Exercices sur les séries entières
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CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali
TD 08 Séries entièresExercice 1: Calculer le rayon de convergence de la série entière
∑anz
n dans chacun des cas suivants :
1)an = ein 2)an = 2 + (−1)n 3)an = n(2 + (−1)n) 4)an = cos 2nπ3 5)an = n− ième décimale de π
6)an = sinnn 7)an = sinn 8)an = n(−1)
n
9)an = n√n 10)an = nlnn
Exercice 2: Soient a ∈ C∗, b ∈ R et P ∈ R[X]. Calculer les rayons de convergence des séries entières suivantes :
1)∑nbP (n) lnnzn 2)
∑ einb
n! zn 3)
∑annbzn 4)
∑nnzn−1 5)
∑ n!nn z
n 6)∑ (n!)2
(2n)!zn 7)
∑ zn
(n!)b
Exercice 3: (Séries lacunaires) : Soit a > 0. Calculer les rayons de convergence des séries entières suivantes :
1)∑anx2n 2)
∑ (−1)n2nn+1 z2n+1 3)
∑ z3n+2
8n+1 4)∑ 2nx4n
3n+n 5)∑anxn
2
6)∑anzn! 7)
∑ zn!
n!
Exercice 4: Soit a > 0 et α ∈ R. Calculer le rayon de convergence de la série entière∑anz
n dans chacun des cas suivants :
1)an = lnn+i2i√n+lnn+1
2)an = lnÄ1 + (−1)n√
n
ä3)an = ch(na)
n! 4)an = arctan(nα) 5)an = tan(π√n2 + 3n+ 2)
6)an = 1− th(n) 7)an =(1 + 1
n
)n − e 8)an =Ä2n−1n+1
ä2n9)an =
Ä1 + (−1)n
n
än2
10)an =(ch 1
n
)n2
Exercice 5: Soit a > 0. Calculer les rayons de convergence des séries entières∑ Ä (−1)n
n + 1an
äzn et
∑(1na + 1
n!
)xn.
Exercice 6: On appelle dérangement d’ordre n toute permutation de J1, nK sans points fixes. On note Dn le nombre desdérangements d’ordre n et on pose D0 = 1.
1: Montrer que n! =n∑k=0
DkCkn.
2: Monter que la série∑ Dn
n! xn converge sur ]− 1, 1[.
3: Montrer que ∀|x| < 1, ex+∞∑n=0
Dn
n!xn =
1
1− x. En déduire que Dn = n!
n∑k=0
(−1)k
k!.
Exercice 7: Soit∑anz
n une série entière de rayon de convergence R.Montrer que R > 0 ⇐⇒ ∃A, λ > 0,∀n ∈ N, |an| ≤ Aλn.Exercice 8: Soit une série entière
∑anz
n, α ∈ R et F ∈ C(X) non nulle.Montrer que les séries entières
∑anz
n et∑F (nα)anz
n ont même rayon de convergence.Exercice 9: Soit
∑anz
n une série entière de rayon de convergence R.Montrer que R = sup{ρ ≥ 0/anρ
n → 0} = sup{ρ ≥ 0/la suite (anρn)n converge}.
Exercice 10: Soit une série entière∑anz
n de rayon de convergence R > 0. Déterminer les rayons de convergence des sériesentières suivantes :
1)∑ an
n!zn 2)
∑anz
2n 3)∑
a2nzn 4)
∑ anλnzn(λ ∈ C∗) 5)
∑anz
pn(p ∈ N)
Exercice 11: Soient de séries entières∑anz
n et∑bnz
n de rayons de convergence respectifs Ra et Rb.1: Déterminer le rayon de convergence de
∑cnz
n avec ∀n ∈ N, cn = max(|an|, |bn|).2: On suppose que ∀n ∈ N, anbn = 0. Calculer le rayon de convergence de
∑(an + bn)z
n.3: Application : Calculer les rayons de convergence des séries entières
∑(3 + (−1)n)nzn,
∑cos(2nπ3
)xn et
∑e(−1)
nnzn.Exercice 12: Formule et inégalité de Cauchy : Soit
∑anz
n une série entière de rayon de convergence R > 0 et de somme f .
1: Montrer la formule de Cauchy : ∀n ∈ N,∀0 < r < R, an =1
2πrn
∫ 2π
0
f(reiθ)e−inθdθ.
2: On pose ∀0 < r < R,M(r) = sup|z|=r
|f(z)|. Montrer l’inégalité de Cauchy ∀n ∈ N, |an| ≤ M(r)rn .
3: Application : Montrer que si f est bornée sur C alors f est constante sur C (Théorème de Liouville).4: En déduire que si f admet 1 et i comme période alors f est constante sur C.Exercice 13: Soit
∑anz
n de rayon de convergence R > 0 et de somme f .
