Post on 30-Dec-2015
description
Équation différentielle pour modéliser les mécanismes sur-contraints avec jeu
Jean-François RameauDassault Systèmes, Supméca
GRT juin 2014
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Mécanisme sur-contraint
Pivot
Pivot
Point-droite
3
Paramètre de jeu d’un mécanisme
Paramètres dimensionnels
Paramètres positionnels et commande
Paramètres de jeu
dim𝑄<dim𝐸 dim𝑄+dim 𝐽≥dim𝐸Sur-contrainte
Iso ou Sous-contrainte
𝐹 (𝑢0 ,𝑞 (𝑟 ) ,𝑟 )=0𝐹 (𝑢0 ,0 ,𝑞 (𝑟 ) ,𝑟 )=0Solution
Solution nominale
𝐹 (𝑢0+𝑢 , 𝑗 ,~𝑞 (𝑟 ) ,𝑟 )=0
Solution perturbée
4
Mécanisme iso-contraint, sous contraint
Pivot
Pivot glissant
Point-droite
Pivot glissant
Pivot glissant
Point-droite
Iso-contraint Sous-contraint
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𝛼
Paramètres
𝑎 𝑏
𝑥
𝜃
𝑗2𝑗1
Pivot glissant
Pivot glissant
Point-droite
𝑎 ,𝑏 ,𝛼𝜃 ,𝑥𝑗1 , 𝑗2
Paramètresdimensionnels
Paramètres positionnels
Paramètres de jeu
Commande
6
Equation de fermeture
𝑎 𝑏
𝑥
𝜃
𝑗1
𝑗2
𝛼
𝐹 (𝑎 ,𝑏 ,𝛼 , 𝑗1 , 𝑗2 ,𝜃 , 𝑥 )=( 𝑥 sin 𝜃 sin𝛼+ 𝑗1+ 𝑗2 cos𝛼𝑥2− 𝑗1
2+𝑎2−𝑏2−2𝑎𝑥 cos𝜃+ 𝑗22)
Paramètresdimensionnels
Paramètres positionnelsParamètres de jeu
Commande
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Etant données les dimensions et la commande , trouver la position qui minimise les jeux .
( 𝑗1 , 𝑗2, 𝑥 )=Arg min𝐹 (𝑎 ,𝑏 ,𝛼 , 𝑗1 , 𝑗2 ,𝑥 ,𝜃 )=0
12
( 𝑗12+ 𝑗22 )𝐹 (𝑎 ,𝑏 ,𝛼 , 𝑗1 , 𝑗2 ,𝑥 ,𝜃 )=0
𝑎 𝑏
𝑥
𝜃
𝑗1
𝑗2
𝛼
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De l’équation de fermeture vers la fonction de Lagrange
𝐹 (𝑢 , 𝑗 , 𝑥 ,𝜃 )=0 ( 𝑗 , 𝑥 )=Arg min𝐹 (𝑢 , 𝑗 , 𝑥 ,𝜃 )=0
12| 𝑗|2
𝐿 :𝑈 × 𝐽×𝑄×𝑅×𝐸 ⟶ ℝ
(𝑢 , 𝑗 ,𝑥 ,𝜃 ,𝜆 ) ⟼ 𝐿 (𝑢 , 𝑗 , 𝑥 ,𝜃 ,𝜆 )=12| 𝑗|2+ ⟨𝜆 ,𝐹 (𝑢 , 𝑗 ,𝑥 , 𝜃 ) ⟩
h :𝑈 × 𝐽×𝑄×𝐸 ⟶ 𝐽×𝑄×𝐸
(𝑢 , 𝑗 , 𝑥 , 𝜃 ,𝜆 ) ⟼ h (𝑢 , 𝑗 , 𝑥 , 𝜃 ,𝜆 )=(𝐿 𝑗
𝐿𝑥
𝐿𝜆)=( 𝑗+𝐹 𝑗
𝑇 𝜆
𝐹 𝑥𝑇 𝜆𝐹 )
h (𝑢 , 𝑗 , 𝑥 ,𝜃 , 𝜆 )=0
Entrée
Sorties
Entrée
Entrée
Sorties
Entrée
Sorties
𝑢=(𝑎 ,𝑏 ,𝛼 )𝑗=( 𝑗1 , 𝑗2 )
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De la fonction de Lagrange vers l’équation différentielle ordinaire
𝑔 :ℝ× 𝐽 ×𝑄×𝐸 ⟶ 𝐽×𝑄×𝐸(𝑡 , 𝑗 , 𝑥 ,𝜆 ) ⟼ 𝑔 (𝑡 , 𝑗 ,𝑥 ,𝜆 )=h (𝑢 (𝑡 ) , 𝑗 ,𝑥 ,𝜃 (𝑡 ) ,𝜆)
Arc de courbe dimensionnelle arbitraire
Equation différentielle
ordinaire
( 𝑗′
𝑥′
𝜆′)=− (𝑔 ( 𝑗 ,𝑥 ,𝜆 ) (𝑡 , 𝑗 ,𝑥 ,𝜆 ) )− 1𝑔𝑡 (𝑡 , 𝑗 , 𝑥 ,𝜆 )
𝑗 (0 )=0𝑥 (0 )=𝑥0𝜆 (0 )=0
h :𝑈 × 𝐽×𝑄×𝑅×𝐸 ⟶ 𝐽 ×𝑄×𝐸(𝑢 , 𝑗 , 𝑥 ,𝜃 ,𝜆 ) ⟼ h (𝑢 , 𝑗 ,𝑥 ,𝜃 ,𝜆 )
𝑔 (𝑡 , 𝑗 ,𝑥 , 𝜆 )=0
Initialisation par la solution nominale
Commande arbitraire
Théorème des fonctions implicites.
