Fisica applicata – Lezione 6

Maurizio Tomasimaurizio.tomasi@unimi.it

Dipartimento di FisicaUniversità degli studi di Milano

10 Novembre 2016

Parte I

Lavoro ed energia(conclusione)

Energia di un sistema di corpi

Il principio di conservazione vale in forma piùgenerale, anche se in un sistema ci sono più corpiin interazione.

Nel caso di N corpi in interazione, è l’energiatotale Etot del sistema a conservarsi:

Etot “

Nÿ

j“1

Ej “ E1 ` E2 ` ¨ ¨ ¨ ` EN .

Conversione di energia

Il teorema di conservazione dice che l’energiatotale di un corpo si conserva. Questo vuol direche durante il moto l’energia può convertirsi in untipo o in un altro, ma non può sparire.

La tecnologia può usare questo meccanismo asuo vantaggio, convertendo l’energia nella formapiù utile per un certo scopo.

Conversione di energia

L’energia si può accumulare facilmente se è informa di energia elettrica o chimica.

Ma come si converte l’energia in forma elettrica?

Conversione di energia

Le dinamo possono convertire energia cinetica(rotazione) in energia elettrica.

Conversione di energia

Diga di Itaipu: produce il 93 % dell’energia elettrica usata in Paraguay e il

20 % di quella usata in Bolivia.

Conversione di energia

Intake

Penstock

Generator

TurbineRiver

Long DistancePower LinesPowerhouse

Hydroelectric Dam

Reservoir

Conversione di energia

Conservazione dell’energia

Nel caso in cui entrino in gioco forze nonconservative, l’energia totale non si conserva.

In tal caso è possibile dimostrare che la variazionedell’energia è uguale al lavoro fatto dalle forze nonconservative:

Lnc “ Ef ´ Ei .

(Pensate alla forza di attrito: i segni corrispondonoa quello che vi aspettereste?)

Potenza

La potenza P è definita come il lavoro compiutonell’unità di tempo:

P “L∆t

.

Misura quanto velocemente una forza è in grado dicompiere lavoro (intuitivamente è una specie dimisura dell’efficienza con cui le forze riescono aspostare i corpi).

Potenza

L’unità di misura della potenza è il Watt (W):

1 W “ 1 J{s.

In Italia il Watt si usa per definire un’unità di misuradell’energia alternativa al Joule, il kilowattora(KWh):

1 KWh “ 103 W ˆ 3600 s “ 3.6 ˆ 106 J.

L’energia elettrica che si paga nella bolletta ha uncosto di circa 0.2˜0.3 EUR/KWh.

Esercizio svolto

Quanto costa usare per un’ora un aspirapolvere da1500 W, se la tariffa del fornitore di energiaelettrica è 0.2 EUR/KWh?

Assegnamo a ogni quantità un simbolo:

t “ 1 h,P “ 1500 W,

c “ 0.2 EUR{KWh,

S “?

Esercizio svolto

Usando la definizione di potenza, l’energiaconsumata E è

E “ P ˆ t ,

e quindi il costo totale è

S “ E ˆ c “ P ˆ t ˆ c.

Per verificare se il risultato è corretto, controlliamole unità di misura:

rSs “ rP ˆ t ˆ cs “ J{s ˆ s ˆ EUR{J “ EUR.

Esercizio svolto

Per calcolare il risultato numerico, dobbiamoconvertire le unità non espresse nel S.I. (SistemaInternazionale):

c “ 0.2 EUR{KWh “ 0.2 EUR{KWh ˆ1 KWh

3.6 ˆ 106 J“

“20 ˆ 10´2

3.6 ˆ 106EUR{J « 5.5 ˆ 10´8 EUR{J.

Esercizio svolto

Ora possiamo calcolare il costo necessario a farfunzionare l’aspirapolvere:

S “ P ˆ t ˆ c “

“ 1500 J{s ˆ 3600 s ˆ 5.5 ˆ 10´8 EUR{J “

“ 1.5 ˆ 103 J{s ˆ 3.6 ˆ 103 s ˆ 5.5 ˆ 10´8 EUR{J “

“ 0.30 EUR.

EserciziUn corpo di 5 kg viene sollevato con velocitàcostante di un tratto di 10 m da una forza F. Qualè il lavoro compiuto dalla forza F? Qual è il lavorocompiuto dalla forza gravitazionale? Qual è illavoro totale? [R: 500 J, -500 J, 0 J]

Un blocco di 2 kg viene lanciato lungo unasuperficie priva di attrito, in fondo alla quale c’èuno scivolo privo di attrito in salita, dall’altezzatotale di 1 m. Qual è la minima velocità con cuideve essere lanciato il corpo perché riesca araggiungere la sommità dello scivolo? [R: 4.5 m/s; ilrisultato non dipende dalla massa]

Esercizi

Un blocco di 2 kg è spinto contro una molla conk “ 500 N{m, accorciandola di 20 cm. La molla lospinge lungo una superficie orizzontale priva diattrito lunga 1 m, e poi su un piano inclinato di 45˝,sempre senza attrito. A che altezza sale il blocco?[R: 0.5 m]

In un’ora, una lampadina da 50 W quanti Jouleconsuma? Se pagate l’energia 0.2 EUR/KWh, quantovi è costata quest’ora di luce? [R: 1.8 ˆ 105 J; 1centesimo]

,

Parte II

Fisica dei fluidi

Cos’è un fluido

In fisica, per “fluido” si intende una sostanza informa gassosa o liquida, ossia senza formapropria.

