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Ecole MECANO « Mécanique des Nano-objets »Les Escandilles Autrans - 15 au 19 mars 2010
INTRODUCTION AUXELEMENTS FINIS
INTRODUCTIONModélisation physique et couplages
Exemples d’utilisation
LA METHODE DES ELEMENTS FINISÉquilibre, comportement et conditions aux limites
Formulation faibleDiscrétisation, assemblage, résolution
Analyse de la solutionExemple
COMPLEMENTSÉléments finis isoparamétriques
Non linéarités (matériau, géométrie, contact, …)Cinématiques particulières (poutres, plaques, …)
R. FortunierEcole des Mines de Saint-EtienneCentre SMS, UMR CNRS 5146
fortunier@emse.fr
Poutre sous son poids- analytique- traité au tableau en parallèle
fil rouge !
Ecole MECANO « Mécanique des Nano-objets »Les Escandilles Autrans - 15 au 19 mars 2010
OBJECTIF GLOBAL
optimiser le procédé de mise en œuvre d’un produit(analyse du rôle des grandeurs physiques qui le caractérisent)
analyser le comportement en service d’un produit(principaux paramètres, conditions optimales d’utilisation)
METHODE : MODELISATION PHYSIQUE
phénomènes physique essentielséquations mathématiques qui gouvernent ces phénomènes
résolution et validation expérimentale
LA TECHNIQUE DES ELEMENTS FINIS EST UN SUPPORT A LA MODELISATION PHYSIQUE
INTRODUCTIONModélisation physique et couplages
Ecole MECANO « Mécanique des Nano-objets »Les Escandilles Autrans - 15 au 19 mars 2010
TRANSPORT DE ?
Energie Masse Charges Quantité de mvt
VARIABLE UTILISEE ?
Température T Concentration ci Potentiel V Déplacement u
LOI DE COMPORTEMENT (PREMIER GRADIENT) ?
Fourier Fick 1 (diffusion) Ohm Hookeφ= -λ.grad(T) φi = -D.grad(ci) j = -S.grad(V) σ = L:grad(u)Flux de chaleur Flux d’élément densité de courant Contrainte σ
EQUATIONS DE CONSERVATION ?
Eq. chaleur Fick 2 Maxwell-Gauss Equilibrediv(φ)+Q = 0 div(φi)+Ri = 0 div(j)+ρ = 0 div(σ)+f = 0
CONDITIONS AUX LIMITES ?
T ou φ.n ci ou φi.n V ou j.n u ou σ.n
COUPLAGES MULTI-PHYSIQUES
mécanique
INTRODUCTIONModélisation physique et couplages
Ecole MECANO « Mécanique des Nano-objets »Les Escandilles Autrans - 15 au 19 mars 2010
NON-LINEARITES• λ, D, S ou L non constantes (changements de phase, élasticité non linéaire, plasticité, …)• conditions aux limites (rayonnement, contacts)• géométrie (en mécanique)• précipitation, réactions chimiques, diode, …
COUPLAGES MULTI-PHYSIQUES• λ, D, S ou L quantités fonctions d’inconnues d’une autre physique• couplage par le terme volumique (mise en forme, …)
LES ELEMENTS FINIS EN MECANIQUE :Statique, Linéaire, Petits déplacements, Petites déformations
EFFET DU TEMPS• loi de comportement avec effet du temps (fluage, …)• thermique ou diffusion non stationnaire• dynamique en mécanique
INTRODUCTIONModélisation physique et couplages
Ecole MECANO « Mécanique des Nano-objets »Les Escandilles Autrans - 15 au 19 mars 2010
TRANSPORT
boitier de direction (PSA, ESI)
Roue de moto (ESI)
INTRODUCTIONExemples d’utilisation
Ecole MECANO « Mécanique des Nano-objets »Les Escandilles Autrans - 15 au 19 mars 2010
train à grande vitesse italien (ESI)
TRANSPORT
INTRODUCTIONExemples d’utilisation
Ecole MECANO « Mécanique des Nano-objets »Les Escandilles Autrans - 15 au 19 mars 2010
fermeture d’une capsule (Danone, ESI)
AGRO-ALIMENTAIRE
INTRODUCTIONExemples d’utilisation
Ecole MECANO « Mécanique des Nano-objets »Les Escandilles Autrans - 15 au 19 mars 2010
AGRO-ALIMENTAIRE
