Équation de Schrödinger

• Est une équation de mouvement

),( ),(

trHt

tri

i2= -1

Fonctionsd`onde complexes

Évolution Hamiltonien

dépend

du champ de forces

),( ...x2

ˆ 2

22

trVm

H

Équation de Schrödinger

• Est une équation de mouvement• Se réduit à

pour des états « stationnaires » , d`énergie E bien déterminée, d`un système conservatif

)()( ˆEE rErH

)(),( E /

E retr tEi

État stationnaire

E(u.a)

2.5 3 3.5 4

-0.175

-0.17

-0.165

-0.16

-0.155

-0.15

-0.145

-0.14

0(R,t)|2

1(R,t)|2

R/a0

à tout temps t

?),( tRnonstat

Exercices

)(2

1)0,( 01 tRnonstat

Exercices

) (2

1),( 01 tRnonstat

tEie 1 / tEie 0 /?),( tRnonstat

)(2

1)0,( 01 tRnonstat

État stationnaire État non stationnaire

E(u.a)

2.5 3 3.5 4

-0.175

-0.17

-0.165

-0.16

-0.155

-0.15

-0.145

-0.14

0(R,t)|2

1(R,t)|2

R/a0

à tout temps t

2.5 3 3.5 4

-0.175

-0.17

-0.165

-0.16

-0.155

-0.15

-0.145

-0.14

2.5 3 3.5 4

-0.175

-0.17

-0.165

-0.16

-0.155

-0.15

-0.145

-0.14

2.5 3 3.5 4

-0.175

-0.17

-0.165

-0.16

-0.155

-0.15

-0.145

-0.14

1(R,t)+ 0(R,t)|2

t=0

t=T/4

t=T/2

R/a0

Mesures d’une propriété physique

Mesure de O

)0,( R 1

2

3

Postulat 4

t

Mesures d’une propriété physique

Mesure de O

)0,( R 1

2

3

Postulat 5

2

1 ),( )(1

tRP t

Mesures d’une propriété physique

Mesure de O

)0,( R 1

2

3

1

état après mesure

t

)(2

1),( 0

/1

/ 01 tEitEinonstat eetR

?),( 0 tEEP

Exercices

)(2

1)0,( 01 tRnonstat

?),( 0 tEEP

Exercices

2 /2

000

2

1),( ),( tEi

nonstat etRtEEP

)(2

1),( 0

/1

/ 01 tEitEinonstat eetR

)(2

1)0,( 01 tRnonstat

?),( 0 tEEP

Exercices

2 /2

000

2

1),( ),( tEi

nonstat etRtEEP

t ,2

1),( 0 tEEP

)(2

1),( 0

/1

/ 01 tEitEinonstat eetR

)(2

1)0,( 01 tRnonstat

?),( 1 tEEP

Exercices

)(2

1),( 0

/1

/ 01 tEitEinonstat eetR

)(2

1)0,( 01 tRnonstat

?),( 1 tEEP

Exercices

2

/2

101

2

1),( ),( tEi

nonstat etRtEEP

)(2

1),( 0

/1

/ 01 tEitEinonstat eetR

)(2

1)0,( 01 tRnonstat

?),( 1 tEEP

Exercices

t ,2

1),( 1 tEEP

2

/2

101

2

1),( ),( tEi

nonstat etRtEEP

)(2

1),( 0

/1

/ 01 tEitEinonstat eetR

)(2

1)0,( 01 tRnonstat

?),( 2 tEEP

Exercices

)(2

1),( 0

/1

/ 01 tEitEinonstat eetR

)(2

1)0,( 01 tRnonstat

?),( 2 tEEP

Exercices

t ,0),( 2 tEEP

)(2

1),( 0

/1

/ 01 tEitEinonstat eetR

)(2

1)0,( 01 tRnonstat

État non stationnaire

E(u.a)

2.5 3 3.5 4

-0.175

-0.17

-0.165

-0.16

-0.155

-0.15

-0.145

-0.14

2.5 3 3.5 4

-0.175

-0.17

-0.165

-0.16

-0.155

-0.15

-0.145

-0.14

2.5 3 3.5 4

-0.175

-0.17

-0.165

-0.16

-0.155

-0.15

-0.145

-0.14

nonstat(R,t)|2

t=0

t=T/4

t=T/2

R/a0

1E 2E 0E

0.5

1.0

P(E,t)

Mesure simultanée de 2 propriétés physiques

Mesure de A

)0,( R 1a

2a

3a

1a

t

Mesure de B

1b

2b

3b

Mesure simultanée de 2 propriétés physiques

Mesure de A

)0,( R 1a

2a

3a

1a

t

Mesure de B

1b

2b

3b

1)|( 11 aAbP

A et B incompatibles

Mesure simultanée de 2 propriétés physiques

Mesure de A

)0,( R 1a

2a

3a

1a

t

Mesure de B

1b

2b

3b

11 111ˆ1)|( aa bBaAbP

A et B compatibles

Observables compatibles

A et B compatiblesii aka bB ˆ

AB ˆ ,ˆ ont des fonctions propres communes

0ˆ ,ˆ AB

Exemple

• Pour l’atome d’hydrogène

0ˆ ,ˆ ,0ˆ ,ˆ ,0ˆ ,ˆ 22 zz LLLHLH

E, L2, Lz compatibles

zLLH ˆ ,ˆ ,ˆ 2 E.C.O.C

Problèmes exactement solubles

• Particule dans une boîte (1D, nD)– Modèle de polyènes.– Mouvements de translation.

