Geovan Tavares, Thomas Lewiner, Hélio Lopes Laboratório Mat&Mídia, Departamento de Matemática,...

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Geovan Tavares, Thomas Lewiner, Hélio Lopes

Laboratório Mat&Mídia,Departamento de Matemática, PUC-Rio

Théorie de Morse discrète

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Laboratório Mat&Mídia Thomas Lewiner, Helio Lopes e Geovan Tavares.

Théorie de Morse discrèteIntroductionFonctions de Morse classiqueLiens avec la topologieThéorie de Morse discrèteChamps de gradient discretComparaison avec la théorie classique3 points de vueOptimalitéAlgorithmeApplications

Introduction

• Eléments de la théorie de Morse classique

• Eléments de théorie de Morse discrète

• Construction de fonctions de Morse discrètes

• Applications

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Théorie de Morse discrèteIntroductionFonctions de Morse classiqueLiens avec la topologieThéorie de Morse discrèteChamps de gradient discretComparaison avec la théorie classique3 points de vueOptimalitéAlgorithmeApplications

Fonctions de Morse classique

• Fonction différentiable f définie sur une variété différentielle X, à valeurs réelles.

• Points critiques de f : xX tais que f(x)=0.

• f est une fonction de Morse ssi ses points critiques ne sont pas dégénérés.

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Liens avec la topologie

m(k) : nombre de points critiques d’indice k

(k) : k-ième nombre de Betti (calcule sur un anneau quelconque)

• Inégalité forte de Morse(k) - (k-1) + … (0) m(k) - m(k-1) + … m(0)

• Inégalité faible de Morse(k) m(k)

• Caractéristique d’Euler(n) - (n-1)+…(0) = m(n) - m(n-1) +… m(0)

• Déformation continue hors des points critiques

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Théorie de Morse discrète(Forman 1995)

Complexe cellulaire arbitraire

Théorie entièrement combinatoire

Indépendante d’un plongement géométrique

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Champs de gradient discret

• Un champs de vecteurs combinatoire V est une collection disjointe de paire de cellules incidentes

• Un champs de vecteurs est de Morse s’il n’existe pas de V-chemin trivial

• Les cellules critiques sont celles qui n'appartiennent à aucune paire de V.

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Comparaison avec la théorie classique

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3 points de vue

• Fonction de Morse sur un complexe cellulaire

• Champs de gradient discret: matching acyclique

• Hyperforets

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Optimalité

• Une fonction f définie par f()=dim() est une fonction de Morse discrète ou tous les points sont critiques

• Une fonction de Morse est dite optimale si elle atteint le nombre minimum de points critiques

• Le nombre minimum de points critiques est un invariant topologique pour les variétés de dimension 3

• Atteindre l’optimum est un problème MAX-SNP hard (à partir de la dimension 2)

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Algorithme

• Construction de fonctions de Morse proches de l’optimum en dimension quelconque

• Optimal pour les variétés en dimension 2

• Linéaire en dimension 2

• Quadratique en dimension quelconque

• Ajouts de contraintes géométriques

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Applications

• Démonstration élégante d’algorithmes (EdgeBreaker Grow&Fold)

• Minimiser les ‘glue faces’ de Grow&Fold

• Résolution de flots discrets

• Lien avec les surfaces normales?