Economie des Economie des ressources épuisablesressources épuisables

Economie des Economie des ressources épuisablesressources épuisables

Sébastien RouillonSébastien Rouillon20142014

(Première version, 2008)(Première version, 2008)

1. Formalisation générale

On étudie l’exploitation d’une ressource épuisable. On note :

• T : La durée d’exploitation (finie ou non) ;

• S0 : Le stock initial ;

• (q0, q1, …, qT) : Un plan d’extraction ;

• W(q0, q1, …, qT) : une fonction d’objectif.

1. Formalisation générale

Tout problème de res. épuisable implique de :Choisir un plan d’extraction

Q = (q0, q1, …, qT)

pour maximiser un objectifW(q0, q1, …, qT)

sous une contrainte d’épuisementq0 + q1 + … + qT S0.

2. La fonction objectifLa fonction W(Q) est appelée

fonction objectif.Sa forme dépendra du type de

problème que l’on veut traiter :• Equité intergénérationnelle ;• Exploitation commerciale.

2. La fonction objectifDans tous les cas, la f° objectif :• définit un critère d’évaluation des

plans Q d’extractions possibles ;• détermine les propriétés de la

solution Q° du problème.

3. Equité intergénérationnelle

Réfléchir à l’équité intergénérationnelle de la répartition de la ressource revient in fine à définir une fonction objectif W(Q).

Voici des exemples exotiques possibles :Objectif Fonction objectif Egalité Indice de Gini Lissage Somme de carrés des écarts

3.1 Critères welfaristesSi la ressource n’est jamais stockée, la

quantité qt, extraite à la période t, est consommée par la génération courante.

Notons alors :

• Ut(qt) : L’utilité tirée par la génération t de la quantité extraite qt.

Elle sera supposée croissante et concave.

3.1 Critères WelfaristesIl paraît légitime, pour évaluer Q = (q0, q1,

…, qT), de prendre en compte :• plutôt que les qt directement,• les utilités Ut(qt) qu’elles procurent.Alors, l’objectif peut s’écrire :

W(U0(q0), U1(q1), …, UT(qT))Quand la fonction objectif s’écrit de cette

façon, elle est dite Welfariste.

3.1 Critères WelfaristesVoici deux ex. de telles fonctions :• Maximin : W = min {U0(q0), U1(q1), …, UT(qT)}

• Additive actualisée (0 < < 1) :W = U0(q0) + U1(q1) + … + T

UT(qT)

3.2 Fonction MaximinRawls (1971) justifie son utilisation en

affirmant qu’elle serait adoptée, si les générations décidaient la fonction W derrière un voile d’ignorance, les rendant incapables de savoir :

• à quelle date elles vivront ;• quelle sera leur fonction d’utilité ;

et si elles avaient une aversion infinie pour le risque.

3.2 Fonction MaximinEtudions le cas simple où :

S0 = 1 et T = 1.

On cherche q0 et q1

pour maximiser W = min {U0(q0), U1(q1)}

telles que q0 + q1 1.

Théorème : La solution (q0°, q1°) vérifie les conditions :

U0(q0°) = U1(q1°),

q0° + q1° = 1.

3.2 Fonction Maximin

3.2 Fonction MaximinPreuve : Soit (q0°, q1°) la solution.

Comme l’utilité est croissante, si q0° + q1° < 1, on peut augmenter W = min {U1(q0°), U2(q1°)} .

Donc : q0° + q1° = 1.

Supposons que : (H1) U0(q0°) < U1(q1°).

Alors : W = min {U0(q0°), U1(q1°)} = U0(q0°).

En augmentant q0° (et en diminuant q1° d’autant), W augmente. (H1) est donc contradictoire.

Idem avec : (H2) U0(q0°) > U1(q1°).

3.2 Fonction MaximinPreuve :

1

q0

W

q1

U0

U1

U0 U1 Si les deuxgénérations ontla même f° d’util.,on aura de plus :q0° = q1° = 1/2

q1°q0°

3.2 Fonction MaximinExercice 1 : Supposons que les deux

générations aient pour fonctions d’utilité :

U0(q0) = 5 (1 – q0/2) q0,

U1(q1) = 8 (1 – q1/2) q1.

