Post on 04-Apr-2015
Econometrie des Series Temporelles:
Principes et Applications en Finance
Dr. Anne-Sophie Van Royen
Universite de Sherbrooke
16-18 Juillet 2004
Contact
• Dr. Anne-Sophie Van Royen
• Credit Suisse Asset Management, New York
• Anne-sophie.vanroyen@csam.com
• Tel: (212) 712 7768
Plan de cours
• 15 heures reparties sur 3 jours• Examen• Objectifs:
– Familiarisation avec les principaux themes d’interet en econometrie des marches financiers
– Modelisation et tests d’hypotheses– Applications a travers exemples et exercices– Le programme est charge, ne paniquez pas si vous avez
du mal a absorber le programme– POSEZ des questions
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References
• Hamilton (1994) Time Series Analysis
• Campbell, Lo, MacKinlay (1997) The Econometrics of Financial Markets
• Judge, Hill et al. (1988) Introduction to the Theory and Practive of Econometrics
• Harvey (1993) Time Series Models
Introduction Generale
Elements d’Algebre lineaire
A Priori Negatif?
• There are three kinds of lies - lies, damned lies and statistics. – Benjamin Disraeli
• Satan delights equally in statistics and in quoting scripture.... – H.G. Wells, The Undying Fire
Econometrie
• Utilisation de donnees (variables observees) afin d’analyser les relations economiques entre diverses variables
• Les donnees: observations tirees aleatoirement parmi une population (individus, menages, firmes) ou unites d’observations (industries, pays, marches).
• Sauf dans de rares cas, les donnees sont tirees d’un echantillon reel• Buts principaux:
– estimation des relations entre differentes variables– test d’hypotheses– existence de relation entre variables– direction de la relation entre une variables economique – variable
dependante – et ses determinants presumes– importance (significativite) de la relation
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Processus
EconomicTheory
Mathematics
DeterministicEconomicModel
Statistical Theory
StatisticalModel
Data
Computing
Estimates &Inferences
Conclusions
Quatre Etapes
1. Donnees– Collecte et transformation des donnees= matieres premieres– Les donnees sont le plus souvent observees (a distinguer des donnees
experimentales / simulees generees sous des conditions pre-determinees)2. Specification
– Specification du modele: comment les donnees ont ete generees– Deux composantes:
1. Modele economique specifiant quelle sont les variable dependantes et les variables explicatives- Souvent tire de la theorie economique/financiere- Eclaire par l’intuition et l’observation2. Modele statistique: specifie les caracteristiques/forme de la relation a etudier
Quatre Etapes
3. EstimationUtilisation des donnees collectees afin d’estimer les valeurs numeriques des variables inconnues du modele
4. InferenceUtiliser les valeurs estimees des parametres afin de tester des hypothesesquant aux valeurs numeriques obtenues
• Methode scientifique• Principes et methodes necessares a toute investigation scientifique:
1. Formation de concepts directeurs2. Conduire experimentations3. Valider les hypotheses
• L’econometrie est la branche de l’economie -- the dismal science – qui se focalise sur 2) et 3)
Exemple 1
• Quels sont les determinants principaux de la depense des menages en nourriture?• Donnees: x echantillon de menages• Pour chacun: trois variables observees• foodexp = depense annuelle du menage, en milliers de dollars• revenu = revue annuel du menage, en milliers de dollars• hhsize = taille du menage, nombre d’individus
foodexp income hhsize1. 15.998 62.476 12. 16.652 82.304 53. 21.741 74.679 34. 7.431 39.151 35. 10.481 64.724 56. 13.548 36.786 37. 23.256 83.052 48. 17.976 86.935 19. 14.161 88.233 2
• Quel type de relation existe entre ces variables? • Quel est le processus statistique qui genere ces donnees?• Reponse: Nous postulons que la consommation de chaque menage
(notee foodexpi) peut s’exprimer comme suit:Foodexp(i)=f(income(i),hsize(i))+u(i)
• Quelle est la forme de la fonction f? • Reponse : Nous postulons que f est une fonction lineaire•
Foodexp(i)=a+b1 income(i)+b2 hsize(i)+u(i)• ui: erreur d’estimation pour le menage i• a,b1 et b2•sont les parametres a estimer • Si les variables sont transformees en logarithme, les coefficients b
sont interpretes comme des elasticites partielles
Exemple 2
• Importance de la volatilite sur le marche des options• Volatilite: Definie comme la variance conditionelle des taux de rendements d’un
actif sous jacent• Comment exprimer et estimer le comportement de la volatilite d’un actif au cours
du temps? • La volatilite n’est pas directement mesurable• Que remarquez vous sur ce graphique?
.0
.2
.4
.6
64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
V5 V260 V1300
15
• PAS LE CONTRAIRE
• Caracteristiques1. “Volatility clusters”, la volatilite peut demeurer a un haut niveau sur une longue periode2. Evolution continue – pas de sauts discontinus.3. Ne diverge pas vers l’infini.4. Asymmetrie: Reagit differemment a un choc positif ou negatif sur les rendements
Passer des Faits aux Modeles
• Notons z le taux de rendement de l’actif
• Moyenne et variance conditionelle
• Pour simplifier, nous faisons l’hypothese
• Les modeles de volatilite se concentrent sur
)ln()ln()ln( 1 tttt pppz
]/)[()/()/( 2ttttttttt ZzEZzVarhZzE
0tth
17
ARCH
• Engle (1982). Idee principale:1) Les taux de rendement sont non-correles mais
dependents
2) La relation de dependence s’exprime sous une forme quadratique
22110 ..., rtrttttt zzhhz
00)1,0( 0 it iid
18
• Interpretation De forts taux de rendement (eleves au carre) impliquent une forte variance conditionelle. Par consequence, les taux de rendement futur tendent a avoir une forte valeur absolue
• De forts taux de rendement ont tendance a etre suivis par d’autres forts taux de rendement (volatility clustering)
• Pas de prise en compte de l’asymmetrie
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Un Bon Analyste…1) Doit etre capable de formuler ses hypotheses
– Justification economique des variables prises en compte– Justification de la forme postulee de la relation entre
variables
2) Doit etre conscient que tout n’est pas solvable par une regression lineaire
3) Au dela de l’intuition economique et financiere, doit posseder certains outils de base- Algebre, mathematiques, statistiques, notations - Outils de modelisation econometrique- Programmation
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Algebre Lineaire
• La partie du cours tant attendue…• Facilite les notations• Outils de base
– Operations elementaires– Transposition– Determinant– Inversion– Exemple
Algebre Lineaire
• Source: James R. Schott Matrix Analysis for Statistics (New York: John Wiley & Sons, Inc. 1997).
