Cours m1 Econometrie Appliquee Slide2

8/8/2019 Cours m1 Econometrie Appliquee Slide2

1/34

S a n c e 2

L e m o d l e d e r g r e s s i o n s i m p l e

E m m a n u e l F l a c h a i r e c o n o m t r i e A p p l i q u e
http://find/http://goback/


2/34

L e m o d l e d e r g r e s s i o n

L e m o d l e d e r g r e s s i o n e s t l ' o u t i l p r i n c i p a l d e l ' c o n o m t r e

Q u ' e s t c e q u e l ' a n a l y s e d e r g r e s s i o n ?

L ' a n a l y s e d e r g r e s s i o n e s t l ' t u d e d e l a r e l a t i o n e n t r e u n e

v a r i a b l e d p e n d a n t e ( y ) e t u n e o u p l u s i e u r s a u t r e s v a r i a b l e s

e x p l i c a t i v e s ( x

1

, x2

, ..., xk

)

D a n s l e c a s d ' u n e r g r e s s i o n s i m p l e , n o u s n o u s l i m i t o n s a u c a s

d ' u n e s e u l e v a r i a b l e e x p l i c a t i v e ( x ) . I l e s t a l o r s p o s s i b l e d e

r e p r s e n t e r g r a p h i q u e m e n t l e n u a g e d e p o i n t s d e s d o n n e s

o b s e r v e s .



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L e m o d l e d e r g r e s s i o n : u n e x e m p l e

L a r e l a t i o n e n t r e l e s 2 v a r i a b l e s p e u t t r e e x p r i m e p a r u n e d r o i t e



4/34

L e m o d l e d e r g r e s s i o n : u n e x e m p l e

D a n s c e t e x e m p l e , l ' q u a t i o n d ' u n e d r o i t e p e r m e t d ' e x p r i m e r l a

r e l a t i o n e n t r e l e s d e u x v a r i a b l e s :

y = + x

N a n m o i n s , t o u s l e s p o i n t s n e p a s s e n t p a s p a r c e t t e d r o i t e

O n i n t r o d u i t u n t e r m e d ' e r r e u r d a n s l a r e l a t i o n :

y = + x +

e s t u n t e r m e a l a t o i r e a y a n t d e s p r o p r i t s s t a t i s t i q u e s

L a r e l a t i o n n ' e s t p l u s d t e r m i n i s t e , e l l e d e v i e n t s t o c h a s t i q u e ,

l e s c o e c i e n t s e t n e s o n t p l u s c a l c u l s , i l s s o n t e s t i m s



5/34

L e m o d l e d e r g r e s s i o n : p r o b l m a t i q u e

S o i t l e m o d l e d e r g r e s s i o n l i n a i r e

y= +

x+

L ' a n a l y s e d e r g r e s s i o n c o m p o r t e d e u x a s p e c t s e s s e n t i e l s :

E s t i m a t i o n : l ' e s t i m a t i o n c o n s i s t e t r o u v e r l e s v a l e u r s d e s

p a r a m t r e s

e t

d e t e l l e s o r t e q u e l a d r o i t e p a s s e a u m i e u x

d a n s l e n u a g e d e p o i n t s

I n f r e n c e : l ' i n f r e n c e c o n s i s t e d t e r m i n e r d a n s q u e l l e m e s u r e

l e s v a l e u r s e s t i m e s d e e t s o n t d e s a p p r o x i m a t i o n s p l u s o u m o i n s p r c i s e s d e s v r a i e s v a l e u r s e t t e s t e r s i l e m o d l e e s t

a d q u a t



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E s t i m a t i o n d e s p a r a m t r e s

C o m m e n t c h o i s i r l e s v a l e u r s d e e t ?

