Focalisation avec un réseau linéaire et approximations … · Pierre Cervenka - Focalisation avec...

Institut Jean le Rond d’Alembert

Université Pierre et Marie Curie CNRS UMR 7190

Modélisation Propagation Imagerie Acoustique

Focalisation avec un réseau linéaire et approximations quadratiques

Pierre Cervenka

[email protected]

http://www.dalembert.upmc.fr/home/cervenka/

2011-2012

Sommaire

1. Introduction ...................................................................................................................................... 1

2. Différences de marche exactes ......................................................................................................... 2

3. Approximation quadratique stricte .................................................................................................. 4

Développement au second ordre .................................................................................................. 4 3.1

Ecart introduit par l'approximation quadratique .......................................................................... 6 3.2

3.2.1 Calcul préliminaire................................................................................................................ 6

3.2.2 Focalisation sur l’axe ............................................................................................................ 7

3.2.3 Focalisation hors axe............................................................................................................. 8

Limites de l'approximation quadratique ....................................................................................... 9 3.3

Comparaison avec les premiers termes omis du développement. .............................................. 13 3.4

Conclusion .................................................................................................................................. 17 3.5

4. Approximation de Fraunhofer ........................................................................................................ 18

5. Autres approximations quadratiques.............................................................................................. 21

Approximation axiale ................................................................................................................. 21 5.1

Approximation de Fresnel .......................................................................................................... 23 5.2

5.2.1 Domaine de validité ............................................................................................................ 23

5.2.2 Compensation du biais angulaire ........................................................................................ 25

6. Coefficient du second degré indépendant du dépointage .............................................................. 26

Domaine de validité ................................................................................................................... 26 6.1

6.1.1 Introduction ......................................................................................................................... 26

6.1.2 Zones de calcul ................................................................................................................... 28

Résultat ....................................................................................................................................... 33 6.2

6.2.1 Sur l’axe ( = 0) .................................................................................................................. 34

6.2.2 Dans le prolongement de l’antenne ( = /2) ..................................................................... 34

6.2.3 Evolution de w(), à portée et angle 0 constants ............................................................ 36

7. Optimisation de l’approximation quadratique ............................................................................... 37

Méthode numérique.................................................................................................................... 37 7.1

Justification analytique des résultats .......................................................................................... 41 7.2

7.2.1 Limite supérieure de l’angle 0 utilisé pour le facteur quadratique .................................... 41

7.2.2 Limite inférieure de l’angle 0 utilisé pour le facteur quadratique (w/4<<w/2) ............... 42

7.2.3 Bilan .................................................................................................................................... 43

Performance de la focalisation ................................................................................................... 44 7.3

Intérêt de l’optimisation ............................................................................................................. 47 7.4

Pierre Cervenka - Focalisation avec un réseau linéaire et approximations quadratiques 1/48

1. Introduction

On s’intéresse à la focalisation en un point quelconque de l’espace avec un réseau linéaire fonctionnant autour d’une fréquence caractéristique. La symétrie de résolution autour de l’axe du réseau permet de limiter l’étude à une géométrie en 2D, en se plaçant dans un plan contenant le réseau. Notant (O, x, y) un repère de ce plan, le réseau de longueur L est centré sur l'origine O, et orientée selon l'axe y, l’axe x étant normal au réseau. Le point focal r est défini en coordonnées polaires selon :

cos

sinr

r , avec 0r . (1)

La distance focale r est du même ordre de grandeur que la dimension L de l'antenne notamment dans le domaine de la microscopie acoustique (par exemple en contrôle non destructif des matériaux), ou celui de

l'imagerie sonar par ouverture synthétique où r L avec 1 dans la partie proche de la trajectoire du porteur.

Pour focaliser en r, l'antenne doit compenser en chacun de ses points d'abscisse y la différence de marche yd r r , où ry est la distance entre le point focal et le point d'abscisse y sur l'antenne (Fig. 1).

r

Ed r

0

ur

y

x

Pointfocal

Figure 1. Différences de marche associées à une antenne linéaire focalisée.

L'approximation quadratique, dont l'approximation de Fresnel est un exemple, donne une expression approchée de ces différences de marche. On s'intéresse aux limites de validité que conditionnent les biais sur les temps de vol introduits par ce type d'approximation. La méthode utilisée consiste à évaluer l'amplitude maximale, relativement à la longueur d'onde, de l'excursion sur l'antenne de l'écart entre la solution exacte et l'approximation. Lorsque le point focal se situe sur l’axe principal ( = 0), il suffit de calculer l'écart à une extrémité de l'antenne où celui-ci est maximal, l'écart étant nul (et minimal) au centre de l'antenne. Ce résultat classique n'est cependant pas applicable dans le cas général. On établit ici rigoureusement les solutions correspondant à l'approximation quadratique considérée. Ces solutions sont ensuite exploitées pour construire des abaques livrant directement les domaines de validité (on n’a pas


trouvé de représentations correctes dans la littérature). On montre aussi qu’il est possible de définir une implémentation de l’approximation quadratique qui simplifie la prise en compte de la courbure (en fonction de la portée), tout en maximisant la largeur du domaine de validité autour de l’axe principal x. En formation d’image, cette simplification présente un intérêt car elle permet de réduire d’un ordre de grandeur le nombre des opérations à effectuer pour focaliser.

Le calcul des différences de marche est introduit dans la Section 2. L’approximation quadratique la plus précise, i.e., déduite du développement au second ordre pour chaque point focal, est étudiée Section 3. Son domaine de validité y est établi en caractérisant les antennes par leur longueur comptée en longueurs d’onde, l’espace des points focaux étant dimensionné par la longueur de l’antenne. La différence entre l’approximation quadratique stricte et le calcul exact étant accessible analytiquement, celle-ci est comparée avec l’estimation obtenue à partir des premiers termes omis du développement de l’expression exacte. Cette analyse conduit à définir une expression simplifiée du domaine de validité de l’approximation quadratique stricte. Section 4 traite le développement au premier ordre, i.e., l’approximation de Fraunhofer. Des variantes de l’approximation quadratique, notamment l’approximation de Fresnel, font l’objet de la Section 5. La Section 6 développe la variante où la contribution du terme au second ordre est indépendante de la direction du point focal. L’optimisation de l’évolution de ce terme avec la portée pour élargir au maximum le secteur accessible est traitée Section 7. La pertinence de cette approche est confirmée en cartographiant les caractéristiques comparées des fonctions d’étalement du point (position du maximum, intensité et largeur) entre la focalisation exacte et l’approximation quadratique optimisée.

2. Différences de marche exactes

Pour étudier l'évolution des différences de marche le long de l'antenne, on utilise l'abscisse sans dimension

u y r . (2)

L'ensemble des cas de figure est analysé dans le plan repéré par les coordonnées polaires ,u . Sans

restreindre la généralité de l'analyse, la symétrie amène à limiter le domaine angulaire à

0 2 . (3)

Le domaine d'analyse est ainsi défini en coordonnées polaires par , 0, 2u . Il est formé de

deux secteurs correspondant respectivement à la moitié de l'antenne située du côté du point focal (u 0) et à l'autre moitié (u 0). Pour une direction de focalisation donnée , l'évolution sur l'antenne d'une grandeur cartographiée dans ce domaine est extraite en considérant l'intersection de cette nappe avec un plan vertical passant par l'origine et orienté selon l'axe polaire , limitée à l'intervalle centré à l'origine et de largeur r-1L. Avec = 0, la direction générale du faisceau est normale à l'antenne (boresight). Le cas = π/2 correspond au mode end fire array.

La différence de marche exacte sans dimension E , représentée Fig. 2 dans le plan , s'écrit :

1 21 2 sin 1E r d u u . (4)

En faisant apparaître les coordonnées cartésiennes du point courant u, (4) peut être aussi mise sous la forme

2 2 21 sin cos 1 1E u u S u avec 1, 2S u , (5)

montrant que la cartographie de E dans est un cône de sommet S et de demi-ouverture 4 .


Figure 2. Différence de marche exacte ,E u dans le domaine (limité à 3.5u ). (a) Perspective

(b) Cartographie : passages à zéro (courbe pleine noire) ; minima à angle constant (tirets blancs) ; exemple de ligne de coupe pour un point focal orienté selon 6 (voir Fig. 3b)

Dans l'espace physique, S est le point focal lorsque celui-ci est aligné avec l'antenne. En mode end fire array, on observe ainsi l'intersection du cône avec un plan vertical passant par le sommet S (Fig. 3c) :

2 1 1E u . (6)

Pour une direction quelconque du point focal, la différence de marche en fonction de u est donnée par l'intersection (Fig. 3b) du cône avec le plan vertical passant par l'origine et orienté selon . Il s'agit donc d'hyperboles dont la forme (5) met en évidence que celles-ci sont symétriques par rapport à l'abscisse

sinu où la valeur minimale cos 1 0E est atteinte. Dans le domaine , le locus de ces

minima est le cercle en tirets présenté Fig. 2b. Les asymptotes des hyperboles sont les paires de droites

sin 1z u se coupant en sin , 1u z . La différence de marche s'annule en 0u et

2sinu (cercle en trait plein sur Fig.2b). Elle est négative entre ces racines. En focalisation axiale (Fig. 3a), les zéros se confondent à l'origine O où la valeur minimale de E est nulle, cette fonction de u

étant alors symétrique

20 1 1E u . (7)

La courbure de la différence de marche exacte d(y) est définie partout, sauf au point S :

32 1 222

1 00 32

2 2

cosd d1

d d 1 sin 4 sin 2

E EE

rC r

u u u u

. (8)

Elle est nulle en configuration end fire array 1, 2 0EC u .

