Evaluation du risque des ABS: Approximations des...

Evaluation du risque des ABS:

Approximations des sensibilités des prix aux yields

Faïçal JRIBI

October 18, 2007

SGAM/AI/SAM Equipe Structuration/Recherche

Encadré par: Vivien BRUNEL

Titeur: Nabil Kahale

Remerciements

Je tiens à remercier tous les membres de l'équipe de structuration de SGAM/AI, en particulierVivien BRUNEL qui m'a encadré dans cette étude et qui m'a beaucoup appris durant monstage. Je remercie également Julien TAMINE pour m'avoir donné l'opportunité d'e�ectuermon stage de master au sein de SGAM/AI.

Table des Matières

1 Marchés des ABS 8

1.1 Concepts de base et terminologie . . . . . . . . . . 8

1.1.1 Qu'est-ce qu'un ABS ? . . . . . . . . . . . . 8

1.1.2 Structure des cash-�ows des actifs titrisés . 9

1.1.3 Allocation des cash-�ows . . . . . . . . . . . 10

1.1.4 Les di�érents types d'ABS . . . . . . . . . . 12

1.2 Un marché évolutif et diversi�é . . . . . . . . . . . 13

1.2.1 Histoire des marchés des ABS . . . . . . . . 13

1.2.2 Fonctionnement du marché . . . . . . . . . . 15

1.2.3 Segmentation des marchés ABS . . . . . . . 18

1.3 La crise du subprime . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.1 Stabilité des ABS . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.2 La crise de l'été 2007 . . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Les pratiques du marché . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.1 Les modèles de pricing . . . . . . . . . . . . 22

1.4.2 La gestion des risques . . . . . . . . . . . . . 26

2 Modélisation des actifs amortissables 27

2.1 Pro�l d'amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.1 Caractérisation d'un actif amortissable

2.1.2 Exemples de pro�ls d'amortissement stan-

dards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Prépaiement et théorie de la mesure . . . . . . . . . 31

2.2.1 Modélisation du prépaiement . . . . . . . . 31

2.2.2 Mesures dé�nies par les �ux de rembourse-

ment de capital . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.3 Application à la WAL et au prix d'un actif

amortissable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3 Propriétés générales de la WAL et du prix . . . . . 34

2.3.1 WAL et convexité du pro�l d'amortissement 34

2.3.2 Linéarité de la WAL . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.3 Encadrement du prix . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Approximation de la sensibilité et de la convexité

du prix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.1 Fondement de l'approximation de la sensi-

bilité par la WAL . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.2 Une nouvelle approximation de la sensibil-

ité et de la convexité du prix . . . . . . . . . 38

3 Application aux ABS dans le cas d'un taux de prépaiement

constant 41

3.1 Quelques modèles de taux de prépaiement déter-

ministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.1 Le modèle CPR . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.2 Le modèle PSA . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 ABS pass-through . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.1 Pro�l d'amortissement d'un ABS pass-through 42

3.2.2 Expression de la dérivée de Radon-Nikodym 43

3.2.3 WAL d'un ABS pass-through et transfor-

mée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.4 Prix d'un ABS pass-through . . . . . . . . . 44

3.2.5 Approximation de la sensibilité du prix au

yield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 ABS séquentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.1 Concepts et dé�nitions . . . . . . . . . . . . 49

3.3.2 Tranches senior . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3.3 Tranches mezzanine . . . . . . . . . . . . . . 51

A Annexe 55

A.1 Démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

A.1.1 Formule du prix . . . . . . . . . . . . . . . . 55

A.1.2 Expression de la WAL . . . . . . . . . . . . . 55

A.1.3 Linéarité de la WAL . . . . . . . . . . . . . . 55

A.1.4 Encadrement du prix . . . . . . . . . . . . . 56

A.1.5 Approximation du prix au premier ordre . 56

A.1.6 Approximation de la sensibilité et de la WAL 56

A.1.7 Existence d'un taux de prépaiement max-

imal qui annule le spread du marché . . . . 57

A.1.8 Expression du prix d'un ABS pass-through 58

A.1.9 EDP du prix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

A.1.10 Approximation de τλ(A) pour les faibles tauxde prépaiement . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

A.1.11 τλ(A) est décroissant par rapport à λ et parrapport à A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

A.1.12 Tranches ITT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Introduction

Les Asset Backed Securities (ABS) sont des obligations (à capital amorti ou non) résultant dela titrisation d'un pool d'actifs (par exemples des prêts hypothécaires). Leurs performances etleurs caractéristiques dépendent donc des actifs titrisés. Par conséquent, les ABS englobentplusieurs risques à la fois : le risque de défaut, le risque de prépaiement, le risque de taux etle risque de liquidité.

Le marché des ABS aux Etats-Unis est plus mature que le reste du monde, particulièrementcelui des �Mortgage Backed Securities� (MBS). Ce dernier est organisé autour des émissionsfaites par les agences Ginnie Mae, Fannie Mae et Freddie Mac, et il a donné naissance àdes méthodes de couverture contre les risques de prépaiement basées sur des stratégies detaux d'intérêts. La littérature associée, principalement américaine, présente deux approchesprincipales. La première fait appel à des modèles économétriques de prépaiement calibrés àl'aide de données historiques (Green et Shove [1]). Une telle approche s'est avérée ine�cacedurant la dernière décennie face à des événements sans précédent comme l'explosion des taux deprépaiement. La deuxième est une approche optionnelle, initiée par Dunn et McConnel [3, 4].Elle consiste à lier le prépaiement à l'exercice optimal de l'option de re�nancement des prêtsen fonction des taux d'intérêts. L'approche de Dunn et Mc Connel reste d'ordre académique,car elle est di�cile à calibrer aux données du marché. La relation entre le prépaiement etles taux d'intérêts reste donc une problématique d'actualité autant pour les académiciens quepour les praticiens du marché.

En Europe, où le marché des ABS est moins mature, les praticiens, en dépit de la littéra-ture académique, font appel à des approches actuarielles simples pour évaluer les ABS etestimer leurs risques. En e�et, les acteurs du marché utilisent couramment des fonctions depricing standards proposées notamment par Bloomberg et qui sont devenues une norme pourl'évaluation des tranches d'ABS. Les gérants calculent les cash-�ows générés par l'ABS avecun scénario de zéro défaut et sous l'hypothèse d'un taux de prépaiement constant et ils endéduisent le taux actuariel (le yield to maturity) qui permet d'égaliser la somme des cash-�ows actualisés au prix du marché. Le yield excède le taux d'intérêt sans risque de référence(par exemple l'Euribor 3M) d'une marge que nous appellerons Discount Margin (DM)1. Ellereprésente l'excès de rentabilité d'une obligation ABS par rapport au taux sans risque. Bienévidemment, une telle approche est statique et ne prend pas en compte les aspects option-nels du prépaiement par rapport aux taux d'intérêt, en particulier, la convexité négative queprésentent les prix des MBS2.

Généralement, les actifs titrisés ne sont pas des actifs �nanciers liquides, ce qui rend le pricingdes ABS par réplication quasiment impossible. En l'absence de stratégie de couverture parfaite,les gérants se contentent de gérer leurs positions dans les limites de risques autorisées par leursinstitutions. L'indicateur principal du risque est la Weighted Average Life (WAL) ou la duréede vie moyenne du capital restant dû. La WAL est souvent utilisée comme une approximationde la sensibilité du prix à la DM. Telle que nous l'avons dé�nie, la DM est une variable implicitequi découle du prix et des hypothèses sur la structure des cash-�ows. Sous l'hypothèse de taux

1Le yield to maturity = le taux d'intérêt de référence (ex: Euribor 3M) + la Discount Margin.2Les travaux de Breeden, D.T en 1992 o�rent une description du marché des MBS durant les années 80. Ils

ont illustré la convexité négative des prix des MBS sous l'e�et des prépaiements.

d'intérêt statiques et loin de l'exercice optimal de l'option de re�nancement, les prépaiementsne sont plus expliqués par les niveaux des taux d'intérêts; ainsi, l'approche actuarielle devientattractive et permet d'avoir des résultats pertinents pour l'évaluation des risques des ABS àcourt terme.

Contrairement au marché des obligations, les gérants considèrent les ABS comme des actifstrès stables et ne prennent pas en considération la convexité des prix. C'est probablement laraison pour laquelle l'utilisation de la WAL, comme approximation de la sensibilité au yield

à la place de la duration, est une pratique courante. La récente crise de l'été 2007 déclenchéepar le marché du subprime3 aux Etats-Unis, a montré que les prix des ABS peuvent être trèsvolatiles et que de telles pratiques sont à remettre en question.

Après une présentation générale du marché des ABS dans le premier chapitre, ce documento�re un cadre de modélisation mathématique pour l'approche actuarielle et statique (tauxd'intérêt constants). Le formalisme utilisé est généralisé à tous les actifs amortissables (inclu-ant les ABS). Il permet d'assimiler le prépaiement à un changement de mesure de probabilité,de montrer des propriétés de la WAL et du prix; et de mettre en évidence des approximationsde la sensibilité et de la convexité des prix des ABS par rapport au yield, indépendammentdes hypothèses sur les structures de cash-�ows et du prépaiement. Le troisième chapitreest dédié à l'application du formalisme et des résultats du second chapitre aux ABS pass-

through et aux tranches d'ABS séquentiels. Il permettra en particulier d'illustrer l'ine�cacitéde l'approximation de la sensibilité par la WAL.

3Ils s'agit des prêts accordés à des individus de mauvaise qualité de crédit à cause d'un historique de défautsou d'une mauvaise capacité �nancière de remboursement. En contrepartie, les taux d'intérêts sur ces prêtssont trop élevés.

1 Marchés des ABS

1.1 Concepts de base et terminologie

1.1.1 Qu'est-ce qu'un ABS ?

Les �Asset Backed Securities� (ABS) sont des obligations �adossées� à un pool d'actifs (prêtsimmobiliers, prêts étudiants, créances clients...). Ces instruments se sont bien développésau cours de la dernière décennie. Ils font appel à la technique de titrisation : un moyende �nancement des entreprises consistant à utiliser un actif �nancier de l'entreprise (souventilliquide) pour garantir une émission de titres sur le marché des capitaux.

Figure 1: Schéma classique d'une opération de titrisation [9].

Considérons à titre d'exemple une entreprise E de faible notation ayant du mal à se re�nancerauprès des banques. Elle a vendu des équipements à des clients de très bonne qualité de crédit.La titrisation permet dans ce cas d'o�rir à l'entreprise E un moyen de �nancement qui dépendde la capacité des clients à payer leurs créances indépendamment de la qualité de crédit de E.L'idée consiste à créer une société exclusivement pour cette opération et que nous appelleronsSPV (Special Purpose Vehicle). L'entreprise E cède sont portefeuille de papiers commerciaux(l'actif sous-jacent titrisé) au SPV. Celui-ci re�nancera cet achat par l'émission de titres dontla notation dépendra uniquement de la qualité de crédit des clients. Il peut y avoir un seultitre émis, on parle alors d'ABS pass-through comme il peut y en avoir plusieurs sous formesde tranches de dette de di�érents degrés de subordination comme l'illustre la �gure 2.

Actif Passif

Actif �nancier titrisé(Prêts immobiliers,

Papiers commerciaux...)

DetteTranche SeniorTranche Mezzanine 1Tranche Mezzanine 2 ...

Equity (tranche junior)

Figure 2: Bilan du SPV

1.1.2 Structure des cash-�ows des actifs titrisés

Selon leur nature, les actifs titrisés génèrent des cash-�ows pouvant inclure des remboursementsde capital, des intérêts (coupons �xes ou variables) et des pertes engendrées par des défautsde crédit.

Prenons l'exemple des MBS: les actifs titrisés sont des prêts immobiliers qui versent despaiements périodiques dont les termes ont été dé�nis au niveau des contrats. Ces paiementssont constitués de remboursements de capital et des intérêts. Les remboursements de capitalsont la somme d'une part des remboursements théoriques plani�és au départ; et d'autre par,des remboursements non plani�és que nous appellerons prépaiements, et dont les dates et lesmontants sont librement choisis par les emprunteurs. Quant-aux intérêts, dans la majoritédes cas, ils sont calculés de sorte que les paiements périodiques (hors prépaiements) soientconstants; mais dans d'autres cas ils peuvent êtres sous la forme d'un coupon �xe ou d'untaux variable ajusté par rapport à un taux de référence, et dont la fréquence de révision peutêtre di�érente de la fréquence des paiements. En cas de défaut de l'emprunteur, la vente dubien immobilier permet de dé�nir un taux de recouvrement du capital restant dû. Si le taux derecouvrement est strictement inférieur à un, une perte est enregistrée au niveau des cash-�owsdes actifs titrisés.

Actifs titrisésSPV

+ Remboursements théoriques

+ Prépaiements

+ Intérêts

- Pertes

Cash-flows

Figure 3: Les di�érents types de cash-�ows générés par les actifs titrisés

Les MBS présentent un cas typique où les cash-�ows des actifs titrisés inclus tout les di�érentstypes de paiements à la fois. Mais il existe des ABS qui présentent d'autres cas de con�guration:les ABS adossés à un pool d'obligations ne présentant pas de prépaiements. Les Collateralized

Debt Obligations (CDO) synthétiques adossés à un pool de Credit Default Swaps (CDS) sont uncas particulier des ABS dont les cash-�ows se limitent aux coupons et aux pertes et n'incluentaucun remboursement de capital.

1.1.3 Allocation des cash-�ows

La collection des cash-�ows des actifs titrisés génère des coûts. Dans le cas des MBS, uneentité externe au SPV, appelée le servicer assure la responsabilité de la collection et de lagestion des paiements. Ces coûts opérationnels sont déduits des cash-�ows destinés au SPV.Il arrive souvent que la banque qui a cédé le portefeuille de prêts immobiliers soit elle même leservicer , ce qui n'est pas sans conséquence dans les négociations des termes de la titrisation.

Avant d'être acheminés vers le SPV, les cash-�ows des actifs titrisé d'un ABS peuvent fairel'objet d'un swap de taux (ex: �xe contre variable) ou de change, ce qui implique des risquessupplémentaires aux investisseurs. Par la suite, le SPV alloue les paiements aux di�érentsacteurs de l'opération selon les termes du deal. Comme le montre la �gure 4, plusieurs inter-venants sont présents dans une titrisation.

SPVServicer

Actif titrisé 1

Actif titrisé 2

Actif titrisé …

Actif titrisé N

Collection des CFs

Agencede notation

Structuration

Gestion

AssurancesInvestisseurs

Allocation

Figure 4: Allocation des cash-�ows

L'agence de notation accorde une notation à la dette du SPV en fonction de la qualité de créditdes actifs titrisés et du degré de subordination des obligations de l'ABS. La note accordéepeut-être mise à jour périodiquement. Le service de structuration orchestre le déroulementde l'opération de titrisation. Il prend en charge la mise en place de la structure juridiquedu SPV, la sélection des actifs à titriser, la détermination des notionnels des tranches dedette en collaboration avec les agences de notation, la négociation des coûts de l'opérationet l'évaluation des prix d'émission des ABS ainsi que leur marketing auprès des investisseurs.Ce rôle est accordé généralement à une banque d'investissement. Selon la nature des actifstitrisés, un service de gestion peut être nécessaire pour la couverture des risques pendant lapériode de sélection des actifs qui précède l'émission des ABS. Ce rôle peut se prolonger au-delà de l'émission si les actifs nécessitent une gestion permanente (par exemple des fonds).Dans certains cas, pour améliorer la notation des obligations senior, des assurances o�rent desgaranties de protection contre les défauts de crédit en échange d'une prime.

Les investisseurs sont généralement des institutions �nancières de pro�ls de risque di�érents.L'un des intérêts majeurs de la titrisation est de créer, à partir d'un pool d'actifs d'unenotation donnée, plusieurs obligations couvrant un large spectre de notes selon le niveau desubordination. Ainsi, les di�érents pro�ls de risque sont servis. Par exemple, les hedge funds,pour atteindre des rendements élevés, doivent investir dans des actifs risqués. Les tranchesEquity des ABS sont un investissement de premier choix pour les hedge funds.

En dehors des investisseurs, les paiements perçus par les autres acteurs de l'opération représen-tent des charges (fees). Ils sont perçus périodiquement sous forme d'intérêts de très faiblepourcentage de l'actif du SPV (quelques dizaines de points de base). La majeure partie des�ux est destinée aux investisseurs. Les contraintes de subordination dé�nissent les règlesd'allocation des cash-�ows aux investisseurs (on parle souvent de cash-�ow waterfall). Il estdi�cile de lister tous les di�érents types de structures qui existent sur le marché des ABS.Nous nous limiterons à l'introduction des structures les plus courantes.