O n v e u t l a d r o i t e q u i p a s s e a u m i e u x d a n s l e n u a g e d e p o i n t s

e t t . q . l e s d i s t a n c e s d e s p o i n t s l a d r o i t e s o i e n t m i n i m i s e s



7/34

E s t i m a t i o n d e s p a r a m t r e s : l e s M C O

L a m t h o d e d e s M o i n d r e s C a r r s O r d i n a i r e s ( M C O ) e s t l a p l u s

c o u r a m m e n t e m p l o y e s p o u r t r o u v e r l a d r o i t e q u i p a s s e a u

m i e u x d a n s u n n u a g e d e p o i n t s

O n m e s u r e l e s c a r t s d e c h a q u e p o i n t s l a d r o i t e ( e n v e r t i c a l ) ,

q u e l ' o n l v e a u c a r r p o u r o b t e n i r u n e d i s t a n c e . L a m t h o d e

d e s M C O c o n s i s t e m i n i m i s e r l a s o m m e d e c e s d i s t a n c e s

N o t a t i o n :

y

i

e s t l a i

m e

o b s e r v a t i o n d e l a v a r i a b l e d p e n d a n t e

y i e s t l a v a l e u r a j u s t e / p r d i t e d e y i s u r l a d r o i t e d e r g r e s s i o n

i

e s t l e r s i d u ,

y

i

y

i



8/34

E s t i m a t i o n d e s p a r a m t r e s



9/34

E s t i m a t i o n d e s p a r a m t r e s : p r i n c i p e

P o u r u n c h a n t i l l o n d e n o b s e r v a t i o n s , o n m i n i m i s e d o n c

2

1 + 2

2 + 2

3 + 2

4 + 2

5 + + 2

n

, o u e n c o r e

n

i

=1 2

i

, l a

s o m m e d e s c a r r s d e s r s i d u s ( S C R )

Q u ' e s t c e q u e

i

? C ' e s t l a d i r e n c e e n t r e l e v a l e u r o b s e r v e

y

i

e t s a v a l e u r c o r r e s p o n d a n t e s u r l a d r o i t e d e r g r e s s i o n yi

A u t r e m e n t d i t :

M i n i m i s e r

n

i

=1 ( y i y i )2

e s t q u i v a l e n t

M i n i m i s e r n

i

=1 2

i

o u e n c o r e

M i n i m i s e r S C R

p a r r a p p o r t e t



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E s t i m a t i o n d e s p a r a m t r e s : c a l c u l s

O n c h e r c h e l e s v a l e u r s d e

e t

q u i m i n i m i s e n t l a S C R :

1 . o n c r i t S C R e n f o n c t i o n d e s p a r a m t r e s e t

2 . o n p o s e l a d r i v e d e c e t t e f o n c t i o n p / r g a l e 0

3 . o n p o s e l a d r i v e d e c e t t e f o n c t i o n p / r

g a l e 0

4 . o n r s o u d c e s y s t m e d e 2 q u a t i o n s 2 i n c o n n u e s

L e s v a l e u r s q u i r s o l v e n t c e s y s t m e d e 2 q u a t i o n s 2 i n c o n n u e s ,

n o t s

e t

, s o n t a p p e l s l e s p a r a m t r e s e s t i m e s d e s M C O



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1 . S a c h a n t q u e y

i

= y

i

+ i

= + x

i

+ i

, o n a :

S C R =n

i

=1

( yi

xi

) 2

2 . L a d r i v e d e S C R p a r r a p p o r t e s t g a l e :

S C R

=

2

ni

=1

(y

i

x

i

) =0

3 . L a d r i v e d e S C R p a r r a p p o r t e s t g a l e :

S C R

=

2

ni

=1

x

i

(y

i

x

i

) =0



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4 . O n r s o u d l e s y s t m e d e 2 q u a t i o n s 2 i n c o n n u e s s u i v a n t :

S C R/ =

0

S C R

/ =0

y

i

n

x

i

=0

x

i

y

i

x

i

x

2

i

=0

C o m m e y i = n y e t x i = n x , l a 1 r e q u a t i o n s e r c r i t :

y

x=

0 =

y

x

O n p e u t e n s u i t e r e m p l a c e r d a n s l a 2 m e q u a t i o n p a r y x :

x

i

y

i

(y

x

)n

x

x

2

i =0

C ' e s t u n e q u a t i o n u n e s e u l e i n c o n n u e . E n l a r a r r a n g e a n t , o n

p e u t i d e n t i e r e n f o n c t i o n d e s s e u l e s v a l e u r s o b s e r v e s d e y e t x .



