Fonction partie entière

Rôle des paramètres

f(x) = a [ b (x – h) ] + k

Remarque : Tu devrais visionner la présentation « Fonction en escalier.ppt » avant de visionner celle-ci.

La fonction partie entière est un type de fonction en escalier.

Ce qui la distingue, c’est sa régularité.

Impôt fédéral

Les marches ont toutes la même longueur.

Les marches ont des longueurs différentes.

Fonction partie entière Fonction en escalier quelconque

La distance entre les marches est toujours la même.

Les distances entre les marches sont différentes.

f(x) = a [ b (x – h) ] + k

La fonction partie entière de base est représentée par f(x) = [ x ].

Les paramètres a, b, h, k vont transformer cette fonction de base.

Regardons, en premier, ce que signifie f(x) = [ x ].

Le symbole [ x ] signifie le plus grand entier inférieur ou égal à x.

Exemple : Si x = 2,25 alors [ x ] = [ 2,25 ] = 2.

Soit le plus grand entier inférieur à 2,25.

Si x = 45,99 alors [ x ] = [ 45,99 ] = 45.

2,25

0 21 3 …… -2-3 -1

Si x = 489,23 alors [ x ] = [ 489,23 ] = 489.

Le plus grand entier inférieur.

Si x = 26 alors [ x ] = [ 26 ] = 26.

Le symbole [ x ] signifie le plus grand entier inférieur ou égal à x.

Attention : Si x = - 2,25 alors [ x ] = [ - 2,25 ] = - 3

Soit le plus grand entier inférieur à - 2,25.

Si x = - 78,1 alors [ x ] = [ - 78,1 ] = - 79.

- 2,25Le plus grand entier inférieur.

0 21 3 …… -2-3 -1

…… - 78- 79 - 77

- 78,1Le plus grand entier inférieur.

La fonction partie entière sert à représenter certaines situations dans lesquelles la variable dépendante ne varie pas alors que la variable indépendante varie.

Prenons comme exemple ton âge.

À ton dernier anniversaire, tu as eu 15 ans.

À 15 ans et 1 mois, tu as encore 15 ans.

À 15 ans et 3 mois, tu as encore 15 ans.

À 15 ans et 6 mois, tu as encore 15 ans.

À 15 ans et 9 mois, tu as encore 15 ans.

tu auras 16 ans.

Durant toute l’année, on ne retient que la partie entière de ton âge, soit 15 ans.

Variable indépendante Variable dépendante

À 15 ans et 12 mois,

soit à ton prochain anniversaire,

Chaque trait vertical représente 1 mois.

Représentons par un graphique l’âge d’un enfant.

Années depuis la naissance

Âge

Âge d’un enfant

01 2 3 4 5 6

1

4

2

3

5

6

7

Durant toute la première année, l’âge est de 0 an.x varie, mais y ne varie pas,

Durant toute la deuxième année, l’âge est de 1 an.x varie, mais y ne varie pas,

Ainsi de suite.

Le modèle théorique de la fonction partie entière de base est : f(x) = [ x ]

1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1-1

-2

-3

-4

-5

5

4

3

2

1

- La longueur des marches est de 1 unité.

- Les intervalles de valeurs de la variable indépendante sont fermés à gauche, ce qui signifie que la première valeur de l’intervalle est incluse.

:[ 0 , 1 [Exemple :

- La distance entre les marches est de 1 unité.

La fonction f , partie entière de x , qui associe à chaque nombre réel x le plus

grand entier inférieur ou égal à x est définie par f(x) = [ x ] ;

dom f = IR et ima f = Z.

- L’ordonnée à l’origine est 0.

- Les abscisses à l’origine sont dans l’intervalle [ 0 , 1 [ .

Soit la partie entière seulement.

{ … -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … }

Caractéristiques :

x

y

La fonction partie entière de base est f(x) = [ x ] .

Les paramètres a, b, h, k transforment cette fonction de base.

On obtient alors f(x) = a [ b (x – h) ] + k

Regardons le rôle joué par chacun de ces paramètres.

Pour bien comprendre ces rôles, utilisons une table de valeurs restreinte et le graphique qui lui est associé.

Forme canonique.

-2 -1,1 -1 -0,1 0 0,9 1 1,9 2

-2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2

x

f(x) = [ x ]

x

y

1 2-1-2

1

2

-1

-2

x

y

1 2-1-2

1

2

-1

-2

Pour mieux comprendre le rôle de chaque paramètre, neutralisons les autres.

f(x) = a [ b (x – h) ] + k b = 1, h = 0 et k = 0

Le paramètre a :

Fonction de base.

f(x) = a [ 1 (x – 0) ] + 0 f(x) = a [ x ]

-2

-2

-1,1

-2

-1

-1

-0,1

-1

0

0

0,9

0

1

1

1,9

1

2

2

-2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2

x

f(x) = [ x ]

f(x) = 1 [ x ]

f(x) = 1 [ x ]

f(x) = 1 [ x ] f(x) = [ x ]

f(x) = - 1 [ x ]

1 2-1-2

1

2

-1

-2

1 2-1-2

1

2

-1

-2

x

y

Fonction croissante.