S

=/6

(a) (b)


Figure 3. Différence de marche E en fonction de l'abscisse u sur l'antenne. a) focalisation axiale 0 ;

b) cas général (ici 6 ) ; c) mode end firearray 2

3. Approximation quadratique stricte

Développement au second ordre 3.1

Nous étudions ici l'approximation quadratique issue du développement de (4) en u, jusqu'à l'ordre u2 inclus (Fig. 4b) :

2 21sin cos

2Q u u . (9)

Le terme linéaire prend en compte le dépointage, et le terme quadratique la courbure. L'hyperbole exacte E (4) est ainsi approchée par une parabole. L'ajustement s'effectue à l'origine, i.e. au centre de

l'antenne. La courbure s'écrit avec l'approximation quadratique (9)

1 2

03

2 22

cos

1 cos sinQ

rC

u

(10)

La courbure au centre du réseau (u = 0) est égale à celle que l'on obtient avec la focalisation exacte (11), quel que soit l'angle de dépointage ; i.e.,

1 2

32 2

cos0

1 sin

rC u

(11)

Elle ne vaut exactement 1r , au centre du réseau, qu'en focalisation axiale.

Dans le mode end fire array (Fig. 5c), l'approximation quadratique dégénère en la droite d'équation :

2Q u . (12)

Ainsi dans ce mode, l'approximation quadratique est exacte pour 1u (Fig. 5b).

(a) (b) (c)


Figure 4. Cartographie de la différence de marche dans le domaine (limité à 3.5u ).

a) exact ,E u ; b) approximation quadratique ,Q u .

Courbes pleines : passages à zéro ; Tirets : minima de 0,Q u

Exemple de ligne de coupe (magenta) pour un point focal orienté selon 6 (voir Fig. 5)

Figure 5. Différence de marche µ en fonction de l'abscisse u sur l'antenne. a) focalisation axiale 0 ;

b) cas général (ici 6 ) ; c) mode end fire array 2 Traits pleins bleus : solution exacte E ;

Tirets rouges : approximation de quadratique Q

Dans le cas général et en écartant le mode end fire array, Q s'exprime en introduisant l'abscisse u0 de

l'axe de symétrie de la parabole :

2

0

cos2

2Q u u u avec 0 2

sin

cosu

. (13)

Le locus des minima 20 tan 2Q u d'abscisse u0, et celui des passages à zéro d'abscisse 2u0 sont

indiquées sur Fig. 4b avec les courbes en tirets et en trait plein, respectivement. C'est seulement avec la focalisation axiale 0 que l'axe de symétrie de la loi exacte est confondu, à l'origine, avec celui de la

loi approchée. Alors

20 2Q u (avec ici 4E Q O u ). (14)

=/6

(a) (b)

(a) (b) (c)


Ecart introduit par l'approximation quadratique 3.2

3.2.1 Calcul préliminaire

On note Q l'écart entre l'approximation quadratique Q et les différences de marche exactes E

(Fig. 6) :

2 2 211 sin cos 1 2 sin

2Q Q E u u u u . (15)

Figure 6. Ecart Q introduit par l'approximation quadratique.

a) cartographie polaire ,Q u dans le domaine (limité à 3.5u ),

trace 04 ,u des zéros (en gras) et trace ,bu des minima (tirets) ;

b) coupes en mode axial (noir), end fire array (vert), et cas général (magenta).

La limite de l'approximation quadratique est dictée par l'excursion maximale Q de l'écart Q sur

l'antenne (Fig. 7) :

1 1

1

2, 2, max , min ,Q Q Q

u r L r Lr L u u

. (16)

On observe graphiquement dans toutes les situations que Q est proche de zéro dans la région centrale

de l'antenne ( Q et ses dérivées première et seconde sont nulles à l'origine). On montre plus loin que la

valeur de Q en mode axial est l'écart 1 2Q r L calculé à une extrémité de l'antenne, mais que cette

estimation n'est pas correcte pour une direction quelconque de focalisation.

(a) (b)


Figure 7. Excursion maximale Q de l'écart Q sur l'antenne.

Dans le mode end fire array, l'écart est nul tant que 1u , puis linéaire au-delà. L'excursion maximale est donc dictée par l'écart à l'extrémité du côté vers lequel se situe le "point focal", soit

1 12Q u u

,

2 2Q Q

L

r

1

1 1

2 1 0

2 1 2

r L

r L r L

(17)

On traite désormais le cas général 2 , la restriction n'étant véritablement nécessaire qu'au point S,

source de singularité. Le signe de Q se justifie en écrivant (15) sous la forme

1 3 40

14 cos

4Q D u u u , (18)

avec 22 2 2 21cos 1 sin 1 sin cos 0

2D u u u u . (19)

Le groupement des termes met en évidence que D est strictement positif (il ne s'annule qu'au point exclu S). Q s'annule donc en 0u et 04 0u u , est négatif entre ces bornes, et positif à l'extérieur, soit :

0 0sgn sgn 2 2Q u u u . (20)

3.2.2 Focalisation sur l’axe

En mode axial, les deux racines se confondent. L'écart est alors symétrique par rapport au centre de l'antenne, minimal en s'annulant en ce point, et strictement positif ailleurs :

2

2

2

10

2 1 1Q

u

u

. (21)


3

0 2 20

01 1 1

Q up u

u u u

. (22)

L'écart (21) augmente strictement en s'éloignant de l'origine, de telle sorte que l'excursion (16) s'écrit

1

02, 0Q Q u r L

. (23)

C'est l'expression classiquement utilisée sous une forme simplifiée pour déterminer les limites de validité de l'approximation de Fresnel : l'expression réduite au premier terme omis du développement (14), i.e.

41 2 4Q r L quand L r .

3.2.3 Focalisation hors axe

L'angle de dépointage étant figé, l'évolution de Q avec l'abscisse u est dictée par le signe de la

dérivée

2

2 1 4

0 2

1 2 sin1 cos

1 2 sin

Q a ab

u up u u u u G

u u u

(24)

avec

2 2 20

2 2 20

1 cos 1 sin cos

1 cos 1 sin cos

a

b

u u

u u

0 0 0sin 2 3a bu u u u u . (25)

et 2 2 2 2 2 2cos 1 sin cos 1 sin 1 2 sin cos 0G u u u u . (26)

(pour mémoire, on a 2 2H 1p u u où la fonction H est l'échelon de Heaviside)

Le groupement des termes (26) met en évidence que G est strictement positif (il n'est nul qu'au point S, exclu auparavant). Eqs. (24)(26) montrent donc ce qui est visible sur la courbe magenta de la Fig. 6b, soit

0 0, 0 0 inflexion , 0 0, 0, 0b b bp u p u p u u p u p u u (27)

La fonction Q u

présente un minimum à l'abscisse ub, avec 0bu puisque 00 4bu u . Elle

est décroissante avant ub, et croissante au-delà. Compte tenu du signe (20) de Q , on peut déjà indiquer

que la détermination de (16) quand 102 4r L u s'obtient avec :

1

1

max 2 0

min min 2, 0

Q Q

Q Q b

u r L

u r L u

(28)

Pour compléter cette détermination, il reste à établir quelle extrémité de l'antenne donne l'écart positif maximal quand 1

02 4r L u . La différence des écarts observés en des points symétriques de l'antenne, à

distance |u| du centre, s'écrit avec (15) :


2 2

22

2 sin 1 2 sin 1 2 sin

22 sin 1 0

1 2 sin 1 2 sin

Q Qu u u u u u u

uu u u u

(29)

Q Qu u (30)

L'écart positif maximal apparait donc toujours à l'extrémité de l'antenne opposée à la direction de focalisation. En résumé, l'amplitude des écarts s'exprime finalement selon

1 1 1

1 1

0 2 2 2

2 2

Q b Q Q

Q b Q Q b

r L u r L r L

r L u r L u

(31)

Limites de l'approximation quadratique 3.3

Les limites de validité de l'approximation quadratique sont établies en fixant un seuil pour l'amplitude

Q de la forme,

1 4Q r (32)

où note la longueur d'onde et est un coefficient arbitraire de l'ordre de l'unité. Ainsi, le déphasage des contributions des différents points de l'antenne au champ construit au point focal ne dépasse jamais 2 , sachant que ce déphasage est beaucoup plus faible sur toute la portion centrale de l'antenne (la dérivée seconde de l'écart Q est nulle à l'origine). Pour construire un abaque, on utilise les nouvelles variables

sans dimension suivantes :

1

r L

w L

(33)

La largeur réduite Qw de l'antenne qui obéit à la condition (32) est cartographiée avec (31) dans l'espace

physique des points focaux avec les coordonnées polaires réduites , . Avec cette représentation

(Fig. 8), on a explicitement


1 1

2 2

1 1

2 2

322 2 4 2 2 2

2

1

4 2 2

1

4 sin sin 1 4 sin 1 4

1

4 2 2

1cos 2 sin 4 sin 1 4

2

2sin 1 3sin 2sin 2 1 sin cos

cos

Q l

Q l

l

w

w

(34)

avec 2

1

2 2 2

cos2

2 1 cos 1 sin cos sinl bu

(35)

La frontière dictée par l entre les deux modes de calcul délimite une bande de largeur quasiment

constante : les coordonnées ,l x l y de la trace sont strictement décroissantes en fonction de , avec une

asymptote horizontale à l'ordonnée 1/6 0 ; à l'abscisse 0.25x 6 , il a déjà 1 7y .