1: Montrer que ∀r ∈ [0, R[,+∞∑n=0
|an|2r2n =1
2π
∫ 2π
0
|f(reiθ)|2dθ.
2: Montrer que si ∃p ∈ N,∃r ∈ [0, R[, |ap|rp = sup|z|=r
|f(z)| alors ∀z ∈ D(0, R), f(z) = apzp.
3: Montrer que si |f | admet un maximum local en 0 alors f est constante sur D(0, R).
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Exercice 14: Soit f(x) =+∞∑n=1
(−1)n
4n2 − 1x2n+1.
1: Déterminer le rayon de convergence R de la série entière associée à f .2: Déterminer le domaine de définition de la fonction f .3: Montrer que ∀|x| < R, f ′(x) = −x arctanx. En déduire une expression simple de f .
Exercice 15: Soit f(x) =+∞∑n=1
xn
4n+ 1et g(x) =
+∞∑n=1
x4n+1
4n+ 1.
1: Montrer que les séries entières associées à f et g ont même rayon de convergence R.2: Montrer que g est de classe C 1 sur ]−R,R[ et déterminer l’expression de g′ sans le signe somme.3: Déterminer l’expression de g sur ]−R,R[ sans le signe somme.4: Déduire l’expression de f sur ]−R,R[ sans le signe somme.Exercice 16: Développer en séries entières les fonctions suivantes :
1)f(x) = (x+ 1) ln(x+ 1) 2)f(x) = ex
1−x 3)f(x) = ln(1+x)1+x 4)f(x) = ln2(1 + x) 5)f(x) = arctan2 x
Exercice 17: θ ∈ R. Développer en séries entières les fonctions suivantes :
1)f(x) = 11+x+x2 2)f(x) = 1
(1−x2)(1+x) 3)f(x) = 1(1+x2)(1−x) 4)f(x) = 1
x2−2x cos θ+1
Exercice 18: Développer en séries entières les fonctions suivantes :
1)f(x) = ln 1+2x2
1−x2 2)f(x) = ln(x2 − 5x+ 6) 3)f(x) = ln(1 + x− 2x2) 4)f(x) = ln(1 + x+ x2) 5)f(x) = ln(x2 + 2x+ 2)
Exercice 19: Développer en séries entières en 0 les fonctions suivantes :
1)f(x) = ex sinx 2)f(x) = sin2 cosx 3)f(x) = sh2xch3x 4)f(x) = sin3 x
Exercice 20: Développer en séries entières en 0 les fonctions suivantes :
1)f(x) =
∫ x
0
e−t2
2 dt 2)f(x) =
∫ x
0
cos t2dt 3)f(x) =
∫ x
−∞
dt
1 + t+ t23)f(x) =
∫ x
0
ex2−t2dt
Exercice 21: Soit α ∈ R∗. Développer en séries entières en 0 les fonctions suivantes :
1)f(x) =arcsinx√1− x2
2)f(x) = arcsin2 x 3)f(x) = arctan
Åx sinα
1− x cosα
ã4)f(x) =
»x+
√1 + x2
Exercice 22: Soient r > 0 et f :]− r, r[→ C de classe C∞ sur ]− r, r[.
1: Montrer que si ∃M > 0 tel que ∀n ∈ N,∀x ∈]− r, r[, |f (n)(x)| ≤M alors f est développable en série entière sur ]− r, r[.
2: Soit 0 < a < 1. Montrer que f(x) =+∞∑n=0
sin(anx) est développable en série entière sur R et le déterminer.
Exercice 23: Soient r > 0 et f une fonction de classe C∞ sur ]− r, r[.Montrer que si ∃M,k > 0 tels que ∀x ∈]− r, r[,∀n ∈ N, |f (n)(x)| ≤Mknn! alors f est développable en série entière en 0.
Exercice 24: Soit f : x ∈ [−1, 1] 7→+∞∑n=2
(−1)n
x+ n.
1: Montrer que f est indéfiniment dérivable sur [−1, 1].2: Montrer que f est développable en série entière sur ]− 1, 1[.
Exercice 25: Montrer que f(x) =+∞∑n=0
e2nix
n!est C∞ sur R mais n’est pas développable en série entière en 0.
Exercice 26: Soit∑anx
n à coefficients positifs et de rayon de convergence R telle que∑anR
n diverge.
Montrer que limx→R−
+∞∑n=0
anxn = +∞.
Exercice 27: (Théorème de la limite radial d’Abel) Soient∑anz
n de rayon de convergence R > 0 et de somme f et u ∈ Cavec |u| = R tel que
∑anu
n converge.
1: Montrer que ∀0 < t < 1,f(u)− f(tu)
1− t=
+∞∑n=0
Rntn où Rn est le reste d’ordre n de la série∑anu
n.
