Conduction en régime variable

I-Conduction en régime variable : Généralités

En absence de sources internes

D est la Diffusivité

s/K

tT

m/KT 2

D m2s 1

DT T

ttTCqTk

a) Introduction

Conduction en régime variable

b- Cas du mur ( problème à une dimension)

tT

xTD 2

2

• La chaleur se propage le long de l’axe ox•Les isothermes sont des plans perpendiculaires à ox

T1 T2

ox

Conduction en régime variable

Conduction en régime variable

c) Résolution numérique graphique- Méthode de Schmidt

Discrétisation dans l’espace et dans le temps

• discrétisation en x : x

o x

n n+1n-1

x x x x

Conduction en régime variable

Conduction en régime variable• discrétisation en x : x

T

x

Tn1,p Tn,p

x

2T

x2 Tn1,p Tn,p Tn,p Tn 1,p

x 2

2T

x2 Tn1,p Tn 1,p 2Tn,p

x 22T

x2 2MN

x 2

o x

n n+1n-1

x x x x

Tn+1Tn

Tn-1

temps tM

N

Conduction en régime variable

T

t

Tn,p1 Tn,p

t

• discrétisation dans le temps t

x

n n+1n-1

x x x x

Tn,p temps ttemps t+ t

Tn,p+1

Conduction en régime variable

T

t

Tn,p1 Tn,p

t

D2T

x2 D2MN

x 2

Tn,p1 Tn,p

t

• discrétisation dans le temps t

x

n n+1n-1

L’équation de la chaleur s’écrit alorsx x x x

Tn+1,pTn,p

Tn-1,p

temps t

Tn-1,p+1

Tn,p+1

Tn+1,p+1

Conduction en régime variable

T

t

Tn,p1 Tn,p

t

D2T

x2 D2MN

x 2

Tn,p1 Tn,p

t

Si D2t

x 21 Tn,p1 Tn,p MN

• discrétisation dans le temps t

x

n n+1n-1

L’équation de la chaleur s’écrit alors x x x x

Tn+1Tn

Tn-1

temps tM

N

Tn,p+1

Conduction en régime variable

n n+1n-1

x x x x

Tn+1Tn

Tn-1

temps tM

N

Tn,p+1

d’où la construction

Conduction en régime variable

Conduction en régime variabled) Exemple de construction

t=0 Tp=0

1 2 3 40

Conduction en régime variable

Conduction en régime variableExemple de construction

t=0

t=t

1 2 3 40

Conduction en régime variable

Conduction en régime variableExemple de construction

t=0

t= t

1 2 3 40

Conduction en régime variable

Conduction en régime variableExemple de construction

t=0

t= t

t= 2t

1 2 3 40

Conduction en régime variable

Conduction en régime variableExemple de construction

t=0

t= t

t= 2t

1 2 3 40

Conduction en régime variable

Conduction en régime variableExemple de construction

t=0

t= t

t= 2tt= 3t

1 2 3 40

Conduction en régime variable

Conduction en régime variableAutre exemple de construction

t=0

0 1 2 0’1’2’

Conduction en régime variable

Conduction en régime variableExemple de construction

t=0

t= t

0 1 2 0’1’2’

Conduction en régime variable

Conduction en régime variableExemple de construction

t=0

t= tt= 2t

0 1 2 0’1’2’

Conduction en régime variable

Conduction en régime variableExemple de construction

t=0

t= t

t= 2tt= 3t

0 1 2 0’1’2’

Conduction en régime variable

Conduction en régime variableExemple de construction

t=0

t= t

t= 2tt= 3t

0 1 2 0’1’2’

Conduction en régime variable

Conduction en régime variable

II-Problème de Fourier : mur symétrique

en régime transitoire

Conduction en régime variable

Conduction en régime variable

o x

•Temps t=0- tout le mur est isotherme T=T0

•Temps t=0 les parois passent à la température T=0

2a

T0 t=0

Ts=0

a) Hypothèses Conduction en régime variable

Conduction en régime variable

DT T

t

Méthode de séparation des variables T x, t f x g t

Dgfx' ' fg t

'

Conduction en régime variableb) résolution

Conduction en régime variable

Dgfx' ' fg t

'

Dfx

' '

f

g t'

g x ett

Conduction en régime variable

Conduction en régime variable

Dgfx' ' fg t

'

