c© Christophe Bertault - MPSI Arithmétique des entiers relatifs

Exercice 1

1) Calculer le reste de la division euclidienne :

a) de 32189 par 25. b) de 55970321 par 8.

2) Montrer que pour tout n ∈ N :

a) 17∣

∣

∣

(

78n+1 + 10(−1)n)

. b) 11∣

∣

∣

(

95n+2 − 4)

.

3) Résoudre les équations suivantes d’inconnue (x, y) ∈ N2 :

a)

{

x ∧ y = 3x+ y = 21.

b) (x ∧ y) + (x ∨ y) = 2x+ 3y.

4) Calculer (n4 + 3n2 − 3) ∧ (n+ 1) pour tout n ∈ N.

Exercice 2

1) Montrer que n2 ≡ 1 [8] pour tout n ∈ Z impair.

2) Montrer que p2 − 1 est divisible par 24 pour tout p ∈ P \{

2, 3}

.

Exercice 3

Soient a, b ∈ Z. Montrer que a2 + b2 est divisible par 7 si et seulement si a et b le sont.

Exercice 4

Simplifier (a+ b) ∧ (a ∨ b) pour tous a, b ∈ Z.

Exercice 5

Soient a ∈ Z, n ∈ N∗ et p ∈ P. Montrer que p divise a si et seulement si p divise an.

Exercice 6

Soient a, b, c ∈ Z, (a, b) 6= (0, 0). On souhaite résoudre l’équation ax+ by = c, notée ⋆,

d’inconnue (x, y) ∈ Z2.

1) Montrer que ⋆ n’a pas de solution si c n’est pas un multiple de a ∧ b.

2) On suppose dans cette question que a ∧ b divise c.

a) En considérant un couple de coefficients de Bézout de (a, b), montrer que ⋆

possède une solution (x0, y0).b) En s’appuyant sur (x0, y0), résoudre complètement ⋆.

3) Résoudre l’ équation 7x− 12y = 3 d’inconnue (x, y) ∈ Z2.

Exercice 7

1) Soient a, b ∈ N. Si a et b sont premiers entre eux et si ab est un carré parfait, i.e.

le carré d’un entier, montrer que a et b sont eux-mêmes des carrés parfaits.

2) Soient p ∈ P et (x, y) ∈ N2. On suppose que x2 + px = y2.

a) Si p divise x, montrer qu’alors p divise y, puis, en utilisant 1), que x = y = 0.b) Si p ne divise pas x, déterminer x et y en adaptant l’idée précédente.

c) En déduire les solutions de l’équation x2 + px = y2 d’inconnue (x, y) ∈ N2.

3) Résoudre l’équation y3 = x2 + x d’inconnue (x, y) ∈ Z2.

Exercice 8

Soit n > 2. Montrer que n est premier si et seulement s’il ne possède aucun diviseur

compris entre 2 et√n. Ce résultat est connu sous le nom de critère d’Eratosthène.

Exercice 9

1) Soient a et n deux entiers supérieurs ou égaux à 2. Montrer que si an − 1 est

premier, alors a = 2 et n est premier. La réciproque est-elle vraie ?

Pour tout entier naturel p supérieur ou égal à 2, l’entier 2p − 1 est appelé le pème

nombre de Mersenne, souvent noté Mp.

2) a) Factoriser a2n+1 + b2n+1 par (a+ b) pour tous n ∈ N et a, b ∈ C.

b) Soit n ∈ N∗. Montrer que si 2n + 1 est premier, n est une puissance de 2.

Pour tout entier naturel n, l’entier Fn = 22n

+ 1 est appelé le nème nombre de

Fermat. On peut vérifier que F0, F1, F2, F3, F4 sont premiers. On conjecture que

ce sont là les seuls nombres de Fermat premiers.

c) Montrer que pour tout n ∈ N : Fn+1 = F0F1 . . . Fn + 2.d) En déduire que Fm et Fn sont premiers entre eux pour tous m,n ∈ N distincts.

Exercice 10

Soit p ∈ P.

1) Montrer que p divise

(

p

k

)

pour tout k ∈ J1, p− 1K.

2) En déduire que pour tous x, y ∈ Z : (x+ y)p ≡ xp + yp [p].3) En déduire que pour tout a ∈ Z : ap ≡ a [p].4) En déduire que pour tout a ∈ Z non divisible par p : ap−1 ≡ 1 [p].

Le résultat de la question 2) est appelé l’identité de Frobenius ; les résultats des ques-

tions 3) et 4) sont deux versions de ce qu’on appelle le petit théorème de Fermat. Ces

formules de rien du tout sont d’une importance fondamentale pour les mathématiques.

Exercice 11

Le théorème de la progression arithmétique, démontré par Dirichlet vers 1840, affirme

que pour tous a, b ∈ N∗ premiers entre eux, il existe une infinité de nombres premiers

congrus à a modulo b. La preuve est très difficile, mais certains cas particuliers nous

sont accessibles.

1) a) Montrer que tout entier naturel congru à 3 modulo 4 possède au moins un

diviseur premier congru à 3 modulo 4.

b) Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4.

2) Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 5 modulo 6.

3) a) Soit n > 2. Montrer, à l’aide du petit théorème de Fermat, que tout diviseur

premier de (n!)2 + 1 est congru à 1 modulo 4 et strictement supérieur à n.

b) Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo 4.