Se sufficientemente scaldate, tutte le sostanzediventano fluide. Ma non tutte lo sono atemperatura ambiente.

Caratteristiche dei fluidi

I fluidi sono sistemi decisamente diversi da quelliche abbiamo studiato fino a questo punto delcorso:

1. Sono composti da tante particelle ininterazione tra loro;

2. Siamo interessati alla variazione delle lorocaratteristiche medie, non tanto allavariazione nella posizione delle loro particelle.

Programma di questa parte

Questa parte del corso è divisa in tre sottoparti:§ Fluidostatica;§ Fluidodinamica;§ Cenni di teoria dei gas.

Densità numerica e di massa

Visto che un fluido è composto da molte particelle,iniziamo introducendo due quantità che necaratterizzano il loro numero:

1. La densità numerica, n;2. La densità di massa, ρ (spesso chiamata

semplicemente “densità”).

Densità numerica e di massaLa densità numerica n è definita come il numero diparticelle per unità di volume:

n “NV, rns “ m´3.

La densità ρ è definita come la massa per unità divolume:

ρ “NmV

, rρs “ kg{m3,

dove m è la massa di una particella. Ovviamente

ρ “ m ˆ n.

Densità numerica e di massa

V

Esempi numericiL’aria è un fluido composto da vari gas; il piùdiffuso (78 %) è l’azoto (N2), con massa

m “ 2.34 ˆ 10´26 kg.

La densità numerica dell’aria al livello del mare ècirca

n “ 5.22 ˆ 1025 m´3“ 52.2 ˆ 106

ˆ 109ˆ 109 m´3,

e quindi la densità è

ρ “ m ˆ n “ 1.22 kg{m3.

Esempi numerici

La molecola d’acqua è H2O, con massa

m “ 3.01 ˆ 10´26 kg.

La densità numerica dell’acqua a temperaturaambiente è

n “ 3.33 ˆ 1028 m´3“ 33.3 ˆ 109

ˆ 109ˆ 109 m´3,

e quindi la densità è

ρ “ m ˆ n “ 103 kg{m3 “ 1 kg{L.

Esempi numerici

Il ferro è costituito da un reticolo di atomi, ciascunodi massa

m “ 9.33 ˆ 10´26 kg.

La densità numerica dell’acqua a temperaturaambiente è

n “ 8.44 ˆ 1028 m´3“ 84.4 ˆ 109

ˆ 109ˆ 109 m´3,

e quindi la densità è

ρ “ m ˆ n “ 7.87 ˆ 103 kg{m3 “ 7.87 kg{L.

La pressione

Un’altra quantità rilevante nel caso dei fluidi è lapressione, ossia la forza esercitata per unità diarea:

P “FA, rPs “ N{m2 ” Pa.

Il “Pascal” è l’unità di misura del S.I. per lapressione.

La forza esercitata dalla pressione è sempreperpendicolare alla superficie considerata.

La pressione

Anche se la pressione trova un’applicazionenaturale nella fisica dei fluidi (tante particelle), sipuò calcolare la pressione esercitata anche dasingoli oggetti.

Ad esempio, la pressione della mano quandoschiaccia il tavolo è

P “F

Amano.

La pressione

A

F

F1

F2

F3

F4

Direzione della forza di pressione

L’immagine precedente ci aiuta a capire ladirezione della forza associata alla pressione.Essa è dovuta alla componente della velocità delleparticelle di fluido perpendicolare alla superficie.

Ecco perché la forza di pressione di un fluido èsempre perpendicolare alle pareti del recipiente.

Esempi numerici

§ La pressione atmosferica al livello del mare è105 Pa, ossia 1 atm;

§ La pressione subacquea a 1000 m diprofondità è circa 100 atm;

§ Di conseguenza, la pressione subacqueaaumenta di 1 atm ogni 10 m di profondità;

§ Ad un’altezza di 10 km (quota a regime degliaerei di linea), la pressione atmosferica è0.2˜0.3 atm.

Esempio: la pressione atmosferica

Se consideriamo un foglio di carta sospeso amezz’aria, è evidente che la pressione suciascuna di esse sia uguale sulle due facce(superiore/inferiore).

Foglio di carta

Le due pressioni quindi si pareggiano, e l’effettonetto è nullo: il foglio non va né in su, né in giù acausa della pressione.

Esperimento del bicchiere capovolto

Esperimento del bicchiere capovolto

mgS

P

Il peso dell’acqua nel bicchiere è di qualcheNewton (150 g Ñ 1.5 N). Se la superficie di base è20 cm2, la pressione atmosferica (105 Pa) esercitauna forza

105 N{m2 ˆ 2 ˆ 10´3 m2“ 200 N.

La legge di Stevino

Nel caso di un fluido soggetto a forza di gravità, lapressione dipende sia dal moto casuale delleparticelle, sia dal peso di ciascuna delle massedelle molecole.

