CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali

TD 08 Séries entièresExercice 1: Calculer le rayon de convergence de la série entière

∑anz

n dans chacun des cas suivants :

1)an = ein 2)an = 2 + (−1)n 3)an = n(2 + (−1)n) 4)an = cos 2nπ3 5)an = n− ième décimale de π

6)an = sinnn 7)an = sinn 8)an = n(−1)

n

9)an = n√n 10)an = nlnn

Exercice 2: Soient a ∈ C∗, b ∈ R et P ∈ R[X]. Calculer les rayons de convergence des séries entières suivantes :

1)∑nbP (n) lnnzn 2)

∑ einb

n! zn 3)

∑annbzn 4)

∑nnzn−1 5)

∑ n!nn z

n 6)∑ (n!)2

(2n)!zn 7)

∑ zn

(n!)b

Exercice 3: (Séries lacunaires) : Soit a > 0. Calculer les rayons de convergence des séries entières suivantes :

1)∑anx2n 2)

∑ (−1)n2nn+1 z2n+1 3)

∑ z3n+2

8n+1 4)∑ 2nx4n

3n+n 5)∑anxn

2

6)∑anzn! 7)

∑ zn!

n!

Exercice 4: Soit a > 0 et α ∈ R. Calculer le rayon de convergence de la série entière∑anz

n dans chacun des cas suivants :

1)an = lnn+i2i√n+lnn+1

2)an = lnÄ1 + (−1)n√

n

ä3)an = ch(na)

n! 4)an = arctan(nα) 5)an = tan(π√n2 + 3n+ 2)

6)an = 1− th(n) 7)an =(1 + 1

n

)n − e 8)an =Ä2n−1n+1

ä2n9)an =

Ä1 + (−1)n

n

än2

10)an =(ch 1

n

)n2

Exercice 5: Soit a > 0. Calculer les rayons de convergence des séries entières∑ Ä (−1)n

n + 1an

äzn et

∑(1na + 1

n!

)xn.

Exercice 6: On appelle dérangement d’ordre n toute permutation de J1, nK sans points fixes. On note Dn le nombre desdérangements d’ordre n et on pose D0 = 1.

1: Montrer que n! =n∑k=0

DkCkn.

2: Monter que la série∑ Dn

n! xn converge sur ]− 1, 1[.

3: Montrer que ∀|x| < 1, ex+∞∑n=0

Dn

n!xn =

1

1− x. En déduire que Dn = n!

n∑k=0

(−1)k

k!.

Exercice 7: Soit∑anz

n une série entière de rayon de convergence R.Montrer que R > 0 ⇐⇒ ∃A, λ > 0,∀n ∈ N, |an| ≤ Aλn.Exercice 8: Soit une série entière

∑anz

n, α ∈ R et F ∈ C(X) non nulle.Montrer que les séries entières

∑anz

n et∑F (nα)anz

n ont même rayon de convergence.Exercice 9: Soit

∑anz

n une série entière de rayon de convergence R.Montrer que R = sup{ρ ≥ 0/anρ

n → 0} = sup{ρ ≥ 0/la suite (anρn)n converge}.

Exercice 10: Soit une série entière∑anz

n de rayon de convergence R > 0. Déterminer les rayons de convergence des sériesentières suivantes :

1)∑ an

n!zn 2)

∑anz

2n 3)∑

a2nzn 4)

∑ anλnzn(λ ∈ C∗) 5)

∑anz

pn(p ∈ N)

Exercice 11: Soient de séries entières∑anz

n et∑bnz

n de rayons de convergence respectifs Ra et Rb.1: Déterminer le rayon de convergence de

∑cnz

n avec ∀n ∈ N, cn = max(|an|, |bn|).2: On suppose que ∀n ∈ N, anbn = 0. Calculer le rayon de convergence de

∑(an + bn)z

n.3: Application : Calculer les rayons de convergence des séries entières

∑(3 + (−1)n)nzn,

∑cos(2nπ3

)xn et

∑e(−1)

nnzn.Exercice 12: Formule et inégalité de Cauchy : Soit

∑anz

n une série entière de rayon de convergence R > 0 et de somme f .

1: Montrer la formule de Cauchy : ∀n ∈ N,∀0 < r < R, an =1

2πrn

∫ 2π

0

f(reiθ)e−inθdθ.

2: On pose ∀0 < r < R,M(r) = sup|z|=r

|f(z)|. Montrer l’inégalité de Cauchy ∀n ∈ N, |an| ≤ M(r)rn .

3: Application : Montrer que si f est bornée sur C alors f est constante sur C (Théorème de Liouville).4: En déduire que si f admet 1 et i comme période alors f est constante sur C.Exercice 13: Soit

∑anz

n de rayon de convergence R > 0 et de somme f .