Dfx

' '

f

g t'

gc x ett

g = C1ect 2-=c 0c

g C1e 2 t

Conduction en régime variable

Dfx

' '

f 2

f C2 cosD

x C3 sinD

x

Les conditions aux limites donnent plusieurs valeurs de donc Plusieurs valeurs des C1, C2, C3

C1n, C2n, C3n n

Conduction en régime variable

T(x, t) n

C1ne n

2 t C2n cosn

Dx C3n sin

n

Dx

Mais T(x) =T(-x) C3n=0

T(x, t) n

e n

2 tCn cosn

Dx

Conduction en régime variable

T(x, t) n

e n

2 tCn cosn

Dx

t=0x= ±a

T=0cos

n

Da 0

n 2p 1 D

2a

T(x, t) n

e

2p1 D

2a

2

t

C2p1 cos 2p 1 2a

x

Conduction en régime variable

T(x) n

Cn cos n

2a

xEn t =0 avec n=2p+1

o x2a

T0 t=0T(x) An cos n

2a

xn

An A2p1 4T0

2p 1 1 p

avec n=2p+1

Conduction en régime variable

T(x, t) 4T0

1 p

2p 1p0

e

2p1 2 2

4a2Dt

cos 2p 1 x

2aT(x, t)

4T0

1 p

2p 1p0

e

2p1 2 2

4a2Dt

cos 2p 1 x

2a

Dt

a 2 est sans dimension c’est le nombre de Fourier Fo

F0 Dt

a2

Conduction en régime variable

c) Echange par convection avec le milieu extérieur

Ta

Tpt<0 Ta=Tp=T(x)=To

t=0 Ta=0Tp= T(x=±a) =?

T(x)=?

Mais en surface

T

x

h

kTp

h/k

sur la surface

Tp

q hS(Tp 0) kST

x

Conduction en régime variable

Par analogie avec le problème de Fourier

T(x, t) e n2 tCn cos

n

Dx

n

n D

2a

n’est plus un entier

La condition aux limites sur les parois conduit à écrire à t=0

cot 2

k

h

2a

Conduction en régime variablecotgx

xk/ha

cot

2

k

h

2a

Bi ha

k= nombre de Biot

Conduction en régime variableOn préfere utiliser des abaques donnant la température

en des points particuliers en fonction des nombres de Fourier (Fo) et de Biot Bi)

Tp

Fo

Bi

Bi ha

k

20 aDtF

Conduction en régime variabled) Cas d’un milieu semi infini

D2T

x2 T

t

o x

Conduction en régime variable

D2T

x2 T

tEn posant T=T(v)

Avec v=x(t)

d2T

dv2

vD

dTdv

ddt3 A

Fonction de v Fonction de t

Conduction en régime variable

d2T

dv2

vD

dTdv

ddt3 A

1

2 2At B 1

2A t B'

En posant A=-1/2

1

t B'

Conduction en régime variable

d2T

dv2

vD

dTdv

ddt3 A

LndT

dv

v2

4DConst

A=-1/2

dT

dvCe

v 2

4D

en posant y2 v2

4DT(v) C' C e y2

dyv

2 D

T(x, t) C' C e y2

dyx

2 D tB'

Conduction en régime variable

C. I. t<0 T=T1

t=0 • x=0 , T=T2• x=∞ , T=T1

En posant u x

2 Dt

T(x, t) T1 (T2 T1)Z(u)

Z(u) 2

e y2

dyu

T(x, t) T1 (T2 T1) 1 erf(u)

erf(u) 2

e y2

dy0

u

T(x, t) C' C e y2

dyx

2 D tB'

o

x

T1

T2t=0

Conduction en régime variable

T(x, t) T1 (T2 T1) 1 erf(u)

T(x, t) T2 (T1 T2 )erf(u) u x

2 Dt

Z(u)=1-erf(u) Z(u)=1-erf(u)

Typiquement D=10-6SI

Conduction en régime variablePar unité de surface de paroi

q(0, t) kT

x

Conduction en régime variablePar unité de surface de paroi

q(0, t) kT

x

k

Dt(T2 T1)

Conduction en régime variable

Vérifier que la solution ci contre est en accord avec les conditions aux limites d’un mur symétrique

T T1 T2 T1 1 n

n0

2 erf2n 1 a x

2 Dt erf

2n 1 a x

2 Dt

Mur symétrique

Conduction en régime variable

t=0 Tp=0

1 2 3 40