fabrication d’une bouteille en verre (ESI)
INTRODUCTIONExemples d’utilisation
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croissance cristalline(Cl. Maurice)
SCIENCE DES MATERIAUX
nitruration (P. Duranton et al., ESI)
INTRODUCTIONExemples d’utilisation
Ecole MECANO « Mécanique des Nano-objets »Les Escandilles Autrans - 15 au 19 mars 2010
croissance cristalline (B. Serre, Zset)
GB movement
Zener pinning (G. Couturier)
SCIENCE DES MATERIAUX
INTRODUCTIONExemples d’utilisation
Ecole MECANO « Mécanique des Nano-objets »Les Escandilles Autrans - 15 au 19 mars 2010
flexion 4P d’une éprouvette en cuivre (S. Villert)
SCIENCE DES MATERIAUX
INTRODUCTIONExemples d’utilisation
Injection de résine dans un renfort (G. Pacquaut, Zset) Frittage (J. Bruchon, CIMLIB)
Ecole MECANO « Mécanique des Nano-objets »Les Escandilles Autrans - 15 au 19 mars 2010
EQUATIONS D’EQUILIBRE
LOI DE COMPORTEMENT ET CONDITIONS AUX LIMITES
FORMULATION FAIBLE
DISCRETISATION
ASSEMBLAGE
RESOLUTION
ANALYSE DE LA SOLUTION
EXEMPLE : ACTIONNEMENT D’UN MICRO INTERRUPTEUR
LA METHODE DESELEMENTS FINIS
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EQUATIONS D’EQUILIBRE
0ft dv ds Ω, ΩAA ΩΩ
A =+⊂∀ ∫∫∂
( ) 0 dv . Ω, ΩAΩ
A =+∇⊂∀ ∫ fσ
1,2,3)(j 0 f x
σ , ou . , j
3
1i i
ij ==+∂
∂Ω∈∀=+∇Ω∈∀ ∑
=
x0fσx
σ.n = tn
LA METHODE DESELEMENTS FINIS
Ecole MECANO « Mécanique des Nano-objets »Les Escandilles Autrans - 15 au 19 mars 2010
LOI DE COMPORTEMENT ET CONDITIONS AUX LIMITES
= : εLσ
( )∇+∇= 21 uuε t
∇= : uLσ
( ) 0fuLx : . , =+∇∇Ω∈∀ ( )
( ) T
UΩ pour . :
Ω pour pour : .
∂∈=∇=∂∈=
Ω∈=+∇∇
xTnuLtxUu
x0fuL
x
LA METHODE DESELEMENTS FINIS
Ecole MECANO « Mécanique des Nano-objets »Les Escandilles Autrans - 15 au 19 mars 2010
FORMULATION FAIBLE
( ) 0fuL : . , =+∇∇
fonctions test v(x)
( ) 0 dv . dv : . . ,E v =+∇∇∈∀ ∫∫ΩΩ
fvuLvv
0 dv :: dv . dS .:E pour tout que telE Trouver vu
=∇∇−+∈∈
∫∫∫ΩΩΩ∂
uLvfvTvvu
t
T
( ) ( ) U
1U
1
sur /H sur /H
Ω∂=Ω∈=Ω∂=Ω∈=
0vvUuu
v
u
EE
Conditions aux limites« naturelles »
Conditions aux limites« essentielles »
LA METHODE DESELEMENTS FINIS
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DISCRETISATION
∑∑==
==Ω∈∀
ee n
1JJ
eJ
n
1II
eI
e )(N )(et )(N )( , ee vxxvuxxux
∑∑==
∇=∇∇=∇Ω∈∀
ee n
1J
eJ
eJ
n
1I
eI
eI
e )(N )(et )(N )( , vxxvuxxux tt
x
y
Nie(x,y)
1
0 nœud i
nœud j
nœud k
LA METHODE DESELEMENTS FINIS
Ecole MECANO « Mécanique des Nano-objets »Les Escandilles Autrans - 15 au 19 mars 2010
nœud n1 / n1 x y z2 / n2 x y z…n / nn x y z
elements m1 / imat ne i1 i2 … ine …2 / imat ne i1 i2 … ine ……m / imat ne i1 i2 … ine …
numéro absolu (global)
numéro introduit (global)
numéro introduit du nœud numéro 2de l’élément 1 (local) MATRICES DE LOCALISATION Ae
DISCRETISATION
LA METHODE DESELEMENTS FINIS
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ASSEMBLAGE
∑∑==
==n
1LL
eJL
eJ
n
1KK
eIK
eI A et A vvuu
3numérotation locale
de l’élément 191
219
numérotation localede l’élément 6
1
2
3
6
LA METHODE DESELEMENTS FINIS
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RESOLUTION
∑∑
∑ ∫∫∑
∑ ∫∫∫∫
= =
= ΩΩ∩Ω∂=
= ΩΩ∩Ω∂ΩΩ∂
=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+=
+=+
m
1e
eI
n
1I
eI
m
1e
eI
eI
n
1I
eI
m
1e
.
dv N dS N .
dv . dS . dv . dS .
e
e
Fv
fTv
fvTvfvTv
eeT
eeTT
∑∑∑
∑∑∑ ∫
∑∫∫
= = =
= = = Ω
= ΩΩ
=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛∇∇=
∇∇=∇∇
m
1e
n
1I
n
1J
eI
eIJ
eJ
m
1e
n
1I
n
1J
eI
eeteJ
m
1e
e e
e e
. .