Fig. 8 illustre aussi que l'approximation quadratique est beaucoup plus restrictive en focalisation oblique qu'axiale ou qu’en mode end fire array. Pour une distance de focalisation donnée, la direction qui réduit au maximum la taille de la plus grande antenne admissible (en longueurs d'onde) s'obtient en cherchant la racine de :

d0

dQ l

m

w

(36)

2 2 2

12

2 2 2

4 1 5 9 2 1 1sin

316 3 9 2 1m

(37)

La tendance asymptotique est observable bien avant 1 (voir pointillés et asymptote Fig. 8). Pour

une valeur aussi faible que 1 , on a déjà 2

1sin 1 2.5m

, soit 39m . Dès que la distance focale

dépasse quelques longueurs d'antenne, la direction de focalisation la plus défavorable se stabilise à

arctan 1 2 35m . L'évolution de la taille de l'antenne admissible le long de cette ligne , m

est présentée Fig. 9 (tirets). Sa valeur asymptotique

21, 3 3Q mw , (38)

est une excellente approximation même si 1.


Figure 8. Limites de l'approximation quadratique. Le plan est l'ensemble des points focaux ( , en coordonnées polaires), la distance r à

l'origine O étant comptée en longueurs d'antenne L, i.e. r L . L'antenne linéaire est centrée à l'origine, et s'étend des ordonnées -½ à +½. Les lignes de contour notées n correspondent à des longueurs maximales admissibles Lmax de l'antenne, comptées en longueurs d'onde, exprimées en unités logarithmiques, i.e.

1max 2n

Qw L (pour une longueur donnée, on peut ajuster avec la rigueur de

l’approximation en choisissant la ligne de contour telle que max 2nL ).

La frontière entre les deux modes de calcul décrits dans (34) est la ligne en tirets. Au dessus de cette limite, l'amplitude sur l'antenne des écarts à la solution exacte est obtenue par la différence des écarts aux extrémités de l'antenne ; dans la bande paraxiale, il s'agit de la différence entre l'écart (positif) à l'extrémité de l'antenne opposée à la direction de focalisation, et l'écart maximal (négatif) atteint au point de l'antenne d'abscisse ub (25). La ligne pointillée est le lieu des points focaux les plus défavorables (à distances focales constantes) vis-à-vis de l'approximation quadratique.


En focalisation axiale, c'est le second cas en (34) qui donne la solution (l est infini) :

2 123 2 30 8 1 1 4 32Qw

(39)

Dans la plupart des domaines d'application de l'imagerie acoustique (ASM, NDT, ...), la longueur des antennes dépasse rarement la centaine de longueurs d'onde (n 7). L'approximation quadratique est donc le plus souvent applicable pour une focalisation axiale étonnamment proche de l'antenne (< 2L) (trait plein Fig. 9). En revanche, cette distance peut être sensiblement plus grande selon la direction de focalisation (tirets Fig. 9). On observe aussi sur la Fig. 8 que la supériorité de la focalisation axiale est rapidement dégradée, même pour de faibles déviations angulaires.

En mode end fire array, c'est la première formule de (34) qui s'applique (l = 0) :

1

2 2 1 2 1 2Qw

1

11 2

4 1 2

1 2 0

Q

Q

w

w

1 1

12 4w

(40)

La focalisation en un point situé sur l'antenne, i.e. 1 2 , n'a a priori aucun intérêt pratique. Ce calcul précise cependant les positions des extrémités des courbes de niveau w présentés Fig. 8. D'autre part, L'approximation quadratique est exacte pour 1 2 , i.e. quand l'antenne est calée en phase pour émettre ou recevoir dans le prolongement de son axe.

Figure 9. Taille maximale de l'antenne, en unités logarithmiques 1 2nw L , fonction de la

distance focale réduite r L , pour laquelle les approximations sont valides. En rouge et bleu : approximation quadratique wQ Traits pleins : focalisation axiale (39) ; Tirets : selon la direction de focalisation la plus défavorable m 35° (37), avec (34). Courbes rouges : calcul exact de wQ ; Droites bleues : asymptotes (38) (39) Trait vert : approximation linéaire sur l’axe , 0w (59)


Comparaison avec les premiers termes omis du développement. 3.4

Le développement jusqu'à l'ordre 4 de la différence de marche

2 2 51sin cos

2E u u O u , (41)

montre que les deux premiers termes omis conduisant à l'approximation quadratique (9) s'écrivent :

3 2 4 2 21 1cos sin cos 1 5sin

2 8Q u u . (42)

On évalue ici l'impact d'une analyse de validité de l'approximation quadratique fondée sur cet écart Q

(voir Fig. 10), et non sur l'écart réel Q . L'influence respective des termes aux troisième et quatrième

ordres entre en compétition en fonction de l'angle de focalisation. La résolution de cette difficulté ne rend

d'ailleurs pas particulièrement attractive l'évaluation fondée sur Q plutôt que celle sur Q .

Sur l'axe, seul le terme en u4 du développement apporte une contribution. En cohérence avec (21), on retrouve bien pour les abscisses sur l'antenne qui sont petites par rapport à la distance focale (Fig. 11) :

4

0 00lim

8Q u Q

uu

. (43)

Lorsque u augmente, l'écart Q estimé avec le développement croit plus rapidement que l'écart réel Q .

Figure 10. Cartographie polaire ,Q u dans le domaine ( 3.5u ) des deux premiers termes omis

dans le développement de la différence de marche µE (couleurs identiques à celles de Fig. 6a)

Valeurs hors échelle non représentées) ; trace 4,

3 bu

des zéros (en gras) et trace

,bu des minima (tirets), avec pour asymptote commune arcsin 1 5 .

Trace des coupes à = π/10 et = π/4.


Figure 11. Focalisation axiale. Ecart 0Q u

introduit par l'approximation quadratique (trait bleu),

et terme à l'ordre 4 omis 0

Q u

dans le développement de la différence de marche µE (tirets rouges).

Plus généralement, on constate que quel que soit l'orientation du point focal, les premiers termes omis dans le développement quadratique surestiment l'écart réel des différences de marche dès que l'abscisse u

devient assez grande (Fig. 12). Le mode end fire array est une exception : l'écart estimé Q est nul quel que soit u, alors que l'écart réel n'est nul que pour 1u (17).

Figure 12. Ecart Q u introduit par l'approximation quadratique (trait continu bleu),

et somme des termes aux ordres 3 et 4 omis u dans le développement

de la différence de marche µE (tirets rouges), pour différentes orientations du point focal.

L'excursion maximale Q de l'écart Q sur l'antenne est étudiée de façon similaire à l'écart Q calculé

avec la différence exacte (16). Cette analyse fait apparaître la racine bu de la dérivée

2 2 2d 1

cos 1 5sin 3sind 2

p u uu

(44)

avec 2

3sin

1 5sinbu

. (45)

(a) (b) (c)


Il vient finalement

31 1 2

3 4 41 2 2 1 1

2 2 sin cos

12 1 5sin cos 4 2 3 2

24

Q b

Q b b b

r L u r L

u r L r L u r L u

. (46)

ce qui conduit, avec la condition équivalente à (32), à construire l'abaque Fig. 13b selon :

2

2

33 2

3 42 4 4 2 2

2

sin cos

2 1 5sin

1 1cos 27 sin sin 1 5sin 1 5sin

2 16

Q l

Q l

w

w

(47)

avec 2

1 1 5sin2

6sinl bu

(48)

Figure 13. Limites de l'approximation quadratique (voir légende Fig. 8). a) calcul exact, i.e. agrandissement de la Figure 8 près de l'origine. b) exploitation des 2 premiers termes omis du développement.

Sur l'axe 10l

, c'est la seconde formule de (47) qui s'applique, et l'on retrouve bien en cohérence

avec (39)

310 32 lim 0Q Qw w (49)

En mode end fire array, la seule analyse des deux premiers termes omis du développement de E

conduit à faire croire que l'approximation quadratique est toujours vraie, i.e.

1

2 0Qw

, (50)

(a) (b)


alors que le calcul rigoureux (40) montre qu'il existe un écart lorsque 1 2 (condition "exotique" où le point focal est localisé sur l'antenne).

La transition entre les deux modes de calcul (47) fait apparaître une bande limitée par la ligne 021 5sin 6 1 6l y

, comme dans le calcul exact. Il y a aussi un autre petit domaine couvrant

l'intervalle angulaire complémentaire arcsin 1 5 27 , 2 : une extrémité de sa frontière est

l'origine ; l'autre extrémité est le point de coordonnées cartésiennes 0, 2 3 .