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4 . ( s u i t e )

x i y i ( y x ) n x x 2i = 0x

i

y

i

n

y

x

+ n

x

2

x

2

i

=0

x

2

i

n

x

2

=

x

i

y

i

n

y

x

O n m o n t r e

x

2

i n x = n V a r (x ) e t

x

i

y

i n y x = n C o v ( x , y ) .1

P a r c o n s q u e n t , o n a :

[n V a r ( x )] = n C o v (x , y )

= C o v ( x , y )/V a r ( x )

1

n V a r (

x) =P

(x

i

x ) 2 =P

(x

2

i

2 xi

x

+ x

2 ) =P

x

2

i

2 xP

x

i

+n

x

2 =Px

i

2 x n x + n x 2 =P

x

i

n x 2 e t n C o v ( x , y ) =P

[(xi

x )(yi

y )] =P

[x

i

y

i

x

i y

y

i x

+ x

y

] =P

x

i

y

i

n

x

y

n

y

x

+n

x

y

=P

x

i

y

i

n

y

x



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E s t i m a t i o n d e s p a r a m t r e s : M C O

S o i t l e m o d l e d e r g r e s s i o n l i n a i r e :

y= +

x+

L e s e s t i m a t e u r s M C O d e s p a r a m t r e s s o n t :

=C o v ( x , y )

V a r ( x )e t = y x ( 1 )

S u r l a b a s e d ' u n c h a n t i l l o n d e v a l e u r s o b s e r v e s , l e s p a r a m t r e s

e s t i m s p a r M C O d e l a d r o i t e d e r g r e s s i o n s o n t o b t e n u s e n

a p p l i q u a n t c e s f o r m u l e s .



15/34

E s t i m a t i o n d e s p a r a m t r e s : i n t e r p r t a t i o n

S o i t l e m o d l e d e r g r e s s i o n

y = + x +

L ' e s t i m a t i o n p a r M C O f o u r n i t l e s r s u l t a t s s u i v a n t s :

y = + x

1 . L e c o e c i e n t e s t l a p e n t e d e l a d r o i t e : s i x a u g m e n t e d e 1 u n i t ,

y a u g m e n t e d e

u n i t s

2 . L e c o e c i e n t e s t l ' o r d o n n e l ' o r i g i n e : s i x e s t g a l 0 , ye s t g a l



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L a v a l e u r a j u s t e

y e s t u n e e s t i m a t i o n d e l a m o y e n n e d e y s a c h a n t

x , c ' e s t - - d i r e d e l a m o y e n n e d e y c o n d i t i o n n e l l e x , n o t e E ( y | x ) .

S o i t l e m o d l e d e r g r e s s i o n l i n a i r e :

y = + x + ( 2 )

S i o n a p p l i q u e u n e e s p r a n c e c o n d i t i o n n e l l e x a u x 2 t e r m e s , o n a :

E(

y|

x) =

E( +

x+ |

x) = +

x+

E(|

x)

S i E(|

x) =

0 , l a r g r e s s i o n l i n a i r e ( 2 ) e s t q u i v a l e n t e :

E ( y | x ) = + x ( 3 )

P o u r d e s v a l e u r s e s t i m e s d e s p a r a m t r e s , o n a :

E ( y | x ) = + x = y



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y = + x + E ( y | x ) = + x

L ' e s t i m a t i o n p a r M C O f o u r n i t l e s r s u l t a t s s u i v a n t s :

y

= +

x

E

(y

|x

) = +

x

1 . S i x a u g m e n t e d e 1 u n i t , y a u g m e n t e d e u n i t s S i x a u g m e n t e d e 1 u n i t , y a u g m e n t e e n m o y e n n e d e

u n i t s

S i x a u g m e n t e d e 1 u n i t , l ' a u g m e n t a t i o n e s p e r e d e y e s t

2 . S i x e s t g a l z r o , l a v a l e u r d e y e s t g a l e S i x e s t g a l z r o , l a v a l e u r m o y e n n e d e y e s t e s t i m e



18/34

L e m o d l e d e r g r e s s i o n : i n t e r p r t a t i o n

A t t e n t i o n : m i e u x v a u t n e p a s i n t e r p r t e r s ' i l n ' y a p a s d e v a l e u r s d e x p r o c h e s d e 0 d a n s l ' c h a n t i l l o n