. dv N . . N .
dv :: dv ::
uKv
uLv
uLvuLv
e
e
tt
0 dv :: dv . dS .:E pour tout que telE Trouver vu
=∇∇−+∈∈
∫∫∫ΩΩΩ∂
uLvfvTvvu
t
T
∑∑∑= ==
=><==m
1e
n
1I
eI
eIKK
n
1KKK
e
A avec . . FFFvFv [ ] ∑∑= =
=><=m
1e
n
1JI,
eJL
eIJ
eIKKL
e
A A avec . . v KKuKv
vecteur des sollicitations matrice de rigidité
tenseur des contraintes
LA METHODE DESELEMENTS FINIS
Ecole MECANO « Mécanique des Nano-objets »Les Escandilles Autrans - 15 au 19 mars 2010
[ ] ( ) 0 - .
:E pour tout que telE Trouver nvnu=><
∈><∈uKFv
vu
UJ
nvUI
nusur est J noeud le si / sur est I noeud le si /
Ω∂=><=Ω∂==
0vvUuu
EE
nœud I=KIJ uJ FI
uI = U
+P +PU
(pénalisation)
RESOLUTION
LA METHODE DESELEMENTS FINIS
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ANALYSE DE LA SOLUTION
VALEURS NODALESvecteur u contenant le « vecteur déplacement » uI de chaque nœud I.réactions concentrées aux nœuds : R = F – [K].u (résidu)
valeurs relativement précisestracé d’isovaleurs sur la structure
VALEURS DANS LES ELEMENTS (aux points d’intégration)Tenseur des contraintes et des déformations (gradient de déplacement)
Interpolation aux nœuds (moyennation)valeurs moins précises aux noeudstracé d’isovaleurs sur la structure
LA METHODE DESELEMENTS FINIS
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Numerical simulations (Zset)
Parameters :• Cantilever thickness e• Contact thickness ec• Constant initial gap depth g0=1,7µm• Without stopper• (Hole position)• Influence of the meshActuation voltage :• 30V, 50V, 80VElectrostatic force :• The current actuation gap g is updated locally
(initial value g0) to evaluate the loading force
22
20
212
SVFg
ε=
contact
Cantilever
Subtrate
e
ec
g0 = 1,7µm
EXEMPLEMICRO-INTERRUPTEUR
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Mechanical model Optimization
3
23
Initial gap(µm)
Actuated voltage (V)
Cantilever thickness e (µm)
Contact thickness ec(µm)
1.7 30 2 1
50 3 1.2
80 4 1.4
x
4
16
25
11 .
...
.
zy Notations :
example : e2 ec1 30V
Results :Cantilever final shape (along X axis)Mean contact pressure
EXEMPLEMICRO-INTERRUPTEUR
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24
7
6
5
4
3
2
1
Case number Nb elts (thickness) Nodes Nb Elements Nb
3 1168 725
5 2766 1960
7 6631 5180
10 50112 43570
3 (quadratic) 4170 725
5 (quadratic) 10177 1960
7 (quadratic) 24966 5180
Influence of the mesh (case e4 ec0.7 50V)
EXEMPLEMICRO-INTERRUPTEUR
Ecole MECANO « Mécanique des Nano-objets »Les Escandilles Autrans - 15 au 19 mars 2010
25
Influence of the mesh
case 4
case 3
case 1
EXEMPLEMICRO-INTERRUPTEUR
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Influence of the mesh - maximum deflection (U3)
.