Pour une distance de focalisation donnée, la direction qui réduit au maximum la taille de la plus grande antenne admissible (en longueurs d'onde) s'obtient en cherchant la racine de :

d 10 tan

d 2m

Q l

m

w

35m (51)

ce qui est correspond à l'asymptote de la formulation exacte (37). On a sur cette ligne en cohérence avec (38) :

23 3Q mw (52)

Les tailles maximales d'antenne obtenues par ce calcul, en focalisation axiale 0 ou selon la

direction la plus défavorable m sont donc les asymptotes des courbes déjà présentées Fig. 9. On

constate que les valeurs issues du calcul exact sont très proches du calcul asymptotique dès que 1 . C'est aussi vrai pour toutes les autres directions. D'autre part, on a vu (voir (37)(51)) que le changement de

formule s'effectue approximativement alors sur la limite 1 6y , i.e., dès que 21 5sin 1l . Ceci

justifie les approximations proposées suivantes (Fig. 14a) :

2 3

2 2

3

4 2

2 21 6

sin cos cos

21 6

1 127 cos

2 16

Q yy

Q y

y y

w

w

avec 1 et (53)

On peut vérifier effectivement Fig. 14b que ces expressions simplifiées (53) donnent une excellente approximation des valeurs exactes (34). C'est seulement à grande proximité de l'antenne que (53) devient

trop conservatif en paraxial Q Qw w , et trop optimiste aux forts dépointages Q Qw w


Figure 14. Limites de l'approximation quadratique (voir légende Fig. 8).

a) calcul simplifié Qw (53)

b) calcul exact wQ (34) et écart relatif Q Q Qw w w .

Limites en traits noirs : 10% (pointillés), 20% (tirets), 50% (continu).

Conclusion 3.5

En mode axial, la limite de validité de l'approximation quadratique est élémentaire à établir. Elle est simplement dictée par le premier terme omis (43), au quatrième ordre, du développement au second ordre. Pour un dépointage et une distance de focalisation suffisants, il est plus ou moins intuitif de quantifier la limite de validité en s'appuyant sur le seul terme du troisième ordre (premier terme dans (42)), puisque le terme suivant devient en comparaison négligeable. La transition entre les deux régimes est toujours restée dans le flou. Pour des situations plus exotiques (focalisation dépointée en zone très proche), la rigueur de l'analyse de validité fondée sur ces premiers termes omis devient douteuse.

Nous avons effectué ici une analyse fondée sur le même critère que celui qui est implicitement usité ailleurs, à savoir l'excursion maximale sur l'antenne de l'écart entre les différences de marche exactes et approchées. Mais en se conformant ici strictement à ce critère, on a établi rigoureusement les équations (34)(35)(37)(39)(40) avec lesquelles sont construits les abaques et courbes présentés Figs. 8-9 et 13a. Sur le plan pratique, il suffit donc de se reporter à ces figures. On a aussi montré que ce modèle peut être simplifié avec (53), qui traite notamment la zone de transition paraxiale (Figs. 13b et 14a). Le biais introduit par ce modèle est quantifié (Fig. 14b).

(a) (b)


4. Approximation de Fraunhofer

Avec l'approximation de Fraunhofer, la courbure des fronts d'onde incidents est négligée. L'estimation des différences de marche se réduit au terme linéaire en u qui dicte le dépointage dans la direction :

sinu . (54)

L'écart à la solution exacte s'écrit :

2

2 2 2

1 sin 1 2 sin

1 sin 1 sin cos 0

E u u u

u u u

. (55)

ne s'annulant que pour 0u . La variation de cet écart le long de l'antenne s'obtient avec :

2

sinsin

1 2 sin

u

u u u

d 00

d

u

u

, et

0

dsgn sgn

du

u

(56)

L'amplitude de l'écart sur l'antenne est donc donnée par l'opposé de l'écart (négatif) à une extrémité, l'écart étant maximal et nul au centre. Pour connaître l'extrémité à utiliser, le calcul est identique à (29)-

(30) puisque 0Q Qu u u u , soit u u . Mais on a ici

0u . C'est donc l'extrémité située du côté du dépointage qu'il faut conserver, soit

21 1 1 1

1 1

0 2 1 2 sin 1 2 2 sin 2

avec 0,1 et cos 2, sin 2y

r L r L r L r L

SU SU S U r L r L

. (57)

A noter qu'on retrouve en mode end fire array le même comportement, au signe près, que celui de l'écart

Q dans l'approximation quadratique, i.e. 1 12 1 2 1 2r L r L qui présente une solution

de continuité de la pente en 1 2 1r L (voir tirets verts Fig. 6b).

En reprenant les notations précédentes, on a ici la cartographie (Fig. 15) définie selon :

2

2

4 4 sin 1 2 sin2

2cosw

, (58)

et (40) quand 2 . On a en particulier sur l’axe (Fig. 9)

1120 1 1 4 2w

. (59)

(On note la singularité à l’origine 10 0.5 1 sinw

)

Dès que est suffisamment grand, l'extrémité choisie pour le calcul n'est plus différenciée avec la simplification

2

21

cosw

(60)


C'est aussi l'estimation obtenue en fondant le calcul sur le premier terme omis du développement, i.e. le terme du second ordre dans (41).

Figure 15. Limites de l'approximation de Fraunhofer (cf. légende Fig. 8). Sur l’axe = π/2, les lignes de contour s’accumulent toutes sous l’ordonnée y = ½. Le point d’une ligne de contour le plus éloigné de l’origine est à l’ordonnée y = ¼., où w = 2.

Les lignes de contour s'expriment explicitement

21 1cos sin

2 4w

w

(61)

où l'on retrouve bien (40) en mode end fire array

11 1 1

2 12 4 2

w

w

(62)

et sur l’axe

11 1

02 4 2

w ww

w

(63)

La direction pour laquelle l'approximation de Fraunhofer est la plus défavorable détermine une ligne parallèle à l'axe Ox, d'ordonnée 1/4 :

0w

d

d

sin 1 2w sin 1 4 , (64)

et l’on a exactement sur cette ligne

2y w (65)


Autrement dit, on a à distance fixe la cartographie w(, ) 2, l’égalité étant à l’ordonnée y = 1/4. On notera cependant que les lignes de contour sont quasiment perpendiculaires à l'axe Ox dans la région paraxiale dès que dépasse quelques unités, i.e. (65) s’identifie à (59).

Les contours à dimension w constante d'antenne ne sont pas évidemment pas des arcs de cercle centrés à l’origine, en contradiction avec la conclusion de W.G. Rees, The validity of the Fresnel approximation, Eur. J. Phys. 8, 44-48, 1987).

L'approximation (60) est plus connue sous la forme dimensionnée définissant la distance :

2cos

2F

LD L

, (66)

qui met logiquement en évidence l'ouverture apparente cosL de l'antenne vue depuis la direction . C'est d'ailleurs parce que cette ouverture apparente se réduit jusqu'à devenir nulle en s'approchant de la direction end fire array que le domaine de validité de l'approximation de Fraunhofer s'étend jusqu'à proximité de l'antenne dans cette direction.

Figure 16. Zones où les approximations (9) et (54) sont pertinentes. Exemple d'une antenne de longueur 32L ( 32w , soit 5n avec 1 sur les autres figures).

L'approximation du second ordre (9) est toujours (largement) meilleure que l'approximation de Fraunhofer (Fig 16). Pour s'en convaincre, il suffit de comparer (60) et (53) (avec 1 6y ) :

2

2 2

2 2

cos sin cosQw w

(67)

Quand l'approximation de Fraunhofer est valide, l'approximation quadratique l'est toujours aussi, bien que l'application de celle-ci soit alors à éviter (car plus coûteuse). La portée maximale du domaine d’exclusion de l’approximation quadratique stricte est atteinte dans la direction 35°. Sur l’axe ( = 0°), l’approximation de Fraunhofer est valide à partir de = w/2.

2 2r L


5. Autres approximations quadratiques

Approximation axiale 5.1

En figeant la courbure sur celle qui correspond à une focalisation axiale, l'approximation quadratique devient :

21sin

2X u u . (68)

En régime harmonique, cela revient à reconstruire un point cos , sinF Fx r y r en considérant

l'évolution de phase sur l'antenne donnée, à une constante près, par

2

,F F

Fx y

y yy

r

. (69)

La démarche suivie est identique à celle des sections précédentes. On exprime d'abord l'évolution de l'erreur sur l'antenne

2

2 2

2

2sin1 11 sin 1 2 sin 0

2 2 1 1 2 sinX X E

u uu u u u

u u

. (70)

On observe notamment un minimum nul en 0u . La dérivée est négative pour 0u .

2 2

sin 2sin

1 1 2 sin 1 2 sin

Xu u u

u u u u u

. (71)

On a encore 0X X Q Qu u u u ((29)-(30)), i.e., X Xu u . Avec (68),

l'amplitude de la variation de l'écart sur l'antenne est donc systématiquement obtenue avec l'écart à

l'extrémité de l'antenne opposée à la direction visée, i.e. 1 2X X r L . La cartographie des tailles

d'antenne maximales en découle directement (Fig. 17) :

222 4 4 sin 1

24 sin 1Xw

(72)

A portée constante, on vérifie que la cartographie wX est décroissante en :

sgn 0xw

(73)

La solution sur l'axe est identique à (39), i.e., 0 0X Qw w ( 332 quand 1 ). En mode end

fire array, (72) devient simplement :

2 2Xw (74)


Figure 17. Limites de l'approximation axiale (68). (voir légende Fig. 8).

La situation est maintenant très différente de l'approximation quadratique stricte (9). Il devient plus avantageux d'appliquer simplement l'approximation de Fraunhofer dans des directions suffisamment hors axe, qu'effectuer une focalisation avec une courbure qui n'est adaptée que pour la région paraxiale. Pour quantifier la limite optimale entre les deux régimes, l'égalité entre (72) et (60) entraine

2sin

4 cos sin

avec 4 (75)

La norme est une fonction croissante de , avec déjà 43 3.4 . La diagonale 4 est donc une

excellente approximation des intersections entre les deux réseaux de courbes. Sur la diagonale, on a ainsi

4w w (76)

Considérant une antenne de directivité w-1 donnée, l'approximation (68) n'est donc pertinente que dans le domaine limité latéralement par la courbe (72), puis la condition de Fraunhofer (60) 2cos 2w dont

l’intersection avec (72) se situe à 45° à la portée = w/4. Sur l’axe Ox , l’approximation n’est pertinente

qu’entre l'abscisse 3 32w (39), la limite = w/2 (Fig. 18).