La structure d'ABS pass-through, que nous avons déjà évoqué, consiste à émettre une seuletranche de dette au niveau du passif du SPV. Cette structure est courante dans le cas des MBSémis aux Etats-Unis par les agences Ginnie Mae, Fannie Mae et Freddie Mac. Les investisseursreçoivent les mêmes remboursements de capital et les mêmes intérêts et subissent les mêmespertes en cas de défaut des actifs titrisés.

En cas d'émission de plusieurs tranches de dette, les niveaux des intérêts perçus par les in-vestisseurs sur les encours des obligations dépendent des niveaux de subordination. En e�et,les intérêts baissent avec le niveau de subordination en partant de la tranche junior4 vers latranche senior . D'autre part, les investisseurs de la tranche junior supportent l'intégralité despertes en cas de défaut. Si les pertes cumulées excédent l'encours de la tranche, les investis-seurs ne perçoivent plus aucun paiement (ni intérêts ou ni remboursement de capital). Lesnouvelles pertes sont adossées à la tranche suivante dans l'ordre de la subordination et ainside suite.

En revanche, l'allocation des remboursements de capital varie d'une structure à l'autre. Parexemple, dans le cas des ABS séquentiels, tous les remboursements de capital sont alloués àla tranche la plus senior. Une fois celle-ci intégralement amortie, les remboursements sontalloués à la tranche qui suit, dans l'ordre de la subordination. Dans le cas des ABS propor-tionnels, les remboursements de capital sont alloués à toutes les tranches au prorata de leursencours. Il existe des structures mixtes qui sont proportionnelles au départ jusqu'à un certainseuil d'encours; ensuite elles deviennent séquentielles. Dans le cas des MBS, certaines struc-tures permettent de séparer les remboursements théoriques des prépaiements, et d'allouer lespremiers séquentiellement et les seconds au prorata ou inversement.

Dans le cas général, les tranches d'ABS peuvent aussi faire l'objet d'un découpage plus �nen séparant le remboursement du capital de celui des intérêts. On parle alors de tranche�principal only� (PO) ou de tranche interest only (IO).

En�n, les agences de notation demandent généralement que le cédant fasse un dépôt de cashau SPV (Cash Deposit), dont le remboursement aura le même rang que la tranche la plus sub-ordonnée. Cette somme sera réinvestie par le SPV dans des instruments liquides (par exemple

4En réalité, les investisseurs de la tranche junior perçoivent l'éxcédent des cash-�ows une fois tous les autresacteurs ont été payés et non pas des intérêts sur l'encours des obligations, nous parlons alors d'�excess spread�.

des obligations d'Etat), qui sont immédiatement revendables pour payer les investisseurs destranches seniors si nécessaire. Certaines structures prévoient parfois qu'une partie de l'�excessspread� alimente le Cash Deposit .

1.1.4 Les di�érents types d'ABS

Les ABS peuvent être classés de plusieurs manières. Par exemple, si nous nous intéressonsà l'horizon d'investissement comme critère de classi�cation, les titres issus de la titrisationsont appelés �Term Deal� lorsqu'il s'agit d'obligations long terme ou �Conduits� si il s'agitd'obligation court terme (les �Conduits� se re�nancent majoritairement par émission de pa-piers commerciaux). Le niveau de risque des actifs titrisés est un autre critère permettant deséparer les ABS très risqués appelés �subprime� des ABS �prime� de bonne qualité de crédit.Quant-à la granularité5 du pool des actifs titrisés, elle permet de classi�er les ABS suivant lenombre des actifs rapporté à l'encours de l'actif du SPV. Par exemple, pour un notionnel deun milliard d'Euros un MBS adossé à 8000 prêts immobiliers est plus granulaire qu'un CDOde même encours adossé à 100 CDS. L'allocation des cash-�ows des actifs titrisés, comme nousl'avons déjà mentionnée au paragraphe 1.1.3, est un autre moyen de classi�cation des ABS(ABS pass-through, ABS séquentiels etc.)

Mais la classi�cation la plus courante et selon laquelle le marché des ABS est segmenté, consisteà les regrouper selon les actifs titrisés. Le tableau 1 illustre les principaux type d'ABS suivantla classe des actifs titrisés.

5La granularité d'un pool d'actifs peut être mesurée par le nombre d'actifs élémentaires qui le constituent.Généralement les notionnels des actifs élémentaires sont de même ordre de grandeur.

Classe d'actifs Nom de l'ABS Description

Prêts immobiliers RMBSResidential Mortgage Backed Securities : titrisation de prêts

pour des bien immobiliers résidentiels.

Prêts immobilier CMBS

Commercial Mortgage Backed Securities : titrisation de prêts

pour des bien immobiliers commerciaux (Centres

commerciaux, bureaux...)

Prêts immobilier CMOCollateralized Mortgage Obligations : un MBS ayant plusieurs

tranches de dette.

Prêts immobiliers HEL ABS

Home Equity Loan ABS : titrisation de prêts garantis par

l'�Equity� des bien immobiliers (valeur de marché du bien -

les autres dettes).

Prêts immobiliers MH ABSManifactured Housing ABS : titrisation de prêts garantis par

des maisons préfabriquées ou des maisons mobiles.

Prêts pour les

entreprisesCBO

Collateralized Bond Obligations : titrisation d'un pool

d'obligations.

Prêts pour les

entreprisesCLO

Collateralized Loan Obligations : titrisation d'un pool de prêts

aux entreprises.

Créances Clients ABCPAsset Backed Commercial Papers : titrisation d'un pool de

créances clients (papiers commerciaux)

CDSSynthetic CDO

ou CSO

Collateralized Swap Obligations : titrisation d'un pool de

CDS. Les acheteurs sont vendeurs de protection. Ils reçoivent

des primes de protection, sans payer de cash initialement. En

cas de défaut, ils dédommagent les pertes encourues.

d'investissementCFO

Collateralized Fund Obligations : titrisation d'un pool de

fonds d'investissement.

Prêts étudiant SL ABSStudent Loan ABS : titrisation d'un pool de prêts pour

étudiants.

Prêts Auto AL ABS Auto Loan ABS : titrisation d'un pool de prêts auto.

Encours des

cartes de créditCC ABS

Credit Card ABS : titrisation d'un pool d'encours de cartes de

crédit.

Prêts à la

consommationCL ABS

Consumer Loan ABS : titrisation d'un pool de prêts à la

consommation

Contrats de

location

d'équipements

EL ABSEquipment Lease ABS : titrisation d'un pool de contrats de

leasing.

Tableau 1: Classi�cation des ABS

1.2 Un marché évolutif et diversi�é

1.2.1 Histoire des marchés des ABS

Le marché des MBS est le plus ancien des marchés de titrisation. La première émission de MBSdans un marché secondaire aux Etats-Unis date de 1970. Certains investisseurs institutionnels

achetaient et vendaient des pools entiers de prêts immobiliers avant que la GNMA (Govern-ment National Mortgage Association), appelée aussi Ginnie Mae, ne garantisse l'émission despremiers MBS pass-through, suivie peu de temps après par deux autres institutions : FannieMae et Freddie Mac. Contrairement à Ginnie Mae, Fannie Mae et Freddie Mac sont deux en-tités privées qui béné�cient d'un soutien implicite de l'Etat sous la forme de chartes fédéralesqui visent à promouvoir la propriété immobilière.

Les MBS pass-through sont une innovation de grande ampleur. En e�et, contrairement aumarché des prêts immobiliers qui était relativement illiquide, ces nouvelles obligations sont trèsliquides. La standardisation dont béné�cient les obligations MBS pass-through a vite remplacéles procédures assez lentes et coûteuses des transactions portant directement sur les prêtsimmobiliers. Ces nouveaux instruments �nanciers sont aussi attractifs pour les emprunteursque pour les investisseurs. Au-delà de l'avantage de liquidité pour les investisseurs, les MBSpass-through ont permis aux emprunteurs de sortir les prêts immobiliers de leurs bilans; etdonc d'améliorer leurs ratios de liquidité, et de se débarrasser des risques de taux tout engardant les revenus de la gestion des comptes clients.

La forte croissance du marché des MBS pass-through a ouvert le chemin vers de nouveaux in-struments �nanciers. Pour répondre aux besoins des originateurs d'élargir le spectre d'investisseurs,Fannie Mae a émis les premiers CMO en 1983. Contrairement aux MBS pass-through, les CMOsont constitués de plusieurs tranches de dettes avec di�érentes vitesses d'amortissement. Encas de baisse des taux d'intérêt, les emprunteurs exercent leurs options de re�nancement. Lesinvestisseurs se trouvent alors à placer les montants prépayés à des taux plus faibles. Lestranches de CMO permettaient donc d'absorber les prépaiements de manière séquentielle etd'o�rir plus de choix aux investisseurs dans leur exposition au risque de prépaiement. De plus,les tranches pouvaient avoir un ordre de subordination face aux défauts de crédit.

La réforme des impôts de 19866 aux Etats-Unis a permis d'éliminer la double imposition desrevenus des CMO et de rendre ces instruments d'investissement plus attractifs. La réforme adé�ni les actifs titrisés éligibles à cette exonération, créant ainsi une nouvelle sous-classe deCMO appelée �Real Estate Mortgage Investment Conduit� ou REMIC. En plus de l'avantage�scal, les REMIC o�rent encore plus de �exibilité aux investisseurs en leur o�rant un découpagede tranches de grande variété en termes de maturité et de risque. Fannie Mae et Freddie Macdemeurent incontestablement les plus grands originateurs des REMIC.

Quant aux autres marchés de titrisation, le premier EL ABS a été émis par la �Sperry Lease

Finance Corporation� en 1985 en titrisant ses contrats de leasing de matériel informatique.Les contrats de leasing sont similaires aux prêts: ils o�rent des cash-�ows périodiques etprévisibles. Dès lors, il était possible de les céder à un SPV qui lui même les vendait à desinvestisseurs.

Depuis, le marché des ABS n'a pas cessé de se propager aux autres classes d'actifs: prêtsauto, encours de cartes de crédit, prêts garantis par des biens immobiliers (�xes ou mobiles)et même les prêts étudiants.

Il reste à noter que le marché des CDO remonte aux années 1980 mais il n'a pu croitre aussivite que les autres avant l'introduction des modèles de pricing à copule Gaussienne en 2001

6The Tax Reform Act (1986)

par David X Li. Depuis, le marché des CDO (cash ou synthétiques) a connu une très fortecroissance.

1.2.2 Fonctionnement du marché

Tous les marchés ABS sont des marchés de gré à gré (OTC), mais force est de constater quideviennent de plus en plus liquides. De nos jours, ils existent des indices dédiés aux marchésdes ABS comme par exemple l'indice ABX7. Le bon fonctionnement de ces marchés reposesur l'étape initiale du cycle de vie des ABS: la procédure d'émission ou l'origination.

A l'origination, il existe deux types de transaction: la cession parfaite (True Sale) ou titrisationsynthétique. Dans la première, le pool d'actifs titrisés est concrètement cédé à un SPV qui luimême �nancera l'achat par émission de titres ABS sur le marché �nancier. La note de créditdes obligations ABS dépendent uniquement de la qualité de crédit du pool titrisé ainsi quedes garanties d'assurance du passif du SPV et non plus de la note de crédit de l'originateur.Nous parlons dans ce cas d'ABS ou de CDO cash.

Dans le cas d'une titrisation synthétique, au lieu de vendre le pool d'actifs au SPV, l'originateurachète de la protection contre le défaut de crédit du pool en payant des primes périodiques(spread) aux investisseurs. Les niveaux des spreads varient d'une tranche à l'autre selonl'exposition au risque de défaut et le niveau de la corrélation des défauts8. La titrisationsynthétique ne présente pas un moyen de �nancement car les investisseurs ne font pas d'apporten cash; en revanche, elle permet à l'originateur de transférer son risque de crédit et dans lecas d'une banque, d'améliorer ses besoins réglementaires en fonds propres9.

1.2.2.1 Les acteurs du marché

Comme nous l'avons déjà évoqué au paragraphe 1.1.3 plusieurs acteurs interviennent lorsd'une opération de titrisation. Il est di�cile de les cerner tous mais ci-dessous une listeintroduisant les principaux intervenants :

1. L'originateur: l'entité qui détient au départ le portefeuille d'actifs à titriser

2. Les investisseurs: acheteurs des titres ABS7L'indice ABX est un portefeuille constitué de 40 tranches notées BBB- d'ABS subprime. L'indice est

réédité tous les 6 mois donnat lieu à un nouvelle série. Il existe cinq variantes de l'indice ABX suivant lesactifs titrisés : ABX.HE (Home Equity), ABX.CC (Credit Cards), ABX.SL (Student Loans), ABX.AU (AutoLoans) and ABX.XX (autres).

8La corrélation des défauts mesure la relation de dépendance entre les événements de défauts d'un porte-feuille de CDS ou d'obligations. Le modèle le plus utilisé pour évaluer cette grandeur est le modèle de copuleGaussienne à un seul facteur développé par David X Li en 2001.

9Pour faire face aux risques �nanciers, la réglementation impose aux banques un ratio de fonds propresà respecter appelé ratio Cooke. C'est un ratio qui dé�nit le montant de fonds propres minimums que doitposséder une banque en fonction de sa prise de risque. Le ratio Cooke impose 2 contraintes : (fonds propres +quasi fonds propres) / ensemble des engagements > 8%, et fonds propres / ensemble des engagements > 4%.Il a été adopté lors des accords de Bâle en 1988.

3. Le servicer : entité qui collectionne les paiements des actifs titrisés et qui les administreaprès la transaction. Il arrive souvent que le servicer soit lui même l'originateur, parexemple une banque commerciale qui titrise ses emprunts immobiliers).

4. Le trustee ou SPV: entreprise créée spécialement pour l'opération de titrisation. Il s'agitd'une entité purement juridique.

5. Les banques d'investissement: responsables du processus de structuration (mise en place�nancière et juridique de la structure du SPV, processus d'émission et marketing de latransaction)

6. Les conseillers comptables et �scaux: ils apportent leurs conseils sur les implicationscomptables et �scales de la structure sur les di�érents tiers de la transaction.

7. Les agences de notation: à partir des performances prévisionnelles des actifs à titriser,elles attribuent des notes de crédit aux tranches de dette du SPV. Elles s'assurent ausside la capacité du servicer et du trustee à administrer et à acheminer les paiements dansles délais. Elles peuvent également jouer un rôle de reporting des performances desobligations émises ainsi que la révision de leurs notes de crédit en fonction de l'évolutiondes paramètres du marché.

8. L'agent de paiement (Paying agent): institution �nancière qui gère les paiements e�ec-tués aux investisseurs.

9. Les conseillers juridiques: apportent le conseil juridique sur les termes de la transaction(cession des actifs, émission, règles de gestion des contentieux en cas de défaut...). Deplus, il arrive qu'ils soient impliqués dans le marketing et la négociation.

10. L'agent de calcul et de reporting : entité responsable du calcul des paiements pour toutesles obligations émises. Elle assure un rôle de reporting périodique sur l'état du bilan duSPV.

1.2.2.2 Les di�érentes phases d'une titrisation

La titrisation implique un processus compliqué, nécessitant une bonne orchestration des dif-férents acteurs. Généralement, la banque d'investissement qui structure la transaction assurela plani�cation et le bon déroulement de l'opération. Les principales phases d'une titrisationsont :

1. L'étude de faisabilité. Avant de se lancer dans une opération de titrisation une étudede faisabilité est nécessaire. Il s'agit de déterminer la responsabilité de chaque acteurdans l'opération, d'évaluer les performances des actifs à titriser et les comparer auxstandards du marché, de faire des comparaisons aux autres alternatives de �nancement,d'étudier la faisabilité juridique de la titrisation en révisant les clauses contractuellesdes actifs à titriser, d'étudier les implications �scales, d'évaluer les risques de défaut desactifs et la qualité de crédit du servicer et de véri�er la compatibilité de l'opérationavec la réglementation nationale et internationale de la titrisation et son impact surla structure. Une étude stratégique s'impose pour établir un business model mettant

en évidence la pro�tabilité de l'opération, les rapports risque/rentabilité et le choixoptimal de �nancement. En�n, il faut étudier toutes les alternatives qui permettentd'améliorer les performances au niveau opérationnel (optimisation des coûts du servicer ,optimisation �scale...). Par conséquent, l'étude de faisabilité est une phase critique de latitrisation. Il est donc dans l'intérêt de l'originateur de procéder à cette auto-évaluationavant de dévoiler l'information au marché.

