I-Conduction en régime variable : Généralités

Conduction en régime variable

I-Conduction en régime variable : Généralités

En absence de sources internes

D est la Diffusivité

s/K

tT

m/KT 2

D m2s 1

DT T

ttTCqTk

a) Introduction


b- Cas du mur ( problème à une dimension)

tT

xTD 2

2

• La chaleur se propage le long de l’axe ox•Les isothermes sont des plans perpendiculaires à ox

T1 T2

ox



c) Résolution numérique graphique- Méthode de Schmidt

Discrétisation dans l’espace et dans le temps

• discrétisation en x : x

o x

n n+1n-1

x x x x


Conduction en régime variable• discrétisation en x : x

T

x

Tn1,p Tn,p

x

2T

x2 Tn1,p Tn,p Tn,p Tn 1,p

x 2

2T

x2 Tn1,p Tn 1,p 2Tn,p

x 22T

x2 2MN

x 2

o x

n n+1n-1

x x x x

Tn+1Tn

Tn-1

temps tM

N


T

t

Tn,p1 Tn,p

t

• discrétisation dans le temps t

x

n n+1n-1

x x x x

Tn,p temps ttemps t+ t

Tn,p+1


T

t

Tn,p1 Tn,p

t

D2T

x2 D2MN

x 2

Tn,p1 Tn,p

t


x

n n+1n-1

L’équation de la chaleur s’écrit alorsx x x x

Tn+1,pTn,p

Tn-1,p

temps t

Tn-1,p+1

Tn,p+1

Tn+1,p+1


T

t

Tn,p1 Tn,p

t

D2T

x2 D2MN

x 2

Tn,p1 Tn,p

t

Si D2t

x 21 Tn,p1 Tn,p MN


x

n n+1n-1

L’équation de la chaleur s’écrit alors x x x x

Tn+1Tn

Tn-1

temps tM

N

Tn,p+1


n n+1n-1

x x x x

Tn+1Tn

Tn-1

temps tM

N

Tn,p+1

d’où la construction


Conduction en régime variabled) Exemple de construction

t=0 Tp=0

1 2 3 40


Conduction en régime variableExemple de construction

t=0

t=t

1 2 3 40



t=0

t= t

1 2 3 40



t=0

t= t

t= 2t

1 2 3 40



t=0

t= t

t= 2tt= 3t

1 2 3 40


Conduction en régime variableAutre exemple de construction

t=0

0 1 2 0’1’2’



t=0

t= t

0 1 2 0’1’2’



t=0

t= tt= 2t

0 1 2 0’1’2’



t=0

t= t

t= 2tt= 3t

0 1 2 0’1’2’



II-Problème de Fourier : mur symétrique

en régime transitoire



o x

•Temps t=0- tout le mur est isotherme T=T0

•Temps t=0 les parois passent à la température T=0

2a

T0 t=0

Ts=0

a) Hypothèses Conduction en régime variable


DT T

t

Méthode de séparation des variables T x, t f x g t

Dgfx' ' fg t

'

Conduction en régime variableb) résolution


Dgfx' ' fg t

'

Dfx

' '

f

g t'

g x ett



Dgfx' ' fg t

'

Dfx

' '

f

g t'

gc x ett

g = C1ect 2-=c 0c

g C1e 2 t


Dfx

' '

f 2

f C2 cosD

x C3 sinD

x

Les conditions aux limites donnent plusieurs valeurs de donc Plusieurs valeurs des C1, C2, C3

C1n, C2n, C3n n


T(x, t) n

C1ne n

2 t C2n cosn

Dx C3n sin

n

Dx

Mais T(x) =T(-x) C3n=0

T(x, t) n

e n

2 tCn cosn

Dx


T(x, t) n

e n

2 tCn cosn

Dx

t=0x= ±a

T=0cos

n

Da 0

n 2p 1 D

2a

T(x, t) n

e

2p1 D

2a

2

t

C2p1 cos 2p 1 2a

x


T(x) n

Cn cos n

2a

xEn t =0 avec n=2p+1

o x2a

T0 t=0T(x) An cos n

2a

xn

An A2p1 4T0

2p 1 1 p

avec n=2p+1


T(x, t) 4T0

1 p

2p 1p0

e

2p1 2 2

4a2Dt

cos 2p 1 x

2aT(x, t)

4T0

1 p

2p 1p0

e

2p1 2 2

4a2Dt

cos 2p 1 x

2a

Dt

a 2 est sans dimension c’est le nombre de Fourier Fo

F0 Dt

a2


c) Echange par convection avec le milieu extérieur

Ta

Tpt<0 Ta=Tp=T(x)=To

t=0 Ta=0Tp= T(x=±a) =?

T(x)=?

Mais en surface

T

x

h

kTp

h/k

sur la surface

Tp

q hS(Tp 0) kST

x


Par analogie avec le problème de Fourier

T(x, t) e n2 tCn cos

n

Dx

n

n D

2a

n’est plus un entier

La condition aux limites sur les parois conduit à écrire à t=0

cot 2

k

h

2a

Conduction en régime variablecotgx

xk/ha

cot

2

k

h

2a

Bi ha

k= nombre de Biot

Conduction en régime variableOn préfere utiliser des abaques donnant la température

en des points particuliers en fonction des nombres de Fourier (Fo) et de Biot Bi)

Tp

Fo

Bi

Bi ha

k

20 aDtF

Conduction en régime variabled) Cas d’un milieu semi infini

D2T

x2 T

t

o x


D2T

x2 T

tEn posant T=T(v)

Avec v=x(t)

d2T

dv2

vD

dTdv

ddt3 A

Fonction de v Fonction de t


d2T

dv2

vD

dTdv

ddt3 A

1

2 2At B 1

2A t B'

En posant A=-1/2

1

t B'


d2T

dv2

vD

dTdv

ddt3 A

LndT

dv

v2

4DConst

A=-1/2

dT

dvCe

v 2

4D

en posant y2 v2

4DT(v) C' C e y2

dyv

2 D

T(x, t) C' C e y2

dyx

2 D tB'


C. I. t<0 T=T1

t=0 • x=0 , T=T2• x=∞ , T=T1

En posant u x

2 Dt

T(x, t) T1 (T2 T1)Z(u)

Z(u) 2

e y2

dyu

T(x, t) T1 (T2 T1) 1 erf(u)

erf(u) 2

e y2

dy0

u

T(x, t) C' C e y2

dyx

2 D tB'

o

x

T1

T2t=0


T(x, t) T1 (T2 T1) 1 erf(u)

T(x, t) T2 (T1 T2 )erf(u) u x

2 Dt

Z(u)=1-erf(u) Z(u)=1-erf(u)

Typiquement D=10-6SI

Conduction en régime variablePar unité de surface de paroi

q(0, t) kT

x

Conduction en régime variablePar unité de surface de paroi

q(0, t) kT

x

k

Dt(T2 T1)


Vérifier que la solution ci contre est en accord avec les conditions aux limites d’un mur symétrique

T T1 T2 T1 1 n

n0

2 erf2n 1 a x

2 Dt erf

2n 1 a x

2 Dt

Mur symétrique


t=0 Tp=0

1 2 3 40

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