, Design of Experiments, http://doe.epfl.chMai 2006
BEAMS
Aperçu
• Exemple de départ• Méthodologie des plans d’expériences –
Plans factoriels• Exemple du vélo• Fiabilité des résultats
BEAMS
Exemple de départ
Enoncé Plan d’expériences élémentaire et son codage
BEAMS
Exemple de départ
Plan d’expériences optimal et son codage
Poids d’eau placé à gauche pour équilibrer les plateaux
Poids de tarage
Poids de l’objet 1 (jaune)
BEAMS
Exemple de départ
Plan d’expériences optimal et son codage
X
1 1 -1 -1
1 -1 1 -1
1 -1 -1 1
1 1 1 1
BEAMS
Exemple de départ
Plan d’expériences optimal et son codage
X
1 1 -1 -1
1 -1 1 -1
1 -1 -1 1
1 1 1 1
BEAMS
Exemple de départ
• Espace expérimental
BEAMS
Exemple de départ
• Comment choisir un plan efficace?• Comment évaluer un plan a priori?• Comment obtenir les coefficients d’un
modèle?
BEAMS
Aperçu
• Exemple de départ• Méthodologie des plans d’expériences –
Plans factoriels• Exemple du vélo• Fiabilité des résultats
BEAMS
Système et Modèle
Model
Factors (X) Responses (Y)
XfY
BEAMS
Modèle linéaire sans interaction
• Exemple d’un modèle à 3 paramètres:
• Effets– a0, effet constant
– ai, demi-effet principal
– ε, résidu (mesure de l’erreur entre le modèle et le système)
BEAMS
Modèle linéaire sans interaction
• Répétition d’expériences:
xij=valeur du paramètre i dans l’expérience j
Y(i)=réponse du système dans l’expérience i
• Formulation matricielle:
BEAMS
Modèle linéaire avec interactions
• Exemple d’un modèle à 3 paramètres:
• Effets– a0, effet constant– ai, demi-effet principal– aij, demi-effet d’interaction d’ordre 1– aijk, demi-effet d’interaction d’ordre 2– ε, résidu (mesure de l’erreur entre le modèle et le système)
BEAMS
Méthodologie
• Choix du modèle• Matrice du modèle X• Evaluation de X• Mesures Y• Détermination de la matrice des coefficients
A
Itération
BEAMS
Evaluation du modèle
• Matrice d’information
• Matrice de dispersion
• Matrice de corrélation
• Critères d’évaluation– A: Trace de la matrice de dispersion (à minimiser)– D: Déterminant de la matrice de dispersion
)(')('1
k
N
kk xfxfXXCij
(vij) = (X'X)-1
)var()var(
cov
ji
ij
jjii
ijij
aa
a
vv
vr
BEAMS
Evaluation du modèle
• Illustration
BEAMS
Evaluation du modèle
BEAMS
Détermination des coefficients
BEAMS
Méthodologie
• Choix du modèle• Matrice du modèle X• Evaluation de X• Mesures Y• Détermination de la matrice des coefficients
A
Itération
BEAMS
Aperçu
• Exemple de départ• Méthodologie des plans d’expériences –
Plans factoriels• Exemple du vélo• Fiabilité des résultats
BEAMS
Exemple du vélo
• On cherche l’influence de 3 paramètres sur le temps de parcours:– Hauteur de selle– Régime alimentaire– Dérailleur
• Modèle avec interactions
BEAMS
Plan factoriel
BEAMS
Matrice du modèle, X
BEAMS
Résultats et traitement
BEAMS
Analyse
a1 a2 a3 a12 a13 a23 a123
BEAMS
Aperçu
• Exemple de départ• Méthodologie des plans d’expériences –
Plans factoriels• Exemple du vélo• Fiabilité des résultats
– Seuillage– Anova– Normal Plot– Moindres carrés (Least Squares)
BEAMS
Signifiance d’un effet
• Seuillage
a1 a2 a3 a12 a13 a23 a123
BEAMS
Signifiance d’un effet
• Anova
BEAMS
Signifiance d’un effet
• Normal plot
BEAMS
Signifiance d’un effet
• Normal plot
BEAMS
Références
• Lectures conseillées– J.-M Fuerbringer, http://doe.epfl.ch– Box, Statistics for Experimenters, Wiley, 2005– Baléo et Al., Méthodologie expérimentale,
Editions Tec et Doc de l’école des mines de Nantes