2. Le suivi de l'infrastructure opérationnelle. C'est au niveau de la réalisation que les di�-cultés opérationnelles apparaissent: disponibilité d'historiques complets et détaillés desperformances des actifs, gestion opérationnelle de la collecte et l'administration despaiements par le servicer , etc... Pour permettre aux acteurs externes à l'originateurd'évaluer les risques opérationnels, il est nécessaire de mettre à plat les processus derévision de la qualité de crédit des emprunteurs (ex : système de scoring) et des sys-tèmes de reporting.

3. L'analyse du collatéral. Parallèlement à l'audit du système de reporting, une analyse desdonnées historiques est nécessaire pour permettre aux agences de notation d'e�ectuerl'évaluation des risques de crédit. L'historique des données doit inclure les prépaiements,les incidents de crédit ainsi que le recensement des anomalies de traitement.

4. La présentation aux agences de notation: présentation de l'analyse précédente des actifsà titriser et de l'infrastructure opérationnelle ainsi que les dispositifs d'amélioration dela qualité de crédit qui seront mis en place. Ces informations permettront aux agencesde notation d'attribuer une notation à chacune des tranches de dettes proposées dans lastructure.

5. La phase de structuration. La révision faite par les agences de notation permet d'unepart de faire un premier pricing des spreads des tranches de dettes en fonction desnotes attribuées et d'autre part, de prendre en considération leurs recommandations auniveaux des clauses contractuelles. Généralement, plusieurs �allées - retours� entre lestructureur et les agences sont nécessaires pour mettre au point la meilleure structureen termes de performance sous les contraintes de notation.

6. Pré-clôture. Pendant cette phase, il faut fournir les documents réglementaires et ju-ridiques pour l'émission des obligations ABS. L'analyse des transactions comparablessur le marché et les présentations aux analystes de crédit permettent de faire convergerles prix des tranches. C'est aussi une phase de marketing adressé aux investisseurspotentiels.

7. Post-clôture. Pendant la phase qui suit l'émission, il faut maintenir le bon fonction-nement de la structure au niveau du servicer et assurer l'activité de reporting. La valeurdes obligations émises sont évaluées en Mark-to-Market (MtM)10. Mais ceci n'empêchepas les agences de notation (généralement moins réactives que le marché) à réviser les

10Le marché des ABS étant des marchés OTC, les investisseurs des obligations ABS ne disposent pas decotations permanentes d'instruments aussi compliqués que les obligations qu'ils détiennent. En termes decomptabilité, pour évaluer leurs positions, ils doivent procéder au Mark-to-Market, c'est à dire à faire desévaluations calibrées sur les prix de marché des transactions comparables.

notes de crédit des tranches suite à une dégradation de l'infrastructure opérationnelleou de la qualité de crédit des actifs.

1.2.3 Segmentation des marchés ABS

Comme nous l'avons déjà mentionné dans l'introduction, en terme de segmentation géo-graphique, le marché des ABS aux Etats-Unis est plus mature que dans le reste du monde.Le graphique 5 montre que le volume des émissions d'ABS (hors prêts immobiliers) dans lemarché américain représente plus du double du volume total des autres marchés du monde.

Volume annuel des émissions d'ABS (hors Mortgage)

19992000

20012002

20032004

20052006

($bil.)

Etats-Unis Autres

Figure 5: Volume Annuel des émissions d'ABS (hors prêts immobiliers) [15]

Ce graphique illustre aussi la forte croissance des marchés ABS. En e�et, le volume global desémissions a été multiplié par 4 entre 1999 et 2006.

Considérons le marché américain des ABS de plus près. Le volume des encours des ABS (MBSinlclus) a atteint en 2005 les 8,3 trillions de dollars, plus que un tiers du marché obligataireaméricain qui s'élève à 20,9 trillions de dollars. Les MBS occupent une part majoritaire dece volume. En e�et, sur les 8,3 trillions de dollars d'encours d'ABS, 5,5 trillions de dollarssont des ABS adossés à des prêts immobiliers. Ils sont répartis en 3,6 trillions de dollars deMBS émis par des Agences Fédérales, 1,2 trillions de dollars de MBS émis par des institutionsprivées et le reste, 590 Mds de dollars, sous d'autres formes de titrisation de prêts immobiliers.Les agences fédérales dominent toujours le marché des MBS, ceci s'explique par le soutienétatique dont elles béné�cient. Le graphique 6 illustre les volumes des encours de MBS émispar les agences fédérales.

Sources: Ginnie Mae, Fannie Mae, Freddie Mac, * le 31 mars 2007

Encours des MBS émis par les agences fédérales

(Milliard de $)

Ginnie Mae Fannie Mae Freddie Mac

Sources: Ginnie Mae, Fannie Mae, Freddie Mac, * le 31 mars 2007

Encours des MBS émis par les agences fédérales

(Milliard de $)

Ginnie Mae Fannie Mae Freddie Mac

Figure 6: Encours de MBS émis par les agences fédérales [16]

Pour les autres ABS (hors mortgages), les HEL ABS occupent la première place avec plus de27% du total des encours. Viennent ensuite les CC ABS avec une part de 16%. Le graphique7 illustre la répartition des encours des ABS par secteur depuis 1995.

Sources: Source: The Bond Market Association, * le 31 décembre 2006

Encours des ABS hors Mortgage

(Milliard de $)

CBO/CDO

Equipment Leases

Student Loan

Manufactured Housing

Home Equity

Credit Card

Automobile

Sources: Source: The Bond Market Association, * le 31 décembre 2006

Encours des ABS hors Mortgage

(Milliard de $)

CBO/CDO

Equipment Leases

Student Loan

Manufactured Housing

Home Equity

Credit Card

Automobile

Figure 7: Volume Annuel des émissions d'ABS (hors prêts immobiliers) [16]

Reste à signaler qu'une segmentation plus �ne est possible en classi�ant les ABS de chaquesecteur suivant le niveau de risque crédit des actifs titrisés. Par exemple, la part du subprime

dans le secteur des MBS a dépassé 24% des encours �n 2006, soit plus de 1,3 trillions dedollars.

1.3 La crise du subprime

1.3.1 Stabilité des ABS

Les ABS ont souvent été considérés comme des actifs remarquablement stables (faible volatilitédes spreads des tranches). L'une des raisons qui justi�ait la stabilité des ABS est la moindrevolatilité du changement des notations de crédit comparées à celles des obligations d'entreprisecomme l'illustre le tableau 2.

Tableau 2: Probabilité de transition des notations de crédit : Obligations vs ABS [9]

Cette caractéristique est la conséquence de plusieurs facteurs. En e�et, le risque de créditd'une obligation ABS ne dépend pas de la notation de crédit de l'originateur (éliminationdu risque spéci�que de l'originateur) et ne re�ète que la qualité de crédit du pool des actifstitrisés. La diversi�cation de ce dernier permet également d'éliminer le risque spéci�que desactifs titrisés (ex : 8000 prêts immobiliers). D'autre part les ABS o�rent souvent des pro-tections structurelles qui permettent d'améliorer la qualité de crédit (fonds de réserve, lignesde trésorerie, mécanismes de verrouillage du surcroît de rendement, etc.). De plus, pour cer-taines structures comme les ABS séquentiels, l'amortissement séquentiel permet d'augmenterla pondération relative des titres subordonnés au �l du temps et de rehausser la qualité decrédit des obligations senior accroissant ainsi la probabilité d'un relèvement de la note decrédit.

1.3.2 La crise de l'été 2007

L'image des ABS en tant qu'actifs stables a été fortement ébranlée suite à la récente crisedéclenchée par le marché des prêts hypothécaires subprimes aux Etat-Unis. Comme nousl'avons déjà mentionné, les subprimes sont des crédits hypothécaires accordés aux États-Unisà une clientèle peu solvable (peu ou pas d'historique de revenus...) et garantis par les biensimmobiliers �nancés. Ce marché, fort rentable avec ses taux d'intérêt élevés en comparaisonau marché du prime, a connu un fort développement avec le boom du marché immobilieraméricain.

La �gure 8, illustre la situation alarmante �n 2006 du marché des subprimes immobiliers:une part de marché dépassant 15% du volume des encours des prêts immobiliers et une fortecroissance du taux de défaut.

Figure 8: Le marché subprime américain avant la crise [17]

L'e�ondrement des valeurs MtM des prêts subprimes ainsi que les tranches d'ABS qui leurssont adossées a commencé en 2006 pour se poursuivre en 2007, suite à la �n de la bulleimmobilière et à la hausse des taux d'intérêts. C'est la combinaison de ces deux événementsqui a provoqué le krach. En e�et, les crédits hypothécaires sont généralement conclus avec untaux variable. La hausse des taux à partir de la �n de l'année 2006 a provoqué une hausse desdéfauts de paiement (voir �gure 8) et donc une forte hausse des saisies de biens immobiliers parles banques. L'a�ux des biens saisis mis en vente sur le marché a alors aggravé le déséquilibredu marché immobilier où les prix se sont e�ondrés, ce qui a alors causé la chute ou la faillite

de plusieurs entreprises de prêts hypothécaires subprime (mortgage lenders), telles que laNew Century Financial Corporation, dont le titre en bourse a chuté de 90%, conduisant àl'e�ondrement du prix des actions de l'industrie du crédit.

Les e�ets de la crise se sont étendus au-delà du marché immobilier américain et ont perturbé lesmarchés �nanciers mondiaux, car les investisseurs étaient forcés de réévaluer les risques qu'ilsprenaient, causant une volatilité imprévue sur les marchés monétaires, actions, obligataireset leurs marchés dérivés (contrairement à la crise 1998-2000 déclenchée principalement par lahausse des taux de défaut des entreprises; celle de cet été est quali�ée de véritable crise decon�ance se traduisant par une crise de liquidité sans précédant sans pour autant avoir, pourle moment, d'impact sur le pro�l crédit des entreprises). Malgré la baisse du taux d'intérêtdirecteur par la banque centrale américaine au mois de septembre de 50 points de base etl'injection de liquidité par les principales banques centrales du monde la crise est toujours encours.

Figure 9: E�ondrement de l'indice ABX.HE(tranches BBB-) [17]

1.4 Les pratiques du marché

Nous nous intéresserons particulièrement dans ce document aux ABS adossés à des actifsamortissables en présence de prépaiement. Cette classe d'ABS n'est pas aussi restrictive. Ene�et, elle couvre toutes les titrisations de prêts ayant des plans d'amortissement théoriquescontractés initialement avec des options de prépaiement (ou non, c'est à dire prépaiment nul),en particulier les MBS qui représentent la plus grande part de marché en terme d'encours.

1.4.1 Les modèles de pricing

Nous avons déjà évoqué dans l'introduction les deux approches principales de pricing des MBS:d'une part les modèles économétriques de prépaiement calibrés à l'aide de données historiques

et d'autre part les modèles optionnels basés sur le principe de l'exercice optimal de l'optionde �nancement.

1.4.1.1 Les modèles économétriques

L'idée principale des modèles économétriques est d'estimer les prépaiements futurs en con-naissance de l'état actuel de certaines variables explicatives. Les paramètres des modèles sontcalibrés à l'aide de données historiques. Le premier modèle économétrique et aussi le plusutilisé dans la pratique a été introduit par Green et Shove [1] en 1986 et développé par Ed-uardo S. Schwartz et Walter N. Torous [5] en 1989. Dans ce model, la probabilité instantanéequ'un emprunt hypothécaire soit remboursé par anticipation à la date t, conditionnellementau non-prépaiement jusquà cette date, s'écrit sous la forme

π(t, Z) = lim∆t→0+

P (t≤T<t+∆t/T≥t)∆t = α · e〈β·Z(t)〉

où T désigne la date aléatoire du prépaiement, Z(t) est un vecteur de variables explicativeset β est un vecteur de coe�cients. De manière équivalente π(t, Z) désigne la fraction de MBSremboursée à chaque période. Pour simpli�er, prenons par exemple les variables explicativessuivantes :

• L'incitation �nancière à re�nancer l'emprunt hypothécaire, mesurée par l'écart entre letaux de coupon et le taux-zéro coupon de maturité égale à la maturité restante du MBS.

• La fraction de MBS non remboursée à la date t, notée yt, qui caractérise la dépendance dutaux de prépaiement anticipé aux prépaiements passés, que les anglo-saxons appellentburnout . En e�et, les personnes qui n'ont pas prépayé alors que beaucoup l'ont déjàfait (yt petit) sont des personnes qui se révèlent être peu enclines à rembourser paranticipation. Le burnout permet de créer de l'hétérogénéité parmi les emprunteurs.

Le taux d'intérêt peut être modélisé par un processus aléatoire. Pour une trajectoire donnée detaux d'intérêt, il est possible de déterminer le prépaiement qui en résulte et donc la trajectoiredes cash-�ows Ct perçus entre t et t+ dt. Une valorisation par la méthode de Monte Carlo estdonc possible conformément à

V = E[∫ T

0 e−∫ t0 ruduCtdt

]Le choix des variables explicatives est l'une des di�cultés dans l'application du modèle maisl'enjeu majeur de ce modèle reste au niveau de la validité des paramètres β du modèle. Ene�et, ces coe�cients déterminés de manière économétrique dépendent étroitement des échantil-lons des données historiques utilisés. Par conséquent, une telle approche s'est avérée ine�cacedurant les deux dernières décennies face des évènements sans précédents comme l'explosion destaux de prépaiement au début des années 1990. A titre d'exemple, les analyses économétriquesestimaient la baisse de taux nécessaire pour déclencher l'exercice massif des options de re�-nancement autour de 200 à 250 points de base au dessous des taux de coupon payés par lesemprunteurs. De nos jours, même une baisse de 25 bps peut déclencher le même e�et.

1.4.1.2 Les modèles optionnels

Le principe des modèles optionnels consiste à considérer un MBS pass-through comme unportefeuille constitué d'une position acheteuse d'une obligation amortissable et d'une positionvendeuse d'une option de remboursement anticipé, qui o�re à l'emprunteur du prêt hypothé-caire le droit de rembourser le capital restant dû à n'importe quelle date t avant la maturitédu prêt. Théoriquement, l'emprunteur doit exercer sont option de remboursement lorsqu'il estoptimal de le faire. En e�et, quand le taux d'intérêt �xe à un instant donné, pour l'échéancedu prêt, baisse su�samment, l'emprunteur rembourse le capital restant dû en se re�nançantà des taux plus bas. Donc en théorie, une obligation MBS pass-through peut-être considéréecomme un callable bond11 ayant les mêmes caractéristiques d'amortissement.

La réalité montre un écart entre le prix d'une obligation MBS pass-through et un callable

bond quand les taux d'intérêts baissent. Plus précisément, considérons trois obligations ayantles mêmes termes d'amortissement, une obligation MBS pass-through et deux obligationsd'entreprises, une sans option de prépaiement que nous appellerons A et la deuxième avecune option de prépaiement (callable bond) que nous appellerons B. Les trois obligations sonttoutes émises au pair. Lorsque les taux d'intérêt baissent, le prix de l'obligation MBS se trouveau dessus du prix de B et au dessous de celui de A. En e�et, l'exercice des options de rem-boursement anticipé au moment où les taux d'intérêts sont plus favorables aux investisseursrend l'obligation A plus attractive pour ces derniers en cas de baisse des taux. D'autre partles émetteurs des obligations B sont des institutionnels très réactifs au changement de tauxd'intérêts contrairement aux emprunteurs particuliers dans le cas des prêts immobiliers. Parconséquent dès que les taux baissent au dessus de la limite optimale l'émetteur de A exerceson option de prépaiement et le prix de l'obligation est valorisée au montant du capital restantdû à la date d'exercice. Dans le cas d'un MBS, il existera des emprunteurs qui continueront àpayer des coupons élevés au lieu de se re�nancer à des taux plus bas pour plusieurs raisons :

• Les coûts de �nancement pour les particuliers sont plus élevés que pour les entreprises;

• L'accès tardif à l'information (le niveau des taux), lenteur de la prise de décision et dela procédure de re�nancement;

• La dégradation de la qualité de crédit de l'emprunteur qui l'empêche de pro�ter de labaisse des taux,

Comme le montre la �gure 10, il faudra une forte baisse de taux pour que la majorité desemprunteurs exerce l'option de re�nancement. Dans certains cas, il arrive aussi que les em-prunteurs soient très peu réactifs même à de fortes baisses de taux.