• Oscillateur harmonique (1D,nD)– Vibrations moléculaires

• Rotateur rigide – Rotations moléculaires

• Atome hydrogénoïde

Particule dans une boîte 1D

Atkins,

Particule dans une boîte 1D

• Énergie potentielle

Atkins, fig.12.1

Particule dans une boîte 1D

• Énergie potentielle

• Force F=0

Particule dans une boîte 1D

• Énergie potentielle

• Force F=0

• Mouvement de translation

uniforme 1D

Particule dans une boîte 1D

• Énergie potentielle

• Force F=0

• Mouvement de translation

uniforme 1D

Classiquement:

2000 v

2

1E v )( mtxtx

E=Ecin continue

Particule dans une boîte 1D

• Énergie potentielle

• Force F=0

• Mouvement de translation

uniforme 1D

Classiquement:

2000 v

2

1E v )( mtxtx

E=Ecin continue

Énergie cinétique pure

Particule dans une boîte 1D

)()(

2

- (x)ˆ

2

22

xEdx

xd

mH

En quantique, on résoud

avec conditions aux bornes

0)( 0 (0) L

Particule dans une boîte 1D

En quantique, on résoud

avec conditions aux bornes

0)( 0 (0) LOpérateur

d`énergie cinétique

)()(

2

- (x)ˆ

2

22

xEdx

xd

mH

Particule dans une boîte 1D

L

xn sin

L

2 (x)n

Solutions

avec conditions aux bornes

0)( 0 (0) L

Particule dans une boîte 1D

L

xn sin

L

2 (x)n

Solutions

avec conditions aux bornes

0)( 0 (0) L

2

22

n 8

Lm

hnE

Particule dans une boîte 1D

L

xn sin

L

2 (x)n

Solutions

avec conditions aux bornes

0)( 0 (0) L

2

22

n 8

Lm

hnE

,...)3,2,1,0( * nn N

Particule dans une boîte 1D

Atkins, figs 12.1+12.2

L

xn sin

L

2 (x)n

Solutions

avec conditions aux bornes

0)( 0 (0) L

2

22

n 8

Lm

hnE

,...)3,2,1,0( * nn N

• Propriétés des solutions– Propriétés nodales des

solutions

Particule dans une boîte 1D

(x) n2

n (x)

• Propriétés des solutions– Énergie discrète:

confinement quantification

Particule dans une boîte 1D

(x) n2

n (x)

• Propriétés des solutions– Énergie discrète:

confinement quantification

– Énergie cinétique précise, mais

Particule dans une boîte 1D

2

L

nkk

L

nhp nn

(x) n2

n (x)

• Propriétés des solutions– Énergie discrète:

confinement quantification

– Énergie cinétique précise, mais

ou

Particule dans une boîte 1D

2

L

nkk

L

nhp nn

2.

2

nLp

L

np

(x) n2

n (x)

• Propriétés des solutions– Énergie discrète:

confinement quantification

– Énergie cinétique précise, mais

Particule dans une boîte 1D

2

L

nkk

L

nhp nn

(x) n2

n (x)

L

kLdx

d

iLp

x

n

xx

x

nnn ikikik eee ˆ

• Propriétés des solutions– Énergie discrète:

confinement quantification

– Énergie cinétique précise, mais

Particule dans une boîte 1D

2

L

nkk

L

nhp nn

(x) n2

n (x)

L

kLdx

d

iLp

x

n

xx

x

nnn ikikik eee ˆ

propre valeur propre fonction

Particule dans une boîte 1D• Propriétés des solutions

2

L

nkk

L

nhp nnn

L

kLdx

d

iLp

x

n

xx

x

nnn ikikik eee ˆ

LLiL

xn xx nn -ikik

n

ee

2

1 sin

L

2 (x)

Particule dans une boîte 1D• Propriétés des solutions

2

L

nkk

L

nhp nnn

L

kLdx

d

iLp

x

n

xx

x

nnn ikikik eee ˆ

LLiL

xn xx nn -ikik

n

ee

2

1 sin

L

2 (x)

2

1

2

1)(

2

i

kpP nx

proba. de trouver kn

Particule dans une boîte 1D• Propriétés des solutions

2

L

nkk

L

nhp nnn

L

kLdx

d

iLp

x

n

xx

x

nnn ikikik eee ˆ

LLiL

xn xx nn -ikik

n

ee

2

1 sin

L

2 (x)

2

1

2

1)(

2

i

kpP nx

0) (2

1) (

2

1

nnx kkp

proba. de trouver kn

Moyenne de px

Exercices

?),( tx

L

xxtx

sin

L

2)()0,( 1

Exercices

L

xxtx

sin

L

2)()0,( 1

?),( tx )(),( 1 / xetx tEi n

Exercices

L

xxtx

sin

L

2)()0,( 1

?),( tx )(),( 1 / xetx tEi n

?)3

( 3 L

kpP x

Exercices

L

xxtx

sin

L

2)()0,( 1

?),( tx )(),( 1 / xetx tEi n

?)3

( 3 L

kpP x 0)3

( 3 L

kpP x

Exercices

L

xxtx

sin

L

2)()0,( 1

?)( bxaP

Exercices

L

xxtx

sin

L

2)()0,( 1

?)( bxaP

b

a

b

a L

xdx

LxdxbxaP

sin

2)( )( 22

1

Exercices

L

xxtx

sin

L

2)()0,( 1

?)( bxaP

b

a

b

a L

xdx

LxdxbxaP

sin

2)( )( 22

1

?)2

0( L

xP2

1 sin

2)

20(

2/

0

2

L

L

xdx

L

LxP

2

1 sin

2)

20(

2/

0

2

L

L

xdx

L

LxP