19/34

E s t i m a t i o n d e s p a r a m t r e s : e x e m p l e 1

S o i t u n c h a n t i l l o n s u r l e s a l a i r e h o r a i r e e n e u r o s ( y ) e t l e n o m b r e

d ' a n n e d ' t u d e s a u d e l d u b a c c a l a u r a t ( x ) d ' u n g r a n d n o m b r e d e

p e r s o n n e s a y a n t l e b a c . L e s r s u l t a t s d e l ' e s t i m a t i o n p a r M C O d ' u n

m o d l e d e r g r e s s i o n l i n a i r e s o n t l e s s u i v a n t s :

y

=9

.7 4

+1

.2 5 x

1 . : p o u r 1 a n n e d ' t u d e s u p p l m e n t a i r e , l e s a l a i r e h o r a i r e a u g m e n t e e n m o y e n n e d e 1 . 2 5 e u r o s

2 . : l e s a l a i r e h o r a i r e m o y e n d e s i n d i v i d u s a y a n t j u s t e l e b a c e s t e s t i m 9 . 7 4 e u r o s



20/34

E s t i m a t i o n d e s p a r a m t r e s : e x e m p l e 2

S o i t u n c h a n t i l l o n s u r l e s t a u x d e r e n d e m e n t e x c d e n t a i r e s d u t i t r e

I B M

2

( y ) e t d u C A C 4 0 ( x ) , p o u r l e q u e l o n o b t i e n t l e s r s u l t a t s

s u i v a n t s :

y = 0 . 2 4 + 1 .6 4 x

1 . : l o r s q u e l e t a u x d e r e n d e m e n t e x c d e n t a i r e d u C A C 4 0 a u g m e n t e d e 1 u n i t s , c e l u i d u t i t r e I B M a u g m e n t e e n

m o y e n n e d e 1 . 6 4 u n i t s

2 .

: l o r s q u e l e t a u x d e r e n d e m e n t e x c d e n t a i r e d u C A C 4 0 e s t

n u l , c e l u i d u t i t r e I B M e s t e n m o y e n n e d e - 0 . 2 4 .

S i u n a n a l y s t e n a n c i e r s ' a t t e n d c e q u e l ' a n p r o c h a i n l e m a r c h

d o n n e u n r e n d e m e n t 2 0 % p l u s l e v q u e p o u r u n p l a c e m e n t s a n s

r i s q u e , v o u s p o u v e z l u i d i r e q u e l e r e n d e m e n t e s p r d u t i t r e I B M

s e r a i t p o u r s a p a r t 3 2 . 8 % p l u s l e v ( = 1 0 0 * [ 1 . 6 4 * 0 . 2 ] ) .

2

c ' e s t l a d i r e n c e e n t r e l e t a u x d e r e n d e m e n t d u t i t r e I B M e t c e l u i o b t e n u

a v e c u n p l a c e m e n t s a n s r i s q u e



21/34

M o d l e d e r g r e s s i o n e t P G D

L o r s q u ' o n c o n s i d r e l e m o d l e d e r g r e s s i o n l i n a i r e s u i v a n t :

y

= + x

+

O n s u p p o s e q u e l e p r o c e s s u s q u i a g n r l e s d o n n e s ( P G D ) e s t

y=

0

+ 0

x+

o

0

e t

0

s o n t d e s v a l e u r s i n c o n n u e s .

A v e c u n c h a n t i l l o n , o n o b t i e n t u n e e s t i m a t i o n d u m o d l e :

y= +

x+

A u t r e m e n t d i t , e t s o n t d e s e s t i m a t i o n s d e 0

e t 0

Q u e s t i o n : d a n s q u e l l e m e s u r e e t s o n t - e l l e s d e b o n n e s a p p r o x i m a t i o n s d e s v r a i e s v a l e u r s

0

e t

0

?



22/34

Q u a l i t d e s e s t i m a t e u r s M C O

Q u e s t i o n : d a n s q u e l l e m e s u r e

e t

s o n t - e l l e s d e b o n n e s

a p p r o x i m a t i o n s d e s v r a i e s v a l e u r s 0

e t 0

?