Si S0 = 1, montrer que :

(q0°, q1°) = (2/3, 1/3).

3.3 Fonction additive actualisée

Barro (1974) justifie son utilisation en affirmant qu’elle serait adoptée par une dynastie parfaitement altruiste, où chaque génération traite sa descendance comme elle-même, notamment en actualisant de la même façon son utilité au cours de sa vie et celles de ses descendants.

3.3 Fonction additive actualisée

Supposons encore que S0 = 1 et T = 1.

On cherche q0 et q1

pour maximiser W = U0(q0) + U1(q1)

et telle que q0 + q1 1.

3.3 Fonction additive actualisée

On appelle utilité marginale de la génération t, la fonction Umt, associant à toute quantité qt, son gain d’utilité de t pour l’augmentation d’une unité (infiniment petite) de sa consommation de la ressource.

Par définition de la dérivée : Umt = Ut’(qt)

3.3 Fonction additive actualisée

Théorème : La solution (q0°, q1°) vérifie les conditions :

Um0(q0°) = Um1(q1°),

q0° + q1° = 1.

3.3 Fonction additive actualisée

Preuve :

q0q1

Um1

Um1

Um0 Une unité en + à la gén° 1 augmente W de Um0.Une unité en + à la gén° 2 augmente W de Um1.W est max. quand Um0 = Um1.

Um1

1

q1°q0°

Um0

3.3 Fonction additive actualisée

Exercice 2 : Supposons que les deux générations aient pour fonctions d’utilité :

U0(q0) = 5 (1 – q0/2) q0,

U1(q1) = 8 (1 – q1/2) q1.

Si = 1/2 et S0 = 1, montrer que :

(q0°, q1°) = (5/9, 4/9).

3.3 Fonction additive actualisée

Exercice 3 : Supposons que les deux générations ont la même fonction d’utilité :

U0(-) = U1(-) = U(-)

avec : U(q) = (1 – q/2)q, q étant la consommation de la ressource.Montrer que : (q0°, q1°) = (1/(1 + ), /(1 + ))

3.3 Fonction additive actualisée

Exercice 3 : On a : Um0(q0) = 1 – q0 et Um1(q1) = 1 – q1.La solution du problème vérifie donc :

(1) : 1 – q0 = (1 – q1)

(2) : q0 + q1 = S0 = 1

En utilisant (2) : q1 = 1 – q0.

En substituant dans (1) : 1 – q0 = q0

On trouve donc : q0° = 1/(1 + ).

En substituant dans (2) : q1° = 1 - 1/(1 + ) = /(1 + ).

3.4 Exercices< Attention, casse-tête !

>

Adapter l’exercice 3 dans le cas où on ne connaît pas le stock initial S0, mais on sait seulement qu’il est distribué uniformément sur [0, S].

4. Mathématiques des ressources épuisables

Cette section présente les outils mathématiques, permettant de résoudre un problème de ressource non renouvelable.

On distingue deux types de modèles :• Modèle en temps discret ;• Modèle en temps continu.

4.1 Temps discretOn veut résoudre le problème suivant :

Choisir un plan d’extraction (qt ; t = 0, 1, …, T)

pour maximiser la fonction objectifW(Q) = Σ t

T=0 t Ut(qt)

sous la contrainte d’épuisementΣ t

T=0 qt S0.

4.1 Temps discretOn forme le lagrangien associé :

L = Σ tT=0 t Ut(qt) – (Σ t

T=0 qt – S0),

où : est un multiplicateur de Lagrange.

4.1 Temps discretLa solution du problème vérifie :

qt 0, L/qt 0 et qt (L/qt) = 0, t,

0 et (Σ tT=0 qt – S0) = 0.

4.1 Temps discretAvec des fonctions d’utilité standards, la

solution vérifiera : qt > 0, pour tout t, et > 0.

On la trouvera donc en résolvant le système : L/qt = t Ut’(qt) – = 0, pour tout t,

Σ tT=0 qt – S0 = 0.