Figure 18. Zones où les approximations de Fraunhofer (54) et quadratique (68) sont pertinentes. Exemple d'une antenne de longueur 32L ( 32w , soit 5n sur les autres figures). Ici, l'approximation quadratique avec focalisation axiale est pertinente sur l'axe entre les portées 1 et 16 , et la limite à 45° est à la portée 8 .

Approximation de Fresnel 5.2

5.2.1 Domaine de validité

L'approximation de Fresnel est une approximation paraxiale adaptée au traitement analytique par plans, i.e. à xF constant (e.g. W.H. Southwell, Validity of the Fresnel approximation in the near field, J. Opt. Soc. Am. 71, 7-14, 1981). Un point ,F Fx y est reconstruit en considérant l'évolution de phase sur l'antenne

donnée, à une constante près, par

2

,F F

Fx y

F

y yy

x

, (77)

Avec les notations précédentes, cette approximation s'écrit

2

tan2cosF

uu

. (78)

2 211 tan 1 2 sin

2cosF F E u u u u

. (79)

On constate d'une part que 0 0F u . D'autre part, le changement de variable

sin

cos

uq

22 2

2

1 cos 2cos 1cos 2 1

2 cosF q q

(80)


permet d'accéder simplement à la dérivée

3

2 2

d cos

d 1 1 1

F q

q q q

dsgn sgn

dF q

q

, (81)

qui ne s'annule qu'en 0q . Au minimum de F, on a :

21 cos

sin 02cosF u

(82)

De plus, 2 tan sin 0F F Q Qu u u u u donc F Fu u .

En résumé, on a

1 1 1

1 1

0 2 sin 2 2

2 sin 2 sin

F F F

F F F

r L r L r L

r L r L

(83)

ce qui donne finalement la cartographie :

2 2

22

4

1 11 2

2 2 tan 4 4 sin 1 4 4 sin 1

2 cos 2 cos 4 4 sin 11 2

2 sin 1

F y

F y

w

w

(84)

avec les courbes de niveau présentées Fig .19, à comparer avec Fig. 18. La limite axiale est identique à (39), i.e. wQ 323. Le mode end fire array n’est jamais valide puisque 2 0Fw . Pour 1 2y ,

on a aussi explicitement

2

2 2

1

2 sinF

t t

t

avec 1

tan4

tw

(85)

dont les directions asymptotiques sont telles que t = sin, soit

11 32w w

(86)


Figure 19. Zones où les approximations de Fraunhofer (54) et quadratique (78) sont pertinentes. Exemple d'une antenne de longueur 32L ( 32w , soit 5n sur les autres figures).

Comparée à l'approximation quadratique (68), la direction du dépointage dictée par le terme linéaire de l'approximation de Fresnel (78) est biaisée. En termes de reconstruction d'image, cela signifie simplement que celle-ci subit une distorsion. Lorsque est inférieur à 4 , la direction effective du dépointage n'est

pas cet angle , mais un angle tel que

sin tan

3

2 2 2

sintan

2 1 cos cos cos sin

(87)

L'erreur est nulle sur l'axe ( = 0 = 0), mais croît jusqu'à = π/4 lorsque = π/4 (Fig. 20). La distorsion reste faible tant que ne dépasse pas 15°, voire 30°, mais devient très importante au-delà.

Figure 20. Défaut de dépointage () introduit par l'approximation de Fresnel

5.2.2 Compensation du biais angulaire

Si l'on écarte ce problème de distorsion, la pertinence de la reconstruction avec l'approximation de Fresnel (77) doit être testée en compensant le biais du dépointage avec le développement suivant :


2

2' sin 1 sin

2F

uu , (88)

sachant que l'angle ne doit alors dépasser une trentaine de degrés. Il vient ainsi

2 2 2' '

2

2 2

2

11 sin 1 sin 1 2 sin

2

1 2sin1 sin 1 0

2 1 1 2 sin

F F E u u u u

uu

u u

. (89)

dont le comportement est très proche de celui de (70). On a ' ' 0F F Q Qu u u u

((29)(30)), et

2'

2

d sin1 sin sin

d 1 2 sinF u

uu u u

'd

0 0d

F uu

(90)

Les propriétés ' 0F , ' 0 0F u , ' 'F Fu u et 'd0 0

dF u

u

montrent ainsi que

l'amplitude de la variation de l'écart sur l'antenne est encore systématiquement obtenue avec l'écart à

l'extrémité de l'antenne opposée à la direction visée, i.e. 1' ' 2F F r L . Les contours sont très

proches de l’approximation axiale wX (72) :

' 2

2

sin1

2 1 1 sin

XF

X

ww

w

, (91)

la solution sur l'axe 0 étant identique aussi à (39), i.e., 'F X Qw w w .

6. Coefficient du second degré indépendant du dépointage

Domaine de validité 6.1

6.1.1 Introduction

On fige la direction 0 dans le coefficient du deuxième degré de (9) :

2 20 0

1sin cos

2u u . (92)

Cette approximation est indépendante du signe de 0 . Dans la suite, on considère que 0 0 . La

focalisation axiale (68) correspond à 0 0 , alors que l'approximation de Fraunhofer correspond à

0 2 . L'interprétation de l'angle 0 en tant que direction de point focal est ainsi source de confusion. Il

vaut mieux interpréter l'approximation (92) comme une altération de l'approximation quadratique stricte (9) en associant au point focal ,r une distance focale modifiée du facteur 0cos cos .

L'écart à la solution exacte s'écrit :


2 2 2 1 2 40 0 0 1 2 0

1 11 sin cos 1 2 sin cos

2 4E u u u u D u u u u u . (93)

avec 22 2 2 20

1cos 1 sin 1 sin cos 0

2D u u u u . (94)

et

01 2

0

02 2

0

sin sin2

cos

sin sin2

cos

u

u

. (95)

0 1 2sgn sgn u u u u . (96)

0 s'annule en 0, 1u et 2u . A noter que 1 2u u et 20 u , mais que 1 0sgn sgnu . D'autre part,

0 0u u puisque 0 0 0Q Qu u u u (cf. (29)(30)). Pour suivre les

variations de 0 , on calcule la dérivée

2 2

000 2

cos sin 1 2 sin sin

1 2 sin

u u u udp

du u u

. (97)

Elle s'annule à l'origine, et la plus grande racine non nulle xu telle que 1 2max 0, xu u u s'écrit

202

0

2 22 2 20 0

3 33 2 2 20 0

21 cos sin cos

3cos

1 sin cos 1 2cosavec

1arccos sin où 1 sin cos 1 2cos

3

xu A

A

A g g

. (98)

dont quelques valeurs remarquables sont

0

0

0 2sin

4 2 sin cos 6 3

x

x

u

u

et

2 20 0 0

20

0 sin 1 cos cos

2 2 cos

x

x

u

u

(99)

A noter aussi que ux est une fonction strictement croissante de et de 0 , i.e., 0xu et 0 0xu .

Dans la suite, on a besoin de l’angle d’observation pour lequel l'abscisse positive xu où l'écart 0 est

minimal (i.e., 0xp u ) est égale à l'opposé de l'abscisse négative 1u où l'écart est nul (i.e., 0 1 0u ).

Cet angle 0x est donc solution de 1 0xu u quand 1 0u . Il n'est pas possible d'obtenir une

formulation explicite. L’étude de la fonction 0x montre cependant que celle-ci est strictement

croissante. Elle est nulle à l’origine avec une pente valant exactement 1/6. A l’autre extrémité, 0 2 asin 1 3x , et la pente est nulle. On a établi la forme empirique suivante, compatible avec

les éléments issus de l’analyse (Fig. 21) :


2 20 0

0 02 3 2

0 0 0 0 0

1 1arcsin sin cos

3 6sin

cos cos cos sin cos

avec 0.01717, 0.04987, 0.1565, 0.1172.

x

. (100)

L'erreur maximale est limitée à 3.8 10-3 degrés, avec un écart moyen de l'ordre de 1.7 10-3 degrés

Figure 21. Angle d'observation x(0) solution de ux + u1 = 0 (100).

6.1.2 Zones de calcul

6.1.2.1 Présentation générale

Il apparait donc trois configurations, illustrées Fig. 22, du calcul de l'amplitude 0 de l'écart 0 sur une

antenne de longueur réduite 1 1r L :

1 10 0

11 0 1 0

1 10 1 0 0

1 10 1 0

1 1 10 1 0 1 0 0

1 10 0 0

10 1

0 1

2 2

0 2 '

2 2 '

2 2

0 2 2 2

2 2 '

2

0

x

x x x x

x

x x x

x x

x

u A

u u u u u A

u u B

u A

u u u u B

u u B

u

u u

10

1 1 10 1 0 0

1 10 0 0

2

2 2 2

2 2 '

x

x x

C

u u B

u u B

. (101)


Figure 22. Ecart 0 u en fonction de la position sur l'axe y, avec 0 6 . Alors, 0.065 2x .

a) 10x x ; b) 0 00.8 0.2x x

; c) 0 00.47 0.53 2

On peut ainsi définir les limites remarquables suivantes

1

21 0

1 10

2

cos2

4 sin sin

x xu

u

(102)

où la formulation explicite de x n’est accessible que dans certains cas particuliers avec (99).