2: En déduire le théorème de la limite radiale d’Abel : limt→1−
f(tu) = f(u).
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3: Application 01 : Calculer+∞∑n=1
(−1)n−1
net
+∞∑n=0
(−1)n
2n+ 1.
4: Application 02 : Soient∑an et
∑bn convergentes de produit de Cauchy
∑cn. On suppose que
∑cn converge. Montrer
que∞∑n=0
an
∞∑n=0
bn =∞∑n=0
cn.
Exercice 28: Soit∑anx
n de somme f et∑bnx
n de rayon de convergence R et de somme g. On suppose que ∀n ∈ N, bn > 0et∑bnR
n diverge.1: Montrer que si an = o(bn) alors f =
R−o(g).
2: Montrer que si an ∼ bn alors f ∼R−
(g).
3: Application 01 : Soit p ∈ N. Trouver un équivalent de+∞∑n=1
np xn en 1−.
4: Application 03 : Montrer qu’au voisinage de 1− :+∞∑n=1
ln nxn ∼ − ln(1− x)1− x
.
Exercice 29: Déterminer, dans chaque cas, le rayon de convergence de la série entière et calculer sa somme :
1)∑n≥0
n2xn 2)∑n≥0
xn
2n+ 13)∑n≥2
xn
n2 − 14)∑n≥0
xn
(2n+ 1)!5)∑n≥0
n3xn
n!
Exercice 30: Dans chaque cas, vérifier que la série est convergente et calculer sa somme :
1)∑n≥1
1
2nn(n+ 1)2)∑n≥3
4n− 3
n(n2 − 4)3)∑n≥0
(−1)n(n+ 5)
(n+ 1)(n+ 2)
Exercice 31: Dans chaque cas, vérifier que la série est convergente et calculer sa somme :
1)∑n≥0
n3
n!2)∑n≥0
2n+ n3
(n+ 1)!3)∑n≥1
1
(n+ 1)(n− 1)!4)∑n≥0
(−1)nn3
n!5)∑n≥0
1
(3n)!
Exercice 32: Dans chaque cas, vérifier que la série est convergente et calculer sa somme :
1)∑n≥0
(−1)n
3n+ 22)∑n≥0
(−1)n
4n(4n+ 1)3)∑n≥1
1
9n2 − 14)∑n≥1
(−1)n−1
2n(2n+ 1)(2n+ 2)
Exercice 33: Montrer que la fonction f(x) =sinx
xest prolongeable en une fonction C∞ sur R.
Exercice 34: Montrer que la fonction f(x) =ln(x+ 1)
xest prolongeable en une fonction C∞ sur ]− 1, 1[.
Exercice 35: Déterminer des solutions développables en séries entières des équations différentielles suivantes :
1)x2y′′ + 4xy′ + 2y = ex 2)xy′′ + (x− 1)y′ − y = 0 3)xy′′ + 2y′ − xy = 0 4)x2y′′ + 4xy′ + (2− x2)y = 1
Exercice 36: Montrer que : 1)+∞∑n=1
(−1)n−1
n2=
∫ 1
0
ln(1 + t)
tdt 2)
+∞∑n=0
(−1)n
(2n+ 1)2=
∫ 1
0
arctan t
tdt.
Exercice 37: Montrer que∫ 1
0
x−xdx =+∞∑n=0
n−n.
Exercice 38: Montrer que∫ 1
0
lnx ln(1 + x)
xdx = −3
4
+∞∑n=1
1
n3.
Exercice 39: On considère la suite récurrente u0 = u1 = 1 et ∀n ∈ N, un+2 = un+1 + (n+ 1)un.1: Montrer que le rayon de convergence de la série entière
∑n≥0
unn!xn est R ≥ 1. On note f sa somme.
2: Montrer que ∀x ∈]−R,R[, f ′(x) = (1 + x)f(x). Déterminer f et donner une expression de un.Exercice 40: On considère la suite récurrente u0, u1, u2 ∈ R et ∀n ∈ N, un+3 = un+2 + un+1 − un.1: Montrer que ∃A, r > 0,∀n ∈ N, |un| ≤ Arn.2: En déduire que le rayon de convergence de la série entière
∑unx
n est strictement positif.3: Calculer la somme de la série entière
∑unx
n et en déduire l’expression de un.
Exercice 41: On considère la suite récurrente u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 =1
2
n∑k=0
Cknun−kuk.
1: Montrer que ∀n ∈ N, un ≤ n!. En déduire que le rayon de convergence R de∑ un
n! xn est strictement positif.
2: Soit f la somme de∑ un
n! xn. Montrer que ∀x ∈]−R,R[, f ′(x) = 1
2f2(x). En déduire f et un.
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