11L'émetteur d'un callable bond a le droit de rembourser le capital restant dû de l'obligation à n'importequelle date à un prix d'exercice �xé au départ. Il est donc optimal d'exercer l'option de rachat quand les tauxd'intérêts baissent en se re�nançant moins cher .

Figure 10: Comparaison d'obligations MBS à d'autres types d'obligations

Par ailleurs, il existe d'autres manifestations de la sous-optimalité de l'exercice de l'option dere�nancement. En e�et, il arrive que des emprunteurs exercent leur option de remboursementanticipé à des taux d'intérêts plus élevés pour des raisons personnelles (déménagement suiteà un changement de travail, mariage...)

Les e�ets de sous-optimalité de l'exercice de l'option rendent l'assimilation des obligations MBSà des callable bonds peu réaliste. Dans un article publié en 1981 par le Journal of Finance

[4], Dunn et McConnel ont introduit le premier model optionnel pour le pricing des MBSpass-through prenant en compte la sous-optimalité de l'exercice de l'option de re�nancement.Des extensions au modèle ont été introduites par Timmis [11], Dunn et Spatt [12] et Johnstonet Van Drune [13] pour prendre en compte les coûts de transaction et d'autres frictions quiexpliquent la sous-optimalité des décisions de re�nancement. Mais l'inconvénient majeur destous ces modèles est l'hypothèse d'homogénéité des emprunteurs en terme de comportement etde prise de décision. A�n de donner un aspect plus réaliste et pratique à l'approche optionnelle,Davidson et Hershovit [14] ont développé un modèle prenant en compte l'hétérogénéité desemprunteurs expliquant ainsi la sous-optimalité de l'exercice de l'option de prépaiement par lesdi�érences des coûts de transaction d'un emprunteur à l'autre. L'implémentation par MerillLynch du modèle de Davidson-Hershovit n'a pas eu de succès. D'autres modèles similairesqui ont suivit n'ont pas eu de meilleur sort en passant de l'univers académique au monde réelde la �nance. L'échec de ces modèles se traduit par leur incapacité à expliquer et à matcher

les prix de marché. La raison principale de l'échec de ces modèles réside dans la modélisationde la prise de décision de l'exercice de l'option de prépaiement. En e�et, la prise de décisionétait basée sur les courbes de taux d'intérêt sans risque ou les courbes de taux swap qui nereprésentaient pas les coûts réels de �nancement des emprunteurs. La di�culté à prendreen compte ces coûts réels rend le calibrage de ces modèles très di�cile à mettre en place enpratique.

1.4.2 La gestion des risques

La gestion d'un portefeuille d'obligations ABS présente plusieurs di�cultés. En e�et, malgréla stabilité présumée de ces actifs (voir 1.3.1), il n'existe pas de stratégie de couverture contretous les risques associés, principalement le risque de défaut et le risque de prépaiement. Lesactifs titrisés sont parfois des titres illiquides (ex: prêts hypotécaires) ce qui rend les évaluationsdes prix d'ABS par réplication sous l'hypothèse d'absence d'opportunité d'arbitrage ine�cace.D'autres part, comme nous l'avons évoqué dans 1.4.1, les deux approches d'évaluation directdes ABS ont échoué à s'imposer comme un standard de marché.

Une grande partie des praticiens se contente d'une troisième approche plus simple : l'approcheactuarielle. En e�et, les acteurs du marché utilisent couramment des fonctions de pricing stan-dards proposées notamment par Bloomberg et qui sont devenues une norme pour l'évaluationdes tranches d'ABS. Ces fonctions sont basées sur l'approche actuarielle. L'idée consiste à es-timer, sous certaines hypothèses de prépaiement, les paiements futurs perçus par l'investisseurd'un ABS. Les praticiens calculent les cash-�ows générés par l'ABS avec un scénario de zérodéfaut et sous l'hypothèse d'un taux de prépaiement constant et ils en déduisent le taux ac-tuariel (le yield to maturity) qui permet d'égaliser la somme des cash-�ows actualisés au prixdu marché. Le yield excède le taux d'intérêt sans risque de référence (par exemple l'Euribor 3mois) d'une marge appelée Discount Margin (DM); elle représente l'excès de rentabilité d'uneobligation ABS par rapport au taux sans risque. Bien évidemment, une telle approche eststatique et ne prend pas en compte les aspects optionnels du prépaiement par rapport auxtaux d'intérêt, en particulier, la convexité négative que présentent les prix des MBS; mais ellea le mérite de proposer un outil de gestion des risques très e�cace sous certaines conditions.

En e�et, l'indicateur principal du risque est la Weighted Average Life (WAL) ou la durée devie moyenne du capital restant, souvent utilisée comme une approximation de la sensibilité duprix à la DM. Telle que nous l'avons dé�nie, la DM est une variable implicite qui découle duprix et des hypothèses sur la structure des cash-�ows. Sous l'hypothèse de taux d'intérêt sta-tiques et loin de l'exercice optimal de l'option de re�nancement, les prépaiements ne sont plusexpliqués par les niveaux des taux d'intérêt; ainsi, l'approche actuarielle devient attractive etpermet d'avoir des résultats pertinents pour l'évaluation des risques des ABS à court terme.

D'où les questions auxquelles nous allons répondre dans les deux prochains chapitres : Com-ment formaliser mathématiquement l'approche actuarielle? Quelles sont les limites de validitéde l'approximation par la WAL de la sensibilité des prix d'ABS au yield? Pourrions nousmettre en évidence des approximations plus pointues pour des structures pass-through, destranches senior et des tranches mezzanine des MBS et dans quelles?

2 Modélisation des actifs amortissables

Dans la suite de ce document nous nous intéresserons à tous les ABS adossés à des prêtsqui donnent droit à des paiements de principal et d'intérêts avec éventuellement la possibilitéd'exercer des options de prépaiement. Cette spéci�cation inclut les MBS mais exclut lesABS adossés à des actifs gérés activement comme dans le cas des CFO. Le formalisme demodélisation que nous proposons dans la suite pour modéliser cette classe d'ABS est applicableà tout type d'actif amortissable (Obligations, prêts, ABS, tranche d'ABS etc..) Pour tirer pro�tde cette généralisation, nous allons étendre tant que possible les résultats mis en évidence àtout les actifs amortissables. Sauf indication contraire, tous les formalismes et les résultatsqui suivront sont établis dans un cadre de temps continu et sous l'hypothèse de zéro défaut decrédit (le risque de défaut est pris en compte dans la DM.)

2.1 Pro�l d'amortissement

2.1.1 Caractérisation d'un actif amortissable

Un actif amortissable est un actif qui donne droit à des paiements périodiques de principalet d'intérêts sur le capital restant dû jusqu'au remboursement total du principal avant unematurité donnée. Les remboursements de principal sont programmés à l'émission de l'actifmais l'emprunteur peut disposer d'une option de prépaiement d'une partie ou de l'intégralitédu capital restant à n'importe quelle date avant la maturité. Les remboursements plani�és àl'émission de l'actif seront appelés remboursements théoriques alors que les remboursementsqui auront lieu durant la vie de l'actifs seront appelés remboursements réels. Le capital restantdû à un instant donné est une fonction du temps que nous appellerons pro�l d'amortissement.En l'absence de prépaiement, le pro�l d'amortissement à un instant t correspond à la sommedes remboursements théoriques restant, il est donc une fonction déterministe du temps notée(K0t

)t≥0

et que nous appellerons pro�l d'amortissement théorique.

Un actif amortissable est parfaitement caractérisé par sont pro�l d'amortissement théorique,son taux de coupon, qui peut être �xe ou variable, et le droit au prépaiement. En e�et, ladé�nition d'un pro�l d'amortissement théorique est équivalente à la dé�nition d'un calendrierde remboursements théoriques. Les intérêts payés sont le produit du taux de coupon, du capitalrestant dû et de la période de paiement. Le droit au prépaiement indique si l'emprunteurdispose d'une option de prépaiement et dans quelles conditions.

Le pro�l d'amortissement théorique d'un actif amortissable est une fonction décroissante dutemps qui véri�e lim

t→∞K0t = 0. Inversement, toute fonction qui satisfait les deux conditions

précédentes peut-être considérée comme un pro�l d'amortissement théorique d'un actif amor-tissable. En e�et, le remboursement théorique d'un tel actif, entre t et t+ dt est dé�ni par labaisse du capital restant dû entre ces deux dates et qui s'écrit −dK0

t = K0t − K0

t+dt. Cettequantité est toujours positive étant donné que la fonction K0

t est décroissante.

Sans perdre de généralité, nous supposons que tous les notionnels des actifs amortissablesétudiés sont normalisés, c'est à dire à t = 0, K0

0 = 1. La maturité d'un actif amortissable,éventuellement in�nie, sera notée T et ∀t ≥ T , K0

t = 0.

Avec cette dé�nition, un pool de N actifs amortissables est lui même un actif amortissable.En e�et, si nous désignons par wile poids en notionnel de iime actif du pool, par K0,i

t son pro�ld'amortissement théorique et par Ti sa maturité, alors la maturité du pool est Tpool = max

i≤N(Ti)

et son pro�l d'amortissement théorique est donné par K0,poolt =

wi ·K0,it qui est une

fonction décroissante car pour tout i, wi > 0 et K0,it est décroissante. De plus la contrainte

de normalisation est satisfaite. En e�et,

K0,pool0 =

wi ·K0,i0 =

wi = 1

2.1.2 Exemples de pro�ls d'amortissement standards

Dans ce paragraphe nous allons nous intéresser aux pro�ls d'amortissement théoriques stan-dards couramment utilisés et qui nous seront utiles par la suite.

2.1.2.1 Le pro�l d'amortissement bullet

Il s'agit de pro�l d'amortissement théorique des obligations classiques à taux �xe ou variable:tout le principal est payé à maturité, l'investisseur ne perçoit que les intérêts périodiquespendant la durée de vie de l'actif. Le pro�l d'amortissement théorique pour une maturité Ts'écrit

K0t = 1{t∈[0,T ]}

où 1désigne la fonction indicatrice. Par conséquent, ∀t ∈ R+\{T}, −dK0t = 0 et −dK0

t = +∞,c'est à dire une distribution de Dirac au point T .

Le graphique 11 illustre le pro�l d'amortissement théorique pour un actif bullet de maturité10 ans.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10t

Figure 11: Pro�l d'amortissement bullet

2.1.2.2 Le pro�l d'amortissement Principal + Intérêt constant

Dans le cas d'un pro�l d'amortissement théorique P+I constant (installment loan), l'investisseurperçoit des paiements périodiques constants du début jusqu'à la maturité de l'actif. Il s'agitd'un pro�l couramment utilisé pour les prêts immobiliers (exemple: des mensualités con-stantes.) En temps continu, cette contrainte se traduit par l'équation di�érentielle suivante:

dt = rM ·K0t − x

où x est une constante positive qui désigne les paiements pour une période dt (paiementpar unité de temps), rM le taux de coupon �xe du prêt (la lettre M faisant référence aumot Mortgage). Cette équation traduit le simple fait que la somme du remboursement decapital −dK0

t , pour une période dt, et les intérêts rMK0t sur le capital restant dû à l'instant

t est toujours constante, égale à x · dt. Pour une maturité T , la solution de cette équationdi�érentielle est

(1− e−rM (T−t)

)si t ≤ T et 0 si t > T

La constante x est déterminée par la contrainte initiale

(1− e−rMT

Le graphique ?? illustre le pro�l P+I constant pour un actif de maturité 10 ans. Il s'agit d'unefonction concave.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10t

Figure 12: Pro�l d'amortissement P + I constant

2.1.2.3 Le pro�l d'amortissement linéaire ou P constant

Dans le cas d'un pro�l d'amortissement théorique linéaire, l'actif donne droit à des rem-boursements théoriques constants (�xed principal loan) et des intérêts à taux �xe ou variablesur le capital restant dû. Pour une maturité T , et un notionnel de 1, l'équation di�érentiellecaractéristique du pro�l linéaire est:

dt = − 1T

Ce qui se traduit par le fait que la vitesse de remboursement de capital est constante, égale à

la vitesse moyenne de remboursement K00T . Le pro�l d'amortissement théorique s'écrit donc :

K0t = 1− t

TLe graphique 13 illustre le pro�l P+I constant pour un actif de maturité 10 ans.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10t

Figure 13: Pro�l d'amortissement linéaire (P constant)

2.1.2.4 Le pro�l d'amortissement en pourcentage constant (relative constant)

Ce pro�l, rarement utilisé dans la pratique, est d'intérêt académique. Le remboursement decapital à un instant t représente un pourcentage �xe du capital restant dû. Par conséquent,la maturité d'un actif amortissable ayant ce pro�l est in�nie.

Pour un notionnel de 1, l'équation di�érentielle caractéristique du pro�l relative constant est:

dt = −k·K0t

où k est une constante positive qui désigne le pourcentage de capital restant dû rembourséentre t et t+ dt. La solution de cette équation di�érentielle est:

K0t = e−k·t

Le graphique 14 illustre le pro�l relative constant. Il s'agit d'une fonction convexe.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50t

Figure 14: Pro�l d'amortissement en pourcentage constant

2.2 Prépaiement et théorie de la mesure

2.2.1 Modélisation du prépaiement

Le prépaiement correspond à l'exercice de l'option de re�nancement qui se traduit par le rem-boursement prématuré d'une partie ou de l'intégralité du capital restant dû. Pour modéliserl'impact du prépaiement sur le pro�l d'amortissement théorique, nous introduisons le pro-cessus (Qt)t>0 qui représente la fraction du prêt encore en vie (non prépayé). En d'autrestermes, si nous désignons par Kt le pro�l d'amortissement réel, alors Kt = Qt ·K0

t (dans lecas d'un MBS, Qt désigne le factor couramment utilisé par les gérants ABS). Par exemple, enl'absence de prépaiement, Qt = 100%, l'investisseur reçoit les remboursements théoriques auxdates prévues. Si par hazard l'emprunteur décide de rembourser 20% du capital restant dû àla date t, Qt passe brusquement de 100 % à 80%, est l'investisseur ne preçoit plus que 80%des remboursements théoriques à partir de la date t sous l'hypothèse que Qt reste constantele reste du temps (il n'y a pas d'autre prépaiement entre t et T .)

Par conséquent, le processus (Qt)t>0 peut être déterministe ou stochastique, continu ou avecdes sauts et il peut dépendre d'autres processus comme le taux d'intérêt. En e�et, dans certainsmodèles, Qt peut être une fonction prévisible du temps basée sur un modèle économétrique;mais dans d'autres modèles faisant appel à des simulations Monte Carlo Qt est considérécomme un processus aléatoire. Dans le cas général, (Qt)t>0 doit toujours satisfaire les deuxconditions suivantes: Q0 = 1 et (Qt)t>0 est décroissant.

Etant donné que Kt = QtK0t , le pro�l d'amortissement réel est d'autant plus di�cile à

déterminer que le processus (Qt)t>0. De plus K0t peut être une fonction d'autres pro�ls

d'amortissement théoriques.

Considérons par exemple la structutre d'un ABS séquentiel adossé à un pool d'actifs amortiss-ables. Nous désignons par (Qt)t>0 le processus caractérisant le prépaiement du pool. En util-

isant les mêmes notations du paragraphe ??, nous avonsKpoolt = Qt ·K0,pool

t = Qt ·∑i

wi ·K0,it .

D'autre part, nous désignons par KSeniort le le pro�l normalisé d'amortissement réel d'une

tranche senior de point d'attachement 0 ≤ A < 1 et d'épaisseur 1−A. Alors nous avons:

KSeniort =

0,poolt −A

Dans le cas d'une tranche mezzanine de point d'attachement A et de point de détachement D(ie: 0 < A < D < 1, D−A désigne l'épaisseur de la tranche), si nous désignons par KMezzanine

son pro�l normalisé d'amortissement réel, nous avons:

KMezzaninet = 1−

0,poolt −AD−A

De manière générale, pour une structure ABS (tout le passif, une tranche senior, mezza-

nine etc...) adossée à un pool d'actifs amortissables de pro�l d'amortissement théorique

(K0,poolt

)t≥0

et de processus de prépaiement (Qt)t>0, le pro�l normalisé d'amortissement réel

s'écrit comme une fonction Kt = f(Qt,K

), telque K0 = 1 et lim

t→∞Kt = 0. Dans ce cas le

factor ou le processus de prépaiement de la structure en question est

Qstructuret =f(Qt,K

0,poolt

1,K0,poolt

) ≤ 1

2.2.2 Mesures dé�nies par les �ux de remboursement de capital

Considérons un actif amortissable de maturité T , de pro�l d'amortissement théorique(K0t

)t≥0

et de processus de prépaiement (Qt)t≥0. Nous désignons par (Kt)t≥0, son pro�l d'amortissementréel. Les �ux de remboursement théoriques −dK0

t et les �ux de remboursement réels −dKt

dé�nient deux mesures de probabilité sur l'ensemble des réels positifs notées respectivementµ0 et µ. En e�et, nous avons d'une part, pour tout borelien B de R+,

µ0(B) =∫B −dK

0t et µ(B) = E

[∫B −dKt

]où E[.] désigne est l'opérateur d'espérance sur toutes les trajectoires possibles de (Qt)t≥0.