4.2 Temps continuOn veut résoudre le problème suivant :

Choisir un plan d’extraction (q(t) ; t 0)

pour maximiser la fonction objectifW(Q) = 0

T e-rt Ut(q(t)) dtsous la contrainte d’épuisement

0T q(t) dt S0.

4.2 Temps continuOn forme le lagrangien associé :

L = 0T e-rt Ut(q(t)) dt – (0

T q(t) dt – S0),

où : est un multiplicateur de Lagrange.

4.2 Temps continuLa solution du problème vérifie :

q(t) 0, L/q(t) 0 et q(t) (L/q(t)) = 0, t,

0 et (0T q(t) dt – S0) = 0.

4.2 Temps continuAvec des fonctions d’utilité standards, la

solution vérifiera : q(t) > 0, pour tout t, et > 0.

On la trouvera donc en résolvant le système : L/q(t) = e-rt Ut’(q(t)) – = 0, pour tout t,

0T q(t) dt – S0 = 0.

4.3 ExercicesExercice 4 : Supposons que les trois

générations ont la même fonction d’utilité :

U0(-) = U1(-) = U2(-) = U(-)

avec : U(q) = (1 – q/2)q, q étant la consommation de la ressource.

Ecrire le lagrangien associé à ce problème.Déterminer le système d’équations

caractérisant sa solution.

5. Gestion privée d’une ressource épuisable

On étudie ici la gestion d’une res. épuisable par des propriétaires privés.

On note :• P(q) = la fonction de demande inverse• i = le taux d’intérêtToutes ces données sont supposées

constantes à travers le temps.

5.1. Valeur Actualisée Nette

On appelle Valeur Actualisée Nette, associée à un flux de profits futurs (0, …, t, …), la somme d’argent, notée VAN, telle que tout acteur du marché financier serait indifférent entre :

• d’une part, disposer immédiatement de la somme d’argent VAN ;

• d’autre part, percevoir, dans le futur, la suite des flux de profits (0, …, t, …).

5.1. Valeur Actualisée Nette

Supposons que le taux d’intérêt du marché financier soit de i = 50% par période.

La VAN associée à un profit de 1 €, perçu aux périodes t = 0, 1, 10 ou 100, est donnée par le tableau (avec 1/(1 + i) = 2/3) :

t 0 1 10 100VAN 1 2/3 (2/3)10 (2/3)100

5.1. Valeur Actualisée Nette

En toute généralité, la valeur actualisée nette d’un flux de profits (0, …, t, …), pour un taux d’intérêt i, s’écrit :

VAN = 0 + 1 + … + t t + …où :

= 1/(1 + i) = le facteur d’actualisation, associé au taux d’intérêt i.

5.2. MonopoleSupposons qu’il y a un propriétaire-

exploitant unique, en position de monopole sur le marché de la ressource épuisable.

On note :

• S0 = son stock

• (c0, …, ct, …) = ses coûts d’extraction unitaire

5.2. MonopoleLe monopole cherche à :

Choisir un plan d’extraction(q0, …, qt, …)

pour maximiser son profit intertemporelVAN = Σt t (P(qt) – ct) qt

sachant sa contrainte d’épuisementq0 + … + qt + … S0

On appelle équilibre du monopole la solution (q0*, …, qt*, …) de ce problème.

5.2. MonopoleOn appelle recette marginale du

monopole, la fonction Rm, associant à toute quantité q, l’accroissement de sa recette totale pour l’augmentation d’une unité (infiniment petite) de son offre de la ressource.

Par définition de la dérivée :Rm = (P(q) q)’ = P’(q) q + P(q)

5.2. MonopoleEn adaptant les résultats de la sect°

4, on déduit que :Théorème : L’équilibre du monopole

(q0*, …, qt*, …) vérifie :

(1) : Rm0 – c0 = … = t(Rmt – ct) = …

(2) : q0* + … + qt* + … = S0

5.2. MonopoleLa condition (1) signifie que le monopole choisit

un plan d’extraction tel que la dernière unité extraite rapporte autant, en valeur actuelle, à n’importe quelle date.

Sinon, il aurait intérêt à réduire son offre à une date où la dernière unité extraite rapporte moins, en valeur actuelle, pour l’augmenter à une date où la dernière unité extraite rapporte plus, en valeur actuelle.

