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8/12/2019 Element Fini (1)
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Mthode des Ensembles deNiveaux par Elments Finis P1
Jrme Piovano
Stage de DEA
Sous lencadrement de Thodore Papadopoulo
INRIASophia Antipolis
Projet Odysse
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Introduction1.
Segmentation dimage Trouver des regions dimages selon certaines caractristiques
lments finis Mthode dapproximation discrte de fonctions continues
Implmenter la mthode des ensembles de niveaux laide des lments finis
Ensembles de niveaux ou Levels Sets Modlise lvolution dune hypersurface travers une fonction continue Application la segmentation dimage
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Plan
Dfinitions Ensemble de niveaux lments finis
Modlisation quations dvolution
Discrtisation temporelle Discrtisation spatiale
Algorithmique Notion de bande volution de la bande
Simplification des quationsRsultats volution par courbure moyenne volution pour contour godsiques
Conclusion
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Dfinitions
volution de linterface par lintermdiaire de lafonction distance
= 1 = Dtection de contours godsiques.
Schmas par bande bases de diffrences
finies instabilit
Ensembles de niveaux ouLevels Sets
t+ |r| = 0;
Interface reprsente par le niveau 0 dune fonction distance
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Dfinitions
Approximation discrte dune fonction continue1. Partitionnement de lespace en lments formant un maillage
2. Calcul des valeurs de aux sommets du maillage3. Reprsentation de par interpolation linaire de ses valeurs aux sommet
Mthode deslments finis
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Plan
Dfinitions Ensemble de niveaux lments finis
Modlisation quations dvolution
Discrtisation temporelle Discrtisation spatiale
Algorithmique Notion de bande volution de la bande
Simplification des quationsRsultats volution par courbure moyenne volution pour contour godsiques
Conclusion
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Modlisation
Soit u lapproximation de la fonction distance par lment finis
udfinie par 2 facteurs:
Espacement constant entre ses diffrents niveaux
Vitesse dvolution
Calculs des valeurs de u sur les sommets du maillage en minimisant unenergie associe a ces 2 termes
(rxu)2 - 1 = 0
ut - = 0
Calcul de la fonction distance grce aux lments finis
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Modlisation
u(x, t + t) = u(x, t) + v(x, t)
v(x, t) = u(x, t + t) - u(x, t)
v(x, t) = t ut(x, t)
Exprimer lvolution de u sous forme discrte dans le temps.
v = Pas dvolution
Discretisation temporelle
(rxu)2 - 1 = 0
ut - = 0
(rxu + rxv)2 - 1 = 0
v - t= 0
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Modlisation
Discretisation spatiale
Discretisation de Galerkin : Utilise des fonctions de bases comme des
fonctions tests mesurant la dviation auvoisinage du sommet auquel elles sont attaches
(rxu + rxv)2 - 1 = 0
v - t= 0s((ru + rv)2- 1)i = 0 8i 21 ns(v - t)i= 0 8i 21 n
Rsolution dun systme de 2n quations ninconnues qui est donc surdtermin
Rsolution par moindres carrs
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Modlisation
On peut exprimer les quations prcdente en fonction des valeurs auxsommets du maillage de uet v
Reformulation des quations
s((ru + rv)2- 1)i (u + v)TQi(u + v) - sis(v - t)i Piv - tsi
Les vitesses ncessitent le calcul dune drive secondethoreme de Green
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Plan
Dfinitions Ensemble de niveaux lments finis
Modlisation quations dvolution
Discrtisation temporelle Discrtisation spatiale
Algorithmique Notion de bande volution de la bande Simplification des quations
Rsultats volution par courbure moyenne volution pour contour godsiques
Conclusion
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Algorithmique
Adaptation du problme un maillage 2D rgulier
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Algorithmique
La fonction distance nest pas calcul sur la totalit de lespace, mais auvoisinage du niveau 0 Ajout des lments proches du niveau 0
Suppression des lments loigns du niveau 0
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Algorithmique
Dynamique dvolution
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Algorithmique
Les equations devolutions peuvent se simplifier sur des maillages 2Drguliers des calculs par difference finies.
Sur un maillage de type:
(u + v)TQ0(u + v)1/6((S2- S3)2+ (S3- S4)2+ (S5- S6)2+ (S6- S1)2) +
1/3((S1- S0)2+ (S2- S0)2+ (S4- S0)2+ (S5- S0)2)
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AlgorithmiqueAvantage de la methode
Les equations devolutions peuvent se simplifier sur des maillages 2Drguliers des calculs par difference finies.
Sur un maillage de type:
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Fin