At this point, end of the actuated area
Cases 5, 6, 7(quadratic elements)
Cases 1 to 4(linear elements)
EXEMPLEMICRO-INTERRUPTEUR
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Cantilever final shape for thickness of 2 µm
27
-8,00E-04
-7,00E-04
-6,00E-04
-5,00E-04
-4,00E-04
-3,00E-04
-2,00E-04
-1,00E-04
0,00E+000,00E+00 2,00E-02 4,00E-02 6,00E-02 8,00E-02 1,00E-01 1,20E-01
Cantilever length (mm)
Dis
plac
emen
t fol
low
ing
U3
(mm
)
e2ec1 30Ve2ec1 50Ve2ec1 80Ve2ec1,2 30Ve2ec1,2 50Ve2ec1,2 80Ve2ec1,4 30Ve2ec1,4 50Ve2ec1,4 80V
Contact zoneActuation zone
EXEMPLEMICRO-INTERRUPTEUR
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Cantilever final shape for thickness of 3 µm
28
-8,00E-04
-7,00E-04
-6,00E-04
-5,00E-04
-4,00E-04
-3,00E-04
-2,00E-04
-1,00E-04
0,00E+000,00E+00 2,00E-02 4,00E-02 6,00E-02 8,00E-02 1,00E-01 1,20E-01
Cantilever length (mm)D
ispl
acem
ent f
ollo
win
g U
3 (m
m)
e3ec1 30Ve3ec1 50Ve3ec1 80Ve3ec1,2 30Ve3ec1,2 50Ve3ec1,2 80Ve3ec1,4 30V
e3ec1,4 50Ve3ec1,4 80V
Contact zoneActuation zone
EXEMPLEMICRO-INTERRUPTEUR
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Cantilever final shape for thickness of 4 µm
29
-8,00E-04
-7,00E-04
-6,00E-04
-5,00E-04
-4,00E-04
-3,00E-04
-2,00E-04
-1,00E-04
0,00E+000,00E+00 2,00E-02 4,00E-02 6,00E-02 8,00E-02 1,00E-01 1,20E-01
Cantilever length (mm)
Dis
plac
emen
t fol
low
ing
U3
(mm
)
e4ec1 30Ve4ec1 50Ve4ec1 80Ve4ec1,2 30Ve4ec1,2 50Ve4ec1,2 80Ve4ec1,4 30Ve4ec1,4 50Ve4ec1,4 80V
Contact zoneActuation zone
EXEMPLEMICRO-INTERRUPTEUR
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Cantilever final shape for 50V actuation
30
-8,00E-04
-7,00E-04
-6,00E-04
-5,00E-04
-4,00E-04
-3,00E-04
-2,00E-04
-1,00E-04
0,00E+000,00E+00 2,00E-02 4,00E-02 6,00E-02 8,00E-02 1,00E-01 1,20E-01
Cantilever length (mm)
Dis
plac
emen
t fol
low
ing
U3
(mm
)
e2ec1 50Ve2ec1,2 50Ve2ec1,4 50Ve3ec1 50Ve3ec1,2 50Ve3ec1,4 50Ve4ec1 50Ve4ec1,2 50Ve4ec1,4 50V
Contact zoneActuation zone
EXEMPLEMICRO-INTERRUPTEUR
Ecole MECANO « Mécanique des Nano-objets »Les Escandilles Autrans - 15 au 19 mars 2010
00,020,040,060,080,1
0,120,140,160,180,2
0,220,240,260,280,3
0,320,340,360,380,4
e2 ec1 e2 ec1,2 e2 ec1,4 e3 ec1 e3 ec1,2 e3 ec1,4 e4 ec1 e4 ec1,2 e4 ec1,4For different designs
Con
tact
pre
ssur
e (M
Pa)
80 V50 V30 V
Mean contact pressure (MPa)
31
Contact area : S= 100 µm2
No contact
No contact
No contact
No contact
Shortcut !!
EXEMPLEMICRO-INTERRUPTEUR
Ecole MECANO « Mécanique des Nano-objets »Les Escandilles Autrans - 15 au 19 mars 2010
Main design parameter : g0-ec / e^3
32
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10
(g-ec) / e^3
V
Contact YES
Contact NO
Contact but possible shortcut
no contact
contact
shortcut
EXEMPLEMICRO-INTERRUPTEUR
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ELEMENTS ISOPARAMETRIQUES
UTILISATION D’ELEMENTS DE REFERENCE
MEME FONCTIONS DE FORME POUR LA TRANSFORMATIONGEOMETRIQUE ET L’INTERPOLATION DES INCONNUES NODALES
COMPLEMENTSElements isoparamétriques
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DIFFERENTS TYPES D’ELEMENTS
ELEMENTS 1D
ELEMENTS 2D
ELEMENTS 3DCAS PARTICULIER
COMPLEMENTSElements isoparamétriques
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POUTRES ET MEMBRANES
POUTRES MEMBRANES
UTILISATION D’UNE CINETIQUE DE DEPLACEMENTS PARTICULIERE
COMPLEMENTSCinématiques particulières
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CAS DES POUTRES
POUTRES
uM = uG + rG ∧ GM
degrés de liberté par nœud
COMPLEMENTSCinématiques particulières