D'autre part, ∫ T0 −dK

∫ +∞0 −dK0

t = K00 − lim

t→∞K0t = 1 et

E[∫ T

0 −dKt

[∫ +∞0 −dKt

]= K0 − E

[limt→∞

Par conséquent, nous pouvons dé�nir deux opérateurs d'intégration associés à ces mesures,notés respectivement 〈 . 〉0et 〈 . 〉, telque pour toute fonction A(t) mesurable par rapport à µ0

et µ, nous avons:

〈A〉0 = −∫∞

0 A(t) dK0t et

〈A〉 = −E[∫∞

0 A(t) dKt

]Par conséquent 〈A〉0 et 〈A〉 représente les espérances respectives de A par rapport aux mesuresde probabilité µ0 et µ.

Etant donné que le prépaiement n'est rien d'autre qu'une déformation du planning théoriquedes remboursements, nous pouvons le considérer comme un changement de mesure dé�ni par

dKt = Ft · dK0t

où (Ft)t≥0 désigne la dérivée de Radon-Nikodym associé à une trajectoire de prépaiement(Qt)t≥0. Nous obtenons alors la relation suivante entre les deux opérateurs 〈 . 〉0et 〈 . 〉

〈A〉 = E [〈AFt〉0]

2.2.3 Application à la WAL et au prix d'un actif amortissable

Le formalisme introduit par le paragraphe précédent est applicable pour tous les actifs amor-tissables, que ce soit avec un processus de prépaiement (Qt)t≥0 déterministe ou stochastique.En particulier, le WAL et le prix peuvent être exprimés à l'aide des opérateurs d'intégration〈 . 〉0et 〈 . 〉.

2.2.3.1 WAL (Weighted Average Life)

Comme nous l'avons déjà mentionné, la WAL d'un actif amortissable est la durée de viemoyenne, c'est à dire la moyenne du temps pondérée par les �ux de remboursement de capital.En utilisant le formalisme précédent, nous pouvons écrire la WAL comme l'espérance surtoutes les trajectoires (Qt)t≥0 de prépaiement de la moyenne du temps pondérées par les �uxde remboursement:

WAL = −E[∫ T

0 t dKt∫ T0 dKt

]= −E

[∫ +∞0 t dKt

]= 〈t〉

Nous pouvons même dé�nir une WAL théorique en l'absence de prépaiement par:

WAL0 = 〈t〉0 = −∫ T

0 t dK0t

Application aux pro�ls d'amortissement standards:

• Pro�l d'amortissement bullet: WAL0 = T

• Pro�l d'amortissement P+I constant: WAL0 = 1rM · (T · x− 1)

• Pro�l d'amortissement linéaire: WAL0 = T2

• Pro�l d'amortissement relative constant: WAL0 = 1k

2.2.3.2 Prix d'un actif amortissable

Comme nous l'avons indiqué, nous avons adopté une approche actuarielle pour l'évaluationdu prix d'un actif amortissable. Pour un scénario de prépaiement déterminé et en l'absencede défaut, l'approche consiste à déterminer et à sommer les cash-�ows futurs actualisés à untaux actuariel (yield) y = r+DM , où r désigne le taux d'intérêt sans risque et DM (DiscountMargin) désigne le spread du marché qui re�ète l'évaluation des risque associés à l'actif (ycompris le risque de défaut).

Les cash-�ows futurs se décomposent en deux termes: d'une part, le remboursement du prin-cipal −dKt et d'autre part, les intérêts périodiques y0 · dt perçus sur le capital restant dû Kt

entre t et t+dt où y0 désigne le taux de coupon. Le taux de coupon peut sécrire y0 = r+s, oùs désigne le spread du coupon par rapport au taux sans risque r. Ce dernier peut-être un taux�xe ou un taux variable (par exemple l'Euribor 3 mois.) Dans le cas d'un taux de coupon �xe,la DM est étroitement liée à la courbe de taux du marché. En e�et, pour une maturité donnée

la DM est déterminée relativement au taux d'intérêt sans risque r pour la même maturité(Thomson [7].) En revanche, dans le cas d'un taux de coupon variable, la substitution de y ety0 par des taux constants donne, paradoxalement, des résultats assez précis. D'ailleurs, unepratique courante dans le marché des ABS, consiste à prendre le taux d'intérêt sans risquecourt terme ayant pour maturité la période de paiement (par exemple, l'Euribor 3 mois pourdes paiements trimestriels.) comme valeur de référence du taux sans risque r à la fois pour letaux de coupon et pour le yield. C'est la raison pour laquelle nous considérons dans la suite decette étude que les actifs amortissables ayant un taux de coupon �xe et nous actualiserons lescash-�ows futur avec le même yield pour toutes les maturités. Le prix d'un actif amortissables'écrit alors:

P =∫ T

0e−y·t [−dKt + y0 ·Kdt]

En prenant en compte tout les scénarios de prépaiement, le prix est l'espérance sur toutes lestrajectoires possibles et s'écrit donc:

[∫ +∞

0e−y·t [−dKt + y0 ·Kdt]

]A l'aide de l'intégration par parties (voir preuve A.1.1), le prix peut s'écrire

P =⟨e−y·t

⟩ (1− y0

L'idée consiste alors à déterminer la valeur du yield to maturity (YTM) y permettant d'égaliserle prix exprimé ci-dessus au prix du marché. Ainsi, le coupon y0 est aussi interprété commele YTM qui rend le prix de l'actif au pair.

Sans perdre de généralité, nous supposerons par la suite que tous les actifs amortissablesétudiés ont été émis au pair avec un notionnel de 1.

2.3 Propriétés générales de la WAL et du prix

Le formalisme précédent est applicable à tous les pro�ls d'amortissement. Les écritures de laWAL et du prix à l'aide de l'opérateur 〈 . 〉 permettent de déduire des propriétés générales desactifs amortissables, indépendantes des modèles de prépaiement.

2.3.1 WAL et convexité du pro�l d'amortissement

L'intégration par parties permet de démonter que la WAL s'écrit autrement (voir preuveA.1.2):

WAL = 〈t〉 = E[∫ T

0 Ktdt]

Ainsi, la WAL peut être interprétée comme la surface délimitée par la fonction E [Kt] quireprésente l'espérance du pro�l d'amortissement sur toutes les trajectoires de prépaiement. Parconséquent, la convexité du pro�l d'amortissement moyen permet d'établir une comparaisonentre la WAL et la moitié de la maturité. En e�et, comme le montre la �gure 15, quand E [Kt]est linéaire, la WAL est égale à T

2 (surface du triangle au dessus du pro�l). Quand E [Kt]est concave (cas d'un actif amortissable de pro�l d'amortissement théorique P+I constant

sans prépaiement ou avec un prépaiement très faible) nous avons WAL >T

2. En revanche,

quand le pro�l moyen d'amortissement est convexe (c'est le cas de la majorité des pro�ls

d'amortissement réels en présence d'un prépaiement élevé) nous avons WAL 6T

Figure 15: La WAL et la convexité du pro�l d'amortissement.

2.3.2 Linéarité de la WAL

2.3.2.1 WAL et portefeuille d'actifs amortissables

La linéarité de la WAL peut être utilisée pour calculer la WAL d'un portefeuille d'actifsamortissables. Si pour chaque actif i, nous désignons par ωi son poids dans le portefeuille (ennotionnel), par Ki

t son pro�l d'amortissement réel et par Ti sa maturité; et si nous désignonspar Kpf

t le pro�l d'amortissement résultant, la WAL du portefeuille notéeWALpf s'écrit alorsen fonction des WAL des actifs du portefeuille notés WALi comme:

WALpf =∑i

ωiWALi

(voir preuve A.1.3)

2.3.2.2 WAL et titrisation

De la même façon, si nous considérons la titrisation d'un pool d'actifs amortissables, les �uxde capital de l'actif étant intégralement transférés au passif, alors la WAL de l'actif est égaleà la somme pondérée des WAL des tranches du passif (Equity comprise). Ainsi, une tranche

de WAL très courte s'accompagnera forcément d'une tranche de WAL plus longue (en générall'equity).

Si nous désignons par Kpoolt le pro�l d'amortissement du pool et si nous désignons par Ki

t lepro�l d'amortissment de la tranche i et par ωi son poids (en notionnel de la dette) dans lepassif du bilan du SPV, alors nous avons:

WALpool = WALpassif =∑i

ωiWALi

oùWALpool,WALpassif etWALi désignent respectivement les WAL du pool titrisé, du passifdu bilan du SPV et des tranches de dette émises.

(La preuve est identique à celle du paragraphe précédent.)

2.3.3 Encadrement du prix

Grâce à la convexité de la fonction exponentielle, nous pouvons établir un encadrement duprix entre deux bornes non triviales (voir preuve A.1.4):

1 ≥ P ≥ e−yWAL(1− y0

y si y > y0

1 ≤ P ≤ e−yWAL(1− y0

y si y < y0

Nous obtenons l'égalité des trois termes quand y = y0, c'est à dire quand le prix est au pair.

Si nous examinons la borne e−yWAL(1− y0

y de plus prêt, nous constatons qu'elle n'est

rien d'autre que le prix d'une obligation sans option de prépaiement, ayant un taux de couponcontinu y0, et une maturité égale à la WAL de l'actif amortissable étudié. Nous appelleronsune telle obligation l'actif bullet associé et nous désignerons par Pbullet son prix.

Pour illustrer l'encadrement précédent, nous avons tracé les courbes de niveau de la di�érenceentre le prix d'un actif amortissable et de son actif bullet associé (l'écart est exprimé en bps

pour un notionnel de 1). Dans notre exemple (voir �gure 1612), nous avons considéré un poolde prêts de même pro�l d'amortissement théorique P+I constant et de même maturité, 30ans. Nous avons fait l'hypothèse d'un prépaiement déterministe de la forme Qt = e−λ·t, leparamètre λ indique l'intensité du prépaiement; en e�et, quand λ est nul, Qt est constant,égal à 1. Plus λ est grand, plus la vitesse de décroissance de la fraction des prêts survivantsau prépaiement est forte. Nous étudierons plus en détail ce modèle de prépaiement appeléConstant ou Conditional Prepayment Ratio (ou CPR) Model.

12Les calculs numériques utilisés pour tracer ces graphiques ainsi que ceux qui suiveront dans ce documentutilise une approximation des intégrales par la méthode des trapèzes.

0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14%0%

550-600

500-550

450-500

400-450

350-400

300-350

250-300

200-250

150-200

100-150

50-100

-100--50

-150--100

-200--150

-250--200

-300--250

T = 30, λ = 0% T = 30, λ = 10% T = 30, λ = 20%

Figure 16: P − Pbullet en pbs

Le graphique illustre la di�érence P − Pbullet pour des valeurs de y et y0allant de 0 à 15%et pour trois niveaux de prépaiement di�érents. L'écart est nul sur la diagonale (y = y0)étant donné que les deux actifs sont au pair. Au dessus de la diagonale (y > y0), l'écart estpositif alors que dans le cas contraire (y < y0) il est négatif. La séparation en deux zones(écart positif / écart négatif) par la diagonale s'explique par le fait qu'autour du pair, l'actifamortissable est moins sensible aux variations de yield que l'actif bullet associé. Ceci, commenous allons le démontrer ultérieurement, résulte de la forte dispersion des cash-�ows du pro�ld'amortissement P+I constant en comparaison avec celle du pro�l d'amortissement bullet .

Les graphiques 16 illustrent le fait que l'écart P −Pbullet est plus élevé pour les actifs de mau-vaise qualité de crédit (y et y0 élevés) et aussi avec la WAL (qui diminue avec l'accroissementdes prépaiements.). Néanmoins, le faible écart entre les prix des deux actifs dans le premiergraphique pour des taux de coupon élevés présente une exception. En e�et, en absence deprépaiement, le niveau élevé du coupon rend le pro�l d'amortissement P+I constant similaireà celui de son actif bullet associé13.

2.4 Approximation de la sensibilité et de la convexité du prix

Dans le cadre de l'approche actuarielle, la sensibilité aux variations du yield ainsi que laconvexité sont des grandeurs critiques dans la gestion des portefeuilles de crédit. En e�et, lasensibilté au yield appelée couramment la duration est utilisée comme un premier indicateurde risque d'un actif amortissable. D'autre part, la linéarité de la duration permet facilement dedéterminer la sensibilité globale d'un portefeuille d'actifs amortissables à partir des durationsde chacun des actifs du portefeuille. La duration peut-être aussi assimilable à la moyenne detemps pondérée par les cash-�ows de l'actif, actualisés au YTM. C'est la raison pour laquelleelle est proche de la WAL sous certaines conditions (actifs de faibles taux de coupon et YTM.)

La convexité du prix par rapport au yield, représente un deuxième niveau d'estimation durisque. En e�et, la duration permet d'obtenir des approximations linéaires de la variation du

13Les paiements périodiques étant constants, en l'absence de prépaiement, la part de remboursement decapital est plus faible au départ et s'accélère à la �n, à l'inverse des intérêts. En passant au cas extrêmes descoupons très élevés, l'emprunteur ne payera que des intérêts au départ et remboursera la majorité du capitalà la �n du prêt. Par conséquent, le pro�l d'amortissement devient similaire à celui d'un actif bullet.

prix suite à un changement de YTM et ne prend pas en compte l'e�et de la convexité du prix.Par conséquent, face à des variations violentes du yield, la duration s'avère insu�sante pourestimer la variation du prix.

Comme nous l'avons expliqué au paragraphe 1.3.1, la stabilité présumée des ABS a longtempsomis la prise en compte de la convexité dans l'évaluation des risques de ces actifs.

2.4.1 Fondement de l'approximation de la sensibilité par la WAL

Au premier ordre en y.t et y0 · t, le développement limité du prix d'un actif amortissable nousdonne une approximation suivante (voir preuve A.1.5):

P ∼ 1− (y − y0) ·WAL

Par conséquent, une première approximation de la sensibilité du prix au yield, dé�nie par−∂P∂y est la WAL. Mais étant données les hypothèses du développement limité, nous avons

une première idée des limites de validité d'une telle approximation. En e�et, seuls les actifsamortissables ayant à la fois des YTM, des taux de coupon et des WAL faibles peuventfaire l'objet d'une telle approximation. D'ailleurs, nous remarquons immédiatement, dansl'expression ci-dessous, l'absence des termes d'ordre deux, donc l'absence de prise en comptedes e�ets convexité.

2.4.2 Une nouvelle approximation de la sensibilité et de la convexité du prix

Les raisons évoquées dans le paragraphe précédent, nous incitent à pousser le développementlimité à des ordres supérieurs. Notre objectif reste de déterminer des formules d'approximationalternatives à la WAL, mais qui ne dépendent que des paramètres de marché (le prix, la WAL, leYTM, et le taux de coupon) et ne font appel à aucune hypothèse sur le modèle de prépaiement.Par conséquent, nous nous somme arrêtés à un développement limité d'ordre deux pour leprix, à un développement limité d'ordre un pour la sensibilité et un développement limitéd'ordre zéro pour la convexité. En e�et, au-delà de ces niveaux de développements limités, lesexpressions d'approximation feront intervenir des paramètres non disponibles sur le marché etleur substitution nécessite des hypothèses additionnelles (généralement au niveau du modèlede prépaiement.)

