Exercices - Arithmetique Des Entiers Relatifs 14
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c Christophe Bertault - MPSI Arithmétique des entiers relatifs Exercice 1 1) Calculer le reste de la division euclidienne : a) de 3 2189 par 25. b) de 55 970321 par 8. 2) Montrer que pour tout n ∈ N : a) 17 ( 7 8n+1 + 10(−1) n ) . b) 11 ( 9 5n+2 − 4 ) . 3) Résoudre les équations suivantes d’inconnue (x, y) ∈ N 2 : a) x ∧ y =3 x + y = 21. b) (x ∧ y)+(x ∨ y)=2x +3y. 4) Calculer (n 4 +3n 2 − 3) ∧ (n + 1) pour tout n ∈ N. Exercice 2 1) Montrer que n 2 ≡ 1 [8] pour tout n ∈ Z impair. 2) Montrer que p 2 − 1 est divisible par 24 pour tout p ∈ P \ 2, 3 . Exercice 3 Soient a, b ∈ Z. Montrer que a 2 + b 2 est divisible par 7 si et seulement si a et b le sont. Exercice 4 Simplifier (a + b) ∧ (a ∨ b) pour tous a, b ∈ Z. Exercice 5 Soient a ∈ Z, n ∈ N * et p ∈ P. Montrer que p divise a si et seulement si p divise a n . Exercice 6 Soient a, b, c ∈ Z, (a, b) = (0, 0). On souhaite résoudre l’équation ax + by = c, notée ⋆, d’inconnue (x, y) ∈ Z 2 . 1) Montrer que ⋆ n’a pas de solution si c n’est pas un multiple de a ∧ b. 2) On suppose dans cette question que a ∧ b divise c. a) En considérant un couple de coefficients de Bézout de (a, b), montrer que ⋆ possède une solution (x 0 ,y 0 ). b) En s’appuyant sur (x 0 ,y 0 ), résoudre complètement ⋆. 3) Résoudre l’ équation 7x − 12y =3 d’inconnue (x, y) ∈ Z 2 . Exercice 7 1) Soient a, b ∈ N. Si a et b sont premiers entre eux et si ab est un carré parfait, i.e. le carré d’un entier, montrer que a et b sont eux-mêmes des carrés parfaits. 2) Soient p ∈ P et (x, y) ∈ N 2 . On suppose que x 2 + px = y 2 . a) Si p divise x, montrer qu’alors p divise y, puis, en utilisant 1), que x = y =0. b) Si p ne divise pas x, déterminer x et y en adaptant l’idée précédente. c) En déduire les solutions de l’équation x 2 + px = y 2 d’inconnue (x, y) ∈ N 2 . 3) Résoudre l’équation y 3 = x 2 + x d’inconnue (x, y) ∈ Z 2 . Exercice 8 Soit n 2. Montrer que n est premier si et seulement s’il ne possède aucun diviseur compris entre 2 et √ n. Ce résultat est connu sous le nom de critère d’Eratosthène. Exercice 9 1) Soient a et n deux entiers supérieurs ou égaux à 2. Montrer que si a n − 1 est premier, alors a =2 et n est premier. La réciproque est-elle vraie ? Pour tout entier naturel p supérieur ou égal à 2, l’entier 2 p − 1 est appelé le p ème nombre de Mersenne, souvent noté M p . 2) a) Factoriser a 2n+1 + b 2n+1 par (a + b) pour tous n ∈ N et a, b ∈ C. b) Soit n ∈ N * . Montrer que si 2 n +1 est premier, n est une puissance de 2. Pour tout entier naturel n, l’entier F n =2 2 n +1 est appelé le n ème nombre de Fermat. On peut vérifier que F 0 ,F 1 ,F 2 ,F 3 ,F 4 sont premiers. On conjecture que ce sont là les seuls nombres de Fermat premiers. c) Montrer que pour tout n ∈ N : F n+1 = F 0 F 1 ...F n +2. d) En déduire que F m et F n sont premiers entre eux pour tous m, n ∈ N distincts. Exercice 10 Soit p ∈ P. 1) Montrer que p divise p k pour tout k ∈ 1,p − 1. 2) En déduire que pour tous x, y ∈ Z : (x + y) p ≡ x p + y p [p]. 3) En déduire que pour tout a ∈ Z : a p ≡ a [p]. 4) En déduire que pour tout a ∈ Z non divisible par p : a p-1 ≡ 1[p]. Le résultat de la question 2) est appelé l’identité de Frobenius ; les résultats des ques- tions 3) et 4) sont deux versions de ce qu’on appelle le petit théorème de Fermat. Ces formules de rien du tout sont d’une importance fondamentale pour les mathématiques. Exercice 11 Le théorème de la progression arithmétique, démontré par Dirichlet vers 1840, affirme que pour tous a, b ∈ N * premiers entre eux, il existe une infinité de nombres premiers congrus à a modulo b. La preuve est très difficile, mais certains cas particuliers nous sont accessibles. 1) a) Montrer que tout entier naturel congru à 3 modulo 4 possède au moins un diviseur premier congru à 3 modulo 4. b) Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4. 2) Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 5 modulo 6. 3) a) Soit n 2. Montrer, à l’aide du petit théorème de Fermat, que tout diviseur premier de (n!) 2 +1 est congru à 1 modulo 4 et strictement supérieur à n. b) Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo 4.
