Econometrie des Series Temporelles:

Principes et Applications en Finance

Dr. Anne-Sophie Van Royen

Universite de Sherbrooke

16-18 Juillet 2004

Contact

• Dr. Anne-Sophie Van Royen

• Credit Suisse Asset Management, New York

• Anne-sophie.vanroyen@csam.com

• Tel: (212) 712 7768

Plan de cours

• 15 heures reparties sur 3 jours• Examen• Objectifs:

– Familiarisation avec les principaux themes d’interet en econometrie des marches financiers

– Modelisation et tests d’hypotheses– Applications a travers exemples et exercices– Le programme est charge, ne paniquez pas si vous avez

du mal a absorber le programme– POSEZ des questions

4

References

• Hamilton (1994) Time Series Analysis

• Campbell, Lo, MacKinlay (1997) The Econometrics of Financial Markets

• Judge, Hill et al. (1988) Introduction to the Theory and Practive of Econometrics

• Harvey (1993) Time Series Models

Introduction Generale

Elements d’Algebre lineaire

A Priori Negatif?

• There are three kinds of lies - lies, damned lies and statistics.  – Benjamin Disraeli

• Satan delights equally in statistics and in quoting scripture....  – H.G. Wells, The Undying Fire

http://store4.yimg.com/I/demotivators_1677_7343637

Econometrie

• Utilisation de donnees (variables observees) afin d’analyser les relations economiques entre diverses variables

• Les donnees: observations tirees aleatoirement parmi une population (individus, menages, firmes) ou unites d’observations (industries, pays, marches).

• Sauf dans de rares cas, les donnees sont tirees d’un echantillon reel• Buts principaux:

– estimation des relations entre differentes variables– test d’hypotheses– existence de relation entre variables– direction de la relation entre une variables economique – variable

dependante – et ses determinants presumes– importance (significativite) de la relation

9

Processus

EconomicTheory

Mathematics

DeterministicEconomicModel

Statistical Theory

StatisticalModel

Data

Computing

Estimates &Inferences

Conclusions

Quatre Etapes

1. Donnees– Collecte et transformation des donnees= matieres premieres– Les donnees sont le plus souvent observees (a distinguer des donnees

experimentales / simulees generees sous des conditions pre-determinees)2. Specification

– Specification du modele: comment les donnees ont ete generees– Deux composantes:

1. Modele economique specifiant quelle sont les variable dependantes et les variables explicatives- Souvent tire de la theorie economique/financiere- Eclaire par l’intuition et l’observation2. Modele statistique: specifie les caracteristiques/forme de la relation a etudier

Quatre Etapes

3. EstimationUtilisation des donnees collectees afin d’estimer les valeurs numeriques des variables inconnues du modele

4. InferenceUtiliser les valeurs estimees des parametres afin de tester des hypothesesquant aux valeurs numeriques obtenues

• Methode scientifique• Principes et methodes necessares a toute investigation scientifique:

1. Formation de concepts directeurs2. Conduire experimentations3. Valider les hypotheses

• L’econometrie est la branche de l’economie -- the dismal science – qui se focalise sur 2) et 3)

Exemple 1

• Quels sont les determinants principaux de la depense des menages en nourriture?• Donnees: x echantillon de menages• Pour chacun: trois variables observees• foodexp = depense annuelle du menage, en milliers de dollars• revenu = revue annuel du menage, en milliers de dollars• hhsize = taille du menage, nombre d’individus

foodexp income hhsize1. 15.998 62.476 12. 16.652 82.304 53. 21.741 74.679 34. 7.431 39.151 35. 10.481 64.724 56. 13.548 36.786 37. 23.256 83.052 48. 17.976 86.935 19. 14.161 88.233 2

• Quel type de relation existe entre ces variables? • Quel est le processus statistique qui genere ces donnees?• Reponse: Nous postulons que la consommation de chaque menage