Le développement limité du prix au premier ordre en y · t et y0.t nous donne:

∂P∂y ∼ −WAL+ 1

2(2·y−y0)〈t2〉

La grandeur 〈t2〉 n'est pas un paramètre de marché, à l'aide du développement limité à d'ordredeux pour le prix, nous allons pouvoir l'exprimer en fonction du prix et la substituer ainsi dansl'expression de la sensibilité. Mais tout d'abord, nous allons lui donner un sens �nancier. Ene�et, 〈t2〉 correspond au moment d'ordre deux de la variable temps t par rapport à la mesure−dKt. Si nous désignons par V AR(t)=〈(t−WAL)2〉, la variance de la varible t par rapport à lamême mesure alors:

〈t2〉 = WAL2 + V AR(t)

Donc la di�érence entre les moments d'ordre deux 〈t2〉 de deux actifs ayant la mêmeWAL résidedans le terme de variance V AR(t). Ce terme n'est rien d'autre qu'une mesure de la dispersiondans le temps des �ux de remboursement réels autour de la WAL. Etant donné que le terme(2·y−y0)est généralement positif14, cette formulation permet de montrer que la sensibilité auyield (en valeur absolue) est atténuée par la dispersion des �ux de remboursement de capital.Par exemple, si nous considérons un actif amortissable de pro�l d'amortissement théoriqueP+I constant, la dispersion de ses �ux −dKt est nécessairement supérieure à celle de sonactif bullet associé15, par conséquent la sensibilité d'un actif amortissable est généralementinférieure (en valeur absolue) à celle de son actif bullet associé. D'ailleurs, Thomson, dans [7],a déjà mis en évidence l'impact de la dispersion des cash-�ows des instruments de crédit, enparticulier les ABS, sur leurs sensibilité aux variations des yields.

Le développement limité d'ordre deux du prix permet d'approximer le moment d'ordre deuxpar:

⟨t2⟩∼ 2

[WAL+ P−1

y−y0

]En substituant 〈t2〉 par sa valeur approximative, nous obtenons une formule d'approximation

de la sensibilité du prix, notée(∂P∂y

)approx

qui dépend uniquement de P , y, y0 et de la WAL :

∂y∼ (2 · y − y0)(P − 1) + (y − y0)2WAL

y (y − y0)≡(∂P

)approx

Le grand avantage de cette expression réside dans son indépendance des modèles de pré-

paiement. Nous tenons tout de même à signaler une singularité dans l'expression(∂P∂y

)approx

au point y = y0. En e�et, cette expression n'est pas dé�nie au pair. L'expression exacte de lasensibilité du prix au pair est donnée par:

∂y|y=y0 =

⟨e−y0t

⟩− 1

Le calcul de ∂P∂y |y=y0 , nécessite le choix d'un modèle de prépaiement pour calculer numérique-

ment le terme 〈e−y0t〉. Pour éviter cet inconvénient, un premier recours consiste à déterminer(∂P∂y

)approx

à l'aide d'une prolongation linaire utilisant les deux points les plus récents et les

plus proches de y0 (de préférence de par et d'autre de y0.)

En ce qui concerne la convexité du prix par rapport au yield, le développement limité à l'ordrezéro en y · t et y0.t nous donne:

14sauf dans le cas d'une nette amélioration de la notation de crédit d'un actif amortissable de très mauvaisequalité de crédit initialement.

15La dispersion dans le temps des �ux de remboursement de l'actif bullet associé autour de la WAL estnécessairement nulle, étant donné que l'intégralité du capital est remboursée à la WAL.

∂y2∼⟨t2⟩∼ 2y

P − 1y − y0

(∂2P

)approx

Donc la convexité est aussi étroitement liée à la dispersion des �ux −dKt. Généralement, ledéveloppement limité de la convexité à l'ordre zéro est largement su�sant dans la pratique.

De plus, la convexité approximative,(∂2P∂y2

)approx

, comme dans le cas de la sensibilité approx-

imative, o�re une indépendance des modèles de prépaiement, présentant une singularité aupoint y = y0.

Comme nous allons l'illustrer dans le chapitre suivant, les formules d'approximation précé-dentes donnent des résultats largement plus précis que l'utilisation, très courante, de la WALcomme approximation de la sensibilité.

Les preuves pour toutes les formules d'approximation sont dans l'annexe A.1.6.

3 Application aux ABS dans le cas d'un taux de prépaiement

constant

L'objectif de ce chapitre est de tester la validité des approximations introduites en 2.4.2 pourcertaines structures d'ABS. En particulier, nous nous intéresserons aux structures ABS pass-

through ainsi qu'aux tranches senior et mezzanine des ABS séquentiels adossées à des prêtshypothécaires. A�n, de déterminer numériquement les valeurs exactes des sensiblités desprix nous nous sommes placés dans le cadre d'un modèle particulier de prépaiement que nousavons déjà évoqué dans le paragraphe 2.3.3. Il s'agit du modèle de prépaiement en pourcentageconstant ou tout simplement le modèle CPR. Dès lors, une introduction de ce modèle ainsiqu'un formalisme mathématique des structures étudiées s'imposent.

3.1 Quelques modèles de taux de prépaiement déterministe

3.1.1 Le modèle CPR

Le modèle CPR (Constant Prepayment Ratio) est bien répandu parmi les praticiens desmarchés ABS. En e�et, il permet d'avoir des intuitions solides sur le comportement des prixd'ABS et d'aboutir facilement à des estimations relativement précises des risques de gestion.

Considérons un pool d'actifs amortissables, de pro�l d'amortissement théorique(K0t

)t≥0

etde processus de prépaiement (Qt)t≥0. Nous désignons par (Kt)t≥0 son pro�l d'amortissementréel. Le taux de prépaiement, noté λt, entre la date t et t+dt est dé�ni comme le pourcentagede prêts prépayés pendant l'intervalle [t, t+ dt]:

= −λtdt

Par conséquent, le processus(λt)t≥0 des taux de prépaiement peut-être déterministe ou stochas-tique selon la nature du processus (Qt)t≥0. Le modèle CPR correspond au cas particulier d'unprocessus (λt)t≥0 constant, égal à λ, connu par les praticiens comme le taux CPR (ou le CPRtout court). Par conséquent, le processus de prépaiement s'écrit:

Qt = e−λt

Il est di�cile d'admettre que le taux de prépaiement demeure constant tout au long de la viedu pool. Pourtant, des estimations économétriques de λ sont fournies quotidiennement par lesfournisseurs de données du marché et sa valeur est immédiatement intégrée par les gérants.

3.1.2 Le modèle PSA

Il existe néanmoins d'autres modèles déterministes couramment utilisés par les praticiens,comme par exemple le modèle Public Securities Association (PSA). Ce modèle suppose quele taux de prépaiement augmente au fur et à mesure que le pool vieillit pour atteindre un

seuil à un moment donné de la vie du pool. Prenons l'exemple d'un pool de prêts immobiliersde maturité 30 ans. L'idée consiste à dé�nir un scénario de référence, appelé le PSA 100%dans lequel le taux de prépaiement augmente linéairement, en partant de 0% à une vitessede 0,2% par mois, durant les 30 premiers mois après la date d'émission avant de se stabiliserà un niveau de 6% jusqu'à maturité. Le niveau de prépaiement est alors dé�ni par rapportau scénario de référence PSA 100, par exemple les taux de prépaiement du scénario PSA 200correspond au double des taux de prépaiement du PSA 100 comme l'illustre la �gure 17.

Figure 17: Modèle de prépaiement PSA.

Dans la suite, nous travaillerons sous l'hypothèse d'un taux de prépaiement constant λ (ousimplement l'hypothèse CPR)

3.2 ABS pass-through

Comme dé�nie au paragraphe 4, une structure ABS pass-through consiste à émettre une seuletranche de dette au niveau du passif du SPV. Les investisseurs reçoivent les mêmes rembourse-ments de capital et les mêmes intérêts et subissent les mêmes pertes en cas de défaut des actifstitrisés.

3.2.1 Pro�l d'amortissement d'un ABS pass-through

Nous désignons par(K0t

)t≥0

le pro�l d'amortissement théorique du pool des prêts titrisés etpar (Qt)t≥0 son processus de prépaiement. (Kt)t≥0 désigne cette fois le pro�l d'amortissementréel de l'obligation pass-through. Dans le cas d'un ABS pass-through, l'intégralité des cash-�ows générés par les actifs sont transférés au passif du SPV et alloués à une seule obligation.Par conséquent, le pro�l d'amortissement (Kt)t≥0 de l'obligation pass-through est identiqueau pro�l d'amortissement de l'actif du SPV, c'est à dire Kt = e−λtK0

t (car sous l'hypothèseCPR, Qt = e−λt.) Ce pro�l d'amortissement véri�e l'équation di�érentielle suivante:

dKt = e−λtdK0t − λKtdt = QtdK

Cette équation traduit le simple fait que le �ux de remboursement −dKt entre t et t+ dt estcomposé d'une part d'un terme de remboursement théorique −e−λtdK0

t (le remboursementthéorique −dK0

t multiplié par la fraction des prêts encore en vie Qt) et d'autre part d'unterme de prépaiement λKtdt (le taux de prépaiement λ multiplié par le capital restant dû àla date t, Kt.)

3.2.2 Expression de la dérivée de Radon-Nikodym

Sous l'hypoyhèse CPR, la dérivée de Radon-Nikodym, notée Ft(λ), peut-être exprimé ex-plicitement en fonction de λ, K0

t et de sa dérivée K0′t :

Ft(λ) = dKtdK0

t= e−λt

[1− λ K

K0′t

]Par conséquent, si A désigne une fonction mesurable par rapport à la mesure −dKt, alors ladérivée partielle de la grandeur 〈A〉 par rapport au taux de prépaiement λ s'écrit:

∂∂λ 〈A〉 =

⟨A ∂∂λFt(λ)

⟩0avec

∂∂λFt(λ) = −tF (λ)− e−λt · K

K0′t

Cette formulation permet de déterminer le développement en série entière de la grandeur 〈A〉par rapport à λ, en fonction de K0

t , K0′t et des dérivées de Ft et en déduire des approximations

de 〈A〉 quand le taux de prépaiement est faible.

3.2.3 WAL d'un ABS pass-through et transformée de Laplace

Sous l'hypothèse CPR, la WAL d'un ABS pass-through s'écrit:

WAL =∫ +∞

0 Ktdt =∫ +∞

0 e−λtK0t dt

Dans ce cas, la WAL n'est rien d'autre que, Lλ(K0t ), la transformée de Laplace de la fonction

K0t au point λ. Par conséquent, nous pouvons exprimer tous les moments d'ordre n de la

variable t par rapport à la mesure −dKt en fonction des dérivées de la WAL par rapport à λ:

dnWALdλn = (−1)nLλ(tnK0

t ) = (−1)n∫ +∞

0 tnKtdt = (−1)n 〈tn+1〉n+1

En particulier, nous avons dWALdλ = −〈t

2〉2 , ce qui permet de démontrer que la WAL est

une fonction décroissante du taux de prépaiement (une propriété évidente intuitivement.) La

dérivée seconde s'écrit d2WALdλ2 = 〈t

3〉3 , se qui implique que la WAL est une fonction convexe

du taux de prépaiement (propriété moins évidente intuitivement.)

D'autre part, les propriétés de la transformée de Laplace permettent de démontrer que nonseulement la WAL tend vers 0 quand le taux de prépaiement est grand (ce qui est une évidence)mais en plus elle peut être approximée par 1

λ . En e�et, le théorème de la valeur initiale, nousdonne:

limλ→+∞

λ ·WAL = limt→0+

K0t = 1

Ce résultat signi�e qu'un pool d'actifs amortissables subissant un taux de prépaiement élevé secomporte comme un actif de pro�l d'amortissement relative constant, de taux d'amortissementk = λ.

Pour simpli�er l'écriture, pour tout ABS pass-through de pro�l d'amortissement théoriqueK0t , W (z) désignera la transformée de Laplace LZ(K0

t ) au point z. En particulier, nous avonsWAL = W (λ).

3.2.4 Prix d'un ABS pass-through

3.2.4.1 Surface du prix

En utilisant l'expression générique du prix 〈e−y·t〉(1− y0y )+y0y , nous pouvons tracer la surface

du prix d'un actif amortissable sous l'hypothèse CPR en fonction du yield y et du taux deprépaiement λ. Le graphique 18, illustre la surface P (λ, y) du prix pour un ABS pass-through

de pro�l d'amortissment théorique P+I constant16.

Figure 18: Surface du prix d'un ABS pass-through en fonction de λet y16Pour y0 = 5%, r = rM=4%, s = 100 bp et T = 10 ans.

Quelques remarques:

• Pour un λ donné P (λ, y) est décroissante en y, et la sensibilité à y baisse avec λ, ce quiest cohérent avec l'idée que les obligations court terme sont moins sensibles au yield queles obligations long terme.

• Lorsque le prix est au pair, sa dérivée partielle par rapport à λ est nulle. Par conséquentles ABS de faible volatilité de spread et dont le prix reste au voisinage du pair sont lesABS les moins sensibles aux variations du taux de prépaiement.

• Comme l'illustre le graphique 19, quand le prix est au dessus du pair, il existe unλmax qui annule le spread du marché. L'investisseur payera le même prix pour un ABSrisqué (y > r) ayant un taux de prépaiement λ que pour un ABS sans risque de défaut(y = r) mais avec un taux de prépaiement λmax plus élevé (voir preuve A.1.7). L'idéeest d'estimer le taux de prépaiement additionnel qui compense le risque de défaut quandles taux baissent.

Figure 19: Existence d'un taux prépaiement λmax qui annule le spread du marché.

3.2.4.2 Expression du prix

En utilisant le formalisme du paragraphe précédent, nous démontrons que le prix d'un ABSpass-through s'écrit (voir preuve A.1.8):

P (λ, y) = 1− (y − y0) ·W (y + λ)

La quantité (y− y0) ·W (y+λ) représente l'écartement du prix par rapport au pair. Elle peutêtre interprétée comme la surface d'un rectangle de base (y − y0), et de hauteur W (y + λ), laWAL d'un pool d'actifs amortissables, de même pro�l d'amortissement théorique mais faisantl'objet d'un taux de prépaiement plus élevé, λ+ y (voir �gure 20.)

Figure 20: Interprétation graphique de la formule du prix .

Cette interprétation permet de comparer intuitivement des ABS pass-through en termes desensibilité au yield. L'idée consiste à prendre deux ABS pass-through identiques et d'étudierl'impact de la variation d'un paramètre sur la quantité (y − y0) · W (y + λ); par exemple,un écart de taux de prépaiement, un écart de taux de coupon, un écart de yield, un écart dematurité ou bien un écart au niveau de la dispersion en gardant la même WAL (pour le dernier

cas, utiliser le fait que la WAL décroit en −〈t2〉2 comme nous l'avons démontré au paragraphe

3.2.3, c'est à dire que W décroit plus vite quand la dispersion des remboursements augmente)

D'autre part, la formule de prix peut-être décomposée en deux termes: le premier,1−y ·W (y+λ), correspond au prix de la tranche PO , et le second, y0 ·W (y+λ), correspond au prix de latranche IO. Par conséquent, notre interprétation graphique peut s'étendre à la comparaisondes tranches PO et IO, en considérant le rectangle de hauteur W (y+ λ) et de base y0 dans lecas des tranches IO ou de base y dans le cas des tranches PO.

3.2.4.3 Equation aux dérivées partielles du prix

L'écriture du prix sous la forme 1 − (y − y0) · W (y + λ) permet d'aboutir facilement àl'équation aux dérivées partielles du prix (voir preuve A.1.9):

∂λ=∂P

∂y− P − 1y − y0

où ∂P∂λ désigne la dérivée partielle du prix par rapport aux taux de prépaiement λ.