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c© Christophe Bertault - MPSI Arithmétique des entiers relatifs
Exercice 1
1) Calculer le reste de la division euclidienne :
a) de 32189 par 25. b) de 55970321 par 8.
2) Montrer que pour tout n ∈ N :
a) 17∣
∣
∣
(
78n+1 + 10(−1)n)
. b) 11∣
∣
∣
(
95n+2 − 4)
.
3) Résoudre les équations suivantes d’inconnue (x, y) ∈ N2 :
a)
{
x ∧ y = 3x+ y = 21.
b) (x ∧ y) + (x ∨ y) = 2x+ 3y.
4) Calculer (n4 + 3n2 − 3) ∧ (n+ 1) pour tout n ∈ N.
Exercice 2
1) Montrer que n2 ≡ 1 [8] pour tout n ∈ Z impair.
2) Montrer que p2 − 1 est divisible par 24 pour tout p ∈ P \{
2, 3}
.
Exercice 3
Soient a, b ∈ Z. Montrer que a2 + b2 est divisible par 7 si et seulement si a et b le sont.
Exercice 4
Simplifier (a+ b) ∧ (a ∨ b) pour tous a, b ∈ Z.
Exercice 5
Soient a ∈ Z, n ∈ N∗ et p ∈ P. Montrer que p divise a si et seulement si p divise an.
Exercice 6
Soient a, b, c ∈ Z, (a, b) 6= (0, 0). On souhaite résoudre l’équation ax+ by = c, notée ⋆,
d’inconnue (x, y) ∈ Z2.
1) Montrer que ⋆ n’a pas de solution si c n’est pas un multiple de a ∧ b.
2) On suppose dans cette question que a ∧ b divise c.
a) En considérant un couple de coefficients de Bézout de (a, b), montrer que ⋆
possède une solution (x0, y0).b) En s’appuyant sur (x0, y0), résoudre complètement ⋆.
3) Résoudre l’ équation 7x− 12y = 3 d’inconnue (x, y) ∈ Z2.
Exercice 7
1) Soient a, b ∈ N. Si a et b sont premiers entre eux et si ab est un carré parfait, i.e.
le carré d’un entier, montrer que a et b sont eux-mêmes des carrés parfaits.
2) Soient p ∈ P et (x, y) ∈ N2. On suppose que x2 + px = y2.
a) Si p divise x, montrer qu’alors p divise y, puis, en utilisant 1), que x = y = 0.b) Si p ne divise pas x, déterminer x et y en adaptant l’idée précédente.
c) En déduire les solutions de l’équation x2 + px = y2 d’inconnue (x, y) ∈ N2.
3) Résoudre l’équation y3 = x2 + x d’inconnue (x, y) ∈ Z2.
Exercice 8
Soit n > 2. Montrer que n est premier si et seulement s’il ne possède aucun diviseur
compris entre 2 et√n. Ce résultat est connu sous le nom de critère d’Eratosthène.
Exercice 9
1) Soient a et n deux entiers supérieurs ou égaux à 2. Montrer que si an − 1 est
premier, alors a = 2 et n est premier. La réciproque est-elle vraie ?
Pour tout entier naturel p supérieur ou égal à 2, l’entier 2p − 1 est appelé le pème
nombre de Mersenne, souvent noté Mp.
2) a) Factoriser a2n+1 + b2n+1 par (a+ b) pour tous n ∈ N et a, b ∈ C.
b) Soit n ∈ N∗. Montrer que si 2n + 1 est premier, n est une puissance de 2.
Pour tout entier naturel n, l’entier Fn = 22n
+ 1 est appelé le nème nombre de
Fermat. On peut vérifier que F0, F1, F2, F3, F4 sont premiers. On conjecture que
ce sont là les seuls nombres de Fermat premiers.
c) Montrer que pour tout n ∈ N : Fn+1 = F0F1 . . . Fn + 2.d) En déduire que Fm et Fn sont premiers entre eux pour tous m,n ∈ N distincts.
Exercice 10
Soit p ∈ P.
1) Montrer que p divise
(
p
k
)
pour tout k ∈ J1, p− 1K.
2) En déduire que pour tous x, y ∈ Z : (x+ y)p ≡ xp + yp [p].3) En déduire que pour tout a ∈ Z : ap ≡ a [p].4) En déduire que pour tout a ∈ Z non divisible par p : ap−1 ≡ 1 [p].
Le résultat de la question 2) est appelé l’identité de Frobenius ; les résultats des ques-
tions 3) et 4) sont deux versions de ce qu’on appelle le petit théorème de Fermat. Ces
formules de rien du tout sont d’une importance fondamentale pour les mathématiques.
Exercice 11
Le théorème de la progression arithmétique, démontré par Dirichlet vers 1840, affirme
que pour tous a, b ∈ N∗ premiers entre eux, il existe une infinité de nombres premiers
congrus à a modulo b. La preuve est très difficile, mais certains cas particuliers nous
sont accessibles.
1) a) Montrer que tout entier naturel congru à 3 modulo 4 possède au moins un
diviseur premier congru à 3 modulo 4.
b) Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4.
2) Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 5 modulo 6.
3) a) Soit n > 2. Montrer, à l’aide du petit théorème de Fermat, que tout diviseur
premier de (n!)2 + 1 est congru à 1 modulo 4 et strictement supérieur à n.
b) Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo 4.