Condition d’application du théorème des fonctions implicites
𝑔 ( 𝑗 , 𝑥 ,𝜆 )=( 𝐼+𝐹 𝑗𝑗𝑇 𝜆 𝐹 𝑗 𝑥
𝑇 𝜆 𝐹 𝑗𝑇
𝐹 𝑗 𝑥𝑇 𝜆 𝐹 𝑥𝑥
𝑇 𝜆 𝐹 𝑥𝑇
𝐹 𝑗 𝐹 𝑥 0 )𝑔 ( 𝑗 , 𝑥 ,𝜆 ) (0 ,0 ,𝑥0 ,0 )=( 𝐼 0 𝐹 𝑗
𝑇
0 0 𝐹 𝑥𝑇
𝐹 𝑗 𝐹 𝑥 0 )L’application linéaire est inversible
Dérivée partielle par rapport aux
inconnues
Dérivée partielle par rapport aux
inconnues à l’instant initial
Condition suffisante d’inversion
L’équation de fermeture est sous contrainte par rapport au jeu et à la position.
L’équation de fermeture est sur contrainte par rapport à la position.
10
11
Variations des dimensions, commande
(𝑗1′
𝑗2′
𝑥 ′
𝜆1′
𝜆2′)=𝐻 ( 𝑡 , 𝑗1 , 𝑗2, 𝑥 ,𝜆1,𝜆2 )
𝑗1 (0 )=0𝑗2 (0 )=0
𝜆1 (0 )=0𝜆2 (0 )=0
𝑥 (0 )=𝑥0
𝑎 (𝑡 )=𝑎0+ (1−𝑒−𝑡 ) ∆𝑎2cos (𝜔𝑎𝑡 )
𝑏 (𝑡 )=𝑏0+ (1−𝑒−𝑡 ) ∆𝑏2cos (𝜔𝑏𝑡 )
𝛼 (𝑡 )=𝛼0+(1−𝑒−𝑡 ) ∆𝛼2cos (𝜔𝛼 𝑡 )
𝜃 (𝑡 )=𝜃0+𝑡
𝑗1 (𝑡 )𝑗2 (𝑡 )
𝜆1 (𝑡 )𝜆2 (𝑡 )
𝑥 (𝑡 )
𝑗1𝑚𝑎𝑥=max { 𝑗1 (𝑡 ) ,𝑡≥ 0}𝑗1𝑚𝑖𝑛=min { 𝑗1 (𝑡 ) , 𝑡≥0}𝑗2𝑚𝑎𝑥=max { 𝑗2 (𝑡 ) ,𝑡 ≥0}𝑗2𝑚𝑖𝑛=min { 𝑗2 (𝑡 ) , 𝑡≥0 }
Intégration numérique
Variation dimensionnelle
Dimension nominale Amplitude
Fréquence
Commande
Jeux…
12
2 4 6 8t
0 .10
0 .05
0 .05
0 .10je u
Bielle manivelle: simulation numérique
2 4 6 8t
0 .5
1 .0
1 .5
2 .0
P e r tu rb a tion s d im e n s ionne lle s
2 4 6 8t
0 .10
0 .05
0 .05
0 .10pa ra m e tre s d e L a g ra nge
0 2 4 6 8t
1 .5
2 .0
2 .5
3 .0
po s ition
𝑗1 (𝑡 )𝑗2 (𝑡 )
𝑥 (𝑡 )
𝜆1 (𝑡 )𝜆2 (𝑡 )
𝑎 (𝑡 )𝑏 (𝑡 )
𝛼 (𝑡 )
Jeux…
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Conclusion
• La méthode est exacte
• Simulation et animation 3D
• Possibilité d’évaluer les extrema en temps réel
• Tout post-traitement possible
14
Merci.