Etude Statique des mécanismes Cours 2 : PFS, th. des actions réciproques,

méthode de résolution & notion d’hyperstaticité

Objectifs :

- énoncer le PFS sur un système isolé,

- déterminer la méthode de résolution de l’étude statique proposée

(notion d’isolement),

- déterminer le degré d’hyperstaticité de la modélisation d’un

mécanisme.

Trouver les relations entre les actions mécaniques But :

1. DEFINITION : SOLIDE, SYSTEME MATERIEL

= Ensemble de matière de masse constante

exemples:

• solide ou système cinématique ( ensemble indéformable)

• 2 solides en mouvement

• ressort

Ex. : ( 8 + 7)

Ex. : 2, 3,

…

Frontière ΔS

S

Système matériel « S » isolé : S = {S2 + S3}

S

Ensemble matériel formé de Si solides

S1

S2 S3

S4

S4

S1

Si : (solide, liquide, gaz)

Isoler un système matériel « S », c’est

définir une frontière fictive ΔS qui

sépare le système « S » de ce qui est extérieur à « S », noté « S »

1. DEFINITION : ACTION MECANIQUE INTERIEURE OU EXTERIEURE

2. EQUILIBRE STATIQUE

Un système matériel est en équilibre statique si

il est fixe / repère Galiléen

Au point de vue de la mécanique terrestre, on considèrera que tout repère lié à la terre est un repère Galiléen.

Rg terre

3. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE : PFS

Quelque soit un point A, dans un repère Galiléen Rg . Soit (S) un système matériel soumis à différentes AM.

Théorème de la résultante

(Fext S) = 0

MA(Fext S) = 0

Théorème du moment

3 équation scalaires projetées dans R x) (Fext S) . x = 0 y) (Fext S) . y = 0 z) (Fext S) . z = 0

3 équation scalaires projetées dans R x) MA (Fext S) . x = 0 y) MA (Fext S) . y = 0 z) MA (Fext S) . z = 0

A {T ext S } = {0} x

y z

Rg (S) A

{T(ext S)}N

N M

P {T(ext S)}M {T(ext S)}P

Le système matériel (S) est en équilibre si

Remarque

PFS = cas particulier du Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)

3. Principe fondamental de la statique (PFS)

effets des masses et des inerties négligées…

Mvt de rotation uniforme

et cdg sur l’axe rotation

Mvt de translation uniforme

Remarque

la réciproque du PFS n’est pas forcément juste…

un corps dont la somme des actions mécaniques extérieures est nulle n’est pas forcément à l’équilibre ou dans un des trois cas particuliers précédemment évoqués...

3. Principe fondamental de la statique (PFS)

Application 1

On isole hélicoptère + pales.

L’ensemble est soumis à 4 A.M. :

A.M. air sur pales AV :

A.M. air sur pales AR :

A.M. air sur carlingue:

A.M. poids:

En A

PFS à l’ensemble de l’hélicoptère :

5 équations, 5 inconnues

Résolution :

Torseurs statiques des liaisons

simples

Exemple système vis écrou

• Faire le graphe de liaison

• Ecrire les torseurs statiques des différentes liaisons

• Traduire l’équilibre des solides 2 et 3

• Résoudre le système

On considère qu’un moteur délivrant un

couple Cm anime en rotation l’axe 2.

La pièce 3 est alors soumise à un effort

résistant F porté par l’axe Ox.

F

Cm

la modélisation du système est alors dite hyperstatique.

S’il y a plus d’inconnues que d’équations scalaires permettant de les déterminer,

On note h le degré d’hyperstaticité

5. Notion d’hyperstaticité d’une modélisation d’un mécanisme

Il peut être intéressant de calculer ce degré d’hyperstaticité avant d’entamer l’étude statique du système

S S Ch I E m

IS = somme des inc. statiques de toutes les liaisons du système étudié,

Avec :

ES = nombre d’équations scalaires « statiques » .( 1)S D PE N N ND = 3 (en 2D plan) / ND = 6 (en 3D)

NP = nombre de classes d’équivalence cinématique bâti compris

mC = le degré de mobilité cinématique + nombre de lois entrée/sortie

nombre de mobilités internes

5. Notion d’hyperstaticité d’une modélisation d’un mécanisme

5. Notion d’hyperstaticité d’une modélisation d’un mécanisme

( ) S S CE mh I

Si h = 0, le système est dit isostatique

rang de la matrice du système d’équations

= Nombre d’équations utiles

Si h ≠ 0, le système est dit hyperstatique d’ordre h.

Comparaison des systèmes isostatiques et hyperstatiques sur un exemple.

Exemple liaison pivot

isostatique hyperstatique

Si défaut fabrication :

Montage OK Montage NON OK

Si efforts extérieurs :

F

Grandes déformations Faibles déformations

F

Si h = 0 : modèle isostatique

Si h ≠ 0 : modèle hyperstatique de degré la valeur de h

5. Notion d’hyperstaticité d’une modélisation d’un mécanisme

Système moins rigide mais plus facile à fabriquer

Système plus rigide mais plus coûteux à fabriquer

augmenter des jeux dans les liaisons

Réduire les surfaces de contact entre les solides

Pour rendre isostatique un mécanisme :

3 inc. stat. 1 inc. stat.

Remarque

Détermination de h par l’approche cinématique

C C Ch E I m

IC = somme du nombre d’inc. cinématiques

mC = le degré de mobilité cinématique

EC = nombre « d’équations cinématiques »

.( 1)C D L PE N N N NL = nombre de liaisons

5. Notion d’hyperstaticité d’une modélisation d’un mécanisme

γ = nbe boucle indépendante du graphe de liaison

mg

Application : banc d’essai de carter

S S Ch I E m

Application : système vis - écrou

S S Ch I E m

C C Ch E I m

F Cm

Application : pompe moyenne pression

S S Ch I E m

C C Ch E I m

Solution avec pièce intermédiaire entre 2 et 3 ?