Les domaines de calcul se répartissent ainsi :

1

1

0 1

1

0 1

1

: Cas B'

: Cas A'

: Cas A

: Cas B'

: Cas B

: Cas A

: Cas B'

: Cas B

: Cas C

x x

x

x

x x

x

x

(103)

La portée x détermine la frontière entre les zones A’/A ( x) et B’/B ( x). La portée 1 détermine la frontière entre les zones B’/A’ ( x) et B/A (x 0), ou entre les zones B/C ( 0).

(a) (b) (c)


Figure 23. Zones de calcul dans le plan réel réduit , , avec a) 0 8 ; b) 0 4 ; c) 0 3 8 .

Le modes de calcul de l’amplitude de l’écart sur l’antenne s’établit ainsi en fonction de la zone

A : opposé de l’erreur sur l’antenne à l’extrémité côté dépointage

A’ : opposé de l’erreur maximale en un point de l’antenne situé dans la moitié côté dépointage

B : différence entre les erreurs aux extrémités de l’antenne

B’ : différence entre l’erreur maximale en un point de l’antenne situé dans la moitié opposée au dépointage, et l’erreur à l’extrémité de l’antenne côté dépointage

Zone C : erreur sur l’antenne à l’extrémité opposée au dépointage

6.1.2.2 Transitions des zones de calcul B’/A’/A sur l’axe = 0

Seules les configurations A, A’ et B’ sont applicables sur l’axe = 0 (puisque x). Les abscisses des

transitions sont données respectivement par ' ' 1x

B A et 'x

A A x , soit d’après (99)(102) :

2 2

0 0' ' ' 2

0 0 0

cos cos

4sin 2sin 1 cos

x xB A A A

' ' 2

0

'

1 2 1 cos 2 1x

B A

xA A

, (104)

Lorsque la portée augmente depuis l’origine (à angle 0 constant), on balaie successivement et dans cet ordre les zones B’, A’ et A. Il existe deux cas limites, pour lesquels ne reste qu’une seule zone de calcul :

0 0 1 11 2 0x . Le calcul s’effectue en zone B’ sur toutes les portées. On retrouve la

cartographie sur l’axe (39) de l’approximation quadratique stricte (ou axiale, ou Fresnel).

0 2 12 0x . Le calcul s’effectue en zone A sur toutes les portées. On retrouve

l'approximation de Fraunhofer sur l'axe (59).

On peut aussi préciser les limites des zones de calcul sur l’axe = 0 en fonction de 0 :

(a) (b) (c)

K

1

1

x


2 21 0

2 2 20 1

2 20

( ') cos cos 1

' cos cos cos

0 cos cos

x

x

B

A

A

avec

2 21 1 12 2

2 1cos cos

1 1 4 1 4x

(105)

Ceci met en évidence qu’un point de l’axe à portée fixée appartient successivement et dans cet ordre aux zones B’, A’ et A lorsque 0 évolue depuis 0 jusqu’à π/2.

6.1.2.3 Transitions des zones de calcul B’/B/C sur l’axe = /2

Seules les configurations B’, B et C sont applicables sur l’axe = π/2 (puisque 0). Les abscisses des transitions sont données respectivement par 'B B x et 1B C , soit d’après (99)(102) :

2

0'

cos

4y

B B

et 01 sin

4y

B C

'

10

4y

B B , 'y y

B B B C et 1 1

4 2y

B C . (106)

Il existe toujours sur l’axe = π/2 une zone C dont l’ordonnée de la limite inférieure est comprise entre ¼ et ½. La limite supérieure de la zone B’ est toujours inférieure à ¼ (cette zone disparait pour 0 = π/2). La zone B contient donc toujours l’abscisse ¼ (elle disparait à cette abscisse pour 0 = 0).

ux étant une fonction croissante de , x est une fonction décroissante de (à 0 donné). Tout arc correspondant à une portée telle que l’extrémité sur l’axe = 0 est en zone A, a donc nécessairement son extrémité sur l’axe = /2 en zone B ou C.

6.1.2.4 Axe = 0 (transition B’/B)

Seuls les cas B’ et B s’appliquent 11 0 . La transition s’effectue en 0x

6.1.2.5 Point de rencontre K entre les zones A, B, A’, B’

Ce point se situe dans la direction x au point ,K xK avec

20

10

cos

4 sin sinK xx

(107)

Ce point présente un intérêt à plusieurs titres : 1) un arc de portée ne peut traverser à la fois la zone B’ et la zone A, la portée K déterminant laquelle de ces deux zones est traversée ; 2) la zone A’ ne dépasse pas en ordonnée celle du point K. Cette ordonnée vaut

20

0

sin cos

4 sin sinx

yx

K

(108)

La pente 0xd d vaut exactement 1/6 à l’origine (x = 0 = 0), donc

0

200 0 0

0 0

6 10 lim cos

4 6 20yK

(109)

On peut d’autre part vérifier que


0 2 0yK et 0 2 asin 1 3 0y xK (110)

En fait, l’ordonnée Ky est une fonction strictement décroissante de 0 et de x (Fig. 24). L’ordonnée du point K reste donc toujours inférieure ou égale à 1/20.

Figure 24. Ordonnée Ky du point de rencontre entre les zones A, B, B’, A’, fonction de 0 et x.

6.1.2.6 Ordonnée y = ¼ (transition B/A)

La zone A’ n’est pas concernée puisqu’elle ne dépasse pas l’ordonnée 1 20yK . La zone C est

entièrement située au-dessus de l’ordonnée 1 4y , ne touchant cette cote que sur l’axe = /2 lorsque

0 = 0. La ligne parallèle à l’axe = 0, d’ordonnée 1 4y , ne coupe donc que les zones B et A. La

transition s’effectue au point 1,P PP , soit

2

0

0

1 cos

4sinP

et 0

20

sinsin

1 cosP

0x P

20

0

3 cos

4 tan

1 4

x

y

P

P

(111)

En comparant avec (104), on constate que

'x

P A A . (112)


Résultat 6.2

22 2

0

' 22 2

0

2 2

' 1 1'

22 2

0

2

sin 2 4 4 sin 1

2,

sin 2 4 4 sin 1

1 1

2 4 4 sin 1 4 4 sin 1 2sin

1

2

2 4 4 sin 1 sin

a

x x xa a x

x x x

b

ba c

c a

w

w w

w

ww w

w w

. (113)

Figure 25. Limites de l'approximation quadratique (cf. légende Fig. 8) avec un dépointage hors axe. Haut 0 = π/4. Bas 0 = π/8. Voir aussi Fig. 17 (0 = 0) et Fig. 15 (0 = π/2)


6.2.1 Sur l’axe ( = 0)

20

212 2

0

20

40

1 21 2 22 2

00

cos' :

2 1 cos 1 4

cos' :

2 sin

2 2:

sin 2 1 42 1 1 4 cos

B w

A w

A w

(114)

Lorsque 0 = 0, le calcul s’effectue en zone B’ sur tout l’axe = 0 (Section 6.1.2.2). On retrouve la cartographie sur l’axe (39) de l’approximation quadratique stricte (ou axiale, ou Fresnel).

2

13 2 30

10, 0 8 1 1 4 32w

(115)

Lorsque 0 = π/2, le calcul s’effectue en zone A sur tout l’axe = 0. On retrouve l’approximation de Fraunhofer (59) sur l’axe

120

10, 2 1 1 4 2w

(116)

Hormis ces cas limites, on a aux transitions

313 2

1 1 131

221 13 2 2

3

2'/ ' 16 1 1 4

sin

1 cos'/ 8 1 1 4 1 4

sinx

x x x xx

B A w

A A w

(117)

A angle 0 constant, on a l’évolution suivante de w en fonction de la portée sur l’axe = 0 :

' : 0, ' : 0, : 0w w w

B A A

(118)

6.2.2 Dans le prolongement de l’antenne ( = /2)

20

2 2 40 0

20

2 cos'

16 sin cos

1

4 1 2

2

cos

B w

B w

C w

(119)

A angle 0 constant, w(, = π/2) est une fonction croissante de . On a aux transitions


20

10

1'/ :

2 1 sin

1/ :

2 1 sin

xB B w

B C w

(120)

Avec 0 0 , la zone B disparait, mais w s’exprime de la même façon sur les zones B’ et B. On retrouve

l’approximation axiale en mode end fire array (74), i.e.

