Intervalles de convergence des séries de Taylor...
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Intervalles de convergence des séries de Taylor Calculer un intervalle de convergence Document №3 Pierre-Olivier Rathé Professeur de mathémaque Département des sciences de la nature Cégep régional de Lanaudière à Terrebonne [email protected] Ressource développée dans le cadre du projet Mathéma-TIC Financé par le ministère de l’Enseignement supérieur, de la Recherche et de la Science (MESRS) du Québec dans le cadre du Programme d’arrimage universités-collèges Financé par le ministère de l‘Économie, de l’Innovaon et des Exportaons (MEIE) du Québec dans le cadre du Programme NovaScience – Volet Souen aux projets: réseau scolaire
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Intervalles de convergence desséries de TaylorCalculer un intervalle de convergence
Document№3
Pierre-Olivier Rathé
Professeur de mathématique
Département des sciences de la nature
Cégep régional de Lanaudière à Terrebonne
Ressource développée dans le cadre du projet Mathéma-TIC
Financé par le ministère de l’Enseignement supérieur, de la Recherche et de la Science (MESRS)
du Québec dans le cadre du Programme d’arrimage universités-collèges
Financé par le ministère de l‘Économie, de l’Innovation et des Exportations (MEIE)
du Québec dans le cadre du Programme NovaScience – Volet Soutien aux projets: réseau scolaire
Mise en contexte
But : Déterminer l’intervalle de convergence d’une série de Taylor.
Note: Afin de vous aider à visualiser la situation lors de l’exercice, consultez cette
ressource GeoGebra.
Théorème
Intervalle de convergence d'une serie de Taylor
Soit f , une fonction infiniment dérivable, et Tf , la série de Taylor de la fonction fcentrée en x = a. Il y a trois comportements possibles.
1. La série converge si et seulement si x = a. Dans ce cas, Tf (x) = c0 = f(a).
2. Il existe une constante R ∈ R telle que la série converge pour |x− a| < R et
diverge pour |x− a| > R.
3. La série converge pour tout x ∈ R.
? ?
a−R a a+R
diverge converge diverge
Exercice
Considérons la fonction f(x) = ln(x).
A) À l’aide du fichier GeoGebra, tracer les polynômes de Taylor de f , centrés ena = 1, pour différents degrés. Comparer ensuite ces polynômes Pn(x), pourn = 1, . . . , 20, au graphe de f .
B) À l’aide du fichier GeoGebra, calculer En(x) en différentes valeurs de x, pourn = 1, . . . , 20. Par exemple, comparer les valeurs de En(x):
• pour un x fixé, en faisant varier la valeur de n;• pour des valeurs de n fixées, en faisant varier la valeur de x.
Exercice
C) À l’aide des observations faites en A) et en B), formuler une hypothèse sur
l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles la série de Taylor de la fonction fcentrée en a = 1 semble converger vers la fonction f .
D) Écrire la série de Taylor centrée en a = 1 de la fonction f(x) = ln(x).
Exercice
E) Observer le terme général de la série de Taylor de ln(x) et nommer le critère
de convergence le plus approprié permettant de déterminer pour quelles
valeurs de x la série de Taylor converge vers la fonction.
F) Appliquer le critère de convergence choisi en E) afin de déterminer pour
quelles valeurs de x la série de Taylor converge vers la fonction.
Résumé
Conception du contenu
Pierre-Olivier RathéCégep régional de Lanaudière à [email protected]
Samuel Bernard
Révision du contenu
France CaronChristian Larouche
[email protected]@cegep-lanaudiere.qc.ca
Direction de projet
Samuel Bernard
Bruno Poellhuber
Conception graphique
Christine Blais
Production des modèles en LaTeX
Nicolas [email protected]
Vidéo mise à disposition selon les termes de la licence
Creative Commons internationale 4.0
Paternité / Pas d’utilisation commerciale / Partage dans les mêmes conditions
Les autorisations au-delà du champ de cette licence peuvent être obtenues à
Mathema-TIC.ca
Production
Samuel Bernard Bruno Poellhuber