P o u r r p o n d r e c e t t e q u e s t i o n , i l f a u t t u d i e r

1 . l e s p r o p r i t s d e s e s t i m a t e u r s M C O t h o r m e d e G a u s s - M a r k o v

2 . l a p r c i s i o n d e s e s t i m a t e u r s M C O

c a r t s - t y p e

3 . l a a b i l i t d e s e s t i m a t e u r s M C O i n f r e n c e s t a t i s t i q u e



23/34

P r o p r i t e s d e s e s t i m a t e u r s : l e s h y p o t h s e s d u m o d l e


y

i

= + x

i

+ i

L e t e r m e d ' e r r e u r

i

e s t a l a t o i r e e t a d e s p r o p r i t s s t a t i s t i q u e s .

L e s h y p o t h s e s c l a s s i q u e s s u r l e t e r m e d ' e r r e u r d u m o d l e s o n t :

1 . E (i

) = 0 : l a m o y e n n e d e s e r r e u r s e s t n u l l e

2 . V a r(

i

) = : l a v a r i a n c e d e s e r r e u r s e s t c o n s t a n t e

3 . C o v (i

, j

) = 0 : l e s e r r e u r s s o n t s a t i s t i q u e m e n t i n d p e n d a n t e s

4 . C o v(

i

,x

i

) =0 : p a s d e r e l a t i o n e n t r e l ' e r r e u r e t l e r g r e s s e u r

3

3

C e t t e h y p o t h s e e s t v r i e s i x e s t s u p p o s n o n - s t o c h a s t i q u e , d t e r m i n i s t e



24/34

P r o p r i t e s d e s e s t i m a t e u r s : T h o r m e d e G a u s s - M a r k o v

T h o r m e d e G a u s s - M a r k o v : s o u s l e s h y p o t h s e s c l a s s i q u e s d u

m o d l e d e r g r e s s i o n , l e s e s t i m a t e u r s e t d e s M C O s o n t l e s m e i l l e u r s e s t i m a t e u r s l i n a i r e s s a n s b i a i s i l s s o n t B L U E .

B e s t : c e s o n t l e s e s t i m a t e u r s q u i o n t l a p l u s p e t i t e v a r i a n c e ,

p a r m i l a c l a s s e d e s e s t i m a t e u r s s a n s b i a i s

L i n e a r : i l s s o n t l i n a i r e s p a r r a p p o r t y

U n b i a s e d : e n m o y e n n e , l e s v a l e u r s d e e t s o n t g a l e s l e u r s v r a i e s v a l e u r s

0

e t

0

E s t i m a t o r : e t s o n t d e s a p p r o x i m a t i o n s d e s v r a i e s v a l e u r s 0

e t

0

A u t r e m e n t d i t , i l n ' e x i s t e p a s d ' a u t r e s e s t i m a t e u r s s a n s b i a i s q u i

s o i e n t p l u s p r c i s q u e c e u x d e s M C O c e s o n t l e s m e i l l e u r s .



25/34

P r o p r i t e s d e s e s t i m a t e u r s

1 . C o n v e r g e n t s : l e s v a l e u r s e s t i m e s s e r a p p r o c h e n t d e s v r a i e s

v a l e u r s l o r s q u e n a u g m e n t e l ' i n n i

l i m

n

P r

|

0

| >

=0

>0

C ' e s t u n e h y p o t h s e d e v a l i d i t , s i n o n l ' e s t i m a t e u r e s t i n u t i l e

2 . S a n s b i a i s : = 0

, c ' e s t u n e h y p o t h s e p l u s f o r t e q u e l a

c o n v e r g e n c e

3 . E c i e n t s : u n e s t i m a t e u r e s t e c i e n t s ' i l e s t s a n s b i a i s e t d e

v a r i a n c e m i n i m a l e

l a p r o b a b i l i t d ' o b t e n i r u n e v a l e u r

e s t i m e l o i g n e d e l a v r a i e v a l e u r 0

e s t m i n i m i s e



26/34

P r c i s i o n d e s e s t i m a t e u r s : l e s c a r t s - t y p e s

1 . L e s v a l e u r s e s t i m e s

e t

s o n t s p c i q u e s u n c h a n t i l l o n :

a v e c u n c h a n t i l l o n d i r e n t o n o b t i e n t d e s v a l e u r s d i r e n t e s

2 . U n e m e s u r e d e l e u r p r c i s i o n e s t i n d i s p e n s a b l e : s a n s e l l e ,

a u c u n e c o n c l u s i o n n e p e u t e t r e t i r e

3 . L a p r c i s i o n d ' u n e v a l e u r e s t i m e e s t d o n n e p a r s o n c a r t - t y p e

