Geovan Tavares, Thomas Lewiner, Hélio Lopes Laboratório Mat&Mídia, Departamento de Matemática,...

11
Geovan Tavares, Thomas Lewiner, Hélio Lopes Laboratório Mat&Mídia, Departamento de Matemática, PUC-Rio Théorie de Morse discrète

Transcript of Geovan Tavares, Thomas Lewiner, Hélio Lopes Laboratório Mat&Mídia, Departamento de Matemática,...

Page 1: Geovan Tavares, Thomas Lewiner, Hélio Lopes Laboratório Mat&Mídia, Departamento de Matemática, PUC-Rio Théorie de Morse discrète.

Geovan Tavares, Thomas Lewiner, Hélio Lopes

Laboratório Mat&Mídia,Departamento de Matemática, PUC-Rio

Théorie de Morse discrète

Page 2: Geovan Tavares, Thomas Lewiner, Hélio Lopes Laboratório Mat&Mídia, Departamento de Matemática, PUC-Rio Théorie de Morse discrète.

2

Laboratório Mat&Mídia Thomas Lewiner, Helio Lopes e Geovan Tavares.

Théorie de Morse discrèteIntroductionFonctions de Morse classiqueLiens avec la topologieThéorie de Morse discrèteChamps de gradient discretComparaison avec la théorie classique3 points de vueOptimalitéAlgorithmeApplications

Introduction

• Eléments de la théorie de Morse classique

• Eléments de théorie de Morse discrète

• Construction de fonctions de Morse discrètes

• Applications

Page 3: Geovan Tavares, Thomas Lewiner, Hélio Lopes Laboratório Mat&Mídia, Departamento de Matemática, PUC-Rio Théorie de Morse discrète.

3

Laboratório Mat&Mídia Thomas Lewiner, Helio Lopes e Geovan Tavares.

Théorie de Morse discrèteIntroductionFonctions de Morse classiqueLiens avec la topologieThéorie de Morse discrèteChamps de gradient discretComparaison avec la théorie classique3 points de vueOptimalitéAlgorithmeApplications

Fonctions de Morse classique

• Fonction différentiable f définie sur une variété différentielle X, à valeurs réelles.

• Points critiques de f : xX tais que f(x)=0.

• f est une fonction de Morse ssi ses points critiques ne sont pas dégénérés.

Page 4: Geovan Tavares, Thomas Lewiner, Hélio Lopes Laboratório Mat&Mídia, Departamento de Matemática, PUC-Rio Théorie de Morse discrète.

4

Laboratório Mat&Mídia Thomas Lewiner, Helio Lopes e Geovan Tavares.

Théorie de Morse discrèteIntroductionFonctions de Morse classiqueLiens avec la topologieThéorie de Morse discrèteChamps de gradient discretComparaison avec la théorie classique3 points de vueOptimalitéAlgorithmeApplications

Liens avec la topologie

m(k) : nombre de points critiques d’indice k

(k) : k-ième nombre de Betti (calcule sur un anneau quelconque)

• Inégalité forte de Morse(k) - (k-1) + … (0) m(k) - m(k-1) + … m(0)

• Inégalité faible de Morse(k) m(k)

• Caractéristique d’Euler(n) - (n-1)+…(0) = m(n) - m(n-1) +… m(0)

• Déformation continue hors des points critiques

Page 5: Geovan Tavares, Thomas Lewiner, Hélio Lopes Laboratório Mat&Mídia, Departamento de Matemática, PUC-Rio Théorie de Morse discrète.

5

Laboratório Mat&Mídia Thomas Lewiner, Helio Lopes e Geovan Tavares.

Théorie de Morse discrèteIntroductionFonctions de Morse classiqueLiens avec la topologieThéorie de Morse discrèteChamps de gradient discretComparaison avec la théorie classique3 points de vueOptimalitéAlgorithmeApplications

Théorie de Morse discrète(Forman 1995)

Complexe cellulaire arbitraire

Théorie entièrement combinatoire

Indépendante d’un plongement géométrique

Page 6: Geovan Tavares, Thomas Lewiner, Hélio Lopes Laboratório Mat&Mídia, Departamento de Matemática, PUC-Rio Théorie de Morse discrète.

6

Laboratório Mat&Mídia Thomas Lewiner, Helio Lopes e Geovan Tavares.