La relazione tra peso e profondità è detta legge diStevino, e si ricava dalle leggi della dinamica.

La legge di Stevino

Consideriamo il caso di uncontenitore cilindrico pienodi fluido, con base S.

La base del recipienteavverte il peso della massaM di fluido, in aggiunta allaforza di pressione.

hmg

p

p0

S

La legge di Stevino

Di conseguenza, lasuperficie inferiore ha unapressione maggiore diquella superiore (p0):

p “ p0 `M ˆ g

S“

“ p0 `ρ ˆ V ˆ g

S“

“ p0 `ρ ˆ S ˆ h ˆ g

S“

“ p0 ` ρ ˆ h ˆ g.

hmg

p

p0

S

La legge di Stevino

Il risultato vuol dire che, aumentando la profonditàin cui ci si immerge in un fluido, aumenta anche lapressione.

Tale aumento è proporzionale alla profondità (h):raddoppiando la profondità, raddoppia lapressione.

Applicabilità della legge

La legge di Stevino fa un’assunzione forte:suppone che la densità non cambi con laprofondità.

Questo è vero solo se si considerano piccoliincrementi di profondità, oppure se il fluido inquestione è un liquido (ossia incomprimibile).

Ad esempio, salendo di quota la densità ρdell’atmosfera diminuisce.

Il principio di Pascal

Un’altra assunzione della nostra derivazione dellalegge è che la superficie inferiore siaperpendicolare alla forza di gravità.

In realtà la legge di Stevino vale per recipienti diqualsiasi forma. Una conseguenza di ciò è ilprincipio di Pascal:“La pressione applicata a un liquido racchiuso inun recipiente si trasmette invariata a ogni puntodel liquido e alle pareti del recipiente.”

Esempio: il torchio idraulico

Un’applicazione del principio di Pascal è il torchioidraulico:

F

S1S2

Esempio: il torchio idraulico

Supponendo che i due pistoni del torchio idraulicoabbiano un raggio di 2 cm e 20 cm, che forzabisogna applicare al pistone piccolo per sollevareun’automobile di 1500 kg?

Esempio: il torchio idraulico

Assegnamo ad ogni quantità dei simboli:

M “ 1500 kg,R1 “ 2 cm,

R2 “ 20 cm.

La forza peso della macchina è Mg; essa produceuna pressione

P “MgπR2

2,

che si trasmette al pistone piccolo.

Esempio: il torchio idraulico

Per pareggiare la pressione occorre una forza Ftale che

FπR2

1“ P “

MgπR2

r.

Risolvendo per F , si ottiene

F “πR2

1

πR22

ˆMg “

ˆ

R1

R2

˙2

ˆMg “15 000 N

100“ 150 N.

Esempio: il torchio idraulico

Ovviamente, deve comunque valere laconservazione dell’energia! La forza applicatasulla sinistra deve quindi spostare il pistonepiccolo di un tratto più lungo di quanto si sollevi ilpistone grande.

I torchi idraulici sono usati anche nelle poltroneche usano i barbieri e i dentisti.

Esempi

Alcune situazioni in cui si sperimenta la legge diStevino:

1. Salendo di quota (es., viaggiando in auto inmontagna), le orecchie si tappano;

2. Immergendosi in acqua a discreta profondità(qualche metro), si avvertono dolori alleorecchie;

3. I batiscafi che fanno immersioni in profonditàhanno bisogno di rinforzi per non collassare.

Vasi comunicantiUn’applicazione immediata della legge di Stevinoè il principio dei vasi comunicanti.

S1 S2

h1 h2Q

Dati h1, S1 ed S2, vogliamo determinare h2.

Vasi comunicanti

Per la legge di Stevino, alla base dei due vasi lepressioni sono

p1 “ patm ` ρgh1,

p2 “ patm ` ρgh2.

Ma le pressioni p1 e p2 devono essere uguali, se ilfluido è in equilibrio (cioè è fermo): basta pensarea cosa succede nel punto Q. Quindi

p1 “ p2 Ñ h1 “ h2.

Vasi comunicanti

Se nei due vasi vengono versati due fluidi didensità diversa, è facile vedere (dimostratelo!) chel’altezza h2 è data dalla formula

h2 “ρ1

ρ2h1.

Se quindi uno dei due fluidi è meno denso, la suacolonna è più alta: ciò è intuitivo.

Vasi comunicanti

Il principio dei vasi comunicanti è usato daimuratori quando devono realizzare una serie difinestre lungo un muro, soprattutto se il pavimentoè scosceso.

Visto che una semplice bolla può aiutare a fare lefinestre dritte, ma non ad allineare più finestre allastessa altezza, si usa un tubo trasparente pienod’acqua per quest’ultimo scopo.

http://www.firstinarchitecture.co.uk/tips-for-building-on-a-sloped-terrain/