02, 0 2 2Xw w (121)

Avec 0 2 , c’est la zone B’ qui disparait 10, 1 2x . On retrouve l’approximation de

Fraunhofer (40) en mode end-fire array

1

11 2

4 1 2

1 2 0

w

w

1 1

12 4w

(122)

On peut aussi expliciter (106)(120) pour donner les portées dans le prolongement de l’antenne où est cartographié une antenne w :

20

2 2 20 0

200

20

0

cos1'

2 1 sin 1 1 16 sin

1 1 1 11

2 1 sin 2 42 1 sin

1 1cos

2 1 sin 2

wB w

w

B ww

C w w

(123)

et aux transitions

20

20

20

0 0

cos1'/

42 1 sin

cos1/

2 1 sin 4 1 sin

B B w

B C w

(124)

En excluant les très petites antennes, seuls subsistent les deux derniers cas qui s'expriment ainsi

0

20 0

1 1 1, sin 1 1

2 2 2 41

2 1 1, sin 1 cos

2 2 2

w

w

Bw w

w

C ww

(125)


6.2.3 Evolution de w(), à portée et angle 0 constants

6.2.3.1 Zone A

Considérant la cartographie wa effectuée avec la formule en zone A, on a

2

2 2

2 cos 4 sin 1sgn sgn 4 sin 1

2 4 4 sin 1 4 4 sin 1

aaww

(126)

A portée constante, wa est minimale à l’ordonnée

1 4y . (il faut donc 1 4 ) (127)

Cette ligne parallèle à l’axe = 0 traverse exclusivement les zones B et A (cf. Section 6.1.2.6). Si P

(111), alors 1 4a yw définit un minorant effectivement atteint dans la zone A :

min 20

2

sina Pw

. (128)

Si Q P , l’arc de portée coupe la ligne y = ¼ en zone B. Le minorant de la zone A est plus

grand que (128). C’est la valeur min 1a aw w atteinte à la frontière avec la zone B. Avec (102) où

0 > , la direction de cette intersection est donnée par :

2

01 0

cossin sin

4

. (129)

22 2 20 0 0 0

min 2 20 0 0

4 2 sin cos 2 sin 2cos

cos 4 sin cosa Q Pw

. (130)

Lorsque Q , l’arc ne passe plus par la zone A.

6.2.3.2 Zone B

Le calcul en zone B est indépendant de 0. Il s’identifie au calcul effectué dans le cadre de l’approximation quadratique stricte wQ( > l) (34), i.e., hors de la bande centrale limitée par l’ordonnée

1 6y . On rappelle qu’une excellente approximation est donnée par (53)

2

2

2

sin cosbw

. (131)

Les variations avec ont été étudiées (cf. (36)–(38)), montrant que le minimum 2min 3 3bw se situe

dans une direction proche de min 35°.

6.2.3.3 Zone C

0cw . (132)


7. Optimisation de l’approximation quadratique

On cherche à réduire le nombre d’opérations pour constituer des images avec un réseau linéaire. Sur ce plan, l'approximation quadratique stricte (9) n'est pas économique : elle impose toujours un calcul spécifique pour chaque point image. A cet égard, l'approximation axiale (68) est très avantageuse, puisque la courbure (terme quadratique) n'est à calculer qu'une seule fois par portée (signaux synchrones), le dépointage (terme linéaire de l'approximation) étant traité dans un second temps. En revanche, l'utilisation de la courbure associée à une focalisation axiale limite l'extension latérale de validité de la méthode. Tout en conservant le principe d'un terme quadratique constant tel qu’avec (92), la question soulevée ici est l'optimisation de l’angle 0 en fonction de la portée pour élargir au maximum le domaine angulaire de

validité. Cette optimisation est d’abord réalisée selon une approche purement numérique (Section 7.1). Des règles simples apparaissent pour les antennes qui ne sont pas très petites (w > ½), et lorsque la portée est suffisante ( > 1). La justification analytique de ces règles est présentée Section 0.

Méthode numérique 7.1

On construit d'abord une cartographie 3D de 0, ,w . Figure 26 en donne une représentation avec

les nappes correspondant à quelques valeurs de w sur une portée limitée au domaine [2-1, 26], et une coupe à = 4, avec des courbes de niveau selon 2logn w . Pour une dimension particulière w d’antenne,

on détermine ainsi les intersections de la nappe correspondante (Fig. 27) avec la portée. L’analyse de ces

coupes (Fig. 28) permet d'établir les valeurs 0 optw qui donnent la plus grande plage d'ouverture

maxw possible (Fig. 29).

Figure 26. gauche) Nappes 2 0log , cos ,w pour n = log2w entre 0 à 9 ; droite) coupe à = 4.


Figure 27. Nappe w(log2 ,0,) = 80.

Figure 28. Coupes de la nappe w = 80 (Fig. 27) calculées pour aux distances suivantes : = (2), 3.6, 10, 20, 30, 40, 60, 80-. On peut vérifier que = 20, 0 = 30° valide le domaine 0, 40 ,

= 45, 0 = 45° valide le domaine tout le domaine 0, 90 ,

= 60, 0 30 , 60 valide le domaine tout le domaine 0, 90 ,

> 80, n’importe quel 0 valide tout le domaine 0, 90 .


Pour très petit (< 1), il n’y a pas de solution. Sur la zone suivante, l’angle optimal 0 appartient à une

plage dont la borne inférieure n’est pas nulle. Sur la plage suivante 3.4 4w , il n’existe qu’une

valeur optimale 0 optw validant la formation d’images sur une plage max0, . Dans la domaine

4, 2w w , la valeur optimale de 0 peut évoluer dans un domaine 0 min 0 max,w w dont la

largeur augmente avec . Pour 2w , le choix de 0 est indifférent puisque le domaine devient 0, 2. Autrement dit, il vaut mieux ne plus appliquer du tout de courbure (dépointage pur, avec 0 2 ).

Figure 29. Optimisation de 0, et largeur max résultante, pour w = 80.

noir : max ; bleu : 0 min ; rouge : 0 max ; vert : 0 opt 0 min 0 max,

(0 opt est la plupart du temps confondu avec 0 max) en haut : courbes en coordonnées polaires , ; en bas : ()

gauche : jusqu’à = 64 ; droite : agrandissement de la zone 8.


En choisissant systématiquement la limite supérieure 0 maxw , sauf exception en zone proche (où est

inférieur à quelques unités), on constate que 20 maxcos w est quasiment linéaire avec la portée (Fig. 30).

En fait, l’ordonnée du minima en zone A étant constante (1/4), il apparait que l’angle optimal 0 correspond approximativement à la valeur maximale qu’il peut prendre sur l’axe 0 (calcul en zone

A). Ainsi, en reprenant la troisième solution (cas A) de (114), on obtient :

2 1 2 10 opt 0 opt 1

1

cos 1 2 sin 2aw w

, (133)

2 1maxsin min 1, 4w (Calcul en zone C). (134)

Figure 30. Evolution de 8020 maxcos w avec 80L .

Figure 31. Limite de validité des différentes approximations (pour w = 80) (agrandissement à droite). rouge : quadratique strict ; vert : optimisé (tirets noirs : 0) ; bleu : axial ; noir : Fraunhofer.

On remarque sur la vue agrandie que l’approximation optimisée, avec 0 0, permet une focalisation axiale à une portée plus courte que l’approximation quadratique stricte !

2 6

55

r L

2 4

45

r L

2 2r L


En comparant les limites de validité des différentes approximations (Fig. 31), on peut vérifier d’après (60) que l’intersection la limite de l’approximation de Fraunhofer coupe celle de l’approximation optimale

au point 6, atan 2 55w .

Justification analytique des résultats 7.2

On considère une antenne de taille fixe w0, à une portée donnée . On analyse la cartographie w() relativement à w0 en fonction du choix de 0.

7.2.1 Limite supérieure de l’angle 0 utilisé pour le facteur quadratique

7.2.1.1 Portées supérieures

On s’intéresse à une antenne de taille w0 à une portée n’excédant pas la distance de Fraunhofer la plus conservative (65) pour cette taille d’antenne, i.e.,

02 w . (135)

(si 02 w , l’approximation de Fraunhofer est valide quel que soit ).

Pour simplifier les calculs on impose

1 . (136)

L’angle 0 est choisi de telle sorte que w0 soit le minorant (128) de la cartographie en zone A :

20

0

2sin

w

, (137)

la condition (135) garantissant l’existence de cet angle 0. Les conditions dictant la zone de calcul de

0, , 0w sur l’axe = 0 dépendent de la portée. D’après (104), on a avec (137)

1

0' 1 1

0 0

1 2

2 2 2 2

xA A

w

w w

. (138)

Le calcul s’effectue en zone A si 'x

A A , ce qui conduit avec (135) à l’intervalle

1 13 2 2 302 8 1 4 1 1 4 16w

. (139)

D’après (126), la valeur cartographiée de w est minorée par w0 dans toute cette zone A. Ce minorant n’est effectivement atteint que si l’arc de rayon coupe l’axe horizontal y = ¼ en zone A, i.e. si P (voir

(111)), soit

2 2 30 1 4 2 2 1 2 8w . (140)

On impose aussi que la cartographie de l’arc en zone B soit telle que 0 minb bw w w . Rappelant que le

calcul en zone B est celui de l’approximation quadratique stricte (Section 6.2.3.2), (38) définit la contrainte plus restrictive que (139)


202 3 3w . (141)

(note : la restriction 1 montre que la limite (140) n’est pas atteinte dans l’intervalle(141), donc que le minorant w0 est effectivement atteint en zone A).

Ainsi, la condition (141), plus restrictive que (139) et (140) garantit que 0w w en zones A et B, le

minorant étant effectivement atteint en zone A à l’ordonnée y.

Puisque > ½, yB C : on est assuré que l’arc parvient en zone C sur l’axe = /2 (cf. (106)).

L’arc de rayon ne peut traverser B’ puisque x est décroissant avec . L’approximation optimisée est valide sur le secteur allant jusqu’à = π/2 si 02cw w . D’après (119), c’est le cas tant que

0 04 4w (142)

Au-delà, la limite du secteur de validité est la direction max obtenue en zone (C) selon

10 0 max 0, asin 2 ,cw w w

0max 0

cos 2sin 2 sin

4

. (143)

7.2.1.2 Courtes portées

L’angle 0 étant encore défini selon (137), on considère maintenant l’intervalle

1 12 3 2 2 303 3 8 1 4 1 1 4 16w

, (144)

La borne supérieure garantit que l’on est bien en zone A sur l’axe = 0. Dans toute cette zone A, (137) implique que l’on a toujours 0w w (l’inégalité est stricte dans l’intervalle complémentaire à (140)).