4 . L ' c a r t - t y p e i n d i q u e q u e l l e e s t , e n m o y e n n e , l a d i s t a n c e e n t r e

l e s v a l e u r s e s t i m e s

e t l a v r a i e v a l e u r

0



27/34



y = + x + I I D ( 0 , 2 )

L e s e s t i m a t e u r s M C O d e s p a r a m t r e s s o n t :

=

C o v(

x,

y)

V a r ( x )e t

= y

x

L e u r s v a r i a n c e s s o n t g a l e s :

2

= 2 x2

i

n

2

V a r

(x

)e t

2 = 2

1

n V a r

(x

)

2 e s t u n p a r a m t r e i n c o n n u . I l f a u t l e r e m p l a c e r p a r u n e v a l e u r e s t i m e p o u r p o u v o i r u t i l i s e r c e s m e s u r e s e n p r a t i q u e .



28/34


1 . L a v a r i a n c e d u t e r m e d ' e r r e u r e s t g a l e

2 = V a r () = E

( E ()) 2

= E

2

E l l e p e u t e t r e e s t i m e p a r l a m o y e n n e d e s 2i

2 . L a m o y e n n e d e s c a r r s d e s r s i d u s e s t u n e s t i m a t e u r

c o n v e r g e n t d e c e t t e v a r i a n c e :

4

2 =1

n

2

i

=S C R

n

m a i s i l e s t b i a i s . U n e s t i m a t e u r s a n s b i a i s e s t :

2 =1

n 2

2

i

=S C R

n 2

4

i

e s t u n e s t i m a t e u r c o n v e r g e n t d e

i

q u i l u i , e s t i n o b s e r v a b l e



29/34



y= +

x+

I I D(

0, 2 )

( 4 )

S o u s l e s h y p o t h s e s c l a s s i q u e s , l e s e s t i m a t e u r s M C O d e s

p a r a m t r e s s o n t

=C o v ( x , y )

V a r ( x )e t = y x

L e u r s c a r t s - t y p e s s o n t :

=

x

2

i

n

2

V a r ( x )e t =

1

n V a r ( x )



30/34

P r c i s i o n d e s e s t i m a t e u r s : C o m m e n t a i r e s

L e s c a r t s - t y p e s s o n t :

=

x

2

i

n

2

V a r(

x)

e t =

1

n V a r (

x)

C e s e s t i m a t e u r s s o n t d ' a u t a n t p l u s p r c i s q u e :

1 . n e s t g r a n d l a t a i l l e d e l ' c h a n t i l l o n e s t l e v e

2 . V a r ( x ) e s t g r a n d l e s v a l e u r s d e x s o n t d i s p e r s e s

3 . e s t p e t i t l e s r s i d u s s o n t p e u d i s p e r s s



31/34


L ' e s t i m a t e u r e s t d ' a u t a n t p l u s p r c i s q u e V a r ( x ) e s t g r a n d , a u t r e m e n t d i t l e s v a l e u r s d e x s o n t d i s p e r s e s



32/34


L ' e s t i m a t e u r e s t d ' a u t a n t p l u s p r c i s q u e

e s t p e t i t , a u t r e m e n t d i t

l e s r s i d u s s o n t p e u d i s p e r s e s




33/34

L e s r s u l t a t s d e l ' e s t i m a t i o n d ' u n m o d l e d e r g r e s s i o n l i n a i r e

y= +

x+

s o n t h a b i t u e l l e m e n t p r s e n t s c o m m e s u i t :

y

= 0

.5 9 1 2

(0 .0 3 4 )+

0.

3 5

(0 . 0 1 1 )x

o u e n c o r e

y=

0.

5 9 1 2

(0 . 0 3 4 )+

0.

3 5

(0 .0 1 1 )x

+

L e s c a r t s - t y p e s o n t i n d i q u s e n t r e p a r e n t h s e s .


L ' i n f r e n c e s t a t i s t i q u e


34/34

V o i r l e s t r a n s p a r e n t s d e B r o o k s p a r t i r d e :

A n I n t r o d u c t i o n t o S t a t i s t i c a l I n f e r e n c e


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