La condition (2) signifie qu’il épuise son gisement, en un temps fini ou infini.

5.2. MonopoleEx. 5 : Déterminer l’équilibre du monopole dans le cas où :

P(q) = 1/qe (0 < e < 1) et ct = 0, pour tout t.On a : RT = q1-e. D’où : Rm = (1 – e)/qe.L’équilibre du monopole vérifie :

(1) : (1 – e)/q0e = … = t (1 – e)/qt

e = …(2) : q0 + … + qt + … = S0

En utilisant (1) : qt/q0 = dt, pour tout t, en notant d = 1/e.En substituant dans (2) :

(2) : q0 (1 + d + … + dt + …) = q0/(1 - d) = S0

Donc, q0 = (1 - d) S0.Finalement, avec (1) : qt* = dt (1 - d) S0, pour tout t.

5.3. Concurrence parfaite

Supposons qu’il y a J propriétaires-exploitants identiques.

On note, pour chaque j :• s0 = son stock, avec Σj s0 = S0

• (c0, …, ct, …) = ses coûts d’extraction unitaires

• (p0, …, pt, …) = son anticipation des prix futurs

5.3. Concurrence parfaite

Tous les propriétaires cherchent à :Choisir un plan d’extraction

(q0, …, qt, …)pour maximiser leur profit intertemporel

VAN = Σt t (pt – ct) qt

sachant leur contrainte d’épuisementq0 + … + qt + … s0

On appelle équilibre du propriétaire la solution (q0*, …, qt*, …) de ce problème.

5.3. Concurrence parfaite

A quelques détails près (ici, s0 est quelconque et T peut être infini), ce problème est semblable à celui de la section 2.2.

En effet, en posant : Ut(qt) = (pt – ct) qt,on peut le réécrire :

Choisir (q0, …, qt, …),

pour maximiser Σt t Ut(qt),

sachant q0 + … + qt + … s0.

5.3. Concurrence parfaite

En adaptant le théorème de la sect° 2.2, avec ici, Umt(qt) = pt – ct, on déduit :

L’équilibre du propriétaire (q0*, …, qt*, …) vérifie :

(1) : p0 – c0 = … = t (pt – ct) = …,

(2) : q0* + … + qt* + … = s0.

5.3. Concurrence parfaite

La condition (1) signifie que les propriétaires doivent anticiper que la dernière unité extraite rapporte autant, en valeur actuelle, à n’importe quelle date.

Sinon, tous auraient intérêt à attendre la date où (ils anticipent que) la dernière unité extraite rapportera le plus, en valeur actuelle, pour extraire s0 en une fois. Mais alors, le prix à cette date s’effondrerait et leur anticipation serait contredite.

La condition (2) signifie qu’il épuise son gisement, en un temps fini ou infini.

5.3. Concurrence parfaite

Un équilibre du marché (symétrique et avec anticipation parfaite) se définit par :

• Une anticipation de prix (p0*, …, pt*, …)• Un plan d’extraction (q0*, …, qt*, …) tels que :• L’anticipation (p0*, …, pt*, …) se réalise si tous les

propriétaires appliquent le plan (q0*, …, qt*, …)• Le plan (q0*, …, qt*, …) est un équilibre des

propriétaires s’ils anticipent (p0*, …, pt*, …)

5.3. Concurrence parfaite

Théorème : Les anticipations de prix (p0*, …, pt*, …) et le plan d’extraction (q0*, …, qt*, …) forment un équilibre de marché (symétrique et avec anticipation parfaite) si :

(p0*, …, pt*, …) = (P(Σjq0*), …, P(Σjqt*), …),

p0* – c0 = … = t (pt* – ct) = …,

q0* + … + qt* + … = s0.

5.3. Concurrence parfaite

Ex. 5 : Déterminer l’équilibre du marché dans le cas où :J = 2, P(q) = 1/q et ct = 0, pour tout t.

L’équilibre du marché vérifie :(1) : (p0, …, pt, …) = (1/(2q0), …, 1/(2qt), …)(2) : p0 = … = t pt = …,(3) : q0 + … + qt + … = s0.