En réalité, le yield y et le taux de prépaiement λ évoluent conjointement. En e�et, quand letaux de prépaiement diminue, la WAL augmente et le yield baisse mécaniquement si la qualitéde crédit du pool reste inchangée. Dans ces conditions, le yield doit évoluer suivant la mêmecourbe de taux que les instruments �nanciers de même qualité de crédit (même notation). Si

nous désignons par S la pente de la courbe de taux correspondant à la note de l'obligationABS, alors nous pouvons exprimer la sensibilité absolue du prix au taux de prépaiement, notéeSλ, comme:

Sλ =dP

1 + S∂WAL

∂y− P − 1y − y0

Par exemple, quand le prix est au pair, la sensibilité au prépaiement est uniquement expliquéepar le mouvement du yield le long de la courbe des taux. En e�et, quand y → y0, P−1

y−y0 →∂P∂y

et l'expression de Sλ devient

Sλ = S · ∂WAL∂λ · ∂P∂y

3.2.5 Approximation de la sensibilité du prix au yield

Nous avons évoqué deux formules d'approximation de la sensibilité au yield du prix d'un actifamortissable, la première étant la quantité −WAL, couramment utilisée par les praticiens, et

la deuxième est la nouvelle formule(∂P∂y

)approx

, que nous avons introduite dans le paragraphe

2.4.2. Sous l'hypothèse CPR, nous avons e�ectué des calculs numériques des valeurs exactes17

de la sensibilité(∂P∂y

)du prix d'un ABS pass-through dans le plan (y0, y), pour plusieurs types

de pro�l d'amortissement, di�érentes maturités et di�érents taux de prépaiement. Nous avonstesté l'e�cacité des approximations en calculant les écarts relatifs, notés ε(y0, y), entre les

valeurs exactes de(∂P∂y

)et les valeurs approximatives pour chacune des deux approches de la

manière suivante:

ε(y0, y) =

∣∣∣∣∣∂P∂y +WAL(λ)

∂P∂y

∣∣∣∣∣ et ε(y, y0) =

∣∣∣∣∣∣∣∂P∂y −

(∂P∂y

)approx

∂P∂y

∣∣∣∣∣∣∣Les graphiques 21 et 22 représentent les courbes de niveau des écarts relatifs ε(y0, y) respec-tivement pour −WAL et

(∂P∂y

)approx

dans le cas d'un pro�l d'amortissement théorique P+I

constant et de maturité 30 ans, en faisant varier y et y0 entre 0 et 15%.

17Bien qu'il existe des expressions analytiques pour la sensibilité du prix au yield, nous avons utilisé desapproximations des intégrales par la méthode des trapèzes. Les raisons de ce choix sont les suivantes:1) Les programmes mis en place sont exploitables avec n'importe quel pro�l d'amortissement dé�ni par unefonction ou un tableau de données.2) Les pas de calcul utilisés sont su�samment petits pour garantir des résultats de très haute précision (jusqu'à10000 pas par intégration pour atteindre une précision de 1

10de bp au niveau des prix)

0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14%0%

14%-15%

13%-14%

12%-13%

11%-12%

10%-11%

9%-10%

T = 30, λ = 0% T = 30, λ = 10% T = 30, λ = 20%

Figure 21: Ecart relatif entre(∂P∂y

)et −WAL

0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14%0%

14%-15%

13%-14%

12%-13%

11%-12%

10%-11%

9%-10%

T = 30, λ = 0% T = 30, λ = 10% T = 30, λ = 20%

)et ∂P

∂y approx

Les résultats pour les autres types de pro�l d'amortissement et pour d'autres maturités sontsimilaires et nous amènent tous aux mêmes conclusions:

1. L'approximation de la sensibilité par −WAL n'est valable que pour les ABS pass-throughde maturité courte et de bonne qualité de crédit de faible convexité (i.e. y et y0 faibles),ou dans les cas particuliers au voisinage de la droite 2y − y0 = 0 dans lequel le termede convexité dans l'expression ∂P

∂y ∼ −WAL+ 12

(2·y−y0)〈t2〉 s'annule. Par conséquent, nouspouvons a�rmer que la WAL n'est pas un aussi bon indicateur de risque. Notre ap-

proximation(∂P∂y

)approx

, une expression simple en fonction des paramètres du marché

P , WAL, y et y0, présente une meilleure alternative pour l'évaluation du risque d'unABS pass-through.

2. Les deux approches gagnent en précision quand les maturités baissent ou quand les tauxde prépaiement augmentent (ce qui revient à baisser la WAL). Ce comportement découledu fait que les deux approximations sont issues des développements limités en 〈(yt)n〉.

3. Quand le prix est autour du pair (au voisinage de la diagonale y = y0),(∂P∂y

)approx

une très bonne approximation de la sensibilité.

4.(∂P∂y

)approx

est une bonne approiximation de la sensibilité quand le yield tend vers 0

même pour des taux de coupons élevés. En e�et, l'impact de l'actualisation et de laconvexité est négligeable pour les faibles yield. Ce n'est pas le cas pour l'approximation−WAL car elle ne prend pas en compte l'e�et de dispersion des cash-�ows.

3.3 ABS séquentiel

3.3.1 Concepts et dé�nitions

Pour étendre notre formalisme aux tranches d'un ABS séquentiel, quelques dé�nitions et for-malismes supplémentaires s'imposent.

3.3.1.1 Caractérisation d'une tranche d'ABS séquentiel

Comme la majorité des ABS, les pertes engendrées par les défauts des actifs titrisés sontallouées aux di�érentes tranches de manière séquentielle dans l'ordre croissant de leur séniorité(en allant de la tranche equity vers la tranche senior). La spéci�cité d'un ABS séquentielréside au niveau de l'allocation des remboursements réels du capital restant dû. En e�et, cesderniers sont alloués de manière séquentielle dans le sens décroissant de séniorité (en allantde la tranche senior vers la tranche equity). La tranche senior perçoit en premier l'intégralitédes remboursements jusqu'à l'amortissement total de son principal. Les remboursements sontensuite alloués à la tranche qui suit dans l'ordre décroissant de séniorité.

C'est la raison pour laquelle une tranche de dette d'un ABS séquentiel est complètementcaractérisée par ses points d'attachement A et de détachement D. Sans perdre de généralité,nous supposons que le principal de tout le passif du SPV est égal à 1. Nous avons alors0 ≤ A < D ≤ 1. Dans le cas d'un ABS séquentiel, une tranche de point d'attachement A et depoint détachement D, ne perçoit aucun remboursement de principal tant que le capital restantdû est supérieur à D. Au-delà, elle commence à recevoir l'intégralité des remboursementsjusqu'à son amortissement total de son principal, c'est à dire D − A, appelé aussi l'épaisseurde la tranche. Evidemment, quand la tranche subit des pertes de défaut, l'amortissement seralimité à l'épaisseur de la tranche moins les pertes.

Ainsi, une tranche senior peut-être dé�nie comme une tranche de point de détachement D = 1et de point d'attachement A > 0 (et d'épaisseur non nulle D −A > 0). De la même manière,nous caractériserons une tranche mezzanine par 0 < A < D < 1 et une tranche junior ouequity par 0 < A < D < 1.

3.3.1.2 Temps de détachement et d'attachement

Nous désignons par(K0t

)t≥0

le pro�l d'amortissement théorique du pool des actifs titrisés,

(Qt)t≥0 son processus de prépaiement (rappelons que sous l'hypothèse CPR, Qt = e−λ·t pour

un taux de prépaiement λ) et par (Kt)t≥0 le capital restant dû réel du passif du SPV. Consid-érons une tranche de point d'attachement A et de point de détachement D. Nous appeleonstemps de détachement, noté τλ(D), le moment où le capital restant dû traverse le niveau Ddé�ni par Kτλ(D) = D, c'est la date à partir de laquelle la tranche commence à percevoirl'intégralité des remboursements. De la même manière, nous appelons temps d'attachement,noté τλ(A), le moment où le capital restant dû atteint A, il est de�ni par Kτλ(A) = A, et ilcorrespond à la date de l'amortissement total de la tranche (en l'absence de perte de défautau niveau de la tranche.)

3.3.2 Tranches senior

3.3.2.1 Temps d'attachement d'une tranche senior

Une tranche senior est caractérisée par 0 < A < D = 1. Sous l'hypothèse CPR, nousavons Kt = e−λ·t · K0

t . Par conséquent, le temps d'attachement τλ(A) est la solution del'équation e−λ·τλ(A) · K0

τλ(A) = A (remarque: le temps de détachement τλ(D) est toujoursnul). La solution de cette équation ne peut être exprimée analytiquement que dans le cas depro�l d'amortissement théorique exponentiel, c'est à dire qu'il existe une fonction f(λ, t) etune constante α, telles que K0

t = α · ef(λ,t) ou dans les cas particuliers A = 0 (dans ce casτλ(A) = T ) ou A = 1 ( dans ce cas τλ(A) = 0) . Nous sommes donc amenés à calculer τλ(A)numériquement. Il est possible néanmoins d'établir une formule d'approximation de τλ(A)pour les faibles taux de prépaiement (voir preuve A.1.10):

τλ(A)∼τ0(A)

(1+λ A

K0′τ0(A)

La �gure 23 correspond à la surface de τλ(A) en tant que fonction de λ et de A pour un pro�ld'amortissement P+I constant18.

Figure 23: τλ(A) en fonction de λ et de A.

18T = 10 ans et rM = 5%.

τλ(A) est une fonction décroissante par rapport au taux de prépaiement λ et par rapportà A, ce qui est tout a fait logique (voir preuves A.1.11). En e�et, une tanche senior seraamortie plus rapidement qu'une tanche senior plus épaisse adossée au même pool et si le tauxde prépaiement augmente, la tranche sera remboursée encore plus vite. De plus, le tempsd'attachement est moins sensible au taux de prépaiement quand A est proche de 0 (ou de1, le cas le moins intéressant dans la pratique) que pour les valeurs intermédiaires autour deA = 50%.

3.3.2.2 Sensibilité du prix d'une tranche senior

Notre appraximation(∂P∂y

)approx

de la sensibilité du prix d'un actif amortissable est encore

plus e�cace dans le cas d'une tranche senior que pour un ABS pass-through adossé au mêmepool d'actifs.

En e�et, les tranches senior présentent des maturités plus courtes (points d'attachement >0)et généralement des taux y et y0 plus faibles à cause de leur séniorité. Ces deux propriétéssont en faveur du développement limité en 〈(yt)n〉 comme nous l'avons mentionné dans 3.2.5.La �gure 24 illustre la validité de notre approximation pour un MBS pass-through (A = 0) etdeux tranches senior de points d'attachement 20% et 40% tous adossés au même pool d'actifsde pro�l d'amortissement théorique P+I constant.

0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14%0%

14%-15%

13%-14%

12%-13%

11%-12%

10%-11%

9%-10%

T = 30, A = 0%, λ = 10% T = 30, A = 20%, λ = 10% T = 30, A = 40%, λ = 10%

)et ∂P

∂y approxpour des tranches senior

Quant à la sensibilité du prix au taux de prépaiement, il est di�cile de l'exprimer avec uneformule aussi simple que celle du MBS pass-through car elle dépend de τλ(A) et de sa dérivéepartielle ∂

∂λτλ(A) par rapport au taux de prépaiement; par conséquent il faut la calculernumériquement.

3.3.3 Tranches mezzanine

Une tranche senior est caractérisée par 0 < A < D < 1. Généralement l'épaisseur d'unetranche mezzanine n'excède pas 25% du capital initial du pool. C'est la raison pour laquellenous nous intéressrons en particulier aux tranches mezzanine �nes des ABS séquentiels . Une

tranche mezzanine est dite in�niment �ne (ou ITT pour In�nitely Thin Tranche ), quandD − A → 0. Les tranches IIT sont assimilables à des actifs de pro�l d'amortissement bullet.En e�et, l'intégralité du notionnel de la tranche est remboursée dans un intervalle de tempstrès court: quand A → D, nous avons τλ(D) = WALITT = τλ(A) et le prix de la trancheITT, noté PITT , est égale au prix Pbullet de l'actif bullet associé et nous avons:

∂∂yPITT = ∂

∂yPbullet avec

∂∂yPbullet = − y0

(1− e−y·WAL

)− y−y0

y ·WAL · e−y·WAL

Nous attirons l'attention sur le fait que ces résultats sont valables pour tous les ABS séquentiels

au-delà de l'hypothèse CPR, en e�et les preuves dans A.1.12 n'utilisent pas l'hypothèse CPR.

L'expression ∂∂yPbullet dépend uniquement des paramètres du marché P , y, y0 et la WAL.

Dès lors, des questions se posent: est-il intéressant d'approximer la sensibilité d'une tranchemezzanine par la sensibilité ∂

∂yPbullet du prix de son actif bullet associé? Quelle sont les limites

de validité d'une telle approximation? Est-elle plus e�cace que l'approximation(∂P∂y

)approx

Les calculs numériques que nous avons menés pour di�érent types de pro�l d'amortissement,nous ont permis d'a�rmer d'une part que l'approximation ∂

∂yPbullet est très bonne approxi-mation de la sensibilité des prix des tranches mezzanine. Les graphiques 25 illustre l'écartrelatif entre ∂

∂yP et ∂∂yPbullet au pair (y = y0) pour une tranche mezzanine en fonction du

point d'attachement A et de l'épaisseur D−A de la tranche. Dans cet exemple le pool d'actifa un pro�l théorique P+I constant, une maturité 30 ans et fait l'objet d'un prépaiement CPR(λ = 10%). L'approximation est valable pour les tranches mezzanine �nes presque pour tousles points d'attachement avec des épaisseurs allant jusqu'à 20% pour les valeurs intérmédi-aires de A (autour de 50%) sans perte de précision (écart relatif inférieur à 1%). Par contrel'approximation perd en e�cacité quand l'épaisseur est très large ou quand les yield son élevés.

0% 20% 40% 60% 80% 100%0%

D - A D - A

14%-15%

13%-14%

12%-13%

11%-12%

10%-11%

9%-10%

y = y0 = 5% y = y0 = 7%

Figure 25: Ecart relatif entre la sensibilité d'une tranche mezzanine et celle de son actif bulletassocié

Nous avons aussi comparé les domaines de validité des deux approxitmations de la sensibilité

du prix, ∂∂yPbullet et

(∂P∂y

)approx

, dans le cas des tranches mezzanine. Comme le montre le

graphique 26, dans le cas des tranches mezzanine l'approximation de la sensibilité par ∂∂yPbullet

est encore meilleure que l'approximation(∂P∂y

)approx

0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14%0%

14%-15%

13%-14%

12%-13%

11%-12%

10%-11%

9%-10%

0%-1%(∂P∂y

)approx

(∂P∂y

)approx

λ = 10%, A = 10%, D −A = 10%

Figure 26: Comparaison de l'e�cacité des approximations ∂∂yPbullet et

(∂P∂y

)approx

Conclusion

La nouveauté dans cette étude réside dans l'assimilation du risque de prépaiement à un change-ment de mesure par rapport à la distribution dans le temps des �ux de remboursement decapital. Cette approche est généraliste et s'applique à n'importe quel type de modèle de pré-paiement déterministe ou stochastique. Le prix est considéré comme l'espérance, sur l'ensembledes trajectoires possibles du processus de prépaiement, de la somme des cash-�ows future actu-alisés. Un tel formalise nous a permis de mettre en évidence des propriétés générales à tous lesactifs amortissables et de mettre en évidence l'impact de la dispersion des �ux de rembourse-ment sur la sensibilité du prix au yield. De plus, sous l'hypotyèse CPR, notre formalismepermet aisément de manipuler des grandeurs telles que la WAL à l'aide développement enséries entières par rapport au taux de prépaiement.

D'autre part, nous avons obtenu des approximations alternatives de la sensiblité du prixd'un actif amortissable (par exemple une tranche d'ABS) et de sa convexité par rapportau yield. En e�et, les approxiamtions que nous avons proposées sont nettement meilleuresque l'approximation par la WAL, couramment utlisée par les particiens du marché des ABS.L'étude des domaines de validité nous a permis de montrer que l'approximation par la WALse limite aux actifs de très faibles yields contrairement aux approximations que nous avonsintroduites.

De plus les formules proposées sont robustes et font appel uniquement aux paramètres demarché tels que le prix, les yields et la WAL. En particulier, l'approximation de la sensibilitédu prix d'une tranche mezzanine par celle de son actif bullet associé est valable pour desépaisseurs allant jusqu'à 20%.

Il sera intéressant d'étendre cette approche à des modèles de prépaiement stochastiques. Ladi�cultés pour ces modèles résidera dans leur calibrage par rapport au marché. L'objectif deces modèles sera d'établir une relation entre la volatilité des prépaiements et celle des prix desABS. En particulier, ils permettront d'expliquer la contribution de volatilité du prépaiementà celle de la DM.

