Équation différentielle pour modéliser les mécanismes sur-contraints avec jeu

Jean-François RameauDassault Systèmes, Supméca

GRT juin 2014

2

Mécanisme sur-contraint

Pivot

Pivot

Point-droite

3

Paramètre de jeu d’un mécanisme

Paramètres dimensionnels

Paramètres positionnels et commande

Paramètres de jeu

dim𝑄<dim𝐸 dim𝑄+dim 𝐽≥dim𝐸Sur-contrainte

Iso ou Sous-contrainte

𝐹 (𝑢0 ,𝑞 (𝑟 ) ,𝑟 )=0𝐹 (𝑢0 ,0 ,𝑞 (𝑟 ) ,𝑟 )=0Solution

Solution nominale

𝐹 (𝑢0+𝑢 , 𝑗 ,~𝑞 (𝑟 ) ,𝑟 )=0

Solution perturbée

4

Mécanisme iso-contraint, sous contraint

Pivot

Pivot glissant

Point-droite

Pivot glissant

Pivot glissant

Point-droite

Iso-contraint Sous-contraint

5

𝛼

Paramètres

𝑎 𝑏

𝑥

𝜃

𝑗2𝑗1

Pivot glissant

Pivot glissant

Point-droite

𝑎 ,𝑏 ,𝛼𝜃 ,𝑥𝑗1 , 𝑗2

Paramètresdimensionnels

Paramètres positionnels

Paramètres de jeu

Commande

6

Equation de fermeture

𝑎 𝑏

𝑥

𝜃

𝑗1

𝑗2

𝛼

𝐹 (𝑎 ,𝑏 ,𝛼 , 𝑗1 , 𝑗2 ,𝜃 , 𝑥 )=( 𝑥 sin 𝜃 sin𝛼+ 𝑗1+ 𝑗2 cos𝛼𝑥2− 𝑗1

2+𝑎2−𝑏2−2𝑎𝑥 cos𝜃+ 𝑗22)

Paramètresdimensionnels

Paramètres positionnelsParamètres de jeu

Commande

7

Etant données les dimensions et la commande , trouver la position qui minimise les jeux .

( 𝑗1 , 𝑗2, 𝑥 )=Arg min𝐹 (𝑎 ,𝑏 ,𝛼 , 𝑗1 , 𝑗2 ,𝑥 ,𝜃 )=0  

12

( 𝑗12+ 𝑗22 )𝐹 (𝑎 ,𝑏 ,𝛼 , 𝑗1 , 𝑗2 ,𝑥 ,𝜃 )=0

𝑎 𝑏

𝑥

𝜃

𝑗1

𝑗2

𝛼

8

De l’équation de fermeture vers la fonction de Lagrange

𝐹 (𝑢 , 𝑗 , 𝑥 ,𝜃 )=0 ( 𝑗 , 𝑥 )=Arg min𝐹 (𝑢 , 𝑗 , 𝑥 ,𝜃 )=0  

12| 𝑗|2

𝐿 :𝑈 × 𝐽×𝑄×𝑅×𝐸 ⟶ ℝ

(𝑢 , 𝑗 ,𝑥 ,𝜃 ,𝜆 ) ⟼ 𝐿 (𝑢 , 𝑗 , 𝑥 ,𝜃 ,𝜆 )=12| 𝑗|2+ ⟨𝜆 ,𝐹 (𝑢 , 𝑗 ,𝑥 , 𝜃 ) ⟩

h :𝑈 × 𝐽×𝑄×𝐸 ⟶ 𝐽×𝑄×𝐸

(𝑢 , 𝑗 , 𝑥 , 𝜃 ,𝜆 ) ⟼ h (𝑢 , 𝑗 , 𝑥 , 𝜃 ,𝜆 )=(𝐿 𝑗

𝐿𝑥

𝐿𝜆)=( 𝑗+𝐹 𝑗

𝑇 𝜆

𝐹 𝑥𝑇 𝜆𝐹 )

h (𝑢 , 𝑗 , 𝑥 ,𝜃 , 𝜆 )=0

Entrée

Sorties

Entrée

Entrée

Sorties

Entrée

Sorties

𝑢=(𝑎 ,𝑏 ,𝛼 )𝑗=( 𝑗1 , 𝑗2 )

9

De la fonction de Lagrange vers l’équation différentielle ordinaire

𝑔 :ℝ× 𝐽 ×𝑄×𝐸 ⟶ 𝐽×𝑄×𝐸(𝑡 , 𝑗 , 𝑥 ,𝜆 ) ⟼ 𝑔 (𝑡 , 𝑗 ,𝑥 ,𝜆 )=h (𝑢 (𝑡 ) , 𝑗 ,𝑥 ,𝜃 (𝑡 ) ,𝜆)