(notee foodexpi) peut s’exprimer comme suit:Foodexp(i)=f(income(i),hsize(i))+u(i)

• Quelle est la forme de la fonction f? • Reponse : Nous postulons que f est une fonction lineaire•

Foodexp(i)=a+b1 income(i)+b2 hsize(i)+u(i)• ui: erreur d’estimation pour le menage i• a,b1 et b2•sont les parametres a estimer • Si les variables sont transformees en logarithme, les coefficients b

sont interpretes comme des elasticites partielles

Exemple 2

• Importance de la volatilite sur le marche des options• Volatilite: Definie comme la variance conditionelle des taux de rendements d’un

actif sous jacent• Comment exprimer et estimer le comportement de la volatilite d’un actif au cours

du temps? • La volatilite n’est pas directement mesurable• Que remarquez vous sur ce graphique?

.0

.2

.4

.6

64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02

V5 V260 V1300

15

• PAS LE CONTRAIRE

• Caracteristiques1. “Volatility clusters”, la volatilite peut demeurer a un haut niveau sur une longue periode2. Evolution continue – pas de sauts discontinus.3. Ne diverge pas vers l’infini.4. Asymmetrie: Reagit differemment a un choc positif ou negatif sur les rendements

Passer des Faits aux Modeles

• Notons z le taux de rendement de l’actif

• Moyenne et variance conditionelle

• Pour simplifier, nous faisons l’hypothese

• Les modeles de volatilite se concentrent sur

)ln()ln()ln( 1 tttt pppz

]/)[()/()/( 2ttttttttt ZzEZzVarhZzE

0tth

17

ARCH

• Engle (1982). Idee principale:1) Les taux de rendement sont non-correles mais

dependents

2) La relation de dependence s’exprime sous une forme quadratique

22110 ..., rtrttttt zzhhz

00)1,0( 0 it iid

18

• Interpretation De forts taux de rendement (eleves au carre) impliquent une forte variance conditionelle. Par consequence, les taux de rendement futur tendent a avoir une forte valeur absolue

• De forts taux de rendement ont tendance a etre suivis par d’autres forts taux de rendement (volatility clustering)

• Pas de prise en compte de l’asymmetrie

19

Un Bon Analyste…1) Doit etre capable de formuler ses hypotheses

– Justification economique des variables prises en compte– Justification de la forme postulee de la relation entre

variables

2) Doit etre conscient que tout n’est pas solvable par une regression lineaire

3) Au dela de l’intuition economique et financiere, doit posseder certains outils de base- Algebre, mathematiques, statistiques, notations - Outils de modelisation econometrique- Programmation

20

Algebre Lineaire

• La partie du cours tant attendue…• Facilite les notations• Outils de base

– Operations elementaires– Transposition– Determinant– Inversion– Exemple

Algebre Lineaire

• Source: James R. Schott Matrix Analysis for Statistics (New York: John Wiley & Sons, Inc. 1997).

• Une matrice A de dimension m x n correspond a un groupe rectangulaire d’elements

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

NotationsLes elements d’une matrice sont definis par leur position en

ligne et colonne

Le 1er element fait reference a la ligne et le second a la colonne

Ainsi, est l’element se trouvant a l’intersection de la iieme ligne et jieme colonne

2221

1211

kk

kkk

ijk

Somme

• La somme de 2 matrices de dimensions identiques s’exprime:

imiii

mj

j

j

j aaaa

a

a

a

a 212

1

ou

ijij baBA

Multiplication

• Multiplication par un scalaire: multiplier chaque element par le scalaire

• Multiplication matricielle: Deux vecteurs x et y peuvent etre multiplies ensemble: z (z=x y) ssi x et y sont conformables

• Si x est de dimension 1 x n et y de dimension n x 1, les vecteurs sont conformables