En substituant (1) dans (2), on a :(2) : 1/(2q0) = … = t/(2qt) = …

Il s’ensuit que : qt/q0 = t, pour tout t.En substituant dans (3) :

(3) : q0 (1 + + … + t + …) = q0/(1 - ) = s0

Donc, q0 = (1 - ) s0.On en déduit que : qt* = t (1 - ) s0, pour tout t.L’offre totale est donc Σj qt* = 2qt* = t (1 - ) S0, pour tout t.Les prix d’équilibre sont : pt* = 1/[t (1 - ) S0], pour tout t.

5.3. Concurrence parfaite

Ex. 5 : Déterminer l’équilibre du marché dans le cas où :J = 2, P(q) = 1/qe (0 < e < 1) et ct = 0, pour tout t.

L’équilibre du marché vérifie :(1) : (p0, …, pt, …) = (1/(2q0)e, …, 1/(2qt)e, …),(2) : p0 = … = t pt = …,(3) : q0 + … + qt + … = s0.

En utilisant (1), on a :(2) : 1/(2q0)e = … = t/(2qt)e = …

Il s’ensuit que : qt/q0 = dt, pour tout t, en notant d = 1/e.En substituant dans (3) :

(2) : q0 (1 + d + … + dt + …) = q0/(1 - d) = s0

Donc, q0 = (1 - d) s0.Finalement, avec (2) : qt* = dt (1 - d) s0, pour tout t.L’offre totale est donc : Σj qt* = 2 qt* = dt (1 - d) S0, pour tout t.Les prix d’équilibre sont : pt* = 1/[dt (1 - d) S0]e, pour tout t.

5.4. Règle d’HotellingOn appelle rente de rareté à la date

t du propriétaire, notée Rt, sa marge sur la dernière unité extraite à la date t :

Rt = pt – ct, en concurrence parfaite

Rt = Rmt – ct, en monopole

5.4. Règle d’HotellingThéorème (Règle d’Hotelling) : A l’équilibre, la

rente de rareté croît à toute période au rythme du taux d’intérêt i :

(Rt+1 – Rt)/Rt = i.

Preuve : En substituant Rt = pt – ct ou = Rmt – ct, la seconde condition du théorème devient :

R1 = … = t Rt = ….

On a donc : quelle que soit t, Rt+1 = Rt, d’où l’on déduit : (Rt+1 - Rt)/Rt = 1/ - 1 = i.

5.5. Application ExcelSoit le problème de ressource suivant :

S0 = le stock initial,

T = la durée d’exploitation, = le facteur d’actualisation,

Ut(qt) = (a – b qt/2) qt = l’utilité,

Ct(qt) = c qt = le coût d’extraction,

avec a > 0, b > 0, c > 0 et 0 < < 1.

5.5. Application ExcelOn va construire une feuille de calculs pour

déterminer les plans d’extraction d’équilibre en conc. pure et parfaite et du monopole.

Pour cela, il faut maximiser resp. :WCPP(Q) = t t [Ut(qt) – Ct(qt)],

WM(Q) = t t [RTt(qt) – Ct(qt)].

(Rque : La f° de demande est Pt(qt) = a – b qt.)

5.5. Application ExcelOn organise la feuille de calcul en :

• Une zone de paramètres (a, b, c, , S0) ;

• Une zone de calculs pour déterminer l’équilibre en conc. pure et parfaite ;

• Une zone de calculs pour déterminer l’équilibre du monopole.

5.5. Application Excel

On déclare, dans les cellules : B4 et B5 : les paramètres a et b de la fonction d’utilité ;B6 : le paramètre c de la fonction de coût ;B7 : le fact. d’actualisat° ;B8 : le stock initial S0.

Zone de paramètrage :

5.5. Application ExcelOn déclare, dans les cellules : A15:A25 : les dates t ; B15:B25 : les qtités qt ; C15:C26 : les stocks St ; D15:D25 : les util. Ut(qt) ; E15:E25 : les coûts Ct(qt) ; F15:F25 : t (Ut(qt) – Ct(qt)).

Zone de calculs : Cas de la conc. pure et parf.

