Intervalles de convergence desséries de TaylorCalculer un intervalle de convergence

Document№3

Pierre-Olivier Rathé

Professeur de mathématique

Département des sciences de la nature

Cégep régional de Lanaudière à Terrebonne

pierre.olivier.rathe@cegep-lanaudiere.qc.ca

Ressource développée dans le cadre du projet Mathéma-TIC

Financé par le ministère de l’Enseignement supérieur, de la Recherche et de la Science (MESRS)

du Québec dans le cadre du Programme d’arrimage universités-collèges

Financé par le ministère de l‘Économie, de l’Innovation et des Exportations (MEIE)

du Québec dans le cadre du Programme NovaScience – Volet Soutien aux projets: réseau scolaire

Mise en contexte

But : Déterminer l’intervalle de convergence d’une série de Taylor.

Note: Afin de vous aider à visualiser la situation lors de l’exercice, consultez cette

ressource GeoGebra.

Théorème

Intervalle de convergence d'une serie de Taylor

Soit f , une fonction infiniment dérivable, et Tf , la série de Taylor de la fonction fcentrée en x = a. Il y a trois comportements possibles.

1. La série converge si et seulement si x = a. Dans ce cas, Tf (x) = c0 = f(a).

2. Il existe une constante R ∈ R telle que la série converge pour |x− a| < R et

diverge pour |x− a| > R.

3. La série converge pour tout x ∈ R.

? ?

a−R a a+R

diverge converge diverge

Exercice

Considérons la fonction f(x) = ln(x).

A) À l’aide du fichier GeoGebra, tracer les polynômes de Taylor de f , centrés ena = 1, pour différents degrés. Comparer ensuite ces polynômes Pn(x), pourn = 1, . . . , 20, au graphe de f .

B) À l’aide du fichier GeoGebra, calculer En(x) en différentes valeurs de x, pourn = 1, . . . , 20. Par exemple, comparer les valeurs de En(x):

• pour un x fixé, en faisant varier la valeur de n;• pour des valeurs de n fixées, en faisant varier la valeur de x.

Exercice

C) À l’aide des observations faites en A) et en B), formuler une hypothèse sur

l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles la série de Taylor de la fonction fcentrée en a = 1 semble converger vers la fonction f .

D) Écrire la série de Taylor centrée en a = 1 de la fonction f(x) = ln(x).

Exercice

E) Observer le terme général de la série de Taylor de ln(x) et nommer le critère

de convergence le plus approprié permettant de déterminer pour quelles

valeurs de x la série de Taylor converge vers la fonction.

F) Appliquer le critère de convergence choisi en E) afin de déterminer pour

quelles valeurs de x la série de Taylor converge vers la fonction.

Résumé

Conception du contenu

Pierre-Olivier RathéCégep régional de Lanaudière à Terrebonnepierre.olivier.rathe@cegep-lanaudiere.qc.ca

Samuel Bernard

Révision du contenu

France CaronChristian Larouche

france.caron@umontreal.cachristian.larouche@cegep-lanaudiere.qc.ca

Direction de projet

Samuel Bernard

Bruno Poellhuber

Conception graphique

Christine Blais

Production des modèles en LaTeX

Nicolas Beaucheminnicolas.beauchemin@bdeb.qc.ca

Vidéo mise à disposition selon les termes de la licence

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Production

Samuel Bernard Bruno Poellhuber