• Dimension de z: (m x n) X (n x p) m x p

• Extension a deux matrices A and B: Si A et B sont 2 matrices de dimensions respectives k x n et n x l, les matrices sont conformables

n

iii yxyxz

1

3

5

1

2

2021

B

A

Trouver AxB

Multiplication

lkkk

l

l

l

k

bababa

bababa

bababa

bbb

a

a

a

ABC

21

22212

12111

212

1Ligne

Colonne

Proprietes Utiles

• Soient et be scalaires, A, B, et C trois matrices. Nous avons les proprietes suivantes

A+B=B+A.(A+B)+C=A+(B+C).(A+B)=A+B.(+)A=A+A.A-A=A+(-A)=(0)A(B+C)=AB+AC.(A+B)C=AC+BC.(AB)C=A(BC).

Transposition

• La transposee d’une matrice de dimension n x m matrix est la matrice de dimension m x n ou les lignes et les colonnes sont interchangees.

• La transposee de A est notee A’.

Proprietes

• Soient et deux scalaires et A et B deux matrices. Nous avons:(A)’=A’.

(A’)’=A.

(A+B)’=A’+B’.

(AB)’=B’A’.

30

Exercice

• Quelle est la transposee de A?

101

132A

Determinant

• Notation technique:

Ou toutes les permutations sont prises en compte

miiiiiif

miiiiiif

m

m

m

m

aaa

aaaA

21,

21,,

21

21

21

21

1

1

Utilisation

• Tres utile en statistiques

• Le logarithme de la distribution normale multivariee

n

iii

n

yyZ

Ztrnmn

1

1

'

2

1ln

2

12ln

2

1,

Det(Omega)

Cas simple

• Matrice 2x2: En utilisant la definition precedente

21121

22110 11 aaaaA

36.12^8.02*1)det(

28.

8.1

A

A

Inversion

• Definition: Une matrice A de dimension m x m telle que |A|<>0 est dite “non-singuliere” et possede une inverse

• notee A-1 telle que

mIAAAA 11

Proprietes

• Si alpha est un scalaire different de zero, et A et B sont deux matrices non-singulieres:

• (A)-1=-1A-1

• (A’)-1=(A-1)’• (A-1)-1=A• |A-1|=|A|-1

• Si A=diag(a11,…amm), A-1=diag(a11-1,…amm

-1).• Si A=A’, alors A-1=(A-1)’.• (AB)-1=B-1A-1.

36

Cas Simple

• Inverse d’une matrice 2x2

73.059.0

59.047.1

18.0

8.02

)det(

1

28.0

8.01

1

AA

A

Rang

• Le rang d’une matrice est le nombre de lignes ou de colonnes lineairement independantes

• Exemple: trois vecteurs x,y,z• 2x+3y-5z=0 dependance• Condition: Le determinant doit etre

different de 0

Exemple

|A|=0. Pour determiner le rang, nous eliminons la derniere colonne et ligne:

13164

873

591

A

.2027773

9111

AA

39

Valeurs Propres• Les valeurs propres d’une matrice mesurent la proportion de la

variance expliquee

• Definition: Ax=x, est l’ensemble des valeurs propres de A.• Ax=x (A-I)x=0

• Calculer x et :– Calculer det(A-I) Revient a exprimer une forme polynomiale– Identifier les racines det(A-I)=0

• Le rang d’une matrice est determine par le nombre de valeurs propres differentes de 0

40

13164

873

591

A

0)7(*20288)13(27128)13)(7)(1(

87

596

1316

593

1316

87)1()det(

A

Forme polynomiale de degre 3Racines: 23.7 -2.7 0

A est de rang 2

Questions

1. Pouvons nous multiplier ces deux matrices?

• Quel type de matrice est inversible?• Qu’est ce que la transposee d’une matrice et son

inverse?• Si une matrice ne peut pas etre inversee, quel est

la valeur de son determinant?

A

1

4

7

2

5

8

3

6

9

B

1

2

3

4