Fonction décroissante.Réflexion par rapport à l’axe des x .

x

y

-2

2

-1,1

2

-1

1

-0,1

1

0

0

0,9

0

1

-1

1,9

-1

2

-2

-2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2

x

f(x) = [ x ]

f(x) = - 1 [ x ]

f(x) = 1 [ x ]

x

y

1 2-1-2

1

2

-1

-2

x

f(x) = [ x ]

x

y

1 2-1-2

1

2

-1

-2

a > 1

Étirement vertical.La distance verticale entre les marches augmente.

0 < a < 1

Compression verticale.La distance verticale entre les marches diminue.

…

…

-1

-2

-0,1

-2

0

0

0,9

0

1

2

1,9

2

…

…

… -1 -1 0 0 1 1 …

f(x) = 2 [ x ]

-2

-1

-1,1

-1

-1

-0,5

-0,1

-0,5

0

0

0,9

0

1

0,5

1,9

0,5

-2 -2 -1 -1 0 0 1 1

x

f(x) = [ x ]

…

…

…

f(x) = 0,5 [ x ]

x

y

1 2-1-2

1

2

-1

-2

Pour mieux comprendre le rôle de chaque paramètre, neutralisons les autres.

f(x) = a [ b (x – h) ] + k a = 1, h = 0 et k = 0

Le paramètre b :

Fonction de base.

f(x) = 1 [ b (x – 0) ] + 0 f(x) = [ b x ]

[ -2 ] [ -1,1 ] [ -1 ] [ -0,1 ] [ 0 ] [ 0,9 ] [ 1 ] [ 1,9 ] [ 2 ]f(x) = [ 1 x ]

f(x) = [ 1 x ]

x -2 -1,1 -1 -0,1 0 0,9 1 1,9 2

-2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2

f(x) = [ b x ]

f(x) = [ 1 x ] f(x) = [ x ]

[ 2 ] [ 1,9 ] [ 1 ] [ 0,9 ] [ 0 ] [ -0,1 ] [ -1 ] [ -1,1 ] [ -2 ]f(x) = [ -1 x ]

f(x) = [ -1 x ]

x -2 -1,9 -1 -0,9 0 0,1 1 1,1 2

2 1 1 0 0 -1 -1 -2 -2

x

y

1 2-1-2

1

2

-1

-2

f(x) = [ - b x ]

Fonction décroissante.Réflexion par rapport à l’axe des y.

Fonction croissante.

b > 0

b < 0

x

y

1 2-1-2

1

2

-1

-2

f(x) = [ 1 x ]

b > 1

0 < b < 1

Compression horizontale.

La longueur des marches (intervalles) diminue.

Étirement horizontal.

La longueur des marches (intervalles) augmente.

[ -2 ] [ -1,2 ] [ -1 ] [ -0,2 ] [ 0 ] [ 0,8 ] [ 1 ] [ 1,8 ] [ 2 ]f(x) = [ 2 x ]

f(x) = [ 2 x ]

x -1 -0,6 -0,5 -0,1 0 0,4 0,5 0,9 1

-2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2

x

y

1 2-1-2

1

2

-1

-2

[ -1 ] [ -0,5 ] [ -0,05 ] [ 0 ] [ 0,5 ] [ 0,95 ] [ 1 ] [ 1,25 ] [ 1,5 ]f(x) = [ 0,5 x ]

f(x) = [ 0,5 x ]

x -2 -1 -0,1 0 1 1,9 2 2,5 3

-1 -1 -1 0 0 0 1 1 1

x

y

1 2-1-2

1

2

-1

-2

x

y

1 2-1-2

1

2

-1

-2

Pour mieux comprendre le rôle de chaque paramètre, neutralisons les autres.

f(x) = a [ b (x – h) ] + k a = 1, b = 1 et k = 0

Le paramètre h :

f(x) = [ x – h ]

-1

[ -2 ]

Translation horizontale vers la droite.

f(x) = 1 [ 1 (x – h) ] + 0 f(x) = [ (x – h) ] f(x) = [ x – h ]

x

f(x) = [ x – 1 ]

f(x) = [ x – 1 ] -2

-0,1

[ -1,1 ]

-2

0

[ -1 ]

-1

0,9

[ -0,1 ]

-1

1

[ 0 ]

0

1,9

[ 0,9 ]

0

2

[ 1 ]

1

2,9

[ 1,9 ]

1

3

[ 2 ]

2

x

y

1 2-1-2

1

2

-1

-2

f(x) = [ x + 1 ]

f(x) = [ x – h ]