1: Montrer que ∀r ∈ [0, R[,+∞∑n=0

|an|2r2n =1

2π

∫ 2π

0

|f(reiθ)|2dθ.

2: Montrer que si ∃p ∈ N,∃r ∈ [0, R[, |ap|rp = sup|z|=r

|f(z)| alors ∀z ∈ D(0, R), f(z) = apzp.

3: Montrer que si |f | admet un maximum local en 0 alors f est constante sur D(0, R).

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Exercice 14: Soit f(x) =+∞∑n=1

(−1)n

4n2 − 1x2n+1.

1: Déterminer le rayon de convergence R de la série entière associée à f .2: Déterminer le domaine de définition de la fonction f .3: Montrer que ∀|x| < R, f ′(x) = −x arctanx. En déduire une expression simple de f .

Exercice 15: Soit f(x) =+∞∑n=1

xn

4n+ 1et g(x) =

+∞∑n=1

x4n+1

4n+ 1.

1: Montrer que les séries entières associées à f et g ont même rayon de convergence R.2: Montrer que g est de classe C 1 sur ]−R,R[ et déterminer l’expression de g′ sans le signe somme.3: Déterminer l’expression de g sur ]−R,R[ sans le signe somme.4: Déduire l’expression de f sur ]−R,R[ sans le signe somme.Exercice 16: Développer en séries entières les fonctions suivantes :

1)f(x) = (x+ 1) ln(x+ 1) 2)f(x) = ex

1−x 3)f(x) = ln(1+x)1+x 4)f(x) = ln2(1 + x) 5)f(x) = arctan2 x

Exercice 17: θ ∈ R. Développer en séries entières les fonctions suivantes :

1)f(x) = 11+x+x2 2)f(x) = 1

(1−x2)(1+x) 3)f(x) = 1(1+x2)(1−x) 4)f(x) = 1

x2−2x cos θ+1

Exercice 18: Développer en séries entières les fonctions suivantes :

1)f(x) = ln 1+2x2

1−x2 2)f(x) = ln(x2 − 5x+ 6) 3)f(x) = ln(1 + x− 2x2) 4)f(x) = ln(1 + x+ x2) 5)f(x) = ln(x2 + 2x+ 2)

Exercice 19: Développer en séries entières en 0 les fonctions suivantes :

1)f(x) = ex sinx 2)f(x) = sin2 cosx 3)f(x) = sh2xch3x 4)f(x) = sin3 x

Exercice 20: Développer en séries entières en 0 les fonctions suivantes :

1)f(x) =

∫ x

0

e−t2

2 dt 2)f(x) =

∫ x

0

cos t2dt 3)f(x) =

∫ x

−∞

dt

1 + t+ t23)f(x) =

∫ x

0

ex2−t2dt

Exercice 21: Soit α ∈ R∗. Développer en séries entières en 0 les fonctions suivantes :

1)f(x) =arcsinx√1− x2

2)f(x) = arcsin2 x 3)f(x) = arctan

Åx sinα

1− x cosα

ã4)f(x) =

»x+

√1 + x2

Exercice 22: Soient r > 0 et f :]− r, r[→ C de classe C∞ sur ]− r, r[.

1: Montrer que si ∃M > 0 tel que ∀n ∈ N,∀x ∈]− r, r[, |f (n)(x)| ≤M alors f est développable en série entière sur ]− r, r[.

2: Soit 0 < a < 1. Montrer que f(x) =+∞∑n=0

sin(anx) est développable en série entière sur R et le déterminer.

Exercice 23: Soient r > 0 et f une fonction de classe C∞ sur ]− r, r[.Montrer que si ∃M,k > 0 tels que ∀x ∈]− r, r[,∀n ∈ N, |f (n)(x)| ≤Mknn! alors f est développable en série entière en 0.

Exercice 24: Soit f : x ∈ [−1, 1] 7→+∞∑n=2

(−1)n

x+ n.

1: Montrer que f est indéfiniment dérivable sur [−1, 1].2: Montrer que f est développable en série entière sur ]− 1, 1[.

Exercice 25: Montrer que f(x) =+∞∑n=0

e2nix

n!est C∞ sur R mais n’est pas développable en série entière en 0.

Exercice 26: Soit∑anx

n à coefficients positifs et de rayon de convergence R telle que∑anR

n diverge.

Montrer que limx→R−

+∞∑n=0

anxn = +∞.

Exercice 27: (Théorème de la limite radial d’Abel) Soient∑anz

n de rayon de convergence R > 0 et de somme f et u ∈ Cavec |u| = R tel que

∑anu

n converge.