A Annexe

A.1 Démonstrations

A.1.1 Formule du prix

Pour un scénario de prépaiement donné

P =∫ T

0 e−y·t[−dKt + y0 ·Kλ

= −∫ T

0 e−y·tdKt +y0

y·∫ T

0 e−y·tdKt + y0 ·[−e−y·t ·Kt

(intégration par parties)

=[−∫ T

0 e−y·tdKt

1− y0

y(car Kλ

0 = 1 et KλT = 0)

En passant à l'espérance sur tous les scénarii, nous obtenons

P =⟨e−y·t

⟩(1− y0

A.1.2 Expression de la WAL

Pour une scénario de prépaiement donné, nous avons:

WAL = 〈t〉 = −∫ +∞

0 t · dKt = − [t ·Kt]+∞0 +

∫ +∞0 Kt · dt (intégration par parties)

D'autre part, nous avons K0 = 1 et limt→+∞

Kt = 0, donc WAL =∫ +∞

0 Kt · dt.

En passant à l'espérance sur tous les scénarii de prépaiement possibles nous obtenons:

WAL = E[∫ T

0 Ktdt]

A.1.3 Linéarité de la WAL

Pour une scénario de prépaiement donné, nous avons:

WALpf =∫Max(Ti)

0 Kpft · dt =

∫ Ti0

ωiKit · dt car pour tout t, K

ωiKit

donc WALpf =∑i

ωi∫ Ti

0 Kit · dt =

ωiWALi.

En passant à l'espérance sur tous les scénarii de prépaiement nous obtenons le résultat recher-ché grâce à la linéarité de E[.].

A.1.4 Encadrement du prix

D'une part,

P − 1 =⟨e−y·t

⟩(1− y0

y− 1

=y − y0

y·(⟨e−y·t

⟩− 1)

=y − y0

y·(⟨e−(r+DM)t − 1

⟩)car 〈1〉 = 1⟨

e−y·t − 1⟩≤ 0 car ∀ t ≥ 0, e−y·t ≤ 1

Donc P − 1 a le même signe que y0 − y, d'où les inégalités entre P et 1.

D'autre part, en appliquant l'inégalité de Jensen à la fonction convexe e−y·t et la mesure−dKt, nous obtenons

e−y·WAL = e−y·〈t〉 ≤⟨e−y·t

⟩d'où

P − e−y·WAL

(1− y0

y=y − y0

y·(⟨e−y·t

⟩− e−y·WAL

)est de même signe que y − y0 cqfd.

A.1.5 Approximation du prix au premier ordre

Le développement limité au premier ordre en y · t nous permet décrire e−y·t = 1− y · t+ o(y · t)

Par conséquent ,⟨e−y·t

⟩= 1− y · 〈t〉+ o(y · 〈t〉) = 1− y ·WAL+ o(y ·WAL)

d'où P ∼ 1− (y − y0) ·WAL.

A.1.6 Approximation de la sensibilité et de la WAL

Grâce au développement en série entière de la fonction exponentielle et au théorème de Fubini,le prix s'écrit:

P=1−(y−y0)·

+∞∑n=1

(−y)n−1 〈tn〉n!

Par conséquent, la sensibilité s'écrit:

∂P∂y =

+∞∑n=1

(−y)n−2(y+(n−1)·(y−y0))〈tn〉n!

en s'arrêtant à l'ordre un en y · 〈t〉et y0 · 〈t〉

Nous obtenons

∂P∂y ∼−〈t〉+

(2·y−y0)·〈t2〉=−WAL+ 12

(2·y−y0)·〈t2〉

et en s'arrêtant à l'ordre deux en y · 〈t〉et y0 · 〈t〉 dans l'expression du prix nous obtenons

P=1−(y−y0)·(WAL−y·〈t

d'où⟨t2⟩∼ 2

[WAL+ P−1

y−y0

]En remplaçant 〈t2〉 par sa valeur dans l'expression∂P∂y ∼−WAL+ 1

2(2·y−y0)·〈t2〉

Nous obtenons:

∂y∼ (2 · y − y0)(P − 1) + (y − y0)2WAL

y (y − y0)

D'autre part, la dérivation de la série entière de ∂P∂y , permet d'écrire la convexité comme

∂2P∂y2

+∞∑n=2

(−y)n−3(2y+(n−2)·(y−y0))(n−1)〈tn〉

A l'ordre zéro, nous avons alors:

∂2P∂y2∼〈t2〉

2 ∼2y

[WAL+ P−1

y−y0

]A.1.7 Existence d'un taux de prépaiement maximal qui annule le spread du

marché

Sous l'hypothèse CPR il est possible de démontrer que P (λ, y) est décroissant en λ.

En e�et, Ft(λ) = dKtdK0

t= e−λt

[1− λ K

K0′t

]donc ∂

∂λFt(λ) = −t · Ft(λ)− e−λt · K0t

K0′t

Donc pour tout A(t) fonction positive de t, ∂∂λ 〈A〉λ =

⟨A ∂∂λFt(λ)

= 〈−t ·A(t) · Ft(λ)〉0 −∫ T0 A(t) ·Kλ

t dt ≤ 0 car tous les termes intégrés sont négatifs.

En particulier pour A(t) = 1 − e−(r+DM)t , ∂∂λ 〈A〉λ ≤ 0, donc〈A〉λest décroissante par con-

séquent P (λ, y) est décroissante en λdans le cas DM ≤ s, car

P (λ, y) =⟨e−(r+DM)t

(1− r+s

)+ r+s

r+DM = 1 +s−DMr +DM

·⟨1− e−(r+DM)t

D'autre part, quand λ → +∞, −dKt devient une distribution de Dirac en 0 et donc 〈A〉 →A(0) = 0, donc P (λ, y)→ 1

Donc 1 ≤ P (λ0, y) ≤ P (λ0, r) car DM ≤ s et P (λ, y) est décroissante en y

Donc il existe λmax ≥ λ0 tel que P (λmax, 0) = P (λ0, DM). λmax annule le spread de marchéDM , ie P (λmax, r) = P (λ0, y).

A.1.8 Expression du prix d'un ABS pass-through

Nous posons A(t) = e−yt

Nous avons : P = 〈A〉 y−y0y + y0y

〈A〉 = −∫ T

0 A · dKt = −∫ +∞

0 A · dKt = 1 − y∫ +∞

0 e−y·t ·Ktdt, intégration par parties, avecK0

+∞ = 0 et K00 = 1

d'où: 〈A〉 = 1− y · Lλ(e−y·tK0t ) = 1− y.W (λ+ y) car Lλ(e−y·tf(t)) = Lλ+y(f(t))

Nous obtenons alors P = 〈A〉 y−y0y + y0y = (1 − y.WAL(λ + y)) · y−y0y + y0

y = 1 − (y − y0) ·WAL(λ+ y)

A.1.9 EDP du prix

Nous avons P = 1− (y − y0).W (λ+ y)

donc ∂P∂λ = −(y − y0) ·W ′(λ+ y), où W ′ désigne la dérivée de la fonction W .

et ∂P∂y = −(y − y0) ·W ′(λ+ y)−W (λ+ y)

d'où ∂P∂λ −

∂P∂y + P−1

m = 0 (en remplaçant W (λ+ y) par − P−1y−y0 ).

A.1.10 Approximation de τλ(A) pour les faibles taux de prépaiement

K0τλ(A)

e−λ.τλ(A)=A, donc au permier ordre en λ(A+K0′

τ0(A)(τλ(A)−τ0)

)(1−λ·τλ(A))∼D car K0

τ0(A)=A

d'où τλ(A)∼ τ0(A)

1− λAK0′τ0(A)

∼τ0(A)·(

K0′τ0(A)

A.1.11 τλ(A) est décroissant par rapport à λ et par rapport à A

A partir de e−λ·τλ(A) ·K0τλ(A) = A, nous obtenons

∂∂λτλ(A) = τλ(A)

K0′τλ(A)

K0τλ(A)

K0′τλ(A) ≤ 0 car le pro�l d'amortissement K0

t est décroissant. Par conséquent, ∂∂λτλ(A) est

négative et donc τλ(A) est décroissant en λ.

Pour les mêmes raisons, nous avons ∂∂D τλ(A) ≤ 0 étant donné

∂∂D τλ(A) = 1

K0′τλ(A)

K0τλ(A)

Par conséquent, τλ(A) est décroissante par rapport à A.

A.1.12 Tranches ITT

Considérons un ABS séquentiel , nous désignons par(K0t

)t≥0

le pro�l d'amortissement théoriquedu pool des actifs titrisés et par (Kt)t≥0 le capital restant dû réel du passif du SPV. Nousfaisons l'hypothèse que Kt est dérivable par rapport au temps. Etant donné que les pro�lsstandards que nous étudions son dérivables, cette hypothèse est équivalente à la dérivabilitédu processus de prépaiement (Qt)t≥0 par rapport au temps, c'est à dire un processus de pré-paiement déterministe qui ne présente pas de sauts de prépaiement. Ces types de modèles(dont le modèle CPR) sont réalistes à cause de l'hétérogénéité du comportement des emprun-teurs (en particulier il n'existe pas de prépaiement massif instantané) et la forte granularitédes pools dans la plupart des cas (qui peut être in�nie si en plus les emprunteurs ont le droitde prépayer n'importe quelle fraction du prêt).

Considérons une tranche mezzanine de points d'attachement A et de point de détachement Dtels que 0 < A < D < 1. Nous désignons par τ(A) le temps de d'attachement de la tranchedé�ni par Kτ(A) = A et par τ(D) le temps de détachement de la tranche dé�ni par Kτ(D) = D.

Etant donné, que la tranche reçoit l'intégralité des remboursements entre τ(D) et τ(A), laWAL de la tranche mezzanine s'écrit:

WALD,A =−∫ τ(A)τ(D)

t·dKt

−∫ τ(A)τ(D)

dKt=−∫ τ(A)τ(D)

t·dKtD−A

= 1D−A

[[t ·Kt]

τ(D)τ(A) +

∫ τ(A)τ(D) Kt · dt

](intégration par parties)

= 1D−A

[(τ(D) ·D − τ(A) ·A) +

∫ τ(A)τ(D) Kt · dt

Pour toute fonction continue f et toute fonction dérivable g,

limD→A

∫ g(A)g(D)

f(t)·dtD−A = f (g(A)) · g′(A) (2)

Ktétant dérivable par rapport à t et pour t ∈ [τ(D), τ(A)], nous avons 0 < A ≤ Kt ≤ D < 1,donc Kt ne s'annule pas sur [τ(D), τ(A)]. Par conséquent, K−1 la fonction réciproque de Kt

existe et elle est dérivable sur [A,D].

Etant donné que Kτ(A) = A, nous avons τ(A) = K−1(A).

Par conséquent τ(A) est dérivable par rapport à A (3) et nous avons K ′τ(A) ·∂τ∂A(A) = 1 (4).

En faisant tendre D → A dans (1) et en utilisant (2) et (3) nous obtenons

WALITT = limD→A

WALD,A = τ(A) car limD→Aτ(D)·D−τ(A)·A

D−A = ∂τ∂A (A · τ(A)) = τ(A) + A ·

∂τ∂A(A)

Entre t = 0 et t = τ(D), la tranche mezzanine perçoit uniquement des intérêts y0 ·dt à la hau-teur de son principal D−A. Entre τ(D) et τ(A), elle perçoit l'intégralité des remboursementsréels −dKt et des intérêts y0 · dt sur son capital restant dû Kt − A. Par conséquent le prixnormalisé (le prix unitaire obtenu en dévisant le prix de la tranche par son principal D −A.)s'écrit:

PD,A = 1D−A

[∫ τ(D)0 e−y·t · y0 · (D −A) · dt+

∫ τ(A)τ(D) e

−y·t [y0 · (Kt −A) · dt− dKt]]

(1− e−y·τ(D)

[∫ τ(A)τ(D) e

−y·t [y0 · (Kt −A) · dt− dKt]](5)

En appliquant (2) pour chacun des termes de l'intégrale précédente, quand D → A, nousobtenons

PITT = limD→A

PD,A = y0y

(1− e−y·τ(A)

)+A ·y0e

−y·τ(A) · ∂τ∂A(A)−A ·y0e−y·τ(A) · ∂τ∂A(A)+e−y·τ(A) ·

K ′τ(A) ·∂τ∂A(A)

or d'après (4), K ′τ(A) ·∂τ∂A(A) = 1

Donc PITT = limD→A

PD,A = e−y·τ(A)(1− y0

y = e−y·WAL(1− y0

y = Pbullet car

WAL = limD→A

WALD,A = τ(A)

La preuve de ∂∂yPITT = ∂

∂yPbullet est similaire à la preuve précédente.

En e�et,

∂∂yPD,A = 1

[∫ τ(D)0

∂∂ye−y·t · y0 · (D −A) · dt+

∫ τ(A)τ(D)

∂∂ye−y·t [y0 · (Kt −A) · dt− dKt]

]∂∂yPD,A = 1

[∫ τ(D)0 −y · e−y·t · y0 · (D −A) · dt+

∫ τ(A)τ(D) −y · e

−y·t [y0 · (Kt −A) · dt− dKt]]

En utilisant (2), (3) et (4) et en passant à la limite quand D → A, nous obtenons

∂∂yPITT = lim

D→A∂∂yPD,A = − y0

(1− e−y·WAL

)− y−y0

y ·WAL · e−y·WAL = ∂∂yPbullet

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26ABS pass-through, 7, 8, 11, 12, 41�48, 51, 58ABS proportionnel, 11ABS séquentiel, 7, 11, 12, 20, 31, 41, 49, 51,

52, 59ABX, 15, 22Actif bullet associé, 36, 37Agence de notation, 17AL ABS (Auto Loan ABS), 13

Bloomberg, 6, 26Burnout, 23

Cash Deposit, 11, 12CBO (Collaterlaized Bond Obligations), 13CC ABS (Credit Card ABS), 13, 19CDO (Collateralized Debt Obligation), 10, 12,

14, 15CDS (Credit Default Swap), 10, 12, 15CFO (Collateralized Fund Obligations), 13, 27CL ABS (Consumer Loan ABS), 13CLO (Collateralized Loan Obligations), 13CMBS (Commercial Mortgage Backed Securi-

ties), 13CMO (Collateralized Mortgage Obligations),

13, 14CMO (Collaterlized Mortgage Obligations), 14Conduits, 12Corrélation des défauts, 15CPR (Constant Prepayment Ratio), 36, 41CSO (Collateralized Swap Obligations), 13

David X Li, 15Davidson, 25DM (Discount Margin), 6, 26, 27, 33, 54Dunn, 6, 25

Eduardo S. Schwartz, 23EL ABS (Equipment Lease ABS), 13, 14Excess Spread, 11, 12

Fannie Mae, 6, 11, 14

Freddie Mac, 6, 11, 14

Ginnie Mae, 6, 11, 14Granularité, 12, 59Green, 6, 23

HEL ABS (Home Equity Loan ABS), 13, 19Hershovit, 25

ITT (In�nitely Thin Tranche), 52

Johnston, 25

Mark-to-Market (MtM), 17, 21MBS (Mortgage Backed Securities), 6, 9�13,

18�20, 22�27, 31MBS pass-through, 14, 24, 25, 51McConnel, 6, 25MH ABS (Manifactured Housing ABS), 13Monte Carlo, 31Mortgage Lender, 22

Originateur, 14�17, 20

Prépaiement, 6, 9, 11, 14, 17, 22�24, 26, 27,31�39, 41�52, 54

Prime, 12, 21Pro�l d'amortissement, 27Pro�l d'amortissement bullet, 28, 37Pro�l d'amortissement linéaire (P constant),

29Pro�l d'amortissement P+I constant, 29, 30,

35�37, 39, 44, 47, 50�52Pro�l d'amortissement relative constant, 30Pro�l d'amortissement théorique, 27PSA (Public Securities Association), 41

Radon-Nikodym, 32Ratio de Cooke, 15Remboursement réel, 27, 32, 39, 49, 59Remboursement théorique, 9, 27, 29, 31, 32,

43REMIC (Real Estate Mortgage Investment Con-

duit), 14

RMBS (Residential Mortgage Backed Securi-ties), 13

Servicer, 10, 16, 17Shove, 6, 23SL ABS (Student Loan ABS), 13Spatt, 25SPV (Special Purpose Vehicle), 8�12, 14�16,

36, 42, 49, 50, 59Structureur, 10, 11, 16, 17Subprime, 7, 12, 19�22

Term Deal, 12Timmis, 25Titrisation, 6, 8, 10, 12�18, 22, 35Tranche Interest Only, 11, 46Tranche Junior (ou Equity), 9, 11, 36, 49Tranche Mezzanine, 9, 26, 31, 41, 49, 51�54,

59Tranche Principal Only, 11, 46Tranche Senior, 9�12, 20, 26, 31, 41, 49�51True Sale, 15Trustee, 16

Van Drune, 25

WAL (Weighted Average Life), 33WAL (Weigthed Average Life), 6, 7, 26, 33�40,

43�46, 48, 52, 54�56, 59Walter N. Torous, 23

yield to maturity (YTM), 34

Evaluation du risque des ABS: Approximations des...

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