Translation horizontale vers la gauche.

h = - 1

2

[ -2 ]

-3

-2

[ -1,1 ]

-2,1

-2

[ -1 ]

-2

-1

[ -0,1 ]

-1,1

-1

[ 0 ]

-1

0

[ 0,9 ]

-0,1

0

[ 1 ]

0

1

[ 1,9 ]

0,9

1

[ 2 ]

1x

f(x) = [ x + 1 ]

-2

-2

-1

-2

-1,1

-1

-1

-1

0

-1

-0,1

0

0

0

1

0

0,9

1

1

1

2

1

1,9

2

f(x) = [ x ]

f(x) = [ x ] + 1

x

y

1 2-1-2

1

2

-1

-2

Pour mieux comprendre le rôle de chaque paramètre, neutralisons les autres.

f(x) = a [ b (x – h) ] + k a = 1, b = 1 et h = 0

Le paramètre k :

f(x) = [ x ] + k

Translation verticale vers le haut.

f(x) = 1 [ 1 (x – 0) ] + k f(x) = [ x ] + k

x

…

…

…

f(x) = [ x ] + k

Translation verticale vers le bas.

…

-1

-1

-2

-1

-0,1

-2

0

0

-1

0

0,9

-1

1

1

0

1

1,9

0

2

2

1

2

2,9

1

…

…

f(x) = [ x ]

f(x) = [ x ] - 1

x

x

y

1 2-1-2

1

2

-1

-2

k = -1

1 2-1-2

1

2

-1

-2

1 2-1-2

1

2

-1

-2

1 2-1-2

1

2

-1

-2

1 2-1-2

1

2

-1

-2

1 2-1-2

1

2

-1

-2

1 2-1-2

1

2

-1

-2

f(x) = a [ x ] f(x) = a [ x ] f(x) = a [ x ]

f(x) = a [ x ] f(x) = a [ x ] f(x) = a [ x ]

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

En résumé :

a > 1 0 < a < 1a = 1

a < -1 -1 < a < 0

Le paramètre a

a = -1

1 2-1-2

1

2

-1

-2

1 2-1-2

1

2

-1

-2

1 2-1-2

1

2

-1

-2

1 2-1-2

1

2

-1

-2

1 2-1-2

1

2

-1

-2

1 2-1-2

1

2

-1

-2

f(x) = [ b x ] f(x) = [ b x ] f(x) = [ b x ]

f(x) = [ b x ] f(x) = [ b x ] f(x) = [ b x ]

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

b > 1 0 < b < 1b = 1

b < -1 -1 < b < 0

En résumé : Le paramètre b

b = -1

1 2-1-2

1

2

-1

-2

1 2-1-2

1

2

-1

-2

1 2-1-2

1

2

-1

-2

f(x) = [ x ]f(x) = [ x ] + k f(x) = [ x ] + k

x

y

x

y

x

y

1 2-1-2

1

2

-1

-2

1 2-1-2

1

2

-1

-2

f(x) = [ x ]f(x) = [ x + h ] f(x) = [ x – h ]

x

y

x

y

x

y

1 2-1-2

1

2

-1

-2

h < 0 h > 0

k < 0 k > 0

En résumé : Le paramètre h

Le paramètre k

1 2-1-2

1

2

-1

-2

x

y

1 2-1-2

1

2

-1

-2

x

y

Remarque : a et b du même signe. Fonction croissante.

a et b de signes contraires.

b : négatifa : négatif

Fonction décroissante.

b : positifb : négatif

1 2-1-2

1

2

-1

-2

x

y

a : négatifa : positif

b : positif

1 2-1-2

1

2

-1

-2

x

y

a : positif

Attention

Pour interpréter correctement les paramètres d’une fonction partie entière, il faut que celle-ci soit écrite en forme canonique.

Exemple :

f(x) = a [ b (x – h) ] + k

f(x) = 2 [ 2x – 4 ] + 1 Ce n’est pas la forme canonique.

f(x) = 2 [ 2 (x – 2) ] + 1 C’est la forme canonique.

Exemple : f(x) = 3 [ 5 - x ] - 2 Ce n’est pas la forme canonique.

C’est la forme canonique.

f(x) = 3 [ - x + 5 ] - 2

f(x) = 3 [ - ( x – 5 ) ] - 2

Simple mise en évidence.

Simple mise en évidence.

Ce n’est pas la forme canonique.

a = 2 b = 2 h = 2 k = 1

a = 3 b = -1 h = 5 k = -2

Le coefficient de x doit être +1.

Pour bien comprendre la fonction partie entière, c’est-à-dire :

- analyser les caractéristiques de la fonction;

- déterminer la règle de la fonction;

- tracer le graphique de la fonction;

- résoudre l’équation;

il faut bien saisir le rôle de chaque paramètre.