1: Montrer que ∀0 < t < 1,f(u)− f(tu)

1− t=

+∞∑n=0

Rntn où Rn est le reste d’ordre n de la série∑anu

n.

2: En déduire le théorème de la limite radiale d’Abel : limt→1−

f(tu) = f(u).

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3: Application 01 : Calculer+∞∑n=1

(−1)n−1

net

+∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1.

4: Application 02 : Soient∑an et

∑bn convergentes de produit de Cauchy

∑cn. On suppose que

∑cn converge. Montrer

que∞∑n=0

an

∞∑n=0

bn =∞∑n=0

cn.

Exercice 28: Soit∑anx

n de somme f et∑bnx

n de rayon de convergence R et de somme g. On suppose que ∀n ∈ N, bn > 0et∑bnR

n diverge.1: Montrer que si an = o(bn) alors f =

R−o(g).

2: Montrer que si an ∼ bn alors f ∼R−

(g).

3: Application 01 : Soit p ∈ N. Trouver un équivalent de+∞∑n=1

np xn en 1−.

4: Application 03 : Montrer qu’au voisinage de 1− :+∞∑n=1

ln nxn ∼ − ln(1− x)1− x

.

Exercice 29: Déterminer, dans chaque cas, le rayon de convergence de la série entière et calculer sa somme :

1)∑n≥0

n2xn 2)∑n≥0

xn

2n+ 13)∑n≥2

xn

n2 − 14)∑n≥0

xn

(2n+ 1)!5)∑n≥0

n3xn

n!

Exercice 30: Dans chaque cas, vérifier que la série est convergente et calculer sa somme :

1)∑n≥1

1

2nn(n+ 1)2)∑n≥3

4n− 3

n(n2 − 4)3)∑n≥0

(−1)n(n+ 5)

(n+ 1)(n+ 2)

Exercice 31: Dans chaque cas, vérifier que la série est convergente et calculer sa somme :

1)∑n≥0

n3

n!2)∑n≥0

2n+ n3

(n+ 1)!3)∑n≥1

1

(n+ 1)(n− 1)!4)∑n≥0

(−1)nn3

n!5)∑n≥0

1

(3n)!

Exercice 32: Dans chaque cas, vérifier que la série est convergente et calculer sa somme :

1)∑n≥0

(−1)n

3n+ 22)∑n≥0

(−1)n

4n(4n+ 1)3)∑n≥1

1

9n2 − 14)∑n≥1

(−1)n−1

2n(2n+ 1)(2n+ 2)

Exercice 33: Montrer que la fonction f(x) =sinx

xest prolongeable en une fonction C∞ sur R.

Exercice 34: Montrer que la fonction f(x) =ln(x+ 1)

xest prolongeable en une fonction C∞ sur ]− 1, 1[.

Exercice 35: Déterminer des solutions développables en séries entières des équations différentielles suivantes :

1)x2y′′ + 4xy′ + 2y = ex 2)xy′′ + (x− 1)y′ − y = 0 3)xy′′ + 2y′ − xy = 0 4)x2y′′ + 4xy′ + (2− x2)y = 1

Exercice 36: Montrer que : 1)+∞∑n=1

(−1)n−1

n2=

∫ 1

0

ln(1 + t)

tdt 2)

+∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)2=

∫ 1

0

arctan t

tdt.

Exercice 37: Montrer que∫ 1

0

x−xdx =+∞∑n=0

n−n.

Exercice 38: Montrer que∫ 1

0

lnx ln(1 + x)

xdx = −3

4

+∞∑n=1

1

n3.

Exercice 39: On considère la suite récurrente u0 = u1 = 1 et ∀n ∈ N, un+2 = un+1 + (n+ 1)un.1: Montrer que le rayon de convergence de la série entière

∑n≥0

unn!xn est R ≥ 1. On note f sa somme.

2: Montrer que ∀x ∈]−R,R[, f ′(x) = (1 + x)f(x). Déterminer f et donner une expression de un.Exercice 40: On considère la suite récurrente u0, u1, u2 ∈ R et ∀n ∈ N, un+3 = un+2 + un+1 − un.1: Montrer que ∃A, r > 0,∀n ∈ N, |un| ≤ Arn.2: En déduire que le rayon de convergence de la série entière

∑unx

n est strictement positif.3: Calculer la somme de la série entière

∑unx

n et en déduire l’expression de un.

Exercice 41: On considère la suite récurrente u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 =1

2

n∑k=0

Cknun−kuk.

1: Montrer que ∀n ∈ N, un ≤ n!. En déduire que le rayon de convergence R de∑ un

n! xn est strictement positif.

2: Soit f la somme de∑ un

n! xn. Montrer que ∀x ∈]−R,R[, f ′(x) = 1

2f2(x). En déduire f et un.

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