=($B$4-$B$5/2*B15)*B15

=$B$6*B15

=SOMME(F15:F24)=C15-B15

=$B$7^A15*(D15-E15)

=$B$8

5.5. Application ExcelDans le solveur, on déclare : F26 comme cellule cible ; B15:B24 comme cellules variables ; B15:B24 >= 0 comme contraintes ; C25 >= 0 comme contrainte.

Boîte de dialogue du Solveur :

5.5. Application ExcelLe Solveur converge vers cette solution :

5.5. Application ExcelOn déclare, dans les cellules : A30:A40 : les dates t ; B30:B39 : les qtités qt ; C30:C40 : les stocks St ; D30:D39 : les rec. RTt(qt) ; E30:E39 : les coûts Ct(qt) ; F30:F39 : t(RTt(qt)–Ct(qt)).

Zone de calculs : Cas du monopole.

=($B$4-$B$5*B30)*B30

=$B$6*B30

=SOMME(F30:F39)=C30-B30

=$B$7^A30*(D30-E30)

=$B$8

5.5. Application ExcelDans le solveur, on déclare : F41 comme cellule cible ; B30:B39 comme cellules variables ; B30:B39 >= 0 comme contraintes ; C40 >= 0 comme contrainte.

Boîte de dialogue du Solveur :

5.5. Application ExcelLe Solveur converge vers cette solution :

5.5. Application ExcelComparaison des deux trajectoires d’extraction :

5.5. ExerciceAdapter la feuille de calculs pour prendre en

compte l’hypothèse d’un progrès technique dans l’extraction de la ressource.

Formellement, supposer que le coût d’extraction s’écrit :

Ct(qt) = ct qt,

ct = c (1 – g)t,

où g = le taux de progrès technique.

6. Mesurer la raretéLes Nations Unies définissent :•Les Réserves comme l'ensemble des gisements connus et exploitables, techniquement et économiquement ;•Les Ressources comme l'ensemble des gisements connus ou supposés.

6. Mesurer la rareté

Coûtd’exploit°

Certitude géologique croissante

RESSOURCES

RESERVES

DécouvertesNon

découvertes

Sit

es

con

nu

s

Sit

es

inco

nn

usTrop coûteux

Exploitable

6.1 Indicateurs physiques

6.1 Indicateurs physiques

La ratio Rés./Conso. donne le nombre d’années de consommation, au même rythme, à réserves constantes.Ce n’est pas un bon indicateur de rareté (Cf. tableau).

6.1 Indicateurs physiques

Plusieurs facteurs peuvent expliquer l’évolution du ratio Conso./Rés. :•La découverte de nouveaux gisements ;•L’amélioration des technologies d’exploitation ;•L’augmentation du prix, incitant à ouvrir des sites non rentables ;•Le comportement stratégique des acteurs.

6.2 Indicat. économiques

Du point de vue économique, la rareté se mesure comme le coût d’opportunité d’un bien, exprimé en unités d’un autre bien.Comme indicateur de rareté d’une ressource, on utilisera donc :•Son coût d’extraction ;•Son prix de marché ;•Sa valeur in situ.

6.2 Indicat. économiques

Si, à une date t, l’extraction à l’éq. éco. est qt*, alors :

•Le coût d’extract° est Cm ;•Le prix de marché est pt* ;

•La valeur in situ est Rt* = qt* – Cm.

€/uP(q)

Cm

qt* q

pt*Rt*

6.2 Coût d’extractionCoût technique d’un baril de brut (dollar US)

6.2 Coût d’extractionSur la décennie 1990-2000, le coût d’extraction du pétrole a fortement diminué (Cf. Tableau).Ceci traduit un progrès technique important dans ce secteur.

6.3 Prix de marché

Source : Krautkraemer (2005)

Indices de prix réel 1960-1995

6.4 Valeur in situComme il est rare qu’un gisement soit vendu, les statistiques sur la valeur in situ sont rares.Elles doivent donc être reconstituées :•soit à partir de séries de prix et de coût d’extraction ;•soit à partir de séries de coût d’exploration.

6.4 Valeur in situ

Les tentatives de reconstitution indirecte de séries de valeurs in situ ont en général conclu qu’elles avaient plutôt diminué avec le temps (Krautkraemer 1998).