Théorie de Morse discrèteIntroductionFonctions de Morse classiqueLiens avec la topologieThéorie de Morse discrèteChamps de gradient discretComparaison avec la théorie classique3 points de vueOptimalitéAlgorithmeApplications

Champs de gradient discret

• Un champs de vecteurs combinatoire V est une collection disjointe de paire de cellules incidentes

• Un champs de vecteurs est de Morse s’il n’existe pas de V-chemin trivial

• Les cellules critiques sont celles qui n'appartiennent à aucune paire de V.

Page 7: Geovan Tavares, Thomas Lewiner, Hélio Lopes Laboratório Mat&Mídia, Departamento de Matemática, PUC-Rio Théorie de Morse discrète.

7

Laboratório Mat&Mídia Thomas Lewiner, Helio Lopes e Geovan Tavares.

Théorie de Morse discrèteIntroductionFonctions de Morse classiqueLiens avec la topologieThéorie de Morse discrèteChamps de gradient discretComparaison avec la théorie classique3 points de vueOptimalitéAlgorithmeApplications

Comparaison avec la théorie classique

Page 8: Geovan Tavares, Thomas Lewiner, Hélio Lopes Laboratório Mat&Mídia, Departamento de Matemática, PUC-Rio Théorie de Morse discrète.

8

Laboratório Mat&Mídia Thomas Lewiner, Helio Lopes e Geovan Tavares.

Théorie de Morse discrèteIntroductionFonctions de Morse classiqueLiens avec la topologieThéorie de Morse discrèteChamps de gradient discretComparaison avec la théorie classique3 points de vueOptimalitéAlgorithmeApplications

3 points de vue

• Fonction de Morse sur un complexe cellulaire

• Champs de gradient discret: matching acyclique

• Hyperforets

Page 9: Geovan Tavares, Thomas Lewiner, Hélio Lopes Laboratório Mat&Mídia, Departamento de Matemática, PUC-Rio Théorie de Morse discrète.

9

Laboratório Mat&Mídia Thomas Lewiner, Helio Lopes e Geovan Tavares.

Théorie de Morse discrèteIntroductionFonctions de Morse classiqueLiens avec la topologieThéorie de Morse discrèteChamps de gradient discretComparaison avec la théorie classique3 points de vueOptimalitéAlgorithmeApplications

Optimalité

• Une fonction f définie par f()=dim() est une fonction de Morse discrète ou tous les points sont critiques

• Une fonction de Morse est dite optimale si elle atteint le nombre minimum de points critiques

• Le nombre minimum de points critiques est un invariant topologique pour les variétés de dimension 3

• Atteindre l’optimum est un problème MAX-SNP hard (à partir de la dimension 2)

Page 10: Geovan Tavares, Thomas Lewiner, Hélio Lopes Laboratório Mat&Mídia, Departamento de Matemática, PUC-Rio Théorie de Morse discrète.

10

Laboratório Mat&Mídia Thomas Lewiner, Helio Lopes e Geovan Tavares.

Théorie de Morse discrèteIntroductionFonctions de Morse classiqueLiens avec la topologieThéorie de Morse discrèteChamps de gradient discretComparaison avec la théorie classique3 points de vueOptimalitéAlgorithmeApplications

Algorithme

• Construction de fonctions de Morse proches de l’optimum en dimension quelconque

• Optimal pour les variétés en dimension 2

• Linéaire en dimension 2

• Quadratique en dimension quelconque

• Ajouts de contraintes géométriques

Page 11: Geovan Tavares, Thomas Lewiner, Hélio Lopes Laboratório Mat&Mídia, Departamento de Matemática, PUC-Rio Théorie de Morse discrète.

11

Laboratório Mat&Mídia Thomas Lewiner, Helio Lopes e Geovan Tavares.

Théorie de Morse discrèteIntroductionFonctions de Morse classiqueLiens avec la topologieThéorie de Morse discrèteChamps de gradient discretComparaison avec la théorie classique3 points de vueOptimalitéAlgorithmeApplications

Applications

• Démonstration élégante d’algorithmes (EdgeBreaker Grow&Fold)

• Minimiser les ‘glue faces’ de Grow&Fold

• Résolution de flots discrets

• Lien avec les surfaces normales?