Arc de courbe dimensionnelle arbitraire

Equation différentielle

ordinaire

( 𝑗′

𝑥′

𝜆′)=− (𝑔 ( 𝑗 ,𝑥 ,𝜆 ) (𝑡 , 𝑗 ,𝑥 ,𝜆 ) )− 1𝑔𝑡 (𝑡 , 𝑗 , 𝑥 ,𝜆 )

𝑗 (0 )=0𝑥 (0 )=𝑥0𝜆 (0 )=0

h :𝑈 × 𝐽×𝑄×𝑅×𝐸 ⟶ 𝐽 ×𝑄×𝐸(𝑢 , 𝑗 , 𝑥 ,𝜃 ,𝜆 ) ⟼ h (𝑢 , 𝑗 ,𝑥 ,𝜃 ,𝜆 )

𝑔 (𝑡 , 𝑗 ,𝑥 , 𝜆 )=0

Initialisation par la solution nominale

Commande arbitraire

Théorème des fonctions implicites.

Condition d’application du théorème des fonctions implicites

𝑔 ( 𝑗 , 𝑥 ,𝜆 )=( 𝐼+𝐹 𝑗𝑗𝑇 𝜆 𝐹 𝑗 𝑥

𝑇 𝜆 𝐹 𝑗𝑇

𝐹 𝑗 𝑥𝑇 𝜆 𝐹 𝑥𝑥

𝑇 𝜆 𝐹 𝑥𝑇

𝐹 𝑗 𝐹 𝑥 0 )𝑔 ( 𝑗 , 𝑥 ,𝜆 ) (0 ,0 ,𝑥0 ,0 )=( 𝐼 0 𝐹 𝑗

𝑇

0 0 𝐹 𝑥𝑇

𝐹 𝑗 𝐹 𝑥 0 )L’application linéaire est inversible

Dérivée partielle par rapport aux

inconnues

Dérivée partielle par rapport aux

inconnues à l’instant initial

Condition suffisante d’inversion

L’équation de fermeture est sous contrainte par rapport au jeu et à la position.

L’équation de fermeture est sur contrainte par rapport à la position.

10

11

Variations des dimensions, commande

(𝑗1′

𝑗2′

𝑥 ′

𝜆1′

𝜆2′)=𝐻 ( 𝑡 , 𝑗1 , 𝑗2, 𝑥 ,𝜆1,𝜆2 )

𝑗1 (0 )=0𝑗2 (0 )=0

𝜆1 (0 )=0𝜆2 (0 )=0

𝑥 (0 )=𝑥0

𝑎 (𝑡 )=𝑎0+ (1−𝑒−𝑡 ) ∆𝑎2cos (𝜔𝑎𝑡 )

𝑏 (𝑡 )=𝑏0+ (1−𝑒−𝑡 ) ∆𝑏2cos (𝜔𝑏𝑡 )

𝛼 (𝑡 )=𝛼0+(1−𝑒−𝑡 ) ∆𝛼2cos (𝜔𝛼 𝑡 )

𝜃 (𝑡 )=𝜃0+𝑡

𝑗1 (𝑡 )𝑗2 (𝑡 )

𝜆1 (𝑡 )𝜆2 (𝑡 )

𝑥 (𝑡 )

𝑗1𝑚𝑎𝑥=max { 𝑗1 (𝑡 ) ,𝑡≥ 0}𝑗1𝑚𝑖𝑛=min { 𝑗1 (𝑡 ) , 𝑡≥0}𝑗2𝑚𝑎𝑥=max { 𝑗2 (𝑡 ) ,𝑡 ≥0}𝑗2𝑚𝑖𝑛=min { 𝑗2 (𝑡 ) , 𝑡≥0 }

Intégration numérique

Variation dimensionnelle

Dimension nominale Amplitude

Fréquence

Commande

Jeux…

12

2 4 6 8t

0 .10

0 .05

0 .05

0 .10je u

Bielle manivelle: simulation numérique

2 4 6 8t

0 .5

1 .0

1 .5

2 .0

P e r tu rb a tion s d im e n s ionne lle s

2 4 6 8t

0 .10

0 .05

0 .05

0 .10pa ra m e tre s d e L a g ra nge

0 2 4 6 8t

1 .5

2 .0

2 .5

3 .0

po s ition

𝑗1 (𝑡 )𝑗2 (𝑡 )

𝑥 (𝑡 )

𝜆1 (𝑡 )𝜆2 (𝑡 )

𝑎 (𝑡 )𝑏 (𝑡 )

𝛼 (𝑡 )

Jeux…

13

Conclusion

• La méthode est exacte

• Simulation et animation 3D

• Possibilité d’évaluer les extrema en temps réel

• Tout post-traitement possible

14

Merci.