La limite 0w w est maintenant atteinte dans la zone B, dans une direction déterminant l’ouverture

maximale max du domaine de validité à cette portée. La relation 0 maxbw w (131) montre donc que la

limite du secteur de validité de l’approximation optimisée dans l’intervalle (144) est la ligne de contour

0 Qw w de l’approximation quadratique stricte.

La cartographie wb dans cette zone ne dépendant pas de 0, l’angle défini par (137) n’est pas unique pour atteindre cette même limite. On constate numériquement que l’on peut choisir par exemple 0

selon la ligne de contour 0 Qw w . La démarche analytique est cependant beaucoup moins praticable.

7.2.2 Limite inférieure de l’angle 0 utilisé pour le facteur quadratique (w/4<<w/2)

Dans la section 7.2.1, le choix du paramètre 0() est dictée par les minima de la cartographie de w en zone A, proche de l’axe = 0. L’approximation de Fraunhofer (quand w0 2), puis le choix (137) (quand 2 w0 4) valident donc l’approximation quadratique optimisée sur l’arc complet 0, 2 .

Lorsque w0 <2, on peut aussi choisir 0 = 0, i.e. faire l’approximation quadratique axiale : avec (73),

on est assuré que 00, 2 2Xw w , validant l’approximation sur tout l’arc entier. En se limitant

maintenant à l’intervalle


02 4w (145)

on cherche l’évolution du paramètre 0() permettant de maintenir la cartographie sur l’axe = /2 à la valeur minimale w0, i.e. 0 0, , 2w w . On maintient la contrainte > 1 (136), de telle sorte que

seule la zone de calcul C est concernée sur cet axe. D’après (119), il vient

2 10 0cos 2w , (146)

Avec (132), w0 = wc( = π/2) est un minorant sur toute la zone C. Dans la zone B, la plus petite valeur

atteinte (38) 2min 3 3Bw est encore supérieure à w0 puisque 2

0 4 3 3w . Pour garantir que l’arc

arrive en zone A sur l’axe = 0 (évitant donc A’ et B’, il suffit que 'x

A A soit 20 4 1w . Cette

condition est un peu plus restrictive que w0 > 2 dicté par (145). Cependant, lorsque w0 est proche de 2, la configuration est très proche de celle de l’approximation paraxiale, avec laquelle on sait que les valeurs de w proches de l’axe sont de toute façon beaucoup plus grande que sur l’axe = π/2. Considérant donc la plus petite valeur accessible en zone A (128), il vient avec (146) et (145) :

0 0

min min min 014 40

24

1 2a a aw w

w w w ww

(147)

En résumé, le choix 0 = 0 quand w0 2, et 2 10 0cos 2w dans les limites 2 < w0< 4 garantit la

validité de l’approximation sur tout le secteur ∈[0, π/2]. Les branches (146) et (137) se rejoignent en w0 = 4 et 0 = /4. Toute solution comprise entre ces deux branches est correcte.

7.2.3 Bilan

Portée Paramètre 0 Ouverture max

130.4 w

20sin 2 w

Autres solutions possibles

Solution de 2

2max max

2

sin cosw

Approx. 2maxsin 2 w

0.443 3

ww

20sin 2 w

0max 0 0

cos 2sin 2 sin 2 sin

4

0.25 w

1 10acos 2 asin 2w w

2

0.5 w

00 2


Performance de la focalisation 7.3

Le critère consistant à limiter à /4 l’écart maximal sur l’antenne entre les temps de vol exacts et les approximations ne garantit pas a priori la qualité des fonctions d’étalement de point dans tout le domaine de validité. Nous présentons un test effectué avec une antenne de longueur L = 80 fonctionnant en régime harmonique. Le critère de tolérance est fixé à =1, ce qui signifie que l’on admet, en régime harmonique, une dérive de phase sur l’antenne atteignant π/2.

L’examen des diagrammes de directivité fait apparaître deux phénomènes (Fig. 32a). Le calcul approché induit d’une part un léger décalage angulaire de la position du maximum (le diagramme présenté est calculé dans une région où ce décalage est maximal). D’autre part, le niveau de ce maximum est légèrement affaibli par rapport au résultat obtenu en focalisant exactement. La cartographie de cet affaiblissement est présentée Fig. 33. Dans cet exemple, l’affaiblissement maximal est limité à -1 dB. Le décalage angulaire est cartographié Fig. 34. On peut vérifier que celui-ci reste aussi très limité (quelques centièmes de degrés en général, atteignant seulement 0.1° sur une très petite zone. L’ouverture à -3dB est présentée Fig. 35. Elle s’élargit naturellement lorsque le dépointage augmente, l’ouverture apparente de l’antenne se réduisant d’un facteur cos avec cet angle. On notera que cette cartographie ne comprend pas la région end fire array 2 1 , les diagrammes de rayonnement devenant très asymétriques par

rapport au maxima (en réalité, les diagrammes sont par construction symétriques par rapport à π/2). On a enfin calculé l’altération de l’ouverture à -3dB induite par l’approximation (Fig. 36). Ici encore, l’écart reste limité à quelques pourcents.

Figure 32. Diagrammes de rayonnement en focalisation exacte (traits bleus) et approchée (tirets rouges). (w = 80) gauche : zone proche ( = 4), en bordure du domaine de validité ; droite : zone end fire array


Figure 33. Niveaux aux points focaux (dB réf. focalisation exacte) obtenus avec l’approximation (w = 80). (à gauche : agrandissement de la zone proche de l’antenne)

Figure 34. Décalage angulaire (en degrés) des maxima par rapport aux positions réelles des points focaux (w = 80). (à gauche : agrandissement de la zone proche de l’antenne)


Figure 35. Cartographie des ouvertures à -3dB, en degrés (w = 80). à gauche : agrandissement de la zone proche de l’antenne. (à noter les différentes échelles de couleur)

Figure 36. Cartographie de l’altération (%) des ouvertures à -3dB due à l’approximation (w = 80) (à gauche : agrandissement de la zone proche de l’antenne)


Intérêt de l’optimisation 7.4

Considérons un système échographique dont la source d’émission est située à l’origine O. Les éléments (d’abscisse y) du réseau linéaire reçoivent des signaux notés ys t , l’origine des temps étant calée au

centre du signal transmis. Avec la technique classique de décalage et somme des signaux reçus, l’image est formée en réalisant pour chacun de ses points ,r l’opération suivante

1, 2 , ,yy

p r s c r d y r , (148)

Effectuée strictement, la technique impose donc le calcul de p en n temps de vol, où pn est le nombre de

pixels dans l’image, et en est le nombre d’éléments constituant le réseau de réception.

L’approximation (92) prend la forme

2sind y y r où 2 10

1cos

2r L r

r (149)

L’intérêt de l’optimisation réside dans la division des décalages en deux étapes pour former une image sectorielle. La courbure est d’abord prise en compte avec la transformation non linéaire suivante de l’échantillonnage des signaux reçus

1 2 2cy ys t s t c y ct . (150)

Avec (150), c’est donc l’ensemble de tous les échantillons reçus ys t qui subit une seule transformation

de décalages/interpolations pour produire cys t .

Dans la seconde étape, une seule transformation est associée à chaque direction de dépointage :

1 sincy ys t s t c y , (151)

La sommation sur les éléments y de chaque ensemble ys t fournit ainsi des radiales complètes :

2,ay

y

p r ct s t . (152)

Le volume des opérations associées à (150) est quantifiable par le produit r en n , où rn est le nombre

de portées formant l’image auxquelles sont associées autant de courbures à implémenter sur les en

éléments du réseau de réception. Le volume des opérations à implémenter avec (151) est de l’ordre de

en n , où n est le nombre de radiales formant l’image. La charge complète de calcul est ainsi de l’ordre

de e rn n n , soit un ordre de grandeur inférieur à la charge e rn n n requise par le calcul strict.

Note

En réalité, la succession des opérations (150)(151)(152) n’est pas strictement équivalente à (148) avec (149), puisque l’on a

1 2 sin, 2 sin

2a

yy

yp r s c r y y r

. (153)

Les différences de marche du deuxième ordre d sont altérées par les quantités du troisième ordre


2 sin

2

yd y r r

. (154)

En utilisant (137), i.e., 1 2

1

2r

r L

, l’ordre de grandeur de la différence (154) est donné par

13 3

2 2

sin sin sin1

4 2 4

y y yd

r r r

. (155)

On note d’une part que d est impair en y, et donc qu’une partie de cette erreur se traduit par un léger biais

b sur la direction de dépointage :

2

2

2

dsin d 0

d

L

bb L

d y y

2

2 2

3 sin 3 sinsin sin

80 80b

L

r

. (156)

L’écart (154) est maximal aux extrémités de l’antenne 2y L . Il vaut en déduisant le biais (156) :

3

2

sinsin

2 2 80b

L L Ld

r

. (157)

Pour que cet écart atteigne l’ordre de grandeur 4 , il faut

sin

20b

w . (158)

Cette combinaison de paramètres se situe toujours largement à l’intérieur du domaine d’exclusion de l’approximation quadratique optimisée limité par la courbe max, . Le biais impliqué par la

séquence (150)(151) des traitements est donc négligeable.

Focalisation avec un réseau linéaire et approximations … · Pierre Cervenka - Focalisation avec...

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