• Une matrice A de dimension m x n correspond a un groupe rectangulaire d’elements
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
NotationsLes elements d’une matrice sont definis par leur position en
ligne et colonne
Le 1er element fait reference a la ligne et le second a la colonne
Ainsi, est l’element se trouvant a l’intersection de la iieme ligne et jieme colonne
2221
1211
kk
kkk
ijk
Somme
• La somme de 2 matrices de dimensions identiques s’exprime:
imiii
mj
j
j
j aaaa
a
a
a
a 212
1
ou
ijij baBA
Multiplication
• Multiplication par un scalaire: multiplier chaque element par le scalaire
• Multiplication matricielle: Deux vecteurs x et y peuvent etre multiplies ensemble: z (z=x y) ssi x et y sont conformables
• Si x est de dimension 1 x n et y de dimension n x 1, les vecteurs sont conformables
• Dimension de z: (m x n) X (n x p) m x p
• Extension a deux matrices A and B: Si A et B sont 2 matrices de dimensions respectives k x n et n x l, les matrices sont conformables
n
iii yxyxz
1
3
5
1
2
2021
B
A
Trouver AxB
Multiplication
lkkk
l
l
l
k
bababa
bababa
bababa
bbb
a
a
a
ABC
21
22212
12111
212
1Ligne
Colonne
Proprietes Utiles
• Soient et be scalaires, A, B, et C trois matrices. Nous avons les proprietes suivantes
A+B=B+A.(A+B)+C=A+(B+C).(A+B)=A+B.(+)A=A+A.A-A=A+(-A)=(0)A(B+C)=AB+AC.(A+B)C=AC+BC.(AB)C=A(BC).
Transposition
• La transposee d’une matrice de dimension n x m matrix est la matrice de dimension m x n ou les lignes et les colonnes sont interchangees.
• La transposee de A est notee A’.
Proprietes
• Soient et deux scalaires et A et B deux matrices. Nous avons:(A)’=A’.
(A’)’=A.
(A+B)’=A’+B’.
(AB)’=B’A’.
30
Exercice
• Quelle est la transposee de A?
101
132A
Determinant
• Notation technique:
Ou toutes les permutations sont prises en compte
miiiiiif
miiiiiif
m
m
m
m
aaa
aaaA
21,
21,,
21
21
21
21
1
1
Utilisation
• Tres utile en statistiques
• Le logarithme de la distribution normale multivariee
n
iii
n
yyZ
Ztrnmn
1
1
'
2
1ln
2
12ln
2
1,
Det(Omega)
Cas simple
• Matrice 2x2: En utilisant la definition precedente
21121
22110 11 aaaaA
36.12^8.02*1)det(
28.
8.1
A
A
Inversion
• Definition: Une matrice A de dimension m x m telle que |A|<>0 est dite “non-singuliere” et possede une inverse
• notee A-1 telle que
mIAAAA 11
Proprietes
• Si alpha est un scalaire different de zero, et A et B sont deux matrices non-singulieres:
• (A)-1=-1A-1
• (A’)-1=(A-1)’• (A-1)-1=A• |A-1|=|A|-1
• Si A=diag(a11,…amm), A-1=diag(a11-1,…amm
-1).• Si A=A’, alors A-1=(A-1)’.• (AB)-1=B-1A-1.
36
Cas Simple
• Inverse d’une matrice 2x2
73.059.0
59.047.1
18.0
8.02
)det(
1
28.0
8.01
1
AA
A
Rang
• Le rang d’une matrice est le nombre de lignes ou de colonnes lineairement independantes
• Exemple: trois vecteurs x,y,z• 2x+3y-5z=0 dependance• Condition: Le determinant doit etre
different de 0
Exemple
|A|=0. Pour determiner le rang, nous eliminons la derniere colonne et ligne:
13164
873
591
A
.2027773
9111
AA
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Valeurs Propres• Les valeurs propres d’une matrice mesurent la proportion de la
variance expliquee
• Definition: Ax=x, est l’ensemble des valeurs propres de A.• Ax=x (A-I)x=0
• Calculer x et :– Calculer det(A-I) Revient a exprimer une forme polynomiale– Identifier les racines det(A-I)=0
• Le rang d’une matrice est determine par le nombre de valeurs propres differentes de 0
40
13164
873
591
A
0)7(*20288)13(27128)13)(7)(1(
87
596
1316
593
1316
87)1()det(
A
Forme polynomiale de degre 3Racines: 23.7 -2.7 0
A est de rang 2
Questions
1. Pouvons nous multiplier ces deux matrices?
• Quel type de matrice est inversible?• Qu’est ce que la transposee d’une matrice et son
inverse?• Si une matrice ne peut pas etre inversee, quel est
la valeur de son determinant?
A
1
4
7
2
